MDI0001 Matemática Discreta Aula 01

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1 MDI0001 Matemática Discreta Aula 01 e Karina Girardi Roggia karina.roggia@udesc.br Departamento de Ciência da Computação Centro de Ciências Tecnológicas Universidade do Estado de Santa Catarina 2016 Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 1 / 24

2 Sumário Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 2 / 24

3 Matemática Discreta Por que Discreta? Limitações finitas de um computador tamanho da memória número de instruções que pode executar número de símbolos que pode tratar Portanto é necessário o estudo de estruturas baseadas em conjuntos finitos Porém isto não implica pré-fixação de tamanhos máximos (por exemplo: armazenamento) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 3 / 24

4 Matemática Discreta Conjuntos de recursos computacionais são contáveis ou discretos (em oposição ao termo contínuo) podem ser enumerados (não há elemento entre quaisquer outros dois) Exemplo: N versus R Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 4 / 24

5 Matemática Discreta Estudo baseado em Conjuntos Contáveis, finitos ou infinitos Matemática do Contínuo Cálculo Diferencial e Integral Análise Matemática Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 5 / 24

6 Conjuntos Conceito Denotação: por extensão e por compreensão Pertinência Conjuntos finitos e infinitos Conjunto vazio e conjunto universo Contingência Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 6 / 24

7 Por que Lógica? Teoremas Pode ser visto como um problema a ser implementado A prova ou demonstração é a solução computacional Programação Segue a lógica proposicional clássica Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 7 / 24

8 Lógica Proposicional Clássica Proposição Sentença, frase ou construção que se pode atribuir juízo É o átomo da lógica Verdadeiro ou Falso Conectivos Operam sobre as proposições Constroem fórmulas mais complexas Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 8 / 24

9 Conectivos e (conjunção) ou (disjunção) não (negação) se-então (condicional) se-e-somente-se (bicondicional) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 9 / 24

10 Tabelas-Verdade Conjunção e Disjunção p q p q p q V V V V V F F V F V F V F F F F Negação p p V F F V Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 10 / 24

11 Tabelas-Verdade Condicional e Bicondicional p q p q p q V V V V V F F F F V V F F F V V Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 11 / 24

12 Tautologia e Contradição Tautologia Fórmula que é sempre verdadeira Para qualquer combinação de valores das proposições Contradição Fórmula que é sempre falsa Para qualquer combinação de valores das proposições Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 12 / 24

13 Introduc a o Pre -requisitos Noc o es de Lo gica Te cnicas de Demonstrac a o Condic a o Necessa ria Condic a o Suficiente Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 13 / 24

14 Quantificadores Passagem da Lógica Proposicional para a Lógica de Primeira Ordem Seja uma proposição sobre um conjunto de valores, como n > 1 Dependendo do valor de n, o valor-verdade muda. Para cada valor de n, uma proposição diferente é considerada. p(n) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 14 / 24

15 Quantificadores Quantificador Universal Para todo x x U, p(x) Quantificador Existencial Existe x x U, p(x) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 15 / 24

16 Quantificadores Existência Unicidade Existe somente um Existe e é único Simbolizado por!!x p(x) ( x p(x)) ( x y p(x) p(y) x = y) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 16 / 24

17 Raciocínio Indutivo Raciocínio Dedutivo Conjectura: todas as bolas são vermelhas. E se o pote não fosse transparente? Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 17 / 24

18 Teoremas Proposição do tipo que deve ser demonstrada. p hipótese q tese p q Demonstração: sequência de proposições que seguem a partir da hipótese que devem ser justificadas com passos lógicos, definições ou teoremas anteriormente demonstrados. Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 18 / 24

19 Verdadeiro ou Falso? A partir de uma afirmação qualquer, por exemplo, n N n! n 3 Como provar se é verdadeira ou falsa? Análise da afirmação Demonstração caso seja verdadeira Contra-exemplo caso seja falsa Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 19 / 24

20 Algumas Dicas Iniciais Um teorema da forma p q é usualmente provado em duas partes. Indo : p q. E voltando : q p. Exemplo geralmente não é prova. Exceção: conjectura é a existência de um elemento que respeite alguma propriedade. No caso de um número finito e pequeno de elementos, pode-se mostrar o que se quer elemento a elemento. (Prova por exaustão) Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 20 / 24

21 Prova Direta Pressupõe que a hipótese p é verdadeira e segue até deduzir a tese q também como verdadeira. Ou seja, partindo-se de p, chega-se a q. Exemplo: Reescrita pela forma p q a soma de dois números pares é par se m e n são dois números pares quaisquer, então m + n é par Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 21 / 24

22 Prova por Contraposição Baseia-se no resultado p q q p p q p q p q q p V V V F F V V F F F V F F V V V F V F F V V V V Para provar p q, faz-se a prova direta de q p. Exemplo: n! > (n + 1) n > 2 Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 22 / 24

23 Redução ao Absurdo Baseia-se no resultado p q (p q) F p q p q V V V V F F F V V F F V Para provar p q, faz-se a prova direta de (p q) F. supõe-se a hipótese: p supõe-se a negação da tese: q chega-se a uma contradição, por exemplo, s s Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 23 / 24

24 Redução ao Absurdo Exemplo: 0 é o único elemento neutro da adição em N Reescrevendo na forma p q Suponha Seja se 0 é elemento neutro da adição em N então 0 é o único elemento neutro da adição em N 0 é um elemento neutro da adição em N 0 não é o único elemento neutro da adição em N e um outro elemento neutro da adição em N tal que e 0 Karina G. Roggia 2016 MDI Aula01 24 / 24