Apontamentos de matemática 6.º ano Decomposição de um número em fatores primos

Transcrição

1 Divisores de um número (revisão do 5.º ano) Os divisores de um número são os números naturais pelos quais podemos dividir esse número de forma exata (resto zero). Exemplos: Os divisores de 4 são 1, 2 e 4, pois se dividirmos 4 por 1, por 2 e por 4 obtemos resto zero. 4: 1 = 4, 4: 2 = 2, 4: 4 = 1. Se dividirmos 4 por qualquer outro número natural, não vamos obter resto zero: 4: 3 = 1, e tem resto 1. Se dividirmos 4 por números maiores que 4 também vamos obter restos diferentes de zero. Por exemplo, os divisores de 3 são 1 e 3, os divisores de são 1, 2, 5 e e os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15. Números primos Definição Um número é primo se tem dois (e só dois) divisores. Definição Um número é composto se tem mais de dois divisores. O número 1 não é primo nem composto tem um único divisor que é ele próprio. São primos, por exemplo, os números 2, 3, 5, 17, 23 Os divisores de 2 são 1 e 2, de 3 são 1 e 3, de 5 são 1 e 5, de 17 são 1 e 17, de 23 são 1 e 23. Um número primo divide-se apenas pela unidade e por ele próprio. São compostos, por exemplo, os números 8, 9, 12 e 15 Os divisores de 8 são 1, 2, 4 e 8, os de 9 são 1, 3 e 9, os de 12 são 1, 2, 3, 4, 6, e 12, de 15 são 1, 3, 5 e 15. Exercícios resolvidos 1. Determine os divisores de: a) 6 b) c) 13 d) 16 e) 19 f) 20 g) Em relação ao exercício anterior indique quais são os números primos e quais são os números compostos. 1. a) 1,2, 3, 6 b) 1, 2, 5, c) 1, 13 d) 1, 2, 4, 8, 16 e) 1, 19 f) 1, 2, 4, 5,, 20 g) 1, 2, 3, 5, 6,, 15, São primos o 13 e o 19 (têm dois divisores= São compostos 6,, 16, 20, 30 (têm mais de dois divisores) 1

2 . Observe os exemplos seguintes. = 2 5, Como 2 e 5 são números primos, está escrito como um produto de números primos ou, está decomposto em fatores primos. 20 = 4 5, Como 4 não é número primo, 20 não está decomposto em fatores primos 20 = Assim 20 já está decomposto em fatores primos. Nota (recorde dos anos anteriores). Produto é o resultado de uma multiplicação e os números que se multiplicam chamam-se fatores. Um número está decomposto em fatores primos quando está escrito como um produto de número (fatores) todos primos. Como decompor um número em fatores primos? Em alguns casos podemos fazê-lo mentalmente, como 6 = 2 3 ou 15 = 3 5 Vamos decompor o 18 em fatores primos: 18 = 6 3 = = Começámos por 18 = 6 3, mas como 6 não era primo, substituímo-lo pelo produto de dois números primos. Este método pode ser trabalhoso para alguns números. Então vamos ver um procedimento para decompor números naturais em fatores primos. Nota: Há várias fazer de fazer, vamos ver aqui apenas uma. O esquema seguinte mostra uma forma de decompor o número 18 em fatores primos. 1) Escreve-se o 18 e traça-se uma linha vertical. 2) Divide-se 18 pelo menor número primo que é seu divisor (2 que é colocado à sua direita). 3) Coloca-se o resultado da divisão (9) debaixo do 18. 4) Divide-se esse resultado (9) pelo menor primo que é seu divisor (3 que é colocado à direita). 5) Coloca-se o resultado debaixo do

3 6) Divide-se esse resultado (3) pelo menor primo (3 que é colocado à sua direita). Quando o resultado for a unidade (1) o processo termina. A coluna da direita são os fatores primos, então, 18 = = Na prática faz-se um único esquema. Veja os exemplos da decomposição dos números 20, 63 e = 2 2 5, 63 = 3 2 7, 135 = Exercícios resolvidos 1. Decomponha em fatores primos os seguintes números: a) 30 b) 12 c) = = = Complete as seguintes decomposições em fatores primos. a) = 90 b) 2 2 = 36 c) 3 7 = 5 a) Temos de procurar o número em falta para que o resultado seja = 9 45 = 45, então 90: 45 = 2. R: = 90 b) 36: 4 = 9, mas como 9 não é primo, devemos escrever 3 2. R: = 36 c) 3 7 = 21, 5: 21 = 5. R: = 5 3

4 3. Considere os números A e B decompostos em fatores primos: A = B = a) Qual é o quociente da divisão de A por 2, por 4, por 5 e por 7? b) Explique por que 2, 6, 9 e 5 são divisores de B. c) Escreva a decomposição em fatores primos de A B, 2 A e 4 B a) A: 2 = = = 700 A: 4 = = = 350 A: 5 = = = 280 A: 7 = = 4 25 = 0 b) 2 e 5 encontram-se na decomposição de B 6 = 2 3 e 9 = 3 2 e 2 3 e 3 2 estão na decomposição de B. c) A B = = A = = B = = = A decomposição de um número em fatores primos é a) Justifique que esse número é par. b) Justifique que é divisor desse número. c) Escreva a decomposição em fatores primos de um múltiplo desse número maior do que ele. a) 2 encontra-se na decomposição logo o número é divisível por 2, então é par. b) 2 5 = encontra-se na decomposição logo é divisível por c) Basta multiplicar por qualquer número primo ou produto de números primos, por exemplo, por 3. Então fica

5 Aplicação da decomposição de um número para simplificar frações Exercício resolvido (revisão) Simplifique, se possível, as frações seguintes tornando-as irredutíveis: 8, 9 15, 8 = = 3 5 Dividindo o numerador e o denominador por 2 Dividindo o numerador e o denominador por 3 = 1 Dividindo o numerador e o denominador por É irredutível. 30 e 7 4 Nota. Para simplificar uma fração divide-se o numerador por um divisor comum ao numerador e denominador. Se esse número for o máximo divisor comum do numerador e denominador a fração fica irredutível. Caso contrário obtém-se uma fração equivalente que não é irredutível. 30 = 1 3, m. d. c. (, 30) =, Então 1 3 é irredutível. = 5, Dividiu-se o numerador e denominador por 5 que não é m. d. c. (,30) A fração obtida não é irredutível. Nos casos pouco trabalhosos como, os anteriores, podemos encontrar os divisores do numerador e denominador da fração mentalmente. Simplificação de frações usando a sua decomposição em fatores primos Exemplos 8 Decompõe-se o e o 8 em fatores primos. 8 = = = = 5 4, Na prática este procedimento simplifica-se eliminando os fatores comuns, isto é, Diz-se habitualmente que se cortam os fatores comuns. 5

6 Mais exemplos , 7 é primo, logo não se decompõe, e como não há fatores comuns no numerador e denominador, a fração é irredutível Repare que os fatores que se eliminam formam o máximo divisor comum do numerador com o denominador, no caso anterior = 9, isto é, m. d. c. (360,1134) = 18 Exercícios resolvidos 1. Use a decomposição do numerador e do denominador para simplificar as frações seguintes tornando-as irredutíveis. a) b) c) Indique qual é o máximo divisor comum do numerador e denominador de cada uma das frações do exercício anterior. 1 a) = = = 15 7 b) 490 = = 2 72 = 2 49 = c) = = = 7 22 Sugestão: Faça as decomposições por si para confirmar 2. O m.d.c. é valor que se elimina no numerador e denominador a) 2 3 = 6 b) 5 c)