Propostas de resolução. Capítulo 4 Equações algébricas Avalia o que sabes = = = Resposta: (B) 2.1.

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1 Capítulo 4 Equações algébricas Avalia o que sabes Pág = 5 Resposta: (B) = = = = x 1 x x f + g x = f x + g x = x + = x = 1 6x x 1 x = = 7 x 1 3 Resposta: (D) x 1 x g f x = x = x 6x 1 x = Resposta: (A) = 5 x x 3.3. g ( x ) ( 3) = ( 3) = x Esta é uma função linear de coeficiente 1. Resposta (D) 1 f x = f x = x = 4x É uma função afim de coeficiente 4 e termo independente 1. Resposta: (D) f x = x + x + + = x 6 6 = x Resposta: (B) 4. Ora, 1 f 3 = = = Resposta: (B) Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 1

2 50+50 Avalia o que sabes Pág Representa o custo, em euros, dos três bolos e dos três copos de sumo que o Paulo comprou ( 0,75 + 0,65) = 3 1,40 = 4,0 ou ( 0,75 + 0,65) = 3 0, ,65 =,5 + 1,95 = 4,0. A expressão toma o valor 4, g x = x = x = x = x a) f = 1 = 1 = = b) g ( 0) = 0 = = = + = + = = = = c) g f ( 0) f g x = f x g x = x x = x + x a) 3x 1 11 x 3 x 19 = + x + = + = f + g x = f x + g x = x + x = x x x = x = x = x b) 7.1. Por cada mesa quadrada que se acrescente, o número de estudantes que se pode sentar aumenta duas unidades relativamente à configuração anterior. Assim, como com quatro mesas se podem sentar 9 estudantes, então em cinco mesas podem sentar-se 11 estudantes. 7.. O primeiro termo da sequência é 3. Cada termo seguinte é obtido adicionando ao termo anterior. Logo, o termo geral pode ser dado pela expressão n Não, pois o número de alunos que é possível sentar é um número ímpar e 800 é par Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página

3 Aplicar Pág a) D = { p, q, r, s } ; D = { p, q, r, s } f ' ' b) D = { 0,1} ; D = { 1,4 } f g g 1.. a) f ( p ) = 0 b) f ( r ) = 0 c) g ( p) g ( r ) 1.3. f ( x) = g ( x ) x = q ou x = s, pois = = = f ( p) g ( p ) e Logo, S = { q, s }. f r g r.. Como h ( p) = 4 = g ( p ) e = = 1 h ( x) = g ( x ) é S = { p, s }. Logo, as equações f ( x) = g ( x ) e h ( x) = conjuntos-solução distintos D = { 1; 0,5; ; 3; 4} ; D ' = { 0,5; 1; ;, 5; 3} g f q g q f s g s. Para além disso, h s g s, então o conjunto-solução da equação g = = 4 g x não são equivalentes, pois admitem f g 0,5 0,5 = 1 = Como para qualquer x { 0,5; ; 3 }, f ( x) g ( x ), então S = { } impossível em { 0,5; ; 3 }.. Logo a equação é 4.1. Não. Por um lado, se x = 3, é verdade que x = 3 = 9. Assim, x = 3 ± x = 9. No entanto, como (- 3) = 9, - 3 é solução da equação x = 9, mas não da equação x = 3. Portanto, as equações não são equivalentes. 4.. Em Q, x 3 = 7 x = 3, uma vez que são verdadeiras ambas as implicações x 3 = 7 ± x = 3 e x = 3 ± x 3 = 7. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 3

4 Aplicar Pág. 15 ' 1.1. D = { 1, 0,1 } ; D = { 0,1} f ' D = { 1, 0, 1} ; D = { 1,0,1 } g f g 1.. Como f ( 1) = g ( 1 ); f ( 0) = g = ( 0) e f ( 1) g ( 1), então = { 1,0 } S Por exemplo: 1 1 = 3 3 f x g x e f ( x) = g ( x ).1. Por exemplo: 1 x x + = ( 3x 1) twwuwwv twuwv 4x + 1 = 6x ou x + 1 = 3x 1 x 3x = 1 1 x 3x = 3 Duas possibilidades de resposta são: 4x + 1= 6x e x 3x = 3... Por exemplo: x + 1= x x x + 1= 0 3x + 1= 0 ou x + 1= x x x = 1 Duas possibilidades de resposta são: x x = 1 e 3x + 1= 0.3. Por exemplo: x 3x = x = 3x ou x 3x = x = 3x x 3x = x = Duas possibilidades de resposta são: x = 3x e x =.4. Por exemplo: 0 = 3x = 3x 3x = ou 0 = 3x = 3x + 1 1= 3x 1 Duas possibilidades de resposta são: 3x = e 1= 3x 1. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 4

5 .5. Por exemplo: 4 4x x = x = 3( x + 1) 4x 6 = 3x ou 4 = = = = 9 3 x x x x x x x. Duas possibilidades de resposta são: 4x 6 = 3x + 3 e 7x = f ( x) = g ( x) g ( x) = f ( x) = 1 = f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x) 3.3. f ( x) = g ( x ) f ( x ) + 1= 1 g ( x ) 3.4. f ( x) g ( x) g ( x) f x 5 5 = = f ( x) + = + g ( x) f ( x) + = g ( x) 4. Não concordo com a resolução do Afonso. No terceiro passo da resolução, o Afonso não deveria ter tirado o denominador 5. No quarto passo, deveria ter dividido por 5 e não por 5. A solução da equação é 8 x = Vejamos se 1 é solução da equação, substituindo x por = twwwuwwwv twwuwwv 3 1 twuwv = 5 tuv 3 1 = 5 Proposição falsa Logo, 1 não é solução da equação. Vejamos se é solução da equação, substituindo x por : 3 + = 5 + twwwuwwwv 4 5 tuv = = 9 Proposição verdadeira Logo, solução da equação Aplicar Pág. 17 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 5

6 1.. Vejamos se 1 é solução da equação: ( ) = 5 twuwv twuwv + 3 * ( 1+ 1 ) = 5 twwwuwwwv + 6 * = 5 tuv 4 = 5 Proposição falsa Logo, 1 não é solução da equação Vejamos se é solução da equação: ( ) = 5 tuv twuwv = 5 4 = 5 Proposição verdadeira Logo, é solução da equação.. x = x 1 x x = 1+ x = 1 O conjunto-solução da equação é S = { 1}. Por outro lado, 6x 4 = também tem conjunto-solução { 1 }. 6x 6 6x 4 = 6x = + 4 6x = 6 = x = ou poderíamos verificar que: x = x 1 x = 1 6x = 6 6x 4 = 6 4 6x 4 = = = 3 = 3 x x x x x ( a = 1 e b = 3) = 3 + = = 7 x x x x x ( a = 3 e b = 7) = = = 11 x x x x x x x ( a = 4 e b = 11) 3.4. = = 5 1= 5 5 = 1 x x x x ( a = 5 e b = 1) x = x x + x = 1 1 x + 4 x = 1 3 x = 1 ou 1 = + 1 = = 3 = 3 a = e b = 1 x x x x x x x ( a = 3 e b = ) 3.6. x 1 + x = 4 x + x = x + 3 x = x = ou 5 9 a = e b = 3 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 6

7 1 + = = 4 10 = = 7 3 x x x x x x ( a = 10 e b = 7) 3.7. ( x + 1) = x + 1 x 1= x + 1 x + x = x = ( a = 3 e b = ) = 1= 1 1= = = x x x x x x x x x ( a = 1 e b = ) 3.9. x + 1 x = x x x = x 1+ 1 x x + x = x = ( a = e b = ) Aplicar Pág x 6 3 4x = 6 = x = Como N, então a equação é impossível em N. S = 9 3x 9 9 x = = x = : ( 3) ou 3x = 9 4x = 9 x = 9 = S =. 8 A equação é possível e determinada x 1+ x = x x + x + x = 1 0x = 1 A função do tipo = f x ax toma o valor constante igual a zero quando a = 0. Desta forma, a equação dada é impossível em Q. S = { } x = 3x x = 3x 3 3x 3x = x = 0 Equação possível e indeterminada em Z. Qualquer número racional é solução da equação dada. x + 1 x 1 = x + 1 = x 1 x 1= x 1 x x = 0 4x = S = { 0} x = 0 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 7

8 = = 0 x x Como 0 N, então a solução é impossível em N x 1= 3x x 1= 6x + 9 6x + 6x = 9 10x 0x = Equação possível e indeterminada em Q. Qualquer número racional é solução da equação.. Por exemplo: 8x = 1 e x = a) 3x = 1 + ( 3)x b) 10x 1 3x = 1 + 7x 3.. a) - 3x x = 3 + ( 4)x + b) 0,5x + 5 = 1 x + 5 c) x - (- 4) = x A equação é impossível para b 0 0. A equação é possível indeterminada para b = Consideremos a função linear f ( x) = ax, a Q e a função afim definida pela expressão g ( x) = ax + b, b Q ; f x = g x ax = ax + b ax ax = b 0x = b Se b 0 a equação é impossível. Se b = 0 a equação é possível e determinada. Aplicar Pág. 3 x 1 x 3 = 6 x 6 = 6 x = x = 1 = x = S = { 6} a 6 3 a = 5a 3a 6 = 5a 3a 5a = 6 a = 6 = a = S = { 3} Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 8

9 3a 3 1 a 1 = a 1 a + = a a a = 1 3a = 3 = a = S = { 1} 5x 5 x 3 = 6x x + 3 = 6x x + 6x = 3 3 5x = 5 = x = S = { 1} x 5 = x 1 1 3x + 15 = x 1 3x 1= x = 17 4x = x = S = x 3 + x + 5 = 1 x x + 5 = x + x = x = 7 S = { 7} x = 1 7 x = a 3 = a 1 7a + 1= a 7a a = 1 1 8a = 4 8a 4 = = a S = { 3} 8 = 4 x 4 1 3x 8 = 4 x 4 + 1x 8 = 4 x + 4 1x = x 1x 0 = 14x 14x = 0 14x 0 = = x S = { 0} a 14 a 7 = 0 a + 14 = 0 a = 14 = a = 7 ou a 7 = 0 a 7 = 0 a = 7.1. Substituímos a incógnita x por 1 e verificamos que obtemos uma proposição verdadeira. 6 x x = 6x 4 3 6x 1 1 = = 7.. Confirma-se 7 = 7, proposição verdadeira 1 é solução da equação. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 9

10 6 x x = 6x 6x 1 x = 6x 5x 1 = 6x 5x 6x = 1 x = 1 S = { 1 } x = 1 1 x = 1 5x x 3 = 4x + 5 5x x + 3 = 4x + 5 4x 4x = 5 3 0x = Equação impossível. S = x x x x x + = = = x Equação impossível. S =. x + = 3 x x + x = 3 + 0x = x,5 x 1= 1 x x x 1= 1 x 15x 30x 1 = 1 8x x 30x + 8x = x = 4 37x 4 4 = x = Equação possível e determinada. S = x + 5 = 1+ x 7 1 x 10 = x 7 x + x = x = 0 Equação possível e indeterminada. S =Q x 3 x 6 x 6 x 1 3 x 1 3 x 1 = = = x 1 3 x 1 = x 6 = x 9 3 x 1 = x + 9 x 1= x + 18 x + x = x = 19 3x = x = Possível e determinada 19 S = 3 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 10

11 4. Inês x 1 = 4 3 3x - = 4 (erro 1) 3x = 6 x = 6 3 (erro ) A Inês devia ter indicado o conjunto-solução. João - (x - 1) = - x x + = - x (erro 1) - x + x = x = 6 5 (erro ) x = (erro 3) 6 S = (erro 4) x 6 x 3 = 5x x 6 = 10x x 10x = 6 9x = 6 = 9 9 x = 6 x = 9 3 S = 3 x 1 x 1 = 5 3 x 1 x 1 = x 3 x + = S = { 31} x x = x = a 1 a = 0 a a = 0 a a = 0 4a 4 a = 0 3a 4 4 4a a = 4 3a = 4 = a = Ora, = Logo, representando 4 3 em numeral misto obtém-se 1 S = x 1 x 0 = x 3 0 = x = 1+ x 4x = x 4x 11 3x 11 11= 3x = = x Ora, = Portanto, S = 3 3. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 11

12 = 3 x 1 x 1 1= 3x + 3 x + = 6x + 6 x Como = S = 1 7 7x 9 9 6x + x = x = 9 = x = x = x 1 1 x = 1 x 1 1 x = x x = x S = { 0} x 0 3x + x = 0 x = 0 = x = x 1 x 1 5x 1 = x = x x 1= 6x x 6x = 1 5x = 1 = S = 5 1 x = x x = x 1+ x + x = x + x + x = x x = + 1x = x = x = x = Como = , então 13 S = 1. 1 Aplicar Pág Seja n o número natural menor dos três números naturais considerados. Como os números são naturais e consecutivos, então podem ser expressos por n, n + 1 e x +. n + n n + = 1. O enunciado é equivalente à equação: Resolvendo a equação, obtém-se: 3n 9 n + ( n + 1) + ( n + ) = 1 n + n + n = 1 3 3n = 9 = n = Assim, as medidas dos comprimentos do triângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 1

13 Vamos verificar as condições do problema: Os comprimentos dos lados do triângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm e o perímetro deste é ( ) cm, ou seja, 1 cm, tal como se pretendia.. Escrevemos as expressões dos perímetros do quadrado e do retângulo: Pquadrado = 4 x = 8x Pretângulo = 3x + 3 = 6x + 6 Como por hipótese, os quadriláteros têm igual medida de perímetro, então o enunciado é equivalente à equação: 8x = 6x + 6. Resolvendo a equação obtém-se: x 6 8x = 6x + 6 8x 6x = 6 x = 6 = x = 3 Assim, para x = 3, as medidas dos comprimentos das peças são: Quadrado: ( 3 ) cm = 6 cm Retângulo: ( 3 3 ) cm = 9 cm Portanto, a medida do lado do quadrado é 6 cm e a medida do comprimento do retângulo é 9 cm. Verifiquemos que com estas dimensões os quadriláteros têm a mesma medida do perímetro: P quadrado = 4 6 cm = 4 cm P retângulo = ( ) cm = ( 1 ) cm = 4 cm Pelo que P = P. quadrado retângulo 3. Determinemos, para cada retângulo, as expressões das respetivas áreas: A1 = x + = x + 4 A = 4x 1 = 8x Como as figuras são equivalentes, então A1 = A. Assim, tem-se: 6x 6 x + 4 = 8x x 8x = 4 6x = 6 = x = Para x = 1, a área dos retângulos é dada por: A 1 = ( 1+ ) = 6 ; A = ( 4 1 1) = 3 = 6 Portanto, x toma o valor de Pelos dados do problema, conclui-se que existem na quinta 8 animais. Consideremos x o número de avestruzes na quinta. Assim, 8 x representa o número de vacas. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 13

14 Como cada avestruz tem duas patas, o número de patas de avestruzes é dado por x. Por outro lado, o número de patas de vacas é dado pela expressão 4 ( 8 x ), pois cada vaca tem quatro patas. Como existem 88 patas, o enunciado é equivalente à equação: x x = 88 Resolvendo a equação obtém-se: x x = 88 x x = 88 x 4x = 4 x = 4 x 4 = x = 1 Significa que na quinta existem 1 avestruzes e 8 1 = 16 vacas. Verifiquemos as condições do problema: 1 = 4 patas 16 4 = 64 patas ±88 patas no total 5. Seja p o preço, em euros, de 1 kg de maçãs. Como 1 kg de peras custa mais meio euro que 1 kg de maçãs, então o seu preço, em euros, pode ser definido por p + 0,5. Assim, 6 kg de maçãs custam 6p e kg de peras custa ( + 0,5) p. Como a mãe da Ana gastou 11 euros com a compra destas quantidades de fruta, então o enunciado é equivalente à equação: 8p p + ( p + 0,5) = 11 6p + p + 1= 11 8p = p = 10 = p = = 1, Portanto, 1 kg de maçãs custa 1,5. Vamos verificar as condições do problema: 6 1,5 + ( 1,5 + 0,5) = 7,5 + 3,5 = 11 (que é exatamente a quantia gasta pela Ana) 6. Seja p o preço, em cêntimos, de cada pão. Preço de 1 pães: 1p. Preço de 15 pães, três cêntimos mais barato: 15 ( p 3) O enunciado do problema é equivalente à equação: 15 p 3 = 1p. Resolvendo a equação, obtém-se: 3p ( p 3) = 1p 15p 1p = 45 3p = 45 = p = Verifiquemos as condições do problema. Custo de 1 pães a 15 cêntimos cada: 180 cêntimos (1,80 Æ) Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 14

15 Custo de 15 pães a ( 15 3 ) cêntimos cada: 180 cêntimos (1,80 Æ) Cada pão custa 15 cêntimos. 7. Seja x o número de anos que decorrerão até à idade do António ser o dobro da idade do seu filho. Idade do António daqui a x anos: 38 + x Idade do filho daqui a x anos: 9 + x O enunciado do problema é equivalente à equação: 38 + x = ( 9 + x ) Resolvendo a equação, obtém-se: 38 + x = 9 + x 38 + x = 18 + x x x = x = 0 x = 0 Vamos verificar as condições do problema: Daqui a 0 anos o António = 58 anos e o filho tem = 9 anos. Neste caso, 58 = 9 Daqui a 0 anos a idade do António será o dobro da idade do seu filho. 8. Seja n o número inteiro. 8 3 = 7 O enunciado é equivalente à equação: ( n ) Resolvendo a equação, tem-se: n 8 3 = 7 3n + 4 = 7 3n = 7 4 3n = 51 3n = n = n = Vamos verificar as condições do problema: 17 8 = 9 e 9 ( 3) = 7 O número é Para cada {, 1, 0, 1} x tem-se: f = e g = 0 f 1 = e g 1 = f 0 = e g 0 = 0 f 1 = e g 1 = 1 S = { 1} Resposta: (C) Atividades fundamentais Pág. 8 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 15

16 . Verifiquemos se 9 é solução da equação: 1 ( 9 3) = ( 9 + 5) 1 ( 1) = = = 6, proposição falsa. Exclui-se a opção (A). Verifiquemos se 10 é solução da equação: 1 ( 10 3) = ( ) 1 7 = = = 13, proposição verdadeira. 10 é a solução da equação. Verifiquemos se 10 é a solução da equação: 1 ( 10 3) = ( ) 1 ( 13) = = = 7, proposição falsa. Exclui-se a opção (C). Vejamos se 0 é solução da equação: 1 ( 0 3) = ( 0 + 5) 1 ( 3) = = 3 7 = 3 Exclui-se a opção (D). Resposta: (B) x 3. Resolvamos a equação = 1 3 x = 1 x = 3 x = 3 3 S = { 3} Resposta: (D) 1 1 = = = == x 4 3 x 3 ( 4) 6x 1 ( 6x ) ( 1) 3x 1= 6 Outra possibilidade seria averiguar qual das equações tinha o mesmo conjunto-solução que a equação inicial. (A) 6x 4 = 4 6x = 0 x = 0 (B) 6x 1 6x = 4 6x = 4 + 6x = = x = x x = = x = x = (C) : (D) 3x 5 5 3x 1= 6 3x = x = 5 = x = Resposta: (D) Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 16

17 5. Resolvamos a equação 1 1 x = x + em Q x = x + x + = x x + x = 0x = É uma equação impossível. Resposta: (A) 6. e f x = x g x = 1 x. 3 Resolvamos a equação f ( x) = g ( x ) x = 1 x x 1 x = 0 3x x = 0 4x = 0 x = S = { 0} É uma equação possível e determinada. Exclui-se as opções (A) e (C). Vejamos o conjunto-solução da equação em (B). 1 4x x = = : ( 4) x = Como admite o conjunto-solução S =, distinto da equação dada, então esta 1 equação não é equivalente à equação f ( x) = g x. Exclui-se a opção (B). Por outro lado, a equação em (D), x = 1 x x 1 x = 0 3x x = 0 x = 0 x = Admite o mesmo conjunto-solução da equação f ( x) = g ( x ). Resposta: (D). Pág Resolvamos a equação dada em N. 3x = 3 x x 3x = 3x 3 + x 3x + 3x x = 3 + x = 1 x = 1 S = { 1} Logo, a equação é possível e determinada. Resposta: (B) 8. Analisemos a expressão do perímetro, em função de x, do triângulo da figura: Ptriângulo = x x = x + + x = 4x + Resposta: (D) Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 17

18 Mostremos que as restantes opções são falsas: (A) o triângulo pode ser equilátero para x = 1. (B) o triângulo não pode ser escaleno, pois tem dois lados cujos comprimentos são dados pela mesma expressão x + 1. (C) tal como vimos anteriormente, o perímetro do triângulo é dado pela expressão 4x + e não por 4x + x. 9. Atendendo ao enunciado do problema, conclui-se que esta é equivalente à equação em (C). Resposta: (C) 10. Representemos por x o número de moedas de 0 cêntimos. Assim, 0,0 x representa a quantia em euros que perfazem as moedas de 0 cêntimos. Se existem x moedas de 0 cêntimos, então existem ( 39 x ) moedas de 50 cêntimos, sendo que perfazem 0,50 ( 39 x ), em euros. 0, 0 + 0,50 39 = 1 Assim, o enunciado é equivalente à equação x ( x ) Resposta: (A) 11. Analisemos se cada um dos números satisfaz as condições do problema: (A) 5,6 4 6 = 16,4 0 (B) 6,5 4 6 = 6 6 = (C) 4 6 = 6 = = ( 0) (D) = = ( ) Resposta: (B) Atividades fundamentais Pág x = x = Resolvendo a equação, obtém-se: x x = 11 x = 11 6 x = 5 = x = 5 S = Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 18

19 . As duas balanças em equilíbrio podem ser traduzidas pelas equações: Balança 1: x 4 = 8, onde x representa a massa do peluche Balança : y + 4 = 8, onde y representa a massa do peluche. As equações são equivalentes, onde S = { 4}. Portanto, os brinquedos têm a mesma massa e igual a x = 5x 3 + 6x = 5x 6x 5x = 3 x = 3 S = { 3} x + 1 = 10 3x 4x 4 = 10 3x 4x + 3x = x = 14 x = 14 S = { 14} 3.3. x + = x 5 x x + = x 5 + x x x x = 5 x = 7 x = 7 S = { 7} 5x x 1 x = 0 6x 3 x + = 0 5x = + 3 5x = 1 = x = S = x = 1 + x = 1 x = 1 x = x = S = x ( x 1 x x x ) = 3 1 x 3 3 = 3 x = 3 x = x = x + 3 x + x = 3 1 3x = x 8 3 x = = : x = 9 8 S = 9 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 19

20 Atividades fundamentais Pág f x = 3 x = 3x g ( x) = 3x x + = 3x x = x x = x. 6 7 f x = g x 3x + = x 30x + 1 = 35x 0 5x = S = 3 5 5x 3 3 = x = ( f + g )( x) = ( f g )( x) f ( x) + g ( x) = f ( x) g ( x) g ( x) = g ( x) x = x x = + x + x x = + 7x 4 4 7x = 4 = x = Dado que a Mariana afirmava que tinha 18 livros de BD, então podemos estabelecer a equação: x 8 = 18. Resolvendo a equação, determina-se o valor de x e, consequentemente, o número de livros da Ana. x 6 x 8 = 18 x = = x = 13 Assim, conclui-se: Primos Números de livros de BD Ana 13 Mariana 18 António = Lara + = 7 6. Designando por x a massa de cada pacote e atendendo à situação de equilíbrio, tem-se: 5 + 9x = 0 + 4x. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 0

21 Resolvendo a equação obtém-se: 5x x = 0 + 4x 9x 4x = 0 5 5x = 15 = x = A massa de cada pacote é 3 kg. 7. Façamos um esboço para ilustrar o enunciado. Designamos por l a medida da largura, em centímetros. Dado que o perímetro é igual a 10 cm, tem-se: x 4l + l = 10 Resolvendo a equação em l, obtém-se: x ( 4l + l ) = 10 8l + l = 10 10l = 10 l = l = Portanto, o retângulo tem 1 cm de largura e 4 1 = 48 cm de comprimento. Desta forma, a área deste retângulo é igual ao produto 1 48 cm, ou seja, A área do retângulo é igual 576 cm. 576 cm D = { π φ α} f,,, = D ' { 1, 0,, 3 }; {, 1, 1, 3} ' D = D f g g Exercícios, problemas e desafios complementares 1.. Como ( ) = ( ) = 1 e ( π) ( π), ( φ ) ( φ ) e ( α) ( π) f g f g f g f g, então f ( x) = g ( x) x = S = { }. Dado que f ( x) g ( x ), para qualquer x {,, } { a, e, c } 3.1. D = { 4, 3, 1, 1,, 4, 7, 8, 9, 10} ; D ' = { 1,, 3, 4, 5} f D = { 4, 3, 1, 1,, 4, 7, 8, 10} ; D ' = { 3, 1,, 4, 5} g g f a e c, então a equação é impossível em Pág. 3 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 1

22 3.. Como f 4 g 4, f 3 g 3, f 1 = g 1 = 1, f 1 = g 1 = 1, f = g = 5, f 4 g 4, f 7 g 7, f 8 = g 8 = 4 e f 10 = g 10 = 1, então o conjunto-solução da equação f ( x) = g ( x) em { 4, 3, 1, 1,, 4, 7, 8, 10 } é S = { 1, 1,, 8, 10} 3.3. a) 3 = + ( 3) f x g x (princípio da adição de equivalência de resolução de equações) 1 1 g x + = f x +, (princípios de equivalência de resolução de equações) 3 3 b) Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Utilizando os princípios de equivalência de resolução de equações, obtém-se: 4.1. x + x + x + = 7 3x + = 7 Por exemplo, 3x + = 7. 0 x = x = 10 = x Por exemplo, 10 = x x = 7 x x + x = 7 3x = 7 Por exemplo, 3x = x = 4x = 4x + 3x = 7x 7x = Por exemplo, 7x = x + 3 = x 7 x x = 7 3 x x + 3 = x + x Princípio da adição = 4x = x 4 8 4x = 4 4 Princípio da multiplicação º passo: Princípio da adição (adicionou-se 5x a ambos os membros).º passo: Princípio da adição (adicionou-se a ambos os membros) 3.º passo: Princípio da multiplicação (multiplicou-se por 1 ambos os membros). 9 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página

23 7. Substituindo o x por cada um dos números dados, tem-se: ( 1 ) ( 1) = 6 ( 1) 6 ( 14) + 1 = = 7 7 = 7, proposição verdadeira. Logo, 1 é solução da equação 6 x x = 6x, em Q = 10, proposição verdadeira. Logo, 3 é solução da equação x + 7 = 10, em Q = 5 6 1= 5, proposição verdadeira. Logo, 3 é a solução da equação x 1= 5, em Q = ( 1) + 3 = + 3 = 1, proposição falsa. Logo, 1 não é a solução da equação x 1= x x = 3 x = 6. Podemos considerar, por exemplo, a equação x = x = 3x = 1 3x 1= 0. 3 Podemos considerar, por exemplo, a equação 3x 1= 0. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág x = 8 Qual é o número que multiplicado por dois é igual a 8? S = 4 { } 9.. x = 0 Qual é o número que cujo dobro é 0? S = { 10} 9.3. x = 8 Qual é o número cujo simétrico do seu dobro é 8? S = { 4} x = 1 Qual é o número que multiplicando por 3 é igual a 1? S = { 7} 9.5. x = 5 Qual é o número cujo dobro é 5? 5 S = Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 3

24 9.6. x = 4 Qual é o número cujo simétrico do seu dobro é 4? S = { } = 3x Qual é o número cujo produto com 3 é igual a 6? S = { } = 4x Qual é o número cujo produto por 4 é igual a 16? S = { 4} = 8x Qual é o número que multiplicando por 8 é zero? S = { 0} = 0 x Qual é o número cujo produto por 3 é zero S = { 0} x + 1= 5 Qual é o número cuja soma com um é igual a cinco? S = { 4} 10.. x + 10 = 9 Qual é o número cuja soma com 10 é igual a 9? S = { 1} x + = 1 Qual é o número que adicionado a 1 1 S = dá 1? x + = 3 Qual é o número que adicionado a 1 3 S = da 3? x 50 = 80 Qual é o número cuja diferença com 50 é igual a 80? S = { 130} x 50 = 00 Qual é o número que subtraído de 50 dá 00? = 1 x Qual é o número que subtraído a 1 dá 1? 1 S = Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 4

25 = 1 4 x Qual é o número que subtraído a 1 4 dá 1? 5 S = x x + 1 = 1 x 3x x 1= 1 x 3x x + x = 1+ 1 x = x = x = 1 Como 1 N, então a equação é impossível em N x + x x = 5 x + x + 1 3x = 5 3x = x = 6 S = { } x 6 = x = 3 3. Equação possível determinada 1 x + 5 = 1+ x 7 1 x 10 = x 7 x + x = x = 0 Equação possível e indeterminada x + 3 = x 3 x 5 x 3 = x 3x + 15 x + x + 3x = x = 18 S = { 3} x 18 = x = Equação possível determinada 5x x 3 = 4x + 5 5x x + 3 = 4x + 5 5x x 4x = 5 3 0x = Equação impossível x + 3 x + = x 6 x + 3x + 6 = x + 6 x + 3x x = 6 6 0x = 0 Equação possível e indeterminada x + 1 = 3x + x 10 + x + 1= 3x x + x + 3x + x = S =. Equação possível determinada x 7 7 6x = 7 = x = x 5 3x + 1 = 7x + 3 x 15x 5 = 14x 6 14x + 14x = x = 1 Equação impossível Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 5

26 1.1. Exercícios, problemas e desafios complementares 8 x 3 = 3 x 7x 8x + 4 = 6 x 7x 8x + x + 7x = x = 0 corresponde à letra A. 1+ x + 3 x + 7 = 1 3 x x + 3 x 7 = 1 3x x x + 3x = Pág. 35 3x 9 3 = 9 = x = 3 corresponde à letra M. 3 3 x x 7 = 1+ x + 7 x + x + 14 = 1+ x x x x = x = 8 4x 8 = x = corresponde à letra O x 4 x 5 = 8 + 3x 1 x + 10 = 8 3x x = x = 8 corresponde à letra R. Colocando as letras seguindo a ordem das equações forma-se a palavra Amor x + 1= 3x + 1 x 3x = 1 1 5x = 0 x = 0 S = { 0} x x = + x 3x = 6 + x 3x x = 6 4x = 6 = x = = S ou S = 1,5 { } x 1 x = x + 5x = x x x = x = 1 = x = S = { } x 5 = x x 30 = x = 30 = x x x S = { 30} x 3 = 8 + 3x x + 6 = 8 + 3x x 3x = 8 6 5x = S = ou S =,8 5 { } 5x = x = Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 6

27 x 5 = x x 1 x + 10 = x x x + x x = S = ou S = 1,5 { } x 3 3 x = 3 = x = x + 50 = 800 4x x 100 = x 500 S = { 100} x 4x = x 4x = 600 6x 600 6x = 600 = x = x x = x x 10 = 10x 10 = 10x x 10 = 8x = = x 5 = x S = ou S = { 1,5 } 4 x 3 1 x x x = 6x 7 = 6x x 7 1 x = 6x 7 4x x = 36x 4 3 4x + 3x 36x = x = x 5 5 = x = ,5 x 10 x = x 0, 0,5 x 5 0,5 x = x 0, 1 S = {,4 } ou S = ,8 x 5 + 0, = x 4,8 = x =, 4 = x 1 1 x x + 1 x 5 = 0 x + 1 = 0 x + 10 x 1= x x = x = 9 3x 9 = = x S = { 3} Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 7

28 x x = x x x = x 15x 30x = 3x x 30x + 3x = 1x = x = x = S = x = x 1 1 x = x + x + x = 1 x + x = x 3 3 5x = 3 = x = S = ou S = { 0,6 } x 3 x 3 x 3 = x = x = x x 3 = 10x x 3 1 x + 10x = 3 1x = 3 = x = S = ou S = { 0,5 } 4 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág x x x = x + x = x S = 16 4 x x = x x x = x x 10 30x = 6x x 30x 6x = x x = 6 = x = x = x x 3 = 3 + x = 6x 0x 4 = 9 36x x 5 5 0x + 36x = x = 5 = x = Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 8

29 5 Como = 5 : 56 0,1 56 (1 casa decimal), então S = { 0,1} x = x + x = + x x = x Como, , então 17 = Portanto, S = x 1 = 13 x 6 8 x 1 = 13 x x 9 = 39x 6 48x 39x = x = 17 9x = x = No caso de o Pipocas custar 1 Æ, x tomaria o valor de 1, e, assim, a Nininha custaria 3 * 1-4 = - 1, o que é impossível no contexto da situação Por exemplo, x = 0,50; x = 0,90 ou x = 1, a) Para x = 5, 3x 4 = = 15 4 = 11. Se o Pipocas custar 5 euros, a Nininha custa 11 euros. b) Para x = 6, 3x 4 = = Se o Pipocas custar 6 euros, a Nininha custa 14 euros. c) Para x = 7,50, 3x 4 = 3 7,50 4 = 18,5 Se o Pipocas custar 7,50 euros, a Nininha custa 18,5 euros. d) Sabe-se que 8 euros e 15 cêntimos correspondem a 8,15 euros. Para x = 8,15, 3x 4 = 3 8,15 4 = 4,45 4 = 0, 45. Se o Pipocas custar 8 euros e 15 cêntimos a Nininha custa 8,45 euros, ou seja, 0 euros e 45 cêntimos 16. Como o cesto C tem o dobro do número de maçãs do cesto B e o cesto B tem 1 maçãs, então o cesto C tem 1 = 4 maçãs. Por outro lado é referido que o cesto A tem menos sete maçãs que o cesto B, ou seja, tem 1 7 = 5 maçãs. Assim, no total, está dentro dos cestos = 41. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 9

30 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Consideremos a o número de cerejas que comeu o Alberto. De acordo com o enunciado, a expressão a representa o número de cerejas que o Jorge comeu. Assim, o enunciado é equivalente à equação: a + a + 50 = 00 Resolvendo a equação, obtém-se: 3a 150 a + a + 50 = 00 3a = a = 150 = a = O Alberto comeu 50 cerejas e o Jorge 50 = 100 cerejas. Verifiquemos as condições do problema: = = 00 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Designando por a a medida, em centímetros, do comprimento da aresta, tem-se que: 8a 40 8a = 40 = a = A aresta da caixa tem 5 cm de comprimento Designando l a medida da largura, em metros, então a medida do comprimento do jardim representar-se-á pela expressão l + 3. l + l + 3 = 34. Assim, o enunciado é equivalente à equação Qualquer equação equivalente a esta é resposta à questão. Por exemplo: l + l + 3 = 34 l + 3 = 34 4l + 6 = 34 4l l + 6 = 34 4l = 4 6 4l = 8 = 4 4 Assim, as dimensões do jardim são: largura: 7 m comprimento: ( ) m = 10 m Verifiquemos as condições do problema: ( ) = 17 = O enunciado é equivalente à equação: ( a ) ( a ) ( a ) = 6 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 30

31 Resolvendo a equação, obtém-se: ( a ) ( a ) ( a ) a ( a a ) = = 6 O valor de a é 4 unidades. 4a + + 4a a + 8 = 6 1a = a = 48 1a 48 = a = Expressões que definem funções afins na sua forma canónica: ( x + ) = x + ; 3 6 x 1 = x 1.. As funções definidas por ( ) x 1 e 5x 3 : x 1 + 5x 3 = x + 5x 3 = x + 5x 3 = 7x As funções definidas por x 1 e x 4 : x 1 x 4 = x 1 x + 4 = Considerando as funções que têm o mesmo coeficiente da variável, têm-se alguns exemplos: x + 3 = x 1 x + 6 = x x x = 6 0x = 8. Equação impossível x 1= x 4 x x = x = 3. Equação impossível x + 3 = x 1 + x 4 x + 6 = x 5 x x = 5 6 0x = 11 Equação impossível..1. Para o ponto pertencer ao eixo das ordenadas, o valor da abcissa é zero. Assim, impõe-se a condição: m 6 = 0 m = 6 O valor de m é 6... Para o ponto pertencer ao eixo da abcissa, o valor da ordenada é zero. Assim, impõe-se a condição: 1 4m 5 5 m = 0 4m 5 = 0 4m = 5 = m = O valor de m é 5 4. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 31

32 f = = = 3 10 = 10 = = f 3.3. f x = 0 x 10 = 0 x 50 = 100 x = x 50 x = 50 = x = A interseção com o eixo das abcissas ( x, 0) : x 50 f ( x) = 0 x 10 = 0 x = 10 x = 50 = x = O ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas tem de coordenadas ( 5, 0 ). Interseção com o eixo das ordenadas: f ( 0) = 10 (por 3.1.) O ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas tem de coordenadas ( 0, 10 ). 4. u = 1 n n º termo, m = 1 u 1 = 1 = = = º termo, m = m = = 4 = = º termo, m = 3 m 3 = 3 = 6 = = º termo, m = 4 m 4 = 4 = 8 = = º termo, m = 5 m 5 = 5 = 10 = = Os primeiros termos de sucessão são: ,,, e ou,5; 4,5; 6,5; 8,5; 10,5 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 3

33 4.. Verificamos se existe algum n natural tal que u n = n un = 10 n = 10 n = n = = n = Como 41 N, a equação é impossível. 4 Logo, 10 não é termo de sucessão u n. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Seja P 1 o perímetro do quadrado menor e P 3 o perímetro do quadrado maior. P = 1 4 x P = 4 x = 8x P3 = 4 3x = 1x P3 = P1 + P = 4x + 8x = 1x. Portanto, o perímetro do quadrado é maior e igual à soma dos perímetros dos quadrados menores. 6. O enunciado é equivalente à equação: x + x 1+ x ,5 + x + 1,5 = 5 Resolvendo a equação, obtém-se: x + x 1+ x ,5 + x + 1,5 = 5 x + x 1+ x + + +,5 + x + 1,5 = 5 x + x + x + x = 5 1,5, O valor de x é 3 cm. 6x 18 6x = 18 = 6 6 x = O enunciado é equivalente à equação: x = 10, sendo x à medida do comprimento da aresta. Resolvendo a equação, obtém-se: 1x 10 1x = 10 = x = A aresta do cubo tem 10 cm de comprimento O volume do cubo é igual a 10 cm = 1000 cm = 10 dm = 1 l O cubo tem capacidade de 1 litro. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 33

34 8. O enunciado do problema é equivalente à equação ( x ) ( x ) = 40 Resolvendo a equação, obtém-se: x x = 40 4x x = 40 4x x = x x = = x = 11 No entanto, para x = 11, 5 x = 5 11= 6 o que é um absurdo atendendo a que o comprimento do lado [ BC ] é um número positivo. Portanto, não existe nenhum número racional tal que o perímetro deste retângulo seja igual a 40 cm. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Representemos por c o número de respostas corretas que o Pedro respondeu de entre as 50 questões. 50 c corresponde ao número de respostas erradas. 3c corresponde ao número de pontos obtido pelas respostas certas. ( c) 50 = c corresponde à pontuação atribuída pelas respostas erradas. 3c c = 5. Assim, obtém-se a equação Resolvendo a equação tem-se: 3c c = 5 3c c = 5 5c = c = 15 5c 15 = c = O Pedro respondeu correto a 5 questões, ou seja, a metade. Vejamos as condições do problema: = = Consideremos v o número de vacas que herdou o irmão mais novo. v representa o número de vacas que herdou o irmão do meio; 3 v = 6v representa o número de vacas que herdou o irmão mais velho. Como, no total, existem 81 vacas, o enunciado é equivalente à equação: 9v 81 v + v + 6v = 81 9v = 81 = v = Portanto, o irmão mais novo herdou 9 vacas, o do meio herdou 9 = 18 vacas e o mais velho herdou 3 18 = 54 vacas. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 34

35 31. Designando por n o número que o João está a pensar, tem-se: n + 5 = 19 Resolvendo a equação, tem-se: n 14 n + 5 = 19 n = 19 5 n = 14 = n = 7 O João está a pensar no número sete. Designando por m o número que o Pedro está a pensar, tem-se Resolvendo a equação, obtém-se: m + 5 = 4. m 14 m + 5 = 4 m + 10 = 4 m = 4 10 m = 14 = m = 7 O Pedro estava também a pensar no número Seja c o preço, em euros, de uma unidade de CD da marca C. A expressão c + 0,05 representa, em euros, o preço de uma unidade de CD da marca D. Portanto, 10c representa o preço, em euros, de uma caixa de CD da marca C e 10 c + 0,05 representa o preço, em euros, de uma caixa de CD da marca D. Assim, o enunciado é equivalente à equação: 10c + 10 c + 0,05 = 0 8,94 Resolvendo a equação, obtém-se: 10c + 10 c + 0,05 = 0 8,94 10c + 10c + 0,5 = 11,06 0c = 11,06 0,5 0c 10,56 0c = 10,56 = c = 0, Portanto, uma caixa de CD da marca C custa 10 0,58 = 5,8 euros e uma caixa de CD da marca D custa 10 ( 0,58 + 0,05) = 5,78 euros. 33. Seja p a idade do Paulo. A idade do Rogério é traduzida, em função da idade do Paulo, pela expressão p + 4. A idade do António pode ser traduzida pelas expressões Assim, o enunciado pode ser traduzido pela equação: 4p = 3 p + 4 4p = 3p + 4 4p + 3p = 1 p = 1. O António tem 4 1 = 48 anos. Verifiquemos as condições do problema: = e p. 4 p ou 3 ( + 4) = 3 16 = 48 Exercícios, problemas e desafios complementares Pág x 5 = 15 equação equivalente ao enunciado do problema. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 35

36 Resolvendo a equação, obtém-se: 3x 1 1 3x 6 = 15 3x = x = 1 = x = = A Sara pensou no número sete ( 5) n + = n + equação equivalente do enunciado do problema. Resolvendo a equação, obtém-se: n + 17 = n + 10 n n = n = 7 n = 7 O Alex pensou no número sete. 36. Por exemplo: A Inês pensou num número. Subtraiu cinco ao número em que pensou e obteve a diferença entre o dobro desse número e 0. Em que número pensou a Inês? A Inês pensou no número Se após o aumento, a Marta pagou 4 cêntimos por uma chamada de três minutos, 4 significa que o preço de cada minuto neste tarifário é = 8 3 cêntimos. Como o tarifário tinha sofrido um aumento de dois cêntimos por minuto, então o preço deste antes do aumento era de 6 cêntimos. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág Seja b o número de fatias de bolo que o Afonso comprou. b + 3 representa o número de saladas de fruta. Atendendo ao preçário, o enunciado do problema é equivalente à equação: 1,0 b + 0,90 b + 3 = 6,90 Resolvendo a equação, obtém-se: 1,0 b + 0,90 b + 3 = 6,90 1,0 b + 0,90b +,7 = 6,90 1,0 b + 0,90b = 6,90,7,1b 4,,1b = 4, = b =,1,1 O Afonso comprou duas fatias de bolo caseiro. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 36

37 39. O enunciado é equivalente à equação: x x + x x 7 = 6. 4 Resolvendo a equação, obtém-se: x x x x + x 4 + x 7 = 6 x + x + = x + = x 68 16x + x = 68 17x = 68 = x = Assim, atendendo aos dados da tabela conclui-se: Francisco 4 golos Manuel 4 4 = 0 golos 4 Artur = 1 golo 4 José 4 7 = 8 7 = 1 golo O Francisco marcou quatro golos, o Manuel ainda não marcou qualquer golo, o Artur e o José marcaram ambos 1 golo cada. 40. Seja m a massa de quatro sacos de farinha. Então, 7 m representa a massa do moleiro. 7 O enunciado é equivalente à equação m + m = 90. Resolvendo a equação obtém-se: 7 9m 180 m + m = 90 m + 7m = 180 9m = 180 = m = Portanto, cada saco de farinha tem 0 : 4 = 5 kg de massa Para = f x, tem-se: f = = 38,5 4 O número do calçado aconselhado seria = = 33,5 4 5x + 8 5x 10 f x = 37 = 37 5x + 8 = 148 5x = 10 = x = x + 8 f x = 39 = 39 5x + 8 = 156 5x = x = x 18 = x = 5,6 5 5 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 37

38 = = = 40, f 5x + 8 5x 148 f x = 44 = 44 5x + 8 = 176 5x = 148 = x = 9, Completando a tabela, obtém-se: Comprimento pé (cm) Número do sapato 1 4 5,6 7 9,6 33, , Vamos considerar o comprimento do pé correspondente e estabelecer uma regra de três simples: 1 x 4 9,5 x 8,3 5,6 x 4 9,5 x 10,1 Completando a tabela, obtém-se: Comprimento do pé (cm) 7 x 4 9,5 x 10, ,6 7 9,6 Número do sapato 33, ,75 44 Comprimento em polegadas 8,3 9,5 10,1 10,7 11,7 9,6 x 4 9,5 x 11, ReLuz: 0, , = 16,059 LuzVerde: 0, , = 15,76 MaisEnergia 0, , = 16,388 Portanto, de acordo com a potência que o Sr. António pretende contratar, pagaria, em média por mês: 16,059 euros na empresa ReLuz, 15,76 euros na empresa LuzVerde e 16,388 euros na empresa MaisEnergia. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág a) Empresa ReLuz: f ( x) = 0, ,1365x = 0,1365x + 8,196 Empresa LuzVerde: g ( x) = 0, ,154x = 0,154x + 8,364 Empresa MaisEnergia: h ( x) = 0, ,1393x = 0,1393x + 8,364 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 38

39 b) A empresa LuzVerde, pois embora o custo por dia da potência é igual nas duas empresas, o preço da energia (kwh) é mais barato nesta empresa. 43. Seja s o número de sementes que uma formiga transportou para o formigueiro no primeiro dia. s + o número de sementes transportadas no segundo dia. s + + o número de sementes transportadas no terceiro dia. s o número de sementes transportadas no quarto dia. Assim, o enunciado é equivalente à equação: s + s + + s s = Resolvendo a equação, obtém-se: 4s 16 s + s + + s s = 8 4s = 8 1 4s = 16 = s = A formiga transportou quatro sementes no primeiro dia O número médio de sementes que a formiga transportou por dia nesse período de tempo é dado pelo quociente 8 : 4 = 7. Em média, a formiga transportou sete sementes por dia. Pág Dado que o tanque já continha 60 litros de água, pretende-se determinar o tempo, em minutos, para encher com a torneira de caudal 5 l/min ( ) = 65 litros Ora, 65 : 5 = 5. Decorrerão 5 minutos até ao tanque conter 685 litros de água Como 100l 60l = 1140l, então é necessário decorrer completo o tanque = 45,6 minutos 5 minutos para encher por 45,6 minutos correspondem a 45 minutos e 0,6 minutos, ou seja, 0,6 60 = 36 segundos Logo, são necessários 45 minutos e 36 segundos para encher completamente o tanque. 45. O artesão em cada casa tem um lucro de ( 1,5,5 ) euros, ou seja 10 euros. Seja x o número de casos vendidos no mês que obteve lucro de 0 euros com a venda. Assim, o enunciado é equivalente à equação: 10x = 0 Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 39

40 Resolvendo a equação, obtém-se: 10x 0 10x = 0 = x = O artesão vendeu casas. 46. Consideremos x a idade do Diofanto. Atendendo ao enunciado, pode-se escrever uma equação que lhe é equivalente: x x + x + x = x 14x + 7x + 1x x = 88x O Diofanto viveu 84 anos. 14x + 7x + 1x + 4x + 84x = x 756 9x = 756 = x = Autoavaliação Pág Dado que a figura é um paralelograma, então os comprimentos dos lados opostos são iguais. Assim, o perímetro pode ser representado pela expressão: x x = 4x + + 6x 4 = 10x Resposta: (B) 1.. O enunciado é equivalente à equação: 10x = 3 Resolvendo a equação, obtém-se: 10x 34 10x = 3 10x = x = 34 = x = 3, O perímetro do paralelograma é 3 unidades para x = 3,4. x x = x + x + = x + + x 4x = 1x x x + 1x 1x = x = 7 4x 7 7 = x = Como = , então 3 S = Seja n o número menor dos três ímpares consecutivos. Assim, o enunciado do problema é equivalente à equação n + n + + n + 4 = 45. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 40

41 Resolvendo a equação, obtém-se: 3n 39 n + n + + n + 4 = 45 3n + 6 = 45 3n = n = 39 = n = Os números são: 13, 15 e Para C = 10, tem-se: F = = 18 3 = Para F = 68, tem-se: Para C = 3,5, tem-se: F 9 = 3,5 + 3 = 58,5 + 3 = 90,5 5 Completando a tabela, obtém-se: ºC ,5 ºF , C + 3 = 68 C = 68 3 C = 36 C = C = Para 4,5 ºC, tem-se: F = 4,5 + 3 = 76,5 + 3 = 108,5. 5 A temperatura máxima registada no dia de agosto foi de 108,5 ºF. 5. O perímetro do retângulo pode ser expresso, em função de x por x = x = x Assim, atendendo a que o perímetro do retângulo é igual a 300 m, tem-se: x 300 x = 300 x = 300 = 000 x = 300 = x = 150. Portanto, a área do pomar é 150 m = 500 m. A medida da área do pomar é igual a 500 m. Matemática Dinâmica, 7.º ano Parte Capítulo 4 Página 41