INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-45 Cálculo Diferencial e Integral I (Escola Politécnica) Terceira Lista de Eercícios - Professor: Equipe de Professores. APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREAS. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções f () = e g() = + 5 e as retas = e =.. Desenhe a região A e calcule a sua área: (a) A = {(, y) R : y 4, y e y + + }, (b) A = {(, y) R : y, y + e y }.. Determine m > para que a área delimitada por y =, y = e a reta y = m seja igual a Calcule área da região plana delimitada pela curva y = e por sua reta tangente no ponto de abscissa =. 5. A reta horizontal y = c intercepta a curva y = no primeiro quadrante como mostra a figura. Determine c para que as áreas das duas regiões sombreadas sejam iguais. 6. Calcule + d, interpretando-a como uma área. 7. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f () = + e g() = +, com. 8. Sejam f : [, ] R contínua com f (), para todo [, ], A = {(, y) R : e y f ()} e B = {(, y) R : e y + } tais que a área de A B seja igual a. Calcule f () d.. arctan arctan + 6. a) 4. m = , b) c = π Calcule as integrais indefinidas abaio:. INTEGRAIS INDEFINIDAS d. e d. cos 7 d 4. 7 sin 5. d 6. tan sec d 7. d 8. cos 9. tan d. + d. + 4 d. tan d tan d + d

2 . 6. d d 7. sec d. d + ln ln d 8. d d 9. (arcsin ).. e d. e + e d 4. e + e d. sin + cos d sin d e arctan + d 6. e cos d 9. ( + ) d 7. r ln d, r R. sin d (ln ) d. e d. arctan d. arcsin d 4. sec d 5. cos d 6. sin cos d sin cos d 8. d d sin cos d ( )( )( ) d ( ) ( ) d d 8 d 45. e d 46. ln( + + ) d 47. d ln d 49. sin(ln ) d a + b d 5. d d 5. d a + b 54. d ( + ) d + d cos d cos 58. sin 5 d 59. sin d 6. sin ) cos 5 ) d d 6. sin 5 6. sin 4 d 6. cos sin cos 5 d 64. sin cos 4 d 65. cos 6 () d 66. cos sin 6 d d sin cos d 69. d (Sugestão: faça u = 6 ) + arctan ( + 4) d 7. d ( + )( + ) d 74. d d d ln( + ) + e 75. d MAT 45 (9) de 8

3 76. 5 e d ( + 4) d k e. + k. 7sin 7 + k 4. tan + k 5. 7 ln + k 6. 4 tan4 + k 7. cos ( 5 cos ) + k 8. ln cos + k 9. tan + ln cos + k. ln( + ) + k. arctan + k. arctan + k. ( ) + k 4. ln sec + tan + k. + ln + k ( + ) 6 + k 7. ln( ) + k 8. (ln ) + k 9. ln arcsen + k. ln( + e ) + k. ln( + cos ) + k. e + k. 4 ( + e ) 4 + k 4. cos + k 5. e arctg + k 6. ( + ) ( + ) + k 7. cos + sin + k 8. e (sin + cos ) + k { r+ r+ ln r+ (r+) + k, se r = 9. (ln ) + k, se r =. (ln ) ( ln ) + k. ( )e + k. arctan + arctan + k. arcsin + + k ln sec + tan + k 5. ( + sin cos ) + k 6. sin 5 sin5 + k 7. 8 ( 4sin 4) + k 8. ln + sin + k 9. 6 ln 5 ln + ln + k 4. sec tan arctg( 6 ) + k 4. ln ln + k ln + 4 ln( + ( + ) ) + + arctan( ) + k 4. arcsin + k ( ) + 8 arcsin + k 45. ( )e + k 46. ln( + + ) + + k 47. ln k 48. (ln ) + k 49. (sin(ln ) cos(ln )) + k 5. ln 4 + k 5. ln + ln( + + ) + arctg( + ) + k 5. a + b + a b ln(b + a + b ) + k 5. b ln( b a + a +b a ) + k ln( + + ) + k arcsen( + ) + k ) + k 56. arctg( 57. sin sin + k 58. cos + cos 5 cos5 + k 59. sin ln sin + k sin 6. 4 cos8 ( ) cos6 ( ) + k 6. tan + ln tan tan + 4tan 4 k sin() + sin(4) + k 6. sin 5 sin5 + 7 sin7 + k sin(4) + 48 sin () + k sin(6) + 64 sin() 44 sin (6) + k 66. cotg 5 cotg5 + k 67. tan + tan cotg() + k 68. arcsin + + k ln 6 + k 7. 6 ln 6 ln( + 4) 64 arctan + 4 ( +4) + k arctan 7. + ln ln + + k 7. arcsin( ) ( ) + + k 7. ln + + ln( + ) + arctan( ) + k 74. ln( + e ) + k 75. ln(+) + ln ln( + ) + k 76. ( + )e + k ln 4 8 ln( + 4) 8 arctan ( ) + k MAT 45 (9) de 8

4 . Calcule sin( + ) d.. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h.. Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação + y = a e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano Oz são quadrados. 4. Calcule o comprimento do gráfico de f () = ln(cos ), para π Calcule a área da região do plano limitada pela elipse a + y b =. 6. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio O do conjunto (a) A = {(, y) R : y, + y 5 e > }. (b) A = {(, y) R : y e ( ) + y }. (c) A = {(, y) R : e e y e }. (d) A = {(, y) R : >, y e / y 4/ }. 7. Seja A = {(, y) R : e ln( + ) + y e + 4}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y =. 8. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = da região delimitada pelas parábolas y = e y =. 9. O disco + y a é girado em torno da reta = b, com b > a, para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume.. Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, h a, de uma esfera de raio a.. Determine o comprimento da curva y = cosh, 4.. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R.... L h/.. 8 a. 4. ln( + ). 5. πab. 6. (a) 5 π. (b) π 6. (c) π (e e ). (d) [ 5π π (e + ) d ] ln ( + )d 8. π. 9. (πb)(πa ).. πh (a h ).. senh4 + senh. MAT 45 (9) 4 de 8

5 4. APLICAÇÕES DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO. Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b] e sejam u() e v() funções diferenciáveis cujos valores estão em [a, b]. Prove que d d v() u() f (t) dt = f (v()) dv du f (u()) d d. A fórmula acima é conhecida como Regra de Leibnitz.. Calcule g () onde (a) g() =. Seja F() = sin cos e t dt (b) g() = + t dt. Calcule sin(t )dt F()d em termos de F(). 4. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja y = y() = sin( t) f (t) dt Prove que y + y = f () e y() = y () =, para todo I. 5. Calcule lim 6. Mostre que f () = 7. Seja f () = cos(t ) dt e t dt e t /. t + dt + 8. Seja F : [, + [ R dada por F() = t dt é constante em (, ). Qual o valor dessa constante? + dt. Mostre que f () f () =, para todo R. t dt. (a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre = e = 4. F( ) F(8) (b) Calcule lim sin( ). F() π. 8. (a) 6 5 (b) 5 5. POLINÔMIO DE TAYLOR. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem, calcule um valor aproimado e avalie o erro. (a) 8, (b) ln(, ) (c) sin(, ). Mostre que: ) (a) sin, R. (b) e ( + + <, [, ]!. (a) Seja n > um inteiro ímpar. Mostre que ( sin! + 5 5! + + ( ) n n! n ) n+, R. (n + )! (b) avalie sin com erro inferior a (a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n da função f () = e em torno de =. (b) Avalie e com erro, ( em módulo, inferior a 5. ) (c) Mostre que e ! + + n n! e n+, R. (n+)! (d) Avalie e,5 com erro inferior a Seja f :]a, b[ R uma função de classe C e suponha que ]a, b[ seja um ponto crítico de f. Mostre que: (a) se f ( ) >, então é um ponto de mínimo local de f ; (b) se f ( ) <, então é um ponto de máimo local de f. MAT 45 (9) 5 de 8

6 6. MISCELÂNEA. Trabalho. Quando uma força constante de intensidade F é aplicada na direção do movimento de um objeto e esse objeto é deslocado de uma distância d, definimos o trabalho W realizado pela força sobre o objeto por W = F.d, se a força age no sentido do movimento e por W = F.d, se ela age no sentido oposto. Suponha agora que um objeto está se movendo na direção positiva ao longo do eio, sujeito a uma força variável F(). Defina o trabalho W realizado pela força sobre o objeto quando este é deslocado de = a até = b, e encontre uma fórmula para calculá-lo.. Energia cinética. Use as notações do eercício anterior, a segunda lei de Newton e a regra da cadeia dv dt = dv d d dt = v dv d para mostrar que o trabalho realizado por uma força F atuando sobre uma partícula de massa m que se moveu de até é W = F()d = mv mv, onde v e v são as velocidades do corpo em e. Em Física, a epressão mv é chamada de energia cinética de um corpo em movimento com velocidade v. Portanto, o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética do corpo e podemos determinar o trabalho calculando esta variação.. Suponha que uma partícula se desloca ao longo do eio, segundo uma função horária : [t, t ] R e sob ação de uma força f () i, dada f : R R contínua. Admita que a dinâmica da partícula é governada por um modelo relativístico: sua massa m depende da sua velocidade v, segundo a função m : ( c, c) R definida por (dados c > velocidade da luz e m > massa de repouso): m(v) = ( ), v c e sua função horária satisfaz a equação diferencial: d ( m( (t)) (t) ) = f ( (t) ). dt Mostre que, se interpretarmos o trabalho f () d realizado pela força f quando a partícula se desloca de = (t ) a = (t ) como variação de energia E, e se m = m ( (t ) ) m ( (t ) ), então E = m c. Sugestão: Use o teorema de mudança de variáveis na integral de Riemann e o teorema fundamental do cálculo. 4. Seja G() = t t m e u du dt. Calcule G () e G (). 5. Calcule o comprimento da astróide + y = a. 6. Seja f () = dt, R. + t 4 (a) Mostre que f é crescente e ímpar. (b) Mostre que f () f () +,. (Sugestão: Integre +t 4 (c) Mostre que lim f () eiste e é um número real positivo. (d) Esboce o gráfico de f (), localizando seu ponto de infleão. 7. Estude as seguintes integrais de Riemann impróprias: + + (a) ln() d; (b) + d; (c) e d. 8. Avalie e d com erro inferior a Mostre, usando o polinômio de Taylor, que t de a.) ( cos( )d 5.! + 9.4! ).6!.7!. MAT 45 (9) 6 de 8

7 4. G () = eu du, G () = eu du + e. 5. 6a. 7. (a) ; (b) π 4 ; (c). 7. TESTES Questão. Sabendo que f :], + [ R é uma função contínua que satisfaz a equação + para todo > e algum a >, então f (t) é igual a: (a) t e t ; (b) t e t ; (c) t e t ; (d) t e t ; (e) t e t. a f (t)dt = e, Questão. Seja R a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y = + e pela reta normal à essa curva no ponto (, ). O volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eio O é: (a) 6π 6π 6π 6π 64π ; (b) ; (c) ; (d) ; (e). π/ ( sin ) Questão. cos e t dt d é igual a: (a) (e + ); (b) (e ); (c) (e ); (d) (e + ); (e) (e ). Questão 4. Se a e b são números positivos distintos então (a) ; (b) ; (c) a b; (d) (a b) ln ; (e) π/4 (a b) ab ln. e a e b ( + e a )( + e b d vale ) Questão 5. O valor de (cos t + + t sin t cos t) dt é: π/4 (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e). π sin π (t) Questão 6. Sobre sin (t) + cos (t) dt cos (t) sin dt pode ser afirmar que: (t) + cos (t) (a) vale ; (b) é positiva e menor que π ; (c) é negativa e maior que π ; (d) é maior que π ; (e) é menor que π. Questão 7. A integral e e ln d é (a) ; (b) ; (c) ; (d) ln ; (e) ln. Questão 8. A região limitada pelas curvas y = e y = no primeiro quadrante é rotacionada em torno do eio Oy. O volume do sólido obtido é: (a) π ; (b) π 6 ; (c) π ; (d) π ; (e) π. Questão 9. O valor de d 4 e t dt é d (a) e 6 ( e 8 6 ) ; (b) 4 e 8 ; (c) e ; e (d) ; (e) ( e 6 4e 8 6 ). MAT 45 (9) 7 de 8

8 . (b). (e). (c) 4. (e) 5. (a) 6. (a) 7. (d) 8. (b) 9. (e) MAT 45 (9) 8 de 8