ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE MATEMÁTICA A Tarefa nº (Plano de trabalho nº ) Comece por seguir as sugestões seguintes de forma a responder às questões propostas, registando todas as tentativas. Depois de conseguir responder às duas questões organize uma composição com cerca de dez linhas para explicar as conclusões a que chegou. (veja os critérios de correcção na pág..) 1. Que números racionais são representados por dízimas finitas? Sugestão: Escreva dízimas finitas e decomponha em factores primos os denominadores das fracções irredutíveis correspondentes. Registe os factores primos que entram nas referidas decomposições. Escreva várias fracções em que os denominadores não admitam como divisores outros primos além do e/ou do. Mostre que tais fracções são equivalentes a fracções decimais (o denominador é uma potência de ).. Uma dízima infinita periódica é representada pela fracção irredutível a b. Qual é o número máximo de algarismos que constituem o período dessa dízima (dimensão do período)? Sugestão: Pense nos restos possíveis que pode obter ao efectuar a divisão inteira de a por b. PROFESSORA: Rosa Canelas 1

2 Critérios de classificação da composição Forma Conteúdo correctamente às duas questões correctamente à primeira questão correctamente à segunda questão Nível 1 (*) Nível (*) Nível (*) 0% 80% 60% 0% 0% % 0% 0% % (*) Nível 1 Redacção clara, bem estruturada e sem erros (de sintaxe, de pontuação e de ortografia). Nível Redacção satisfatória, em termos de clareza, razoavelmente estruturada, com alguns erros (de sintaxe, de pontuação ou de ortografia) cuja gravidade não afecte a inteligibilidade da composição. Nível Redacção confusa, sem estrutura aparente, presença de erros (de sintaxe, de pontuação ou de ortografia) com perturbação do sentido. Pode acontecer que uma composição não se enquadre completamente num dos três níveis. Nesse caso será atribuída uma classificação intermédia. PROFESSORA: Rosa Canelas

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE MATEMÁTICA A Tarefa nº PROPOSTA DE RESOLUÇÃO (Plano de trabalho nº ) 1. Que números racionais são representados por dízimas finitas? Consideremos várias dízimas finitas e depois de as transformarmos em fracção vamos decompor os denominadores e registar os factores que entram nas referidas decomposições Dízimas Fracções Decomposição dos denominadores 0,1 1 0, 1 0, 0,4 4 0, 1 0, , 0 0, , , , , Factores decomposição da PROFESSORA: Rosa Canelas

4 Vamos agora escrever várias fracções em que os denominadores não admitam como divisores outros primos além do e/ou do e mostrar que tais fracções são equivalentes a fracções decimais (o denominador é uma potência de ). Fracções Decomposição dos denominadores Factores decomposição da Dízima 0,1 1 0,6 6 0, 1, , , , , , , , , Fracção decimal Os números racionais são os números inteiros e os fraccionários. Os números inteiros são dízimas finitas por não terem parte decimal. Dos números fraccionários aqueles que são representados por dízimas finitas são as fracções decimais ou o que é o mesmo são todas as fracções cujos denominadores admitem como factores primos apenas os factores e/ou.. Uma dízima infinita periódica é representada pela fracção irredutível a b. Qual é o número máximo de algarismos que constituem o período dessa dízima (dimensão do período)? PROFESSORA: Rosa Canelas 4

5 Se pensarmos nos restos possíveis que podemos obter ao efectuar a divisão inteira de a por b podemos concluir que esses restos são sempre menores que b temos então b -1 restos diferentes. Pensemos na fracção 1 e vamos efectuar a divisão: 1 1, ,(0769) Obtivemos os restos: 9, 1,, 4, 1, até que se repetiu o resto 9, isto quer dizer que o período da dízima tem exactamente 6 algarismos. O número de algarismos do período é igual ao número de restos diferentes que se obtêm. Então o número máximo de algarismos do período de uma dízima infinita periódica é o número de restos possíveis ou seja b -1. A composição deve conter as justificações às questões propostas. Uma possível composição será: Os números racionais são os números inteiros e os fraccionários. Os números inteiros são dízimas finitas por não terem parte decimal. Dos números fraccionários aqueles que são representados por dízimas finitas, são as fracções decimais, ou o que é o mesmo, são todas as fracções cujos denominadores admitem como factores primos apenas o e/ou o. Se uma dízima infinita periódica é representada pela fracção irredutível a b podemos pensar nos restos possíveis da divisão inteira de a por b e concluir que esses restos são sempre menores que b. Temos então b -1 restos diferentes. O número de algarismos do período é igual ao número de restos diferentes que se obtêm. Então o número máximo de algarismos do período de uma dízima infinita periódica é o número de restos possíveis ou seja b -1. PROFESSORA: Rosa Canelas