4a. Lista de Exercícios

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1 UFPR - Universidade Federal do Paraná Deparameno de Maemáica Prof. José Carlos Eidam CM4 - Cálculo I - Turma C - / 4a. Lisa de Eercícios Inegrais impróprias. Decida quais inegrais impróprias abaio são convergenes e ene calcular seu valor. Denre as convergenes, ene deerminar aquelas que são absoluamene convergenes. () (4) (7) () α, α > () ln (5) sen( ) (8) α e β, α,β > () (3) + (4) (6) (9) + () e α, α > (7) sen( α ) (5) (8) () α e β, α,β > (3) β, α,β > (6) α ln, α > (9) (3) α, α > (3) sen α, α > (6) cos( ) (9) e sen () ln, α > (8) α ln cos α, α > sen( α ), α > e ln + sen (5) 3 + 5ln () e sen(/) (4) (7) α e. Calcule a derivada das seguines funções: () f () = 5sen (4) f () = (7) f () = () f () = sen sen cos, α > (3) (3) sen (33) + 3 sen( ) () f () = e 3 (5) f () = + e (8) f () = 3 α, α,β > + β (ln ) α, α > sen / e (3) f () = e ( )e (6) f () = 3 4 (9) f () = + 8 e cos( )e ln 3 cos( ) +7 3 e () f () = sen( ) () g () = sen ( + ) e ln + 4

2 3. Esboce o gráfico das funções abaio: () f () = e () f () = (3) f () = 4. Seja f uma função conínua em um inervalo I conendo a origem e seja y = y() = Prove que y + y = f () e y() = y () =, para odo I. 5. Calcule lim cos( ) e / 6. Mosre que f () = 7. Seja f () =. + +, R. + 4 (a) Mosre que f é crescene e ímpar. e sen( )f () é consane em (, ). Qual o valor dessa consane? + (b) Mosre que f () f () +,. (Sugesão: Inegre de a.) + 4 (c) Mosre que lim f () eise e é um número real posiivo. (d) Esboce o gráfico de f (), localizando seu pono de infleão. 8. Seja f () = e. Mosre que f () f () =, para odo R. 9. Seja F : [,+ [ R dada por F () = 3. (a) Calcule o comprimeno do gráfico de F enre = e = 4. (b) Calcule lim F ( 3 ) F (8) sen( ). (Função Gamma) A função Gamma é definida por para >. Γ() = e, (a) Mosre que Γ é bem-definida, i.e., que a inegral acima é convergene para odo >. (b) Use inegração por pares para mosrar que Γ( + ) = Γ(), para odo >. (c) Use indução em n para mosrar que Γ(n) = (n )! para odo ineiro n >. Isso mosra que a função Γ é uma eensão da função faorial para odos os reais posiivos. (d) Use o íem () para definir Γ em oda a rea, eceo nos ineiros não-posiivos.. (Transformada de Laplace) Dada f : (, + ) R, a ransformada de Laplace de f é definida como L f () = e f (), para >. A ransformada de Laplace é uma ferramena muio úil para resolver ceras equações diferenciais.

3 3 (a) Dizemos que f é de crescimeno eponencial se eisem α, a, M > ais que f () Me α para odo > a. Mosre que se f é de crescimeno eponencial enão L f é bem-definida (i.e., a inegral converge) para odo >. (b) Mosre que se f é de crescimeno eponencial e diferenciável enão L (f )() = L f () f (). Enconre uma fórmula semelhane para L (f ) (c) Seja H α a função que vale se α e zero se < < α. Calcule L H α () (d) Verifique as seguines igualdades: () L () = / () L (e α ) = ( α), > α (3) L ( n ) = n! n, n N (4) L ( α ) = Γ(α + ) α (5) L (sen(α)) = α +α (6) L (sinh(α)) = α α, > α (7) L (cos(α)) = +α (8) L (cosh(α)) = α, > α (9) L ( n e α ) = n!( α) n, n N. (Função Erro) A função Erro é definida por erf() = e, R. π (a) Mosre que a função erf é bem-definida, i.e., a inegral acima converge. (b) Esboce o gráfico da função erro. (c) Pode-se provar que e = π. Use ese fao e a mudança de variável = u para mosrar que Γ(/) = π. 3. (Função seno inegral) A função Seno inegral é definida como Si() = (a) Mosre que a função Si é bem-definida, i.e., a inegral acima converge. (b) Esboce o gráfico de Si. (Pode-se provar que lim Si() = π/; você pode usar ese fao.) Polinômio de Taylor 4. Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no pono indicado: () f () = e, = () f () = e, = (3) f () = sen, = (4) f () = cos, = (5) f () = cos, = (6) f () = arcg, = (7) f () = ln( + ), = (8) f () = ln ( + ), = (9) f () = , = () f () = sinh, = () f () = cosh, = () f () =, = (3) f () = +, = (4) f () = ln( + ), = (5) f () = cos, = 5. Use o polinômio de Taylor de ordem e a fórmula de Taylor com reso de Lagrange para calcular um valor aproimado para cada um dos números abaio, esimando o erro: (a) ln(,) (b) sen(,) (c) g(,) (d) 4 6, (e) 8,97 (f) cos( π +,5) (g) e,7 (h) arcg(,9) (i) ln(,) (j) cosh(,)

4 4 6. Use a fómula de Taylor com reso de Lagrange para mosrar as igualdades abaio: (a) e = lim Nn= n N n!, R (b) sen = lim Nn= N ( ) n n+ (n+)!, R (c) cos = lim N Nn= ( ) n n (n)!, R (d) ln( + ) = lim Nn= ( ) n+ N n n, < (e) arcg = lim Nn= N ( ) n n+ n+, (f) ln( ) + = limn N n+ n= n+, < 7. Uilizando o eercício anerior, obenha um valor aproimado de: (a) e, com erro inferior a 5 (b) sen, com erro inferior a 7 (c) cos, com erro inferior a 5 (e) e, com erro inferior a 5 (g) π/4, com erro inferior a 5 (d) ln e ln3, com erro inferior a 5 (f) arcg(/) e arcg(/3), com erro inferior a 5 (h) cos(/), com erro inferior a 5 8. Calcule d 3 arcg () e d 3 arcg () Esime as inegrais abaio: (a) (c) (e) sen( ), com erro inferior a 5 ln( + 4 ), com erro inferior a, com erro inferior a 6 (b) (d) (d) e 3, com erro inferior a 7 e, com erro inferior a 7 cos( ), com erro inferior a 7. Uilizando os polinômios de Taylor das funções envolvidas, calcule os seguines limies: (a) lim sen (f) lim e Resposas () (b) lim cos (g) lim e 3 CA* C** Valor D** α > (α ) α α < ( α) α α > α > 6 α > α > / (c) lim sen 3 (h) lim arcg ln( + ) (d) lim ( ) sen 3 3! (i) lim 5 ln( + ) ln( ) (e) lim ( ) e + + (j) lim 3

5 5 CA* C** Valor D** 3 π/ α 7 α < α 8 β > α + β α + 9 α > α β > β 6 7 π/ 8 α > α (Legenda: CA - Converge absoluamene; C-Converge; D-diverge) (4) () p n () = + + /! n /n!; () p n () = e + e( ) + e( ) /! e( ) n /n!; (3) p k+ () = 3 /3! + ( ) k k+ /(k + )!; (4) p k () = /! + ( ) k k /(k)!; (5) p n () = cos sen( ) + cos( ) /! sen( ) 3 /3! f (n) ()( ) n /n!; (6) p k+ () = 3 /3 + 5 / ( ) k k+ /(k + ); (7) p n () = / + 3 / ( ) n n /n; (8) p k+ () = + 3 / k+ /(k + ); (9) p n () = p 3 () = + ( ) + 5( ) + ( ) 3 para odo n 3; () p k+ () = + 3 /3! k+ /(k + )!; () p k () = + /! k /(k)!; () p n () = n ; (3) p k () = ( ) k k ; (4) p n+ () = 3 / + 4 / ( ) n n+ /n; (5) p k () = k k /(k)!