CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS. Universidade de São Paulo. Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto

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3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Universidade de São Paulo Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto Departamento de Computação e Matemática Prof Dr Jair Silvério dos Santos

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5 Contents 00 Progressão Geométrica e Juro Composto Potenciação Valor Presente Exercícios 9 FUNÇÕES Relação entre conjuntos Exercícios 2 2 Gráfico de Função 4 2 Funções Lineares e Quadráticas 4 22 Exercícios 5 23 Inequações 8 24 Função Módulo 8 25 Exercícios Polinômios Método da Chave para Divisão de Números Exercícios Funções Pares e Ímpares Composição de Funções 27 2 Exercício Exercícios Oferta e Demanda Exercícios Função exponencial e função logarítmica Funções Trigonométricas 35 3 Funções Limitadas 36 3 DISTÂNCIAS Exercícios 40 2 Limite Exercícios Ponto de Acumulação e Definição de Limite Propriedades de Limite Exercícios Limites Laterais Exercícios 54 3

6 4 CONTENTS 2 LIMITES INFINITO E NO INFINITO 54 2 Limites Infinitos Exercícios 6 23 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais LIMITES FUNDAMENTAIS Primeiro Limite Fundamental Segundo Limite Fundamental Problema dos Juros Compostos Exercícios Limites Infinitos no Infinito Assíntotas Verticais e Horizontais 74 3 CONTINUIDADE 79 4 DERIVADAS 8 4 Derivada 8 4 Função Derivada Exercícios Propriedades da Derivada Derivada do Produto Derivada do Quociente Derivada da Função Seno Derivada da Função Exponencial Derivada da Função Logarítmica Exercícios Exercícios Aplicações da Derivada Reta Tangente ao Gráfico de uma Função Extremos de Função Valor Crítico e Ponto Crítico de uma Função Elasticidade Classificação de pontos Críticos de uma função Derivada da Função Composta Concavidade do Gráfico de uma Função Teorema do Valor Médio Regra de L Hospital Diferencial 3 42 Fórmula de Taylor 9 5 INTEGRAL 2 5 Cálculo de Áreas 2 5 Propridades da Integral Teorema do Valor Médio Para Integrais Teorema Fundamental do Cálculo Função Primitiva e Integral Indefinida 33

7 CONTENTS Área Entre Gráficos de função Integral por Substituição Integração por Partes Frações Parciais Integral Imprópria EXERCÍCIOS 46

8 00 Progressão Geométrica e Juro Composto A taxa de crescimento i de uma grandeza que passa do valor a (a R) para o valor b (b R) é dada por i = b a a Veja que a taxa de crescimento de uma grandeza que passa de 4 para 5 é igual a i = 5 4 = 0, 25 4 Exemplo Suponha que uma população aumenta 2% ao ano Então, a quantidade P n de indivíduos desta população no ano n (n-ésimo ano) será igual à quantidade P n de indivíduos desta população do ano anterior mais o aumento de população, que é igual à 2% de P n, isto é P n = P n + (0, 02)P n = ( + 0, 02)P n =, 02P n Veja que a quantidade de indivíduos desta população em um determinado ano, digamos n-ésimo ano, é proporcional à quantidade de indivíduos desta população no ano subsequente ou (n )-ésimo ano e a constante de proporcionalidade é, 02 Observe que a taxa de crescimento da grandeza quantidade de indivíduos desta população é dada por i = P n P n P n =, 02P n P n P n = 0, 02 Exemplo 2 Suponha que uma bomba de sucção retira de um vasilhame, em cada intervalo de tempo, 3% do material existente neste vasilhame Então, a quantidade de material P n existente no vasilhame após n sucções (n-ésima sucção ) será igual à quantidade de material P n que estava contida no vasilhame após a sucção anterior, menos o decrécimo de maretial causado por uma sucção, que é igual à 3% de P n, isto é P n = P n (0, 03)P n = ( 0, 03)P n = 0, 97P n, P n = P n 2 (0, 03)P n 2 = ( 0, 03)P n 2 = 0, 97P n 2, P = P 0 (0, 03)P 0 = ( 0, 03)P 0 = 0, 97P 0 Segue que a construção acima que P n = P n (0, 03)P n = ( 0, 03) n P 0 = (0, 97) n P 0, onde P 0 é a quantidade inicial de material no vasilhame

9 CONTENTS Potenciação Sejam x, y e z números reais positivos e m, n números inteiros não negativos Então (i) x m x n = x m+n (ii) (x m ) n = x mn (iii) (xyz) n = x n y n z n ( x ) m x m (iv) = y y m (v) x m = x m (vi) xm x n = xm n (vii) x m n = n x m OBSERVAÇÃO: Se x R for não nulo então x 0 = Seja a R e a 0, então x 0 = x a a = xa x 0 = x a 003 Valor Presente a) Suponha que um indivíduo toma um empréstimo hoje de P 0 unidades de moeda em uma instituição financeira e ele repõe P 0 em parcelas mensais a uma taxa previamente combinada de 3% ao mês (desconto), então o valor presente P após o período de um mês, é dado por P = P 0 (0, 03)P 0 = 0, 97P 0 A quantidade P, o que resta da dívida ainda não resgatada, é denominada da dívida Veja que a taxa de desconto é dada por i = P P 0 P 0 = 0, 03 b) Se P 0 unidades de moeda foi investido, a um ano atrás, com taxa de atualização do capital de 00r por cento ao ano, ao atualizar quantidade de moeda ao final do primeiro ano, teremos o valor dada por P = P (um ano) = P 0 + rp 0 = ( + r)p 0 b) Ao final do segundo ano a quantidade atualizada de moeda será dada por P 2 = P (dois anos) = P 0 ( + r) + rp 0 ( + r) = ( + r) 2 P 0

10 8 CONTENTS b2) Ao final de n anos a quantidade atualizada de moeda será dada por P (n) = ( + r) n P 0 Note que o juro no i ésimo período (rp i ) compõe o capital do (i ) ésimo (P i ) e forma a quantidade P i = ( + r)p i Observe que em cada período é válida a regra P i P i P i = r, (ver [3]) c) Se a composição fosse semestral teríamos r como taxa de juros e ao final de t anos 2 o capital P 0 composto com a taxa semestral de juros seria dado por P (n anos ) = P (dois n semestres) = (+ r 2 )2n P 0 Neste caso os juros são compostos duas vezes ao ano d) Se os juros compuser o capital m vezes ao ano teríamos r como taxa de juros e m ao final de n anos o capital P 0 composto com a taxa r de juros seria dado por m P (n anos) = P (mn períodos) = ( + r m )mn P 0 (ver [3], [8]) (00) Uma pergunta pertinente : Qual quantidade P de unidades moeda teremos que investir no instante atual, para que ao final de n anos tenhamos F unidades moeda, se os juros compuserem o capital P m-vezes ao ano, à taxa de juros 00r%? (ver [8]) Como vimos acima se o capital X for investido à taxa de juros 00r%, e os juros compuserem o capital m-vezes ao ano, ao final de n anos a o capital atualizado será dado por Portanto, e F = P ( + r m )mn Valor Futuro (ver [3]) (002) P = F ( + r m ) mn, Valor Presente (ver [3]) ( + r m ) mn, fator de desconto (ver [3]) Exemplo 3 Investe-se em uma carteira P 0 = 5000, 00um a 4% de juros ao ano Qual será o valor atualizado com os juros se quantidade de moeda P 0 permanecer aplicada, sem retidadas, por 0 anos? Quanto este homem teria que aplicar a 4% de juros ao ano para que ao final de quatro anos ele tivesse disponível 20000um?

11 CONTENTS 9 Resolução Veja que em (00), r m = 04 e mn = 0 Portanto, P (0) = ( + 0, 04) = 740, 22um Para responder a segunda pergunta, veja que em (002) temos F = 200, mn = 0 Então P = 200( + 004) 0 = 80, 677 r m = 04 e Exemplo 4 Ao se tomar hoje, por empéstimo, 50, 00um a uma taxa de juros de 2% ao mês, qual será o valor corrigido com juros três meses depois? Quanto deveria ser investido à taxa de juros de 2% ao mês para que ao final de cinco meses o valor presente fosse 250, 00 um? Resolução Veja que P 0 = 50, a taxa anual de juros é m 2 = 0, 2m Então 00 r m = 0, 2 e mt = 3, Como m = 2 teremos r =, 44 e n = = 025 Assim, segue de 4 (00) que P (025) = ( + 0, 2) 3 50 = 20, 74 Vamos responder a segunda pergunta: veja em (002) que F = 250, mt = 5 Então P = 250( + 02) 5 = 4, 85 r m = 0, 2 e 004 Exercícios (i) Suponha que a taxa de juros é 7% ao ano Se for investido 72 unidades de moeda, qual é o valor um vez ao ano, atualizado um dois anos depois (ii) Suponha que a taxa de juros é 7% ao ano Se for investido 72 unidades de moeda, qual é o valor duas vezes ao ano, atualizado um ano depois (ver [8]) (iii) Suponha que o capital investido será atualizado uma vez ao ano Quanto deve ser investido hoje taxa de juros é 5% ao ano para se ter atualizado dois anos depois 27 unidades de moeda (ver [8])? (iv) Suponha que o capital investido será atualizado três vezes ao ano Quanto deve ser investido hoje taxa de juros é 5% ao ano para se ter atualizado dois anos depois 27 unidades de moeda (ver [8])?

12 0 CONTENTS

13 Chapter FUNÇÕES Relação entre conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se de A por B ao conjunto A B = {(x, y) par ordenado tal que x A e y B} Note que A = B então (x, y) = (y, x) se e somente se x = y Definição Chama-se relação entre dois conjuntos A e B qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B Exemplo 5 Se A = {, 2} e B = {a, }, R 0 = φ (o conjunto vazio), R = {(, a); (2; a)} e R 2 = {(, ) ; (, a)} são relações entre A e B Resolução Como A B = {(, a) ; (, ) ; (2, a) ; (2, )}, segue da Definição que uma relação entre A e B é qualquer um dos subconjuntos de A B Mas R 0, R e R 2 são subconjuntos de A B e assim, elas são relações entre A e B O conjunto vazio dado por φ é uma destas relações Aqui, nenhum elemento de A está associado a qualquer elemento de B Considere a relação {(, a); (2; a)} entre A e B Veja que esta relação entre A e B é constante, todos elementos de A estão associados a um único elemento de B Tome a relação {(, ) ; (, a)} Veja que nesta relação um elemento de A está associado dois elementos de B e o outro elemento de A não tem seu correspondente em B

14 2 CHAPTER FUNÇÕES Definição 2 Dados dois conjuntos A e B, chama-se função de A em B a qualquer relação entre A e B que a cada elemento do conjunto A assosia um único elemento em B Indica-se esta função por f : A B Dizemos que f está definida em A e toma valores em B Ao conjunto A denomina-se domínio da função f (Dm(f)) Ao conjunto B denomina-se Contradomínio de f Ao conjunto Im(f) = {y B tais que existe x A que satisfaz f(x) = y} denomina-se aimagem da função f Nosso principal interesse são as funções definidas e subconjuntos dos números reais e tomando valores reais; isto é, os conjuntos A e B serão subconjutos do conjunto dos números reais Exercícios Considere os conjuntos A = {, a} e B = {α, γ}, calcule o produto cartesiano de A por B, todas as relações possíveis indique aquelas relações que são funções 2 Dados S = {, 3, 5} e P = {m, n} Calcule o produto cartesiano de S por P, todas as relações possíveis indique aquelas relações que são funções 3 Considere a tabela abaixo como a descrição dos elementos do produto cartesiano de dois conjuntos A e B (,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (,) (2,) (3,) (4,) (5,)

15 RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS 3 Descreva os dois conjuntos Descreva quatro relações de modo que cada uma delas seja uma função Descreva quatro relações função Descreva as funções contantes de modo que cada uma delas não seja seja uma 4 Considere o conjunto R R que aqui será denotado por R 2 Valha-se da definição de coordenadas cartesianas e desenhe cada um dos conjuntos abaixo: a- A = {(x, y) R 2 tal que x + 2y = 4, 2 < x 2} b- A 2 = {(x, y) R 2 tal que x + 2y < 4, 2 < x 2, y > 0} c- A 3 = {(x, y) R 2 tal que x + 2y 4, 2 < x 2, y 0} d- B 3 = {(x, y) R 2 tal que x y 0, 2 < x 2} e- B 3 = {(x, y) R 2 tal que x y 0, 2 < x 2} 5 Dada f : R R uma função que satisfaz f(2x + 3) = x 2 Calcule f(0), f(3), f(2u) u R, g(x) = f(x + 2), h(x) = f(x 2 ) 6 Podemos afirmar que se f(2x + 3) = x 2, então f(2x + 3) = x? 7 Podemos afirmar que se f(2x + 3) = x 2, então 3 f(2x + 3) = x? 8 Dada f : R R uma função que satisfaz f(x) = 2x Calcule f( ), f(4), γ(v) = f(2v) v R, g(x) = f(x + 5), h(x) = f(x 3 ) 9 Existe uma função f : R R tal que f(x 2 ) = 2x Se f(x) = 3x 2 e g(x) =, encontre todos os valores reais tais que f(x) = g(x) x Se m é um número real constante e f(x) = mx + 5 e g(x) =, encontre todos x os valores reais tais que f(x) = g(x) 2 Se m é um número real constante e f(x) = 3x + 5 e g(x) = m, encontre todos x os valores reais tais que f(x) = g(x)

16 4 CHAPTER FUNÇÕES 3 Se m e n são números reais constantes e f(x) = mx + n e g(x) = x, encontre todos os valores reais tais que f(x) = g(x) 4 Se m e n são números reais constantes e f(x) = x + n e g(x) = m x, encontre todos os valores reais tais que f(x) = g(x) 2 Gráfico de Função Definição 3 Dada f : A B função, chama-se Gráfico da função G(f) = {(x, y) A B tal que y = f(x)} f ao conjunto 2 Funções Lineares e Quadráticas (i) Vamos denominar função linear aquelas funções cujo gráfico é uma reta, ou seja f : R R dadas por f(x) = ax + b, onde a R Se a = 0, f é uma função constante (ii) Se a, b e c são números reais, considere a função quadrática f : R R dada por f(x) = ax 2 + bx + c, a 0 (2) Queremos resolver a equação f(x) = 0 Como em (2) a 0 podemos somar em ambos os membros b2 4a e escrevermos [ ( b ] a x 2 +2 )x+ b2 = (x+ b2 2a 4a 2 4a c, ou seja a b ) 2 b 2 4ac =, então 2 4a que é equivalente a Portanto, ( x + b 2a b2 4ac 2a )( x + b 2a + b2 4ac ) = 0 2a ( x+ b ) 2 b 2 4ac = 2 4a 2 x 0 = b + b 2 4ac 2a e x = b b 2 4ac 2a (22) são as raízes da equação (2) Além disso, em (22), x 0 e x serão números reais se e somente se = b 2 4ac for um número real não negativo, ( 0) Exemplo 6 Seja f(x) = x 2 4x + Vamos resolver a equação f(x) = 0

17 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 5 Resolução Veja que a = c = e b = 4 Então = (4) 2 4 = 2 Segue de (22) que as raízes de f(x) = 0 são x 0 = 2 3 e x 0 = Como exemplo tome f : [0, 2] R dada por f(x) = x 2 oy f(x) (x, f(x)) O x F igura ox 22 Exercícios (i) Considere as curvas 2π 3 π 2 π 3 2π 3 π 2 π 3 5π 6 π 6 5π 6 π 6 π π π 6 π 6 7π 6 π 6 4π 3 3π 2 5π 3 4π 3 3π 2 5π 3 2π 3 π 2 π 3 2π 3 π 2 π 3 5π 6 π 6 5π 6 π 6 π π π 6 π 6 7π 6 π 6 4π 3 3π 2 5π 3 4π 3 3π 2 5π 3 Explique porque estas curvas não podem ser gráficos de função

18 6 CHAPTER FUNÇÕES (ii) Condidere a figura Podemos afirmar que esta curva é gráfico de função? (iii) a) Se o domínio da função f(x) = 5 + 3x for {x R, tais que x 4}, determine a imagem de f b) Se o domínio da função f(x) = 5 3x 2 for {x R, tais que x 4}, determine a imagem de f (iv) Suponha que f(2) = 2 e descreva a função cujo gráfico é dado pela curva, y x 4 (v) (FUVEST 207) Considere uma folha de papel retangular com medida dos lados 20 e 6 Após remover um quadrado cuja medida do lado é lado x, de cada um dos cantos da folha de papel realize quatro dobras para voce obter uma caixa sem tampa em forma de paralelepípedo com altura x Expresse o volume da caixa em função de x Determine o intervalo real onde se encontra x para o qual o voluma da caixa é maior que 384 Qual são as medidas da caixa cujo volume é máximo

19 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 7 (vi) (FUVEST 207) Dado a R e < a 2, considere a função f a : [0; ] [0; ] dada por { ax se 0 x f a (x) =, 2 a( x) se < x 2 Encontre x 0 tal que f a (x 0 ) = x 0 Verifique que x 0 = x(a) Mostre que f a (f a ( )) < para todo < a < Utilizando o ítem anterior calcule encontre < a < 2 tal que f a (f a (f a ( ))) = 2 x 0 Faça o esboço do gráfico de f Sugestão Resolva este problema para a = 3, depois para a = 4, em seguida 2 3 para < a 2 (vii) Considere a figura 6 y 4 2 x Defina uma função cujo gráfico seja a figura acima com f( 2 ) = 2 (viii) Suponha que f() = 3 e descreva uma função cujo gráfico seja a segunte curva 4 y x 2

20 8 CHAPTER FUNÇÕES (ix) Considere uma esfera de raio 3 e todos os cilindros retos que podem ser inscritos nesta esfera Expresse o volume do cilindro em função do seu raio e de sua altura, considerando que este cilindro esta inscrito na esfera Os exercícios acima sugerem a ideia de desigualdades 23 Inequações Definição 4 Dada f : A R B R uma função Uma equação é expressão da forma f(x) = 0, onde x A Uma inequação é uma expressão com uma das formas f(x) > 0, ou f(x) 0, ou f(x) < 0, ou f(x) 0, onde x A Note que as desigualdades nos informam qual é o sinal da função f Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número real positivo, esta desigualdade matém-se com o mesmo sentido Veja que 2x x 3 > x 2 2 é equivalente à (x 2 +)[2x x 3 ] > (x 2 +)[x 2 2], porque x 2 + é positivo para todo número real x Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo esta desigualdade troca o seu sentido Veja que 2x x 3 > x 2 2 é equivalente a (x 2 )[2x x 3 ] > (x 2 )[x 2 2]; somente se x 2 for positivo ou zero Se x 2 for negativo ou seja se x ( 2; 2) (intrevalo), então (x 2 )[2x x 3 ] < (x 2 )[x 2 2] 24 Função Módulo Definição 5 O módulo de um número real x é dado por x = { x; se x 0, x; se x < 0 Temos x < m, se e somente se m < x < m Ainda, x m, se e somente se m x m Temos x > m, se e somente se x < m ou x > m Analogamente ao caso anterior, x m, se e somente se m x ou x m Exemplo 7 Se f : R R for dada por f(x) = x, o gráfico de f está dado na figura abaixo: Observação Da definição de módulo de um número real segue que x 2 = x Exemplo 8 Seja f : R R dada por f(x) = x 2 + 4x 5

21 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 9 Veja que o gráfico de f está esboçado na figura acima Para compreender o gráfico acima temos que resolver as inequações gerada pela definição da função módulo, ou seja f(x) = { x 2 + 4x 5; se x 2 + 4x 5 0, (x 2 + 4x 5); se x 2 + 4x 5 < 0 Veremos fácil que se F = {x R ( < x 5 ou x < } e F 2 = {x R ( 5 < x }, teremos f(x) 0 para todo x F e f(x) 0 para todo x F 2 Exemplo 9 Encontre o conjunto de números reais que satisfaz x 5 < 4 Resolução Note que há aqui um caso como acima, então 4 < x 5 < 4, o que nos dá < x < 9 Assim, o conjunto solução é dado por {x R tais que < x < 9} Exemplo 0 Encontre o conjunto de números reais que satisfaz Resolução Pelo que vimos acima 3 2x 4 (23) 2 + x 4 3 2x 2 + x 4 (24)

22 20 CHAPTER FUNÇÕES Para resolver a inequação (24) devemos multiplicar todos os seus membros por x + 2 Então devemos saber mais sobre o sinal deste fator Note que se x 2 o fator x + 2 será positivo Então 4(x + 2) 3 2x (x + 2) 4(x + 2) 2 + x Observe que as desigualdades não se alteram O que nos dá 8 4x 3 2x 8 + 4x Temos então duas desigualdades É conveniente resolvê-las separadamente O conjunto solução para estas desigualdades é igual ao conjunto sulução para o sistema de inequações { 8 4x 3 2x 3 2x 8 + 4x Após alguns cálculos simples, vemos que, x será solução para a primeira inequação se x 2 ; e x será solução para a segunda inequação se x 5 Como trata-se de 2 um sistema e inequações, devemos ter as duas inequações satisfeitas, então x deverá ser maior que o maior entre três números reais 2; 2 e x = 5 6 Logo, x 5 6 Temos assim a primeira parte da resposta, o conjunto S 0 = {x R, tal que x 5 6 } Veja que se x 2 o fator x+2 será negativo Então 4(x+2) 3 2x 2 + x (x+2) 4(x + 2) Note que as desigualdades se ateraram Então temos 4(2 + x) 3 2x (2 + x)4 (25) O conjunto solução para (25) é igual ao conjunto solução para o sistema { 8 4x 3 2x 3 2x 8 + 4x Repetindo o procedimento anterior vemos que x deve ser menor que o menor entre os três números 2, 5 6 e 2 Temos assim a segunda e última parte parte da resposta, o conjunto S = {x R, tal que x 2 } O conjunto solução para a inequação (23) é S = S 0 S

23 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 2 Exemplo Encontre o conjunto de números reais que satisfaz 3x + 2 > 5 Resolução Da definição 5 vemos que a desigualdade do exemplo (5) é equivalente a 3x + 2 > 5 ou 3x + 2 < 5 Neste caso, é conveniente resolver cada uma desas desigualdades em separado e depois construir o conjunto solução Vemos facilmente que se x resolve a primeira inequação, então x > Analogamente, se x resolve a segunda inequação então x < 7 3 Portanto, conjunto solução que procuramos é dado por S = {x R, tal que < x < 7 3 ou < x < } Como encontrar o conjunto dos números reias tais que x 4 > 3x 2? Pela Observação temos x 4 = (x 4) 2 e 3x 2 = (3x 2) 2 Portanto, a desigualdade em ( ) é equivalente à (x 4)2 > (3x 2) 2 ; ou seja (x 4) 2 > (3x 2) 2 Alguns cálculos nos mostram que nosso problema é equivalente a 2x 2 x 3 < 0 Para encontrar o conjunto solução para esta última desigualdade devemos encontrar o discriminante da equação 2x 2 x 3 = 0 (ver (22)) que é dado por = + 24 = 25 e as suas raízes são dadas por; x 0 = b 2a = ( ) 25 4 = e x = b + 2a = ( ) = 3 2 Mas, 2x 2 x 3 = 2(x x 0 )(x x ) = (x + )(x 3) Queremos que (x + 2)(x 3) seja negativo Portanto, o conjunto solução que procuramos é dado por S = {x R, tal que < x < 3 2 } Observação 2 Se x, y R podemos verificar que min{x, y} = x + y x y 2 e max{x, y} = x + y + x y (26) 2 Valha-se das propriedades anteriores, resolva em R as igualdades, desigualdades e descreva geometricamente o conjunto solução de cada uma delas:

24 22 CHAPTER FUNÇÕES 25 Exercícios Um fabricante produz canetas ao custo de 0 um (unidades de moeda) por unidade Estima-se que, se cada caneta for vendida por x um, os consumidores comprarão aproximadamente 80 x canetas por mês Expresse o lucro mensal do fabricante como função do preço devenda de cada caneta Construa o gráfico desta função e calcule o preço p 0 para o qual o lucro mensal é o maior possível (Veja que o lucro é dado pelo produto do número de canetas vendidas pelo lucro por caneta) Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer: A quantidade de produto ofertada aumenta se o preço deste aumentar Isto nos diz que as variáveis ofertada e preço estão de alguma forma relacionadas A quantidade de produto demandada diminui se o preço deste aumentar Isto nos diz que as variáveis demandada e preço estão de alguma forma relacionadas 2 Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço for 80 um; 20 destes relógios serão vendidos quando o preço for 60 um Suponha que a demanda por este tipo de relógio seja uma função linear do seu preço neste mercado Qual é a equação de demanda para este produto? Faça o gráfico desta função 3 Quando o preço for de 50 um, cinquenta máquinas fotográficas de um determinado tipo estarão disponíveis no mercado; quando o 75 um, cem máquinas fotográficas de um determinado tipo estarão disponíveis no mesmo mercado (produto em oferta) Suponha que a oferta deste tipo de máquina seja uma função linear do seu preço neste mercado Qual é a equação de oferta para este produto? Faça o gráfico desta função 4 Resolva as equações e inequações e represente graficamente o conjunto solução de cada item (a) x 2 < 8 3x S = {x R tal que < x < 5}; (b) 4 < 2 3x 7 S = {x R tal que 5 x < 2}; (c) 3x x S = {x R tal que 2 x < 2}; (d) x 2 8 S = {x R tal que 9 x 9}; (e) x 2 x 0 S = {x R tal que 0 < x < }; (f) Se f(x) = 5x , resolva f(x) = 0; S = φ; Faça o gráfico de f(x) (g) Se f(x) = 2x 4x + 3, resolva f(x) = 0: S = { 2, } Faça o gráfico 3 de f(x) (h) Se f(x) = x 5 + 2x, resolva f(x) = 0; S = { 4} Faça o gráfico de f(x) (i) 3x + 8 = 4, S = { 4 2x 3, 4};

25 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 23 (j) 2x > x + 2 S = (, ) (3, ); 3 (k) < x + 2 < 4 S = {x R tal que 6 < x < 3 ou < x < 2}; (k) 3x + 7 > 2 S = {x R tal que < x < 3 ou 5 3 < x < }; (l) x 3 2 S = {x R tal que x 5} 5 (a) 4x 6 < ; (b) 7 2x > 3; (c) x+4 < 7; Resp {x R; < x < 3}; (d) 3x 4 2; Resp {x R; 2 3 Resp {x R, < x < ou 4 < x < }; x 2}; (e) 2x 5 > 3; 2 (f) x + 4 2x 6 ; Resp R {x R, < x < 0}; (g) 2x + 9 4x ; 3 Resp {x R, 9 x 3} (h) 2 4x 2 2 x2 0; (i) 4x ; x (j) x(3x ) 4; (k) 2x2 x 3 x; (l) (x+)(2x 3) > 2; (m) x 2 2; (n) 7 3x ; (o) x 0 < 0, 3; (p) 3x 2 + 5x 2 < 0; 2 (q) 2x 2 9x + 7 < 0; (r) x 2 < 00; (s) < 3 7x 4 6; (t) (u) (x ) 2 (x 2)(x + ) 3 > 0 (v) (x )2 (x 2)(x + ) 3 x(x 2 + )(x 2 ) (i) Faça o gráfico de f(x) quando: < 0 2x + 3 < 5 3 x 9 > 2 x + 2 f(x) = x 2 + x + ; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) R 2 tal que 0 f(x) x } para 2 < x 2 f(x) = x 2 + x 2; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) R 2 tal que 0 f(x) x + } para 3 < x 5 (ii) Se f(x) = 3x + 2 e g(x) = 5x + 4, faça o gráfico de h(x) = max{f(x), g(x)} e H(x) = min{f(x), g(x)} (Ver Observação 2) (iii) Se f(x) = x 2 e g(x) = 2 x 2, faça o gráfico de h(x) = max{f(x), g(x)} e H(x) = min{f(x), g(x)} (Ver (26))

26 24 CHAPTER FUNÇÕES 26 Polinômios Definição 6 Sejam a r, a r,, a 0 números reais Um polinômio é uma função q : A R B R dada por q(x) = a r x r + a r x r + + a 0 Se a r for não nulo diremos que o grau de q é r e indicamos por q = r Seja q(x) um polinômio Suponhamos que o grau de q = r Sabemos que o polinômio q pode ser decomposto em fatores da forma { x x, x R; αx 2 + βx + γ, β 2 4αγ < 0; α, β, γ R, (ver(22)) o valor x é denominado raiz real de q Cada fator da forma αx 2 + βx + γ com a propriedade β 2 4αγ < 0 não tem raiz real Suponha que q tenha apenas raízes reais Sejam n N e x 0, x,, x n as raízes de q (n r) Há que se lembrar que cada uma destas raízes tem sua multiplicidade Então suponha que s 0, s,, s n N, indica respectivamente as multiplicidades das raízes do polinômio q Então s 0 + s + + s n = q Exemplo 2 Seja q(x) = x 2 3x + 2 = (x )(x 2) x 0 =, s 0 =, x = 2, s = s 0 + s = q = 2 Exemplo 3 Seja q(x) = (x + ) 2 (x 2) 3 x 0 =, s 0 = 2, x = 2, s = 3 s 0 + s = q = 5 Suponhamos que q : R R seja dado pela expressão q(x) = a r x r +a r x r + +a 0 com a r 0 e que todas as suas raízes sejam reais Então podemos escrever q(x) = a r (x x 0 ) s 0 (x x ) s (x x n ) sn (27) e s 0 + s + + s n = q = r Ve-se facilmente que se alguma raiz de q tiver multiplicidade maior que um, algum s i será nulo, e o fator correspondente x x i não aparecerá na expressão (27)

27 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO Método da Chave para Divisão de Números Veja que se p(x) = x 5 e g(x) = x 3 5 3, podemos realizar adivisão do polinômio p(x) por g(x) pelo método da chave e obtermos resto zero Considere o esquema abaixo com suas instruções: Note que multiplicação da primeira parcela do quociente pelo divisor nos dá x x 2 3 a 3 Subtraia x x do dividendo A multiplicação da segunda parcela do quociente pelo divisor nos dá x x Sutraia-a do dividendo A multiplicação da última parcela do dividendo pelo divisor nos dá x Subtaria-a do dividendo e voce obtera resto ZERO x 5 x x + x x x x x x x x Portanto, x 5 = (x )[x x ] ou seja, x 5 x x 5 = x x Com este algorítmo podemos escrever x x 5 x 5 = (28) x x Exercícios (i) Consider a curva γ na figura abaixo Suponha que f( 3 2 ) = 0 Defina uma fucção polinomial tal que a curva γ seja o gráfico da função f

28 26 CHAPTER FUNÇÕES y x (ii) (iii) Sejam p(x) e q(x) polinômios dados abaixo Calcule o resto da divisão de p(x) por q(x) (use o método da chave) p(x) = x 3 2x 2 + e q(x) = x 2 + ; p(x) = x 4 x 3 e q(x) = x 2 4x + 2 Sejam f(x) e g(x) funções dados abaixo Calcule o resto da divisão de f(x) por g(x) (use o método da chave) f(x) = x 2 e g(x) = 3 x 3 2; f(x) = x 3 e g(x) = 3 x 3 3, f(x) = x 5 e g(x) = 4 x 4 5; f(x) = x + 3 e g(x) = 3 x f(x) = x a e g(x) = 3 x 3 a; f(x) = x a e g(x) = 3 x 3 a, f(x) = x b e g(x) = 4 x 4 b; f(x) = x + b e g(x) = 5 x + 5 b Em cada um dos casos acima escreva a fração análoga à fração em (28) f(x) f(a) (iv) - Dadas as funções abaixo, calcule g(x) = para x a, onde a é um x a número real que está no domínio da função f Em cada um dos casos acima escreva a fração análoga à fração em (28) f(x) = x 2 + 3, f(x) = x 2 x +, f(x) = x 3 f(x) = x 4 f(x) = x 5 f(x) = sen (x) f(x) = cos(x), (compare os cinco primeiros ítens com o exercício anterior)

29 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 27 f(a + h) f(a) (v) Seja a um número real fixo, calcule g(h) = para cada uma das h funções abaixo Em cada um dos casos acima escreva a fração análoga à fração em (28) f(x) = x 2 + 3, f(x) = x 2 x +, f(x) = x 3 f(x) = x 4 f(x) = x 5, f(x) = sen (x) f(x) = cos(x), (compare os com o exercício anterior) 29 Funções Pares e Ímpares Uma função y = f(x) é uma (i) função par de x se f(x) = f( x), (ii) função ímpar de x se f(x) = f( x) Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares (i) f(x) = x 2, (ii) f(x) = x 3 + x, (iv) f(x) = x 2 + x 3, (iii) f(x) = x 3 + x +, (iv) f(x) = x 2 + (v) f(x) = x (vi) f(x) = x Esboce os gráfico de cada uma das funções dos ítens (i) e (vi); (vii) e (iii) e compare-os 20 Composição de Funções Definição 7 Dadas f : A B e g : C D duas funções Se Im(f) Dom(g) então podemos definir uma outra função h : A D tal que h(x) = g(f(x) A função h é denominada composição de g por f, Denotaremos esta composição por g f Note que se h(x) = 3 x 2 4x + 7, podemos dizer que h é uma composição de funções As funções envolvidas são g(x) = 3 x e f(x) = x 2 4x + 7

30 28 CHAPTER FUNÇÕES (i) Determinar o domínio das seguintes funções e escreva a função h como composição de duas outras funções: h(x) = x 4, h(x) = x 2 + 2x 3, x h(x) = x 2 +, x h(x) = 3 x 2 +, x 2 3x + 5 h(x) = 4 x 4 (ii) Calcule, quando for possível, a composição de f por g e de g por f nos casos abaixo e dê o domínio de f, g, f g e g f f(s) = s 2 + 2s + e g(x) = 2x 2 5; f(s) = x e g(x) = x 2 +, f(s) = s e g(x) = x2 + x f(s) = sen (x 2 + ) e g(x) = 3 x (iii) Calcule f(g(x)), g(f(x)), h(f(g(x))), verifique que f g g f, dê o domínio de f, g e h, onde estas funções estão dadas abaixo e : f(x) = x2 + x, h(x) = x, g(x) = x 2 3x + 2g(x) = x 2, h(x) = x 2 + 6x 6 Exemplo 4 Tome A um conjunto qualquer e f : A A dada por f(x) = x Note que f(f(x)) = f(x) = x A inversa de f é ela mesma (uma função Nacisista) Esta é uma razão muito forte para que f seja nomeada FUNÇÃO IDENTIDADE Definição 8 Dadas f : A B e g : F G funções, Suponhamos que Im(f) Dm(g) e Im(g) Dm(f) Segue da Definição 7 que pode ser definidas as funções f g : F B e g f : A G dadas por g f(x) = g(f(x)) para todo x A e f g(y) = f(g(y)) para todo y F

31 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 29 Se g f(x) = g(f(x)) = x para todo x A e f g(y) = f(g(y)) = y para todo y F, dizemos que g é a função inversa da função f No caso em que f : A B e satisfaz uma condição especial, isto é que exista uma função g : B A tal que f(g(y) = y e g(f(x) = x, dizemos que a funç ão g é a Função Inversa da função f Denotamos g por f O exemplo mais simples que ilustra tal situação é o seguinte: Exemplo 5 Tome R o conjunto dos números reais e f : R R dada por f(x) = ax + b, com a 0 Note que g : R R dada por g(y) = a (y b) satisfaz f(g(y)) = a ( a (y b) ) + b = [y b] + b = y e g(f(x) = [(ax + b) b] = x a 2 Exercício Em cada um dos ítens abaixo determine a função f inversa Faça os gráficos da função e de sua inversa, primeiro no m,esmo plano e depois em planos separados (i) f(x) = 3x + 4, (ii) f(x) = x + a, a R (iii) f(x) = x a x a, a R Função Injetora Uma função f : A B é injetora se para todo x, y A tal que f(x) = f(y), implicar que x = y Como exemplo tome f : R R dada por f(x) = ax + b, com a e b números reais, sendo a 0Vamos mostrar que f é injetora Se x, y R são tais que f(x) = f(y), então ax + b = ay + b Ou seja, ax = ay Como a 0, temos que x = y Portanto, f é injetora Função Sobrejetora Uma função f : A B é sobrejetora se Im(f) = B Função Bijetora Uma função f : A B é Bijetora se ela for injetora e sobrejetora Teorema Uma função f : A B é Invertível se e somente se ela for bijetora Exemplo 6 Seja f : Z N dada por n, se n for par, f(n) = 2 n, se n for ímpar 2

32 30 CHAPTER FUNÇÕES É fácil ver que f é uma bijeção A quantidade demandada por um produto no mercado onde p é o nível de preço deste produto, é uma função do preço, isto é, D : [0, ) [0, ) é dada por D(p) A quantidade ofertada ao mercado de produto com preço p é uma função do preço, isto é, S : [0, ) [0, ) é dada por S(p) 22 Exercícios (i) Uma lata fechada de estanho, de volume fixado V, deve ter a forma de um clindro reto, encontre o volume e a área deste cilindro como função apenas de r e depois apenas de h respectivamente (ii) Como sabemos o volume e a área de qualquer cone reto são funções do seu raio r e da sua altura h Um cone reto deve ser inscrito em uma esfera de raio conhecido a 0 Enconter a área e o volume deste cone como função apenas de r e depois de h (iii) Como sabemos a área de um retângulo é uma função de seus lados, digamos x e y Considere apenas os retângulos que têm mesmo perímetro p 0, e obtenha a área destes retângulos como função de apenas um de seus lados (iv) Como sabemos o volume e a área de qualquer cilindro reto são funções do seu raio r e da sua altura h Dê a expressão de cada uma destas funções Considere um cilindro reto de raio r e altura h inscrito em uma esfera de raio fixo a Dê o volume e a área da deste cilindro em função apenas de h e a, e depois em função de r e a 23 Oferta e Demanda Em um mercadode bens, tem-se quantidade ofertada de bens e a quantidade demandada de bens ao nível de preço p Então tem-se D, S : [0, ) [0, ) forem a função demanda (D) ao preço p e a função oferta ao preço p, estas funções serão lineares se existirem números reais α 0, α, β 0, β tais que (a) D(p) = α 0 + α p 0 (b) S(p) = β 0 + β p 0 (29) Veja que não há oferta nem demanda negativa Diz-se que um mercado atua em O EQUILÍBRIO ECONÔMICO se existir um nível de preço p 0 que faz a função a oferta calculada em p 0 assumir o mesmo valor que a função demanda neste ponto, isto é D(p 0 ) = S(p 0 ) Neste caso diz-se que p 0 é nível de preço de equilíbrio para este mercado

33 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 3 Em linguagem costumeiramente usada em economia, para (29a), p é denominada Variável Exógena e D Variável Endógena Analogamente, para (29b), p é denominada Variável Exógena e S Variável Endógena Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer: A quantidade de produto demandada diminui se o preço deste aumentar α > 0 em (29a) A quantidade de produto ofertada aumenta se o preço deste aumentar, β > 0 em (29b) Veja em 29 as curvas de demanda e oferta são retas Não podemos esperar que as curvas de demanda e ofertas sejam retas Nos gráfico abaixo que as curvas O e D são curvas de Oferta e Demanda, respectivamente, não são retas Veja a interpretação Econômica da regiões deitadas pelas duas curva, uma que contém o segmento ab e a outra contém o segmento cd (ver [, ]) Na Figura abaixo podemos observar interpretação das regiões hachuradas veja as justificativas em [, ] Para qualquer função de demanda dada por y = f(x) onde y é o preço e x, o custo

34 32 CHAPTER FUNÇÕES de produção é uma função C : [0, ) R, é o Custo Médio é dada por C(x) = y x = f(x) x, a Receita Total R : [0, ) R é dada por R(x) = xy = xf(x) e o Lucro é a função L : [0, ) R a Receita Total menos o Custo 24 Exercícios (i) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nível de preço p Com este nível de preço a oferta é dada por S(p) = ap + 3 e a demanda é D(p) = bp + 7,onde a e b são constantes positivas Encontre nível de preçop 0 para que o mercado atue em equilíbrio Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda Calcule D(p 0 + 3) D(p 0 ) 3 que voce calculou Calcule D(p 0 + q) D(p 0 ) q que voce calculou e e S(p 0 + 3) S(p 0 ) Interprete os números 3 S(p 0 + q) S(p 0 ) Interprete os números q Defina a função E : [0, ) R dada por E(p) = D(p) S(p) Qual o nome que voce dariapara esta função? Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a função E é positiva Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a função E é negativa Calcule E(p 0 + 3) E(p 0 ) 3 (ii) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nível de preço p Com este nível de preço a oferta é dada por S(p) = ap e a demanda é D(p) = bp 2 + 7,onde a e b são constantes positivas Encontre o intervalo de definição para D e S para que estas funções representem a Demanda e Oferta de um produto em algum mercado Encontre nível de preço p 0 para que o mercado atue em equilíbrio Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda

35 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO 33 Calcule D(p 0 + 3) D(p 0 ) 3 que voce calculou Calcule D(p 0 + q) D(p 0 ) q que voce calculou e e S(p 0 + 3) S(p 0 ) Interprete os números 3 S(p 0 + q) S(p 0 ) Interprete os números q Defina a função E : [0, ) R dada por E(p) = D(p) S(p) Qual o nome que voce dariapara esta função? Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a função E é positiva Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a função E é negativa Calcule E(p 0 + 3) E(p 0 ) 3 (iii) Se x é a quatidade demandada e y é o preço e 3x + y = 0, faça o gráfico da função receita (iv) Se x é a quatidade demandada e y é o preço e 5x + 7y = 3, faça o gráfico da função receita 25 Função exponencial e função logarítmica Dados um número real a positivo, chama-se função exponencial de a a relação f : R R dada por f(x) = a x Note que f toma qualquer número real mas produz apenas números reais positivos Note que f(x + y) = f(x)f(y) para todo x R Note que f(x y) = f(x) para todo x R f(y) Ainda, f(0) = f( + ( )) = f()f( ) = a a = a a = Função Logarítmica Definição 9 Dados a, b R positivos Se a, chama-se logarítmo de b na base a um número real y tal que a y = b Se g : (0, ) R for uma função dada g(x) = log a x, diremos que g é a Função Logarítmica Ainda Como já vimos, se f : R (0, ), for dada por f(x) = a x, teremos (i) f(g(y) = a log a y = y

36 34 CHAPTER FUNÇÕES (ii) g(f(x)) = log a a x = x Pela Definição 8, vemos que a função exponencial é a inversa da função logarítmica Propriedades : log a (xy) = log a x + log a y 2 : log a a = e log a = 0 3: log a (x ) = log a x 4 : log a (x y ) = y log a x NOTAÇÃO : log a b = y a y = b A figura abaixo mostra o gráfico da função esponencial f a função logarítimica g (uma inversa da outra) para o caso onde a > Exemplo 7 Suponha que uma certa quantidade de Moeda, digamos P 0, é investida em uma carteira de poupança à uma taxa de r juros que compõe o capital inicial ao fim de um determinado período fixo de tempo, digamos trinta dias Se não houver retiradas, Qual quantidade de capital presente após n > períodos? Resolução Note que ao fim do primeiro período o capital P é P 0 composto com a parcela de juros rp 0,o que nos dá P = P 0 + rp 0 = P 0 ( + r) Como não há retiradas, ao fim do segundo período o capital P 2 é composto da seguinte forma P 2 = P 2 + rp 2 = P 0 ( + r) + rp 0 ( + r) = P 0 [ + 2r + r 2 ] = P 0 ( + r) 2 Analogamente, P 3 = P 2 + rp 2 = P 0 ( + r) 2 + rp 0 ( + r) 2 = P 0 ( + r) 3 Portanto, P n = P 0 ( + r) n Veja que temos a seguinte função exponencial: f : N N tal que f(n) = P 0 (+r) n Se tomarmos a = + r, teremos f(n) = P 0 a n que é a quantidade de capital presente após n períodos

37 2 GRÁFICO DE FUNÇÃO Funções Trigonométricas 2 y α sin α tan α = sin α cos α x cos α No exemplo o ângulo α é 30 (π/6 em radianos) O seno de α, que é o comprimento do segmento vermelho, é sin α = /2 Segue do Teorema de Pitagoras que cos 2 α + sin 2 α = Enão o comprimento do segmento azul que é cosseno de α, deve ser dado por cos α = /4 = 2 3 Então tan α, que é o comprimento do segmento marrom é dadao por tan α = sin α cos α = / 3 Lembrete sen (u+v) = sen u cos v+sen u cos v e cos(u+v) = cos u cos v sen usen v A X O G B Lembrete Se, na circunferência trigonométrica abaixo, x R for a medida do arco BX, teremos as coordenadas retangulares do ponto X dadas por (cos(x), sen (x)) Veja que o comprimento do segmento GX é o cos x e o comprimento do segmento AX é o sen x Então, como o triângulo OGX é um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento um, segue do Teorema de Pitágoras que cos 2 x + sen 2 x =

38 36 CHAPTER FUNÇÕES Se permitirmos que x percorra o conjunto dos números reais, teremos as funções sen, cos : R [ ; ] cujos gráficos são apresentados abaixo: Como se sabe f(x) = cos x f(x) = sin x (i) sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, e (ii) cos(a + b) = cos a cos b sen asen b (20) Se a = b, segue de (20i) que e de (20ii) segue que sen 2a = 2sen a cos b, (2) cos 2a = cos 2 a sen 2 a (22) Substituindo sen 2 a = cos 2 a em (22), teremos cos 2 a = Substituindo cos 2 a = sen 2 a em (22), teremos sen 2 a = cos 2a + (23) 2 cos 2a (24) 2 Como cos x é uma função par, cos x = cos( x) e sen x é uma função ímpar, sen x = sen ( x) Então e (i) sen (a b) = sen a cos( b) + sen ( b) cos a, sen (a b) = sen a cos b sen b cos a, (ii) cos(a b) = cos a cos( b) sen a sen ( b), cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b (25) 3 Funções Limitadas Definição 0 Dada f : A R B R, dizemos que f é itada em A se existirem M e N números reais tais que M f(x) N para todo x A Observação 3 Se f : A R B R for tal que M < f(x) < N, então f(x) max{ M, N } Neste caso M é um itante inferior para f(x) e N á um itante superior para f(x)

39 3 FUNÇÕES LIMITADAS 37 ( Observação 4 Sejam f, h, g : R R forem dadas por f(x) =, h(x) = cos x) e g(x) =, teremos f(x) h(x) g(x) para todo x R Veja na Figura a seguir o gráfico da função h Como vemos a informação de itação da função h não nos assegura um comportamento sem oscilações para o conjunto Imagem da função h x Exemplo 8 Seja f : R R dada por f(x) = x + Mostre que M = é itante inferior de f e N = é itante superior de f x Resolução Veja que = x + x + x, por que na fração x + x, o numerador é menor que o denominador para todo x R Por definição de módulo x + x Portanto, M = é itante inferior de f e N = é itante superior de f Veja ainda que x se x 0, x + f(x) = x se x < 0 x + Exemplo 9 Seja f : R S n R, onde S n = { π + nπ, com n Z} dada por 2 f(x) = sen x Vemos facilmente que f não é itada Veja figura abaixo cos x 3 DISTÂNCIAS Se f : A R B R é uma função, então tem-se x A e y = f(x) B Se x 0 A é fixado, então f(x 0 ) B e podemos perguntar Se Dist(x, x 0 ) < 2, então podemos afirmar que Dis(f(x), f(x 0 ) é menor que 3?

40 38 CHAPTER FUNÇÕES Há alguma relação entre Dist(x, x 0 ) e Dis(f(x), f(x 0 ))? Veja que na figura α (abaixo) se tomarmos f(x) = x 2 para 2 x 2, teremos que Dist(x, 0) < 2 e Dist(f(x), 0) < 4 Mas e a relação entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))? Note que Dis(f(x), f(0)) = f(x) f(0) = x 2 = (x 0)(x 0) = (x 0) (x 0) = Dist(x, 0) Dist(x, 0) < 2 2 = 4 4 oy (x, f(x)) 2 O 2 F igura α ox Veja que na figura α se tomarmos f(x) = x 2 para 2 x 2, teremos que Dist(x, 0) < e Dist(f(x), 0) < 4 Mas e a relação entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))? Note que Dis(f(x), f(0)) = f(x) f(0) = x 2 = (x 0)(x 0) = (x 0) (x 0) = Dist(x, 0) Dist(x, 0) < 2 =

41 3 FUNÇÕES LIMITADAS 39 a) Suponha que f : R R, dada por f(x) = 3x 4 Seja x R, tal que Dist(x, ) < 2 Vamos encontrar ites superior e inferior para Dist(f(x), 7) Resolução Veja que Dist(f(x), 7) = f(x) ( 7) = 3x = 3x + 3 = 3(x + ) = 3Dist(x, ) < 6 Portanto, um itante inferior para Dist(f(x), 7) é M = 6 e um itante superior para Dist(f(x), 7) é N = 6 Veja que há relação entre Dist(x, x 0 ) e Dis(f(x), f(x 0 )) b) Suponha que f : R R, dada por f(x) = 3x Seja x R, tal que Dist(x, ) < 4 Vamos encontrar ites superior e inferior para Dist(f(x), 4) Resolução Veja que Dist(f(x), 4) = f(x) ( 4) = 3x ( 4) = 3x+3 = 3(x+) = 3Dist(x, ) Assim, Dist(f(x), ) = 3Dist(x, ) < 2 Portanto, um itante inferior para Dist(f(x), 7) é M = 2 e um itante superior para Dist(f(x), 7) é N = 2 Exemplo 20 Suponha que f : R R é dada por f(x) = (x + 2)(x ) Seja x R, tal que Dist(x, ) < 2 Então como f(x) = (x + 2)(x ) e se Dist(x, ) < 2, então x + < 2 e assim, 2 < x + < 2 Vemos que se somamos um em ambos os membros teremos < x + 2 < 3 e x + 2 max{2, } = 2 (veja Obeservação 3) Em seguida se subtrairmos dois, teremos 3 < x < 0, o que nos dá x < max{ 3, 0} = 3 (veja Obeservação 3) Portanto, Dist(f(x), 0) = Dist((x+2)(x ), 0) = (x+2)(x ) = (x+2) (x ) < 3 2 = 6 Assim, está definido um itante inferior e superior para Dist(f(x), 0) oy 4 (x, f(x)) 5 2 O 2 2 ox

42 40 CHAPTER FUNÇÕES O gráfico de f(x) = (x + 2)(x ) está na Figura 2 acima Localize o ponto x 0 = e o conjunto dos pontos no eixo ox tal que Dist(x, ) < 2 em seguida localize o conjunto dos pontos no eixo oy tal que Dist(f(x), 0) < 6 Exemplo 2 Suponha que x R é tal que Dist(x, 2) < e f(x) = x 2 5x + 6 Vamos encontrar ites superior e inferior para Dist(f(x), 0) Resolução Como, Dist(x, 2) = x 2 < usando a definição de módulo temos < x 2 <, somando 5 nos três membros da desigualdade teremos, 4 < x + 3 < 6 Da Observação 3 segue que se Dist(x, 2) <, então x+3 6 Agora veja que f(x) = (x 2)(x+3), então Dist(f(x), 0) = x+3 x 2 < x+3 x 2 6Dist(x, 2) Assim, Dist(f(x), 0) 6Dist(x, 2) < 6 Portanto, um itante inferior para Dist(f(x), 0) é M = 6 e um itante superior para Dist(f(x), 0) é N = 6 Exemplo 22 Suponha que x R é tal que Dist(x, 2) < e f(x) = x 2 + 4x 2, encontre itantes inferior e superior para Dist(f(x), 0) Resolução Vemos que f(x) = (x 3)(x + 7) Mas Dist(x, 2) < nos faz ver que x 2 Assim, 8 x Segue que x + 7 max{ 9 ; 0 } = 0 Então x Ainda, Dist(f(x), 0) < x + 7 x 3 0Dist(x, 2) Portanto, Dist(f(x), 0) 0Dist(x, 2) < 0 e está definido um itante inferior e superior para Dist(f(x), 0) 0 32 Exercícios (i) Seja g : R R dada por g(x) = 5x 2 Se Dist(x, 4 ) <, encontre um ite 5 inferior e um ite superior para Dist(g(x), 2) (Use a Obeservação 3) (ii) Seja g : R R dada por g(x) = 5x 2 2x 2 Se Dist(x, 2 ) <, mostre que 5 Dist(g(x), 6) βdist(x, 2 27 ) Resp β = (Use a Obeservação 3) 5 5 (iii) Seja h : R R dada por h(x) = 5x 2 2x 2 Se Dist(x, 6) < Encontre α > 0 tal que Dist(f(x), 6) αdist(x, 4) (iv) Seja x R encontre itantes inferior e superior para H(x) = x + x 2 (v) Seja x [ 7, 9] encontre itantes inferior e superior para H(x) = xsen (x)

43 3 FUNÇÕES LIMITADAS 4 (vi) Encontre itantes inferior e superior para α(x) = x 2 x 2 se α : [ 4, 0] R (siga os passos do Exemplo 20) (vii) Encontre itantes inferior e superior para α(x) = x 2 x 2 se α : [ 4, 5] R (siga os passos do Exemplo 20) (viii) Uma companhia de televisão a cabo estima que com x milhares de assinantes, R o faturamento e C os custos mensais (em milhares de unidades de moeda) são dados por (a) R(x) = 32x 2 0 x2, C(x) = x (b) R(x) = 32x 2 0 x2, C(x) = x Encontre os valores de x (números de assinantes) para os quais o faturamento é igual ao custo Resp (a) ; 20 2 Resp (b) ; Veja que faturamento e custo são funções R, C : [0, 00 ] R Esboce o gráfio 7 da função lucro Determine a função lucro Faça o gráfico das funções faturamento e custo no mesmo plano cartesiano e determine a região de lucro e região de perdas Encontre itantes inferior e superior para as funções, faturamento, custo e lucro

44 42 CHAPTER FUNC O ES

45 Chapter 2 Limite Considere a função f(x) = 3x 5 para x R Seja x 0 = 2 e L = Pergunta Quão próximo de x 0 = 2 devemos tomar valores x para que a imagem cada um destes valores x pela função f que é f(x), esteja a uma distância menor que um de L =? Organizaremos nossa busca em duas etapas Primeiro Observemos a segunda parte da pergunta (a imagem de x pela função f dada por f(x) deve ficar a uma distância menor que um de L = ) Em linguagem MATEMÁTICA, o que queremos é resolver, para x x 0, a inequação Dist(f(x), 2) = 3x 5 < = 3(x 2) <, ou seja, Dist(f(x), 2) = 3Dist(x, 2) para todo x R, e assim, 3 < x 2 < 3 Então 5 6 < x < 7 6 Encontramos o conjunto solução que procurávamos que, é o intervalo I = {x R, 5 6 < x < 7 6 } Note que I contém x 0 = 2, mas x 0 = 2 não é exatamente ponto médio de I (centro de I) Ainda, veja que não exigimos que os valores de x I, para os quais calculamos o valor f(x), assuma o valor x 0 Segundo Dado ɛ = (epsilon igual a um), estaremos satisfeitos se determinarmos um número real δ > 0 (δ = min{ 5 6, 7 } ver Observação 3), tal que (2 δ, 2 + δ) I, e se x 6 (2 δ, 2 + δ) os cálculos feitos acima nos mostram que a imagem deste x pela função f, que é f(x), estará a uma distância menor que um (ɛ = ) de L = 2 (Dist(f(x), ) < )) Portanto, f(x) ( ɛ, + ɛ) = (0, 2) 20 Exercícios (i) Considere a função f(x) = 4x 2 para x R Seja x 0 = 2 e L = 6 43

46 44 CHAPTER 2 LIMITE Pergunta Quão próximo de x 0 = 2, devemos tomar x para que a imagem deste x pela função f, que é dada por f(x), esteja a uma distância menor que de 2 L = 6? Sugestão : siga os passos do exemplo anterior (ii) Considere a função f(x) = 3x 2 para x R Seja x 0 = 2 e L = 4 siga os passos do exemplo anterior e resolva o problema a segiur Pergunta Quão próximo de x 0 = 2, devemos tomar x para que a imagem deste x pela função f dada por f(x) = 3x 2 fique a uma distância menor que 2 de L = 4? Pergunta Quão próximo de x 0 = 5, devemos tomar x para que a imagem deste x pela função f dada por f(x) = 3x + fique a uma distância menor que de 3 L = 6? (iii) Considere a função f(x) = 2x 2 3 para x R Seja x 0 = e L = siga os passos do exemplo anterior e responda a seguinte pergunta (siga os passos do Exemplo 20) Pergunta Quão próximo de x 0 =, devemos tomar x para que a imagem deste x pela função f, f(x) fique a uma distância menor que de L = (siga 2 os passos do Exemplo 20) Pergunta Dado ɛ > 0, quão próximo de x 0 = 5, devemos tomar x para que a imagem deste x pela função f, f(x) fique a uma distância menor que ɛ > 0 de L = (siga os passos do Exemplo 20)? (iv) Considere a função f(x) = 2x 2 + x 3 para x R Seja x 0 = e L = 0 siga os passos do exemplo anterior e responda a seguinte pergunta (siga os passos do Exemplo 20) 202 Ponto de Acumulação e Definição de Limite Dado um subconjunto de números reais A (A R), um número real x 0 é ponto de acumulação de A se qualquer intervalo aberto J contendo x 0, também contém infinitos pontos de A Exemplo 23 Seja A = { x n R tal que x n = n } e x 0 = 0 Note que, x 0 = 0 é ponto de acumulação de A e x 0 não é elemento de A Exemplo 24 Seja A = { x R tal que x 2 } Note que, qualquer ponto de A é ponto de acumulação de A Exemplo 25 Seja A = { x R tal que < x 2 }

47 Note que, qualquer ponto de A é ponto de acumulação de A Ainda, x 0 = não é elemento de A, mas também é ponto de acumulação de A 45 Definição Dada f : A R R e x 0 um ponto de acumulação de A, dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 é um número real L, se dado ɛ (epsilon) número real positivo ( ɛ > 0), existir δ R positivo (δ > 0) tal que se x estiver a uma distância de x 0 menor que δ, a imagem deste x por f que é f(x), estará a uma distância de menor que ɛ de L Em linguagem Matemática, escervemos x x0 f(x) = L Exemplo 26 Considere f : R R, dada por a função f(x) = 3x 2, para x R Mostre que x 2 3x 2 = 4 Resolução Vamos seguir os passos dos ítnes (a) e (b), anterior ao Exemplo 20 e posteriormente a Definição Observe que x 0 = 2 e L = 4 Dado ɛ > 0, vamos calcular a distância de f(x) até 4 Isto é, Dist(f(x), 4) = f(x) 4 = 3x 2 4 = 3x 6 = 3(x 2) = 3 x 2 (20) Veja que Dist(f(x), 4) = 3Dist(x, 2) para todo x R Ainda, note que, se a distância de x à 2 for menor que δ = ɛ 3, teremos Dist(x, 2) = x 2 < ɛ 3 e a imagem deste x pela função f, que é dada por f(x) estará a uma distância menor que ɛ de L = 4 Veja as contas abaixo: ( ɛ Dist(f(x), 4) = f(x) 4 = 3 x 2 = 3Dist(x, 2) < 3 = ɛ 3) Portanto, x 2 3x 2 = 4 Teorema 2 Dadas f, g : A R R duas funções e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que (i) f(x) = g(x) para todo x em A, que seja diferente de x 0 (ii) x x0 g(x) = g(x 0 ) Então o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 também é L Isto é, x x0 f(x) = g(x 0 ) Exemplo 27 Tomemos f : R R dada por f(x) = x2 4 x 2 x 2 4 x 2 x 2 Vamos calcular

48 46 CHAPTER 2 LIMITE Resolução Note que, o numerador e o denominador da fração envolvida na expresão de f(x) são polinômios de graus diferentes Então há a possibilidade de realizarmos a divisão de um polinômio pelo outro Neste caso teremos f(x) = (x 2)(x + 2) x 2 x 2 = x + 2 Tome g : R R, dada por g(x) = x + 2 Note que, g e f satisfazem a hipótese (i) do Teorema 2, ou seja f(x) = g(x) para x 2 Veja que não podemos calcular f(2) O ite de g(x) quando x se aproxima de x 0 = 2 é 4 Em linguagem Matemática x 2 x + 2 = 4 A seguir usaremos a Definição e provaremos esta última afirmação Dado ɛ > 0, tome δ = ɛ Como em (20) vamos calcular a distância de g(x) até L = 4 g(x) 4 = x = x 2 Veja que, se x estiver à uma distância menor que δ de 2 ( x 2 < δ ), a imagem deste x pela função g que é dada por g(x), estará a uma distância menor que ɛ de 4 ( g(x) 4 < ɛ) Então, a Definição nos garante que g(x) = x + 2 = 4 x 2 x 2 Agora a segunda hipótese do Teorema 2 está satisfeita Portanto, o Teorema 2 nos x 2 4 asegura que x x 2 = 4 = g(2) Observação 5 Dizemos que o ite x x0 f(x) existe se ele for um número real Exemplo 28 Seja a função for dada por Mostre que x 2 f(x) = 4 Resolução f(x) = { x 2 se x 2, 0 se x = 2 Seja ɛ > 0 Devemos encontrar δ > 0 tal que se (202) Dist(x, 2) < δ, então Dist(f(x), 4) < ɛ Vamos calcular a distância de f(x) à 4 Dist(f(x), 4) = f(x) 4 = x 2 4 = (x + 2)(x 2) = x + 2 x 2 = x + 2 Dist(x, 2) (203) Vemos que em (203) Dist(f(x), 4) é o produto do fator x + 2 pela Dist(x, 2), o que faz entender que o fator x + 2 deve ser estudado com detalhes Queremos saber qual é o tamanho do fator x + 2 quando x estiver perto de 2 Vamos supor que x não se afasta de 2 mais que uma unidade, isto é Dist(x, 2) < (a distância de x até 2 é menor que um)

49 47 Dist(x, 2) = x 2 < implica que < x 2 <, então < x < 3, Somando 2 em ambos os membros da última desigualdade teremos 3 < x + 2 < 5 Veja que conseguimos uma itação para o fator x + 2 se tomarmos valores x que não se afastam de 2 mais que uma unidade Neste caso, se voltarmos em (203) e veremos que Dist(f(x), 4) < 5Dist(x, 2), sempre que x for escohido tal que Dist(x, 2) < (204) Agora, dado ɛ > 0 tomemos δ = min{, ɛ } Observe que se Dist(x, 2) < δ, então 5 Dist(x, 2) < e assim, ao tomarmos valores x que não se afastam de 2 mais que uma unidade, (204) será verdadeiro Mas, Dist(x, 2) < δ também nos faz ver que Dist(x, 2) < ɛ, ou seja, estamos tomando valores x que não se afastam de 2 mais que 5 ɛ unidades Assim, também segue de (204) que 5 Dist(f(x), 4) < 5 ɛ 5 = ɛ Portanto, se for dado ɛ > 0, tomamos δ = min{, ɛ 5 } e se Dist(x, 2) < δ, então Dist(f(x), 4) < ɛ, ou seja x 2 x 2 = 4 Observação 6 Note que no exemplo 28, x 2 x 2 = 4, mas a imagem de x 0 = 2 pela função f é zero (f(2) = 0) Ainda, na figura abaixo vemos o gráfico de duas funções delas, hm : R R dadas por h(x) = { x 2 6x + 0, se x 3 0 se x = 3 e m(x) = { x 2 4x +, se x < 3, x 2 4x + 3 se x Propriedades de Limite Teorema 3 Seja f : A R R função e x 0 ponto de acumulação de A Se existir o ite x x0 f(x) ele é único Prova Como por hipótese o ite f(x) existe, então existe um número real L x x0 tal que f(x) = L Suponha (por absurdo) que existe M R tal que f(x) = x x0 x x0

50 48 CHAPTER 2 LIMITE M Vamos mostrar que M e igual a L Ou seja que a diferença L M é zero Da Definição, segue que dado ɛ > 0, existem δ > 0 e δ 2 > 0 tal que f(x) L < ɛ 2, se x x 0 < δ e f(x) M < ɛ 2, se x x 0 < δ 2 Agora tome δ = min{δ, δ 2 } Veja que, se x x 0 < δ, então x x 0 < δ e x x 0 < δ 2 Portanto, L M = L + [f(x) f(x)] M f(x) L + f(x) M < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ Note que, a diferença L M não negativa é menor que qualquer número real positivo Isto significa que ela tem que ser zero, então M = L Exemplo 29 Seja f : [ 6, 8] { 4} R, cujo gráfico está esboçado na Figura a seguir: Veja que há uma dificuldade para se obter f(x) Podemos ver que este ite x não poderf ser calculado porque a Definição não vale para este ite Por outro lado, vemos que existe x 4 ite f(x) = 2 e x 6 f(x) = 5 Note que 4 / D m(f), mas o f(x) pode ser calculado, e apesar de 6 D m(f) e o ite f(x) poder x 4 x 6 ser calculado, f(x) f(6) = 2 x 6

51 Teorema 4 Sejam m e n números reais Se f : R R for dada por f(x) = mx + n e x 0 estiver no domínio de f, então f(x) = f(x 0 ) = mx 0 + n x x 0 Prova : Suponhamos m 0 Dado ɛ > 0, seja δ = ɛ Como antes, vamos m calcular a distância de f(x) até o número real f(x 0 ) = mx 0 + n, 49 f(x) f(x 0 ) = mx + n (mx 0 + n) = m(x x 0 ) = m x x 0 ɛ Veja que, se x estiver a uma distância menor que m de x 0, isto é se x x 0 < ɛ m, então f(x) f(x ɛ 0) = m x x 0 < m m = ɛ Portanto, distância de f(x) até f(x 0 ) será menor que ɛ Segue da Definição que x x 0 f(x) = f(x 0 ) = mx 0 + n O caso m = 0 deve ser provado pelo leitor Teorema 5 Dadas f; g : A R R e x 0 ponto de acumulaça ao de A Suponhamos que Então, x x 0 f(x) = L R e x x 0 g(x) = M R (205) (A) x x 0 [f(x) + g(x)] = x x 0 f(x) + x x 0 g(x) = L + M (206) (B) x x 0 [f(x)g(x)] = x x 0 f(x) x x 0 g(x) = LM (207) f(x) (C) Se M 0, então x x 0 g(x) = x x 0 f(x) x x 0 g(x) = L M (208) (D) Se x 0, q xp = q (x 0 ) p = (x 0 ) p q, para todo p, q Z, q 0 (209) x x 0 (E) Se x < 0, q xp = q (x 0 ) p = (x 0 ) p q, para todo q ímpar e p Z (200) x x 0 A prova deste Teorema pode ser encontrada na literatura proposta na ementa desta disciplina e será omitida Exemplo 30 Encontre o x 3 x 2 x + 7

52 50 CHAPTER 2 LIMITE Resolução x 2 x + 7 ver(206) = x 2 x + 7 ver(209) = = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Exemplo 3 Encontre o x 3 x 3 27 x 3 Resolução Note que, x 0 = 3 e a função para a qual queremos calcular o ite é dada pela razão entre dois polinômios de graus diferentes Ainda, x 0 é raiz do numerador e do denominador da razão envolvida O que nos sugere a fatoração dos polinômios para einarmos aqueles fatores que sejam comuns f(x) = x3 27 x 3 = (x 3)[x2 + 3x + 9] x 3 = x 3 x 3 [x2 + 3x + 9] x 3 = [x 2 + 3x + 9] = g(x) Veja que, f e g satisfazem a primeira hipótese do Teorema 2 Ainda, pelo Teorema 5 temos x 2 + 3x + 9 = 27 Portanto, a segunda hipótese do Teorema 2 está satisfeita x 3 O que no faz concluir que x 3 x 3 27 x 3 = x 3 x2 + 3x + 9 = 27 Exemplo 32 Seja f : R R dada por x 3 27 ; se x 3; f(x) = x 3 9, se x = 3 x 3 27 Resolução Note que, pelo exemplo anterior x 3 x 3 = 27 Mas, veja que f(x 0) = 9 que é diferente do ite Teorema 6 Dada f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A, suponha que f(x) = L R Então para todo número inteiro positivo n tem-se x x0 [f(x)] n = L n x x 0 Veja que x 3 x 5 = Exercícios Considere os ites abaixo Retome as ideias acima e para cada um dos valores de ɛ; ɛ = ; ɛ = ; ɛ = encontre um δ > 0 que satisfaça a definição 2 3 (i) x 2 6x + 5 = 7 (ii) (ii) x 3 x 2 9 x + 3 x 2 x2 3x + 9 = 9 (iii) = 6 (ii) x 3 x 2 9 x 3 = 6 x 2 (x2 + 2x ) =

53 2 (Leithold vol I, Exc 25 p 73 / resp A 65) Encontre o valor do ite e conforme o caso indique os teoremas usados (i) x 2 (x 2 +2x ) 8r + (v) r r + 3 o numerador) (vi) x 2 5 (ii) x 2 2x y 2 9 2y 2 + 7y + 3 h + y 3 (viii) h 0 Respostas ( 7, 22, 2, 7, 3 2, 5 h 30, 4 y (iii) y 2 y + 2 (vi) x 3 5 x 2 + 5x + 6 x 2 x 2 x (vii) (Racionalize x 0 x (ix) x 3 2x 3 5x 2 2x 3 4x 3 3x 2 + 4x 3 2, 3, 7 ) 3 Suponha que f(x) =, g(x) = 5, h(x) = 5, p(x) = e x 0 x 0 x x r(x) = 2 Especifique as regras (Teoremas) que estão sendo utilizadas x para efetuar os cálculos do seguinte ites: 2f(x) g(x) (i) = 7 5h(x) (ii) x 0 [f(x) + 7] x p(x)[4 r(x)] = 5 6 f(x) 2f(x) g(x) (iv) (v) x (vi) x 0 [f(x) g(x)] 2 3 x 0 [f(x) + 7] 2 3 h t (vii) (viii) h 0 h t 0 t 4 Em cada item abaixo calcule x a (i) f(x) = 3 x, R (iii) f(x)g(x) = 5 x 0 5h(x) (x 2 ) x p(x)[4 r(x)] = 0 8t t 2 9 (ix) h 3 2 f(x) f(a) ; a R, a 0 x a 3 3 a 2 ; (ii) f(x) = 4 x, R 4 4 a 3 ; (iii) f(x) = 5 x, R 5 5 a 4 ; (iv) f(x) = x 2, R 2a 3 ; (v) f(x) = x 3, R 3a 4 ; 5 a Verifique que se f(x) = x 2 + 5x 3, então f(x) = f(2) x 2 b Verifique que se g(x) = x2 4, então g(x) = 4; mas que g(2) não está x 2 x 2 definida c Dada a função f, em cada um dos casos, verifique se x 3 f(x) = f(3) { x f(x) = 2 9, se x 3 4, x = 3 f(x) = { x 2 9 x+3, se x 3 4, x = 3

54 52 CHAPTER 2 LIMITE 205 Limites Laterais Definição 2 Dada f : A R R função e x 0 ponto de acumulação de A Suponha existe r > 0 tal que o intervalo aberto (x 0 r, x 0 ) é subconjunto de A Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 pela esquerda de x 0 é L, se dado ɛ > 0, existir δ > 0 tal que para todo x < x 0 e dist(x, x 0 ) < δ tivermos dist(f(x), L) < ɛ Notação f(x) = L x x 0 oy (x, f(x)) ɛ = δ ( x O + ɛ ox ɛ F igura Exemplo 33 Seja f(x) = {, se x > 0,, se x 0, Note que, x 0 = 0 e L =, então dado ɛ > 0, o intervalo (0 ɛ, 0) é subconjunto do domínio de f Note ainda que, se tomarmos δ = ɛ, veremos que, se x ( ɛ, 0) então dist(x, 0) < δ ou seja x < δ, e dist(f(x), 0) = + = 0 < x < ɛ Definição 3 Dada f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponha existe r > 0 tal que o intervalo aberto (x 0, x 0 +r) é subconjunto de A Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 pela direita de x 0 é L se dado ɛ > 0, existir δ > 0 tal que para todo x > x 0 e dist(x, x 0 ) < δ tivermos dist(f(x), L) < ɛ Notação f(x) = L x x + 0 Exemplo 34 Seja f(x) = {, se x > 0,, se x 0,

55 53 oy + ɛ f() = ɛ ) O x ɛ = δ (x, f(x)) ox F igura 2 Note que, x 0 = 0 e L = Dado ɛ > 0 que o intervalo (0, ɛ) é subconjunto do domínio de f Note ainda que, se tomarmos δ = ɛ, veremos que se x (0, ɛ) = (0, δ) então dist(x, 0) < δ, ou seja x < δ, e dis(f(x), 0) = = 0 < x = x < ɛ Teorema 7 Dada f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A O ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 existe se e somente se os ites laterais existirem e forem iguais; ou seja f(x) = L R se e somente se f(x) = L x x0 x x 0 R; f(x) = M R e L = M x x + 0 x 0 Segue do Teorema 7 nos diz que se f for a função dada no exemplo 34 então o f(x) não existe Exemplo 35 Seja f : [ 4; 6] R função cujo gráfico está dado abaixo: Veja que f(x) = 4 e f(x) = 2 Do Teorema 7 segue que f(x) não existe x x + x

56 54 CHAPTER 2 LIMITE 206 Exercícios (i) Calcule os ites: x 2 π 2 x 2 π 2 (i), Resp 0; (ii) x π + π x x π π x, Resp 0 x π (iii) x π + 2π 2x, Resp x π ; (iv) 2 x π 2π 2x, Resp 2 2 Calcule os ites: (i) z 3 z 3 z 2 4z + 3, Resp z 3 (ii) 2 z 3 + z 2 4z + 3, Resp 2 (iii) u 2 6u 7, Resp 8 (iv) u + u u 2 6u 7 u u 3 +, Resp 8 3 z 3 x 6 (v) z 2 2z 2 + z 0, Resp (vi) 9 u u 2 6u 7, Resp 8 u A equação ax 2 + 2x = 0, com a R uma constante, apresenta duas raízes se a >, uma positiva e a outra negativa r + (a) = + + a a e r (a) = + a a (a) O que acontece a função r + (a) quando a 0? Quando a +? (a) O que acontece a função r (a) quando a 0? Quando a +? Fundamente suas conclusões traçando os gráficos de r + (a) e r (a) em função de a Descreva o que voce observa x 2 a 2 3 x a, tome a = 5, a = 2 e a = 6, tome a = 5, a = 2 e x a x a x a a = 6 2 LIMITES INFINITO E NO INFINITO Definição 4 Dada f : (a, ) R uma função Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima do infinito é L se dado ɛ > 0, existir N R positivo tal que, para cada x > N tem-se dist(f(x), L) < ɛ

57 2 LIMITES INFINITO E NO INFINITO 55 oy ( bx 2 ) x, (x a) 2 y = b b + ɛ f(x) x = a b ɛ O F igura 3 N x ox Exemplo 36 Seja f : R {0} R dada por f(x) = x então temos f(x) = 0 x Observe que L = 0 Dado ɛ > 0, tome N 0 N (número natural) tal que N 0 < ɛ Note que se x > N 0 então 0 < x < < ɛ Mas N 0 x Portanto, pela definição 4, f(x) = 0 x = dist(f(x), 0) = dist(f(x), L) < ɛ Definição 5 Dada f : (, b) R uma função Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de menos infinito é L, se dado ɛ > 0, existir M R negativo tal que, para todo x < M tem-se dist(f(x), L) < ɛ

58 56 CHAPTER 2 LIMITE oy ( bx 2 ) x, (x a) 2 b + ɛ f(x) x = a y = b x M b ɛ O F igura 4 ox Exemplo 37 Seja f : R {0} R dada por f(x) = x então temos f(x) = 0 x Observe que L = 0 Dado ɛ > 0, tome M 0 Z ( inteiro negativo ) tal que M 0 < ɛ Note que se x < M 0 então 0 < x < < ɛ Mas = dist(f(x), 0) = M 0 x dist(f(x), L) < ɛ Portanto, pela definição 5, f(x) = 0 x Teorema 8 Sejam r for um número real positivo qualquer, α e β números reais quaisquer, então (i) x α = 0 e (ii) xr x β x r = 0 Demonstração : Vamos supor que α > 0 Dado ɛ > 0 tome M = α r > 0 Veja r que M r = α ɛ e que se x > M então xr > M r α e assim, x < α r M = α ɛ = ɛ Como r α f(x) =, temos que se x > M, f(x) < ɛ Portanto, segue da Definição 4 que xr

59 2 LIMITES INFINITO E NO INFINITO 57 x α x r = 0 As outras da prova partes deste Teorema será omitida O leitor pode encontrá-la em algum dos livros citados na bibliografia desta disciplina Exemplo 38 Seja f : (0, ) R função abaixo Podemos ver que f(x) = L x cujo gráfico aparece esboçado na fugura Veja que dad ɛ > 0 existe M > 0 tal que se x > M então f(x) (ɛ L; ɛ + L) Exemplo 39 Seja f : R {0} R dada por x f(x) = x 2 Veja que neste exemplo temos r = 2 e α = β = Então pelo Teorema 8, temos x = 0 e 2 x x = 0 2 Exemplo 40 Dada f(x) = 4x 3 Calcule 5x + 5 f(x) x Note que 4x 3 5x + 7 = 4 3 x para todo x R não nulo Ainda, pelo Teorema 8, x 3 7 = 0 Analogamente, = 0 Portanto, podemos nos valer do Teorema 5(C) x x x x para ver que ( ) ( 4x ) x 5x + 7 = x x ( ) = x ( x x ) = 4 5 x x

60 58 CHAPTER 2 LIMITE 2 Limites Infinitos Definição 6 Seja f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x 0 r, x 0 ) A Dizemos que o ite de f(x) quando x aproxima-se, pela esquerda, de x 0 é infinto se dado N 0 N existe δ > 0 tal que para cada x (x 0 δ, x 0 ) tivermos f(x) > N 0 Notação x x 0 f(x) = oy f(x) N 0 (x, f(x)) ( O x x 0 F igura 5 ox x 0 ɛ Definição 7 Seja f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x 0 r, x 0 ) A Dizemos que o ite de f(x) quando x aproxima-se, pela esquerda, de x 0 é menos infinto se dado N N, N < 0, existe δ > 0 tal que para cada x (x 0 δ, x 0 ) tivermos f(x) < N Notação f(x) = x x 0 Teorema 9 Sejam f, g : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponha que x x 0 g(x) = 0 e x x 0 f(x) = α R, com α > 0 (2) (i) (ii) Se existir δ > 0, tal que se x (x 0 δ, x 0 ), tem-se g(x) > 0, então Se existir ɛ > 0, tal se x (x 0 ɛ, x 0 ), tem-se g(x) < 0, então x x 0 x x 0 f(x) g(x) = f(x) g(x) =

61 2 LIMITES INFINITO E NO INFINITO 59 Definição 8 Seja f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x 0, x 0 + r) A Dizemos que o ite de f(x) quando x aproxima-se, pela direita, de x 0 é menos infinto se dado M Z, M < 0, existir δ > 0 tal que para cada x (x 0, x 0 + δ) tivermos f(x) < M Notação f(x) = x x + 0 Definição 9 Seja f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x 0, x 0 + r) A Dizemos que o ite de f(x) quando x aproxima-se, pela direita, de x 0 é infinto se dado M 0 N, existir δ > 0 tal que para cada x (x 0, x 0 + δ) tivermos f(x) > M 0 Notação f(x) = x x + 0 Teorema 0 Sejam f, g : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponha que (i) (ii) g(x) = 0 e x x + 0 f(x) = α R, com α > 0 (22) x x + 0 Se existir δ > 0, tal que se x (x 0, x 0 + δ), tem-se g(x) > 0, então x x + 0 Se existir ɛ > 0, tal que se x (x 0, x 0 + ɛ), tem-se g(x) < 0, então x x + 0 f(x) g(x) = f(x) g(x) = Exemplo 4 Seja h : ( 5; 5) R dada por h(x) = x2 + 2 x 2 4 Calcule x 2 x x 2 4 Resolução e x 2 + x x 2 4 Veja que o sinal de x 2 4 é dado por se x 2 e x O 2 ox (i) Defina f(x) = x e f(x) = x 2 4 Note que x 2 g(x) = 0 e f(x) = x 2 6 > 0 (ver (22)) Ainda, se 0 < δ < e x (2, 2 + δ), g(x) > 0, isto é, a imagem de cada um destes valores x pela função g, que é dado por g(x), é um número real positivo (ver figura acima)) Então, podemos nos valer do primeiro item do Teorema 0 para obtermos x 2 + x (x 2 4) =

62 60 CHAPTER 2 LIMITE (ii) Defina f(x) = x e g(x) = x 2 4 Note agora que x 2 + g(x) = 0 e + f(x) = 6 > 0 (ver (2)) Ainda, se 0 < ɛ < e x (2 ɛ, 2), g(x) < 0, x 2 isto é, a imagem de cada um destes valores x pela função g, que é dado por g(x), é um número real negativo (ver figura acima ) Então, podemos nos valer do primeiro item do Teorema 6 para obtermos x 2 x (x 2 4) = Teorema Sejam f; g : A R R funções e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que Então (i) (ii) (i) g(x) = L R e f(x) = x x + 0 x x + 0 g(x)f(x) = se L > 0 x x + 0 g(x)f(x) = se L < 0 x x + 0 Teorema 2 Sejam f; g : A R R função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que Então (i) (ii) (i) g(x) = L R e f(x) = x x 0 x x 0 g(x)f(x) = se L > 0 x x 0 g(x)f(x) = se L < 0 x x 0 Exemplo 42 Seja h : A R R dada por h(x) = h(x) x 4 x 2 + 3x + 4 3x 2 + 5x 2 Calcule Resolução Vamos denominar por g(x) = x 2 + 3x + 4 e f(x) = 3x 2 + 5x 2 Veja que x 0 = 4 é raiz de g(x) Então por divisão de polinômios obtemos g(x) = 3(x 3 )(x 4) e assim o sinal de g(x) é dado por O ox Também vemos que para calcular o h(x) teremos que calcular x 4 h(x) x 4 + h(x) e x 4

63 2 LIMITES INFINITO E NO INFINITO 6 Vamos calcular prmeiro h(x) Como f(x) = x 4 x 4 x 4 x2 + 3x + 4 = 32 > 0 e existe δ > 0 tal que se 4 δ < x < 4 tem-se f(x) > 0 (veja figura acima), segue do Teorema 6i que f(x) = x 4 Calcular agora h(x) Como x 4 + x 4 x 2 + 3x + 4 x 4 3x 2 + 5x 2 = f(x) = x 4 x2 + 3x + 4 = 32 > 0 e existe δ > 0 tal que se 4 < x < 4 + δ tem-se f(x) < 0 (veja figura acima), segue do Teorema 6ii que f(x) = = Podemos afirma que não existe x 4 + 3x 2 + 5x 2 nenhum dos ites f(x), f(x) e f(x) x 4 x 4 + x 4 x 4 + x 2 + 3x + 4 Exemplo 43 Calcule (a ) x 2 + x + 2 x 3 + x 2 2x 3 e ( b ) x 2 + x + 2 x 3 x 2 2x 3 Note que, g(x) = x 2 +x+2 = 4 = L > 0 e f(x) = x 2 2x 3 = 0 x 3 x 3 x 3 x 3 Ainda, f(x) = (x 3)(x + ) e o sinal de f(x) aparece na figura abaixo: ) 3 x 3 + δ (a) Veja na figura que, se δ > 0 e x (3 ; 3 + δ) a imagem de x por f que é dada por f(x), é positiva Como g(x) = x 2 + x + 2 = 4 = L > 0, Teorema 6(iii) nos x 3 x 3 faz concluir x 2 + x + 2 x 3 + x 2 2x 3 = (b) Veja também na figura que, se δ > 0 e x (3 δ ; 3) a imagem de x por f que é dada por f(x), é negativa Como g(x) = x 2 + x + 2 = 4 = L > 0, a parte x 3 x 3 Teorema 6(ii) nos faz concluir x 2 + x + 2 x 3 + x 2 2x 3 = 22 Exercícios Calcule os ites, x h + 2 (i) ; R ; (ii) ; R ; (iii) x 4 + x 4 h 2 + h 2 4 t + 2 ; R ; t 2 t x 2 x x (iv) R ; (v) ; R, (vi) x 0 x x 3 + x 3 2 ; R x 0 x

64 62 CHAPTER 2 LIMITE ; (vii) x 0 (x) x R y x 2 h 2 5x 2 + 8x 3 ; (viii) (ix) ; R 5 x h 3 9 h 2 x 3x x 2 + 8x 3 ; R 5 2x 2 3 (xi) ; R (xi) 3x x 7x + 4 x Encontre os ites a seguir (i) y3 + 4 ; (iv) y + 4 x (Resp 2 5, 0,, 2, ) (vi) x ± x 2 2x + 5 7x 3 + x + (vii) 2h 2 + h + 5h 2 2 4x 3 + 2x 2 6 ; (v) 8x 3 + x + 2 x + x x2 + 4 x + 4 (vii) Seja h : A R R dada por h(x) = h(x) e h(x) x x ; (ii) x + (viii) x x 3 6 ; x2 + x x ± 4x 3 + 7x 2x 2 3x 0 ; 3x 4 7x x 4 + (iii) x 2 + 3x + 4 Calcule 3x 3 + 5x 2 h(x), x 2 Investigue a continuidade das funções a seguir, e indique os pontos de descontinuidade em cada item: 2x +, < x ; (a) f(x) = x 2 3x 4, < x 2; x +, 2 < x < 5 x 2 +, < x < ; (b) g(x) = x 2 3x 4, x 2; x +, 2 < x < (c) f(x) = 2x +, < x 2; log 2 (x + ), 2 < x 2; x ; x > 2 (d) g(x) = 2 x+2, < x < 0; x 2 4x 5, x 2; 2x +, 2 < x < (e) f(x) = sen (x) x x x 0; 0, x = 0, x 2 6 (f) g(x) = x + 4, x 4; 8, x = 4 Obs : Note que a composição de funções contínuas é uma função contínua (a) Calcule (b) Calcule x 3 x 2 3 x 3 (x 2 3) 2 (c) (e) Calcule x 3 5x (d) Calcule x 2 3 x 3 x (x 2 3) 2 x 3 8 x Calcule (f) Calcule x 2 x 2 4 x 2x 2 4

65 2 LIMITES INFINITO E NO INFINITO 63 4 Investige a continuidade das funções f(x) e g(x) nos pontos x 0, x e x 2 indicados, quando x 0 = 2, x =, x 2 = 0 para f(x) e x 0 =, x = 2, x 2 = 0 para g(x) e f(x) = x 3 8, se x 2; x 2 4 3, se x = 2 x 2 +, se < x < ; g(x) = x 2 3x 4, se x 2; x +, se 2 < x < 5 Calcule cada um dos ites laterais em cada uma das raízes do denominador de f, f(x) e f(x) quando : x x (a) f(x) = x + 5 x 3 (d) f(x) = x + 5 x (b) f(x) = (e) f(x) = 2 x6 + 5 x 3 x 2 + x + 3 x + x 2 + 3x + 2 (c) f(x) = x2 + 5 x 2 3 (f) f(x) = 4x3 + 2x 2 6 8x 3 + x + 2 sen 0x b - Calcule (i) x 0 sen 7x ; cos x sen (x + h) sen x (ii) ; (iii) ; x 0 x 2 h 0 h cos(x + h) cos x (iv) h 0 h 6 Determine valor de α para que a função f seja f(x) = f(x 0 ) x x0 x 3 8, se x 2; sen 0x, se x 0, f(x) = x 2 4 f(x) = sen 7x α, se x = 2 α, se x = 0 7 Em cada item abaixo calcule f (x) = x a f(x) f(a) ; a R, a 0 x a (i) f(x) = 3 x, R f (x) = 3 3 a 2 ; (ii) f(x) = 4 x, R f (x) = 4 4 a 3 ; (iii) f(x) = 5 x, R f (x) = 5 5 a 4 ; (iv) f(x) = x 2, R f (x) = 2a 3 ; (v) f(x) = x 3, R f (x) = 3a 4 ; (vi) f(x) = x 5, tome a = 5, a = 2 e a = 6 Em cada um dos ítens anteriores, encontre os valores a D m (f) tais que f (a) = 0, f (a) < 0, f (a) > 0 e que f (a) não exista 8 Resolva as questões abaixo verifique se a afirmação é falsa ou verdadeira 3sen (x 3 + π) (i) Verifique se = 3 x 0 2(x 2 ) 2, e x2 0x 39 x 3 x 2 + 2x 3 = 4, 4x2 0x 39 4x 2 00 (iii) Verifique se = 4, e = 40, x x 2 + 2x 3 x 5 x 5 x2 + 2x 5 (v) Verifique se x 3 x 2 + 4x + 3 =, e x 2 x 2 sin( 4 x ) = 2 2

66 64 CHAPTER 2 LIMITE 23 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais Teorema 3 Sejam f; g : A R R funções e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que Então, g(x)f(x) = 0 x x 0 (i) f(x) = 0 x x0 (ii) Existe M > 0 tal que g(x) < M Exemplo 44 Seja h : A R R dada por h(x) = x 7 sen ( ) Calcule h(x) x x 0 Resolução Nos podemos usar o Teorema 3 para calcular este ite Veja que h(x) = f(x)g(x) onde f(x) = x 7 e g(x) = sen ( ) Ainda f(x) = x = 0 e x x 0 x 0 g(x) = sen ( ) Pelo Teorema 3 h(x) = x x 0 x 0 x7 sen ( x ) = 0 Teorema 4 Dadas f, g, h : A R funções e x 0 ponto de acumulação de A (i) Suponha existe ɛ > 0 tal que para cada x (x 0 ɛ; x 0 + ɛ) tem-se f(x) h(x) g(x) (ii) Suponha que x x0 Então x x0 h(x) = L f(x) = L e x x0 g(x) = L, onde L é um número real Exemplo 45 Seja h : A R R função dada por h(x) = x sen ( x ), e x 0 = 0 Calcule x 0 h(x) Note que, x x sen ( ) x, entã tome f(x) = x e g(x) = x e teremos f(x) x h(x) g(x) para todo x R Como x 0 x = 0 = x 0 x, o Teorema 4 nos garante que x 0 sen ( x ) = 0

67 22 LIMITES FUNDAMENTAIS LIMITES FUNDAMENTAIS 22 Primeiro Limite Fundamental Provemos que sen x x 0 x = Consideremos o arco de circunferência de raio um AOC na Figura abaixo Considere também o setor circular AOC e os triângulos BOC e AOG cujas as áreas são representasdas por s, B e G respectivamente G C O B A É fácil ver que B s G Vamos denotar a medida do arco AC por x, e observar que a medida dos segmentos de reta OA, OB, BC, e AG são um, cos x, sen x e sen x cos x respectivamente Com estes valores em mentevemos que estas áreas satisfazem 2 (sen x cos x) x 2 2 Invertendo todas as frações teremos sen x cos x ou seja sen x cos x x sen x cos x sen x cos x x cos x sen x Multiplicando todos os membros das inequações acima por sen x (veja que sen x > 0) teremos cos x sen x x cos x

68 66 CHAPTER 2 LIMITE Agora estamos em condições de nos valer do Teorema 4 com as funções f(x) = cos x, g(x) = cos x e h(x) = sen x Como x 0 + cos x = e x 0 +g(x) = x 0 x x 0 +f(x) = cos x =, o Teorema 4 nos asegura que + sen x x 0 +h(x) = x 0 + x Note que todos os cálculos acima podem ser desenvolvidos para x próximo de zero, mas pela esquerda de zero, o que nos faz ver que sen x x 0 h(x) = x 0 x = = Como os ites pela esquerda e pela direita de zero existem e são iguais, teremos sen x x 0 x = Observação 7 Veja que a hipótese f(x) = g(x) do Teorema 4 não pode ser x a x a ( suprimida, porque se f, h, g : R R forem dadas por f(x) =, h(x) = cos e x) g(x) =, teremos a hipótese f(x) h(x) f(x) do Teorema 4 satisfeita Como f(x) =, g(x) = e f(x) g(x), a hipótese f(x) = g(x) do x a x a x a x a x a x a Teorema 4 não esta satisfeita Veja na Figura a seguir o gráfico da função h É fácil ver que a Definição não vale para o ite f(x) x 0 cos Exemplo 46 Vamos calcular x 0 x Veja que a fração dentro do ite pode ser escrita como cos x = cos x + cos x + cos x = cos2 x x[ + cos x] = sen x x sen x [ + cos x]