Teoremas fundamentais dos espaços normados

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1 Capítulo 9 Teoremas fundamentais dos espaços normados 9.1 Teorema de Hahn-Banach O próximo teorema, conhecido como teorema de Hahn-Banach, é uma generalização do Teorema 4.12, o qual, recordamos para conveniência de leitura. Seja T : D(T) X Y um operador linear limitado de um espaço normado X num espaço de Banach Y cujo domínio D(T) é denso em X. Então o operador T pode prolongar-se a todo o espaço X sem o aumento da norma. Este teorema é verdadeiro, em particular, para funcionais lineares limitados, pois o corpo (R ou C) é um espaço de Banach. O teorema de Hahn-Banach mostra-nos que é possível prolongar a todo o X sem o aumento da norma qualquer funcional linear limitado mesmo que o seu domínio não seja denso em X. Definição 9.1 (Funcional sub-aditivo) Seja X um espaço vectorial (real ou complexo) e p : X R um funcional tal que para quaisquer x, y X e α 0 real temos p(x + y) p(x) + p(y), (9.1) p(αx) = αp(x). (9.2) Então p chama-se funcional sub-aditivo. A propriedade (9.1) caracteriza a subaditividade de p enquanto que (9.2) traduz a homogenidade positiva. Note que a aplicação norma num espaço normado X é um exemplo de um funcional sub-aditivo. 200

2 Teorema 9.2 (Hahn-Banach em espaços vectoriais complexos) Seja X um espaço vectorial complexo e p um funcional sub-aditivo em X tal que para qualquer α C temos p(αx) α p(x). Seja ainda f um funcional linear com D( f ) um subespaço de X tal que f (x) p(x), x D( f ). Então f possui uma extensão linear f a todo X tal que f (x) p(x), x X. Prova. Ver por exemplo [Kre78, Teorema 4.3-1]. Embora o teorema de Hahn-Banach em espaços vectoriais complexos não envolva a continuidade, uma das suas principais aplicações tem a ver com funcionais lineares limitados. Teorema 9.3 (Hahn-Banach em espaços normados) Seja f um funcional linear limitado definido num subespaço D( f ) de um espaço normado X. Então existe um funcional linear limitado f em X o qual é uma extensão de f a todo X com a mesma norma f X = f D( f ), onde f X := sup f (x), f D( f ) := sup f (x). x X, x =1 x D( f ), x =1 Prova. Vamos supor que D( f ) {0}, pois caso contrário f = 0 e a extensão é f = 0. Com vista a usar o Teorema 9.2, vamos descobrir o funcional p. Para todo x D( f ) temos f (x) f D( f ) x e se p(x) := f D( f ) x, então p é um funcional sub-aditivo e ainda temos f (x) p(x). Mas agora p pode definir-se em todo X e neste conjunto p ainda é sub-aditivo, pois pela desigualdade triangular p(x + y) f D( f ) x + y f D( f ) ( x + y ) = f D( f ) x + f D( f ) y 201

3 e p(αx) = f D( f ) αx = f D( f ) α x = α p(x). Então, pelo Teorema 9.2, existe um funcional f em X o qual é uma extensão de f e satisfaz f (x) p(x) = f D( f ) x. Daqui resulta imediatamente que f X = sup f (x) f D( f ). x X, x =1 Como numa extensão a norma nunca diminui, então temos também f X f D( f ). Assim, f é uma extensão de f com a mesma norma. Corolário 9.4 Quando o espaço normado X é de Hilbert, então o teorema anterior torna-se muito simples. De facto, se X = H é um espçao de Hilbert e f : D( f ) H C é um funcional em que D( f ) é um subespaço fechado, então f admite uma representação de Riesz (cf. Teorema 4.17) f (x) = (x, z), x D( f ) e z = f. Como é claro, o produto interno está definido em todo H, pelo que temos uma extensão f em todo H com f = z = f. Teorema 9.5 (Funcional linear limitado) Seja X um espaço normado e x 0 X\{0} um elemento não nulo dado. Então existe um funcional linear limitado f X tal que f = 1 f (x 0 ) = x 0. Prova. Consideremos o subespaço Z de X gerado por x 0, isto é, se x Z, então existe α C tal que x = αx 0. Em Z definimos um funcional linear por Temos f = 1, pois f : Z C, x f (x) = f (αx 0 ) := α x 0. f (x) = f (αx 0 ) = α x 0 = αx 0 = x. 202

4 Então, pelo Teorema 9.3 existe uma extensão f de f a todo X com norma f = f = 1. Da definição de extensão resulta que f D( f ) = f, logo f (x 0 ) = f (x 0 ) = x 0. Corolário 9.6 (Norma, vector nulo) Para qualquer x num espaço normado X temos f (x) x = sup f X, f 0 f. (9.3) Se x 0 é tal que f (x 0 ) = 0 para todos f X, então x 0 = 0. Prova. Do Teorema 9.5 com x substituindo x 0 temos f (x) sup f X, f 0 f e do facto f (x) f x resulta que f (x) f = x 1 = x f (x) sup f X, f 0 f x. Assim, (9.3) resulta das duas desigualdades anteriores. Exercícios Exercício 9.1 Mostre que nas condições do Teorema 9.5 existe um funcional linear limitado fˆ tal que f ˆ(x 0 ) = 1 fˆ = x0 1. Exercício 9.2 Mostre que se x 0 é um elemento num espaço normado X tal que f (x 0 ) k para todos f X com norma 1, então x 0 k. Exercício 9.3 Seja X um espaço normado e X o seu dual. Mostre que se X {0}, então X não pode ser {0}. 203

5 9.2 Teorema de Banach-Steinhaus O teorema de Banach-Steinhaus provado pelos matemáticos S. Banach e H. Steinhaus em 1927 é um dos resultados mais importantes em análise funcional. Ao contrário do teorema de Hahn-Banach, o teorema de Banach-Steinhaus, assim como os dois que se seguem, da aplicação aberta e do gráfico fechado, requerem que os espaços normados sejam completos, ou seja, espaços de Banach. Este facto, estes três teoremas caracterizam algumas das propriedades mais inportantes dos espaços de Banach as quais não válidas em espaços normados em geral. É de realçar que os próximos três teoremas surgem a partir do teorema de Baire o qual por si só tem várias aplicações em análise funcional. Definição 9.7 (Categoria de um conjunto) Um subconjunto M de um espaço métrico X diz-se 1. raro (nowhere dense) em X se M não possui pontos interiores. 2. de primeira categoria em X se M é a união numerável de conjunto cada um dos quais é raro em X, 3. de segunda categoria em X se M não é de primeira categoria em X. Teorema 9.8 (Categoria de Baire ou espaço métrico completo) Se X é um espaço métrico completo, então é um conjunto de segunda categoria. Assim, se X é um espaço métrico completo e X = A k, k=1 onde A k são conjuntos fechado, então pelo menos um conjunto A k contém um conjunto aberto (digamos uma bola) não vazio. Observação Um exemplo de um conjunto de primeira categoria em R é o conjunto dos números racionais Q. 2. O inverso do teorema de Baire não é verdadeiro, pois, existem conjuntos de segunda categoria que não são completos. Agora estamos preparados para estabelecer o teorema de Banach-Steinhaus ou princípio da limitação uniforme. Este teorema estabelece que se X é um espaço 204

6 de Banach e T n B(X, Y), n N é uma sucessão de operadores limitados em cada ponto x X, T n x K(x), então a sucessão (T n ) n=0é uniformemente limitada, isto é, T n C. Por outras palavras, a limitação das normas T n x ponto a ponto implica a limitação uniforme das normas T n. Teorema 9.10 (Banach-Steinhaus ou limitação uniforme) Seja (T n ) n=1 uma sucessão de operadores lineares limitados definidos T n : X Y de um espaço de Banach X num espaço normado Y tal que a sucessão ( T n x ) n=1 é limitada para qualquer x X, digamos T n x K(x), n N. (9.4) Então a sucessão das normas ( T n ) n=1 também é limitada, isto é, existe C tal que T n C, n N. (9.5) Prova. Para cada k N, seja A k o subconjunto em X definido por A k := {x X; T n x k, n N}. O conjunto A k é fechado, pois, se x Ā k, então existe uma sucessão (x i ) i=1 A k tal que x i x. Assim, para cada n fixo, temos T n x i C. Como T n é contínuo temos T n x C. Deste modo, provamos que x A k ou seja A k é fechado. De (9.4) resulta que cada x X pertence a um certo A k, pelo que X = A k. k=1 Como X é de Banach, logo completo, então o teorema de Baire garante que pelo menos um dos A k contém uma bola aberta: Para x X\{0} arbitrário definimos B 0 = B(x 0, r) A k0. z := x 0 + γx, γ = r 2 x. 205

7 É claro que z B 0, pois, z x 0 = r/2 < r, daqui resulta que z A k0 e, assim, temos T n z k 0, n N. Por outro lado, é óbvio que x 0 B 0 A k0 logo T n x 0 k 0. Como x = (z x 0 )/γ, então para qualquer n temos ( ) T n x = 1 T n γ (z x 0) 1 γ ( T nz + T n x 0 ) 4 r x k 0. Tomando o supremo obtemos T n 4 r k 0, n N a qual é da forma (9.5) com C = 4k 0 /r. Exemplo 9.11 (Espaço dos polinómios) O conjunto de todos os polinómios X definidos num espaço normado X completo com norma x := max n N 0 α n (9.6) não é completo. O polinómio x é da forma x(t) = α 0 + α 1 t + α 2 t α N t N. Prova. Vamos construir uma sucessão de operadores lineares limitados em X a qual satisfaz (9.4) mas não satisfaz (9.5). Assim, pelo teorema de Banach- Steinhaus X não pode ser completo. Seja x um polinómio de grau N da forma x(t) := N α n t n. n=0 Consideremos a sucessão de operadores (funcionais neste caso) (T n = f n ) n=0 definida por T n 0 = f n (0) = 0, T n x = f n (x) := α 0 + α α n 1. É claro que f n é linear e limitado, pois, por (9.6) temos α n x de forma que f n (x) n x. 206

8 Isto mostra ainda que se x X é um elemento fixo a sucessão ( f n ) n=0 satisfaz (9.4) do Teorema 9.10 porque f n (x) (N + 1) x = K(x). Com vista a mostrar que a sucessão ( f n ) n=0 não satisfaz (9.5) escolhemos o polinómio x 0 da forma x 0 (t) = 1 + t + t t n. Temos x 0 = 1 e Por outro lado f n (x 0 ) = = n = n x 0. f n = pelo que, a sucessão ( f n ) n=0 não é limitada. f n (x) sup f n(x 0 ) = n, x X, x =1 x x 0 Exercícios Exercício 9.4 (Ressonância) Seja X um espaço de Banach, Y um espaço normado e T n B(X, Y), n N uma sucessão de operadores tais que Mostre que existe um x 0 X tal que sup T n =. (9.7) n N sup T n x 0 =. n N O ponto x 0 é muitas vezes chamado ponto de ressonância. Exercício 9.5 Mostre que o facto de X ser completo no teorema de Banach- Steinhaus não pode ser omitido. Considere o subespaço X = l 0 (C) l (C) (cf. prova do Exemplo 1.22) das sucessões que a partir de certa ordem anulam-se, isto é, z = (z i ) i=1 l 0(C) então existe N(z) tal que z i = 0, para qualquer i > N(z)) e a sucessão (T n ) n=1 definida por T n : X X, z T n z := nz n. 207

9 Exercício 9.6 Seja X um espaço de Banach, Y um espaço normado e T n B(X, Y), n N tal que (T n x) n=1 é uma sucessão de Cauchy em Y para qualquer x X. 1. Mostre que ( T n ) n=1 é limitada. 2. Se Y é completo, mostre que T n x T x onde T B(X, Y). Exercício 9.7 Sejam X, Y espaços de Banach e T n B(X, Y), n N. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: 1. A sucessão ( T n ) n=1 é limitada. 2. A sucessão ( T n x ) n=1 é limitada para qualquer x X. 3. A sucessão ( f (T n x) ) n=1 é limitada para todos x X e todos f Y. 9.3 Teorema da aplicação aberta O terceiro grande teorema deste capítulo diz respeito a aplicações abertas, isto é, aplicações que transformam conjuntos abertos em conjuntos abertos, ver Definição 9.12 em baixo. Mais precisamente, o teorema da aplicação aberta estabelece condições para que um operador linear limitado entre espaços de Banach seja uma aplicação aberta. Definição 9.12 (Aplicação aberta) Sejam X, Y espaços métricos e T : D(T) X Y uma aplicação dada. Então T diz-se uma aplicação aberta se a imagem de qualquer aberto em D(T) é um aberto em Y. Observação Quando uma aplicação T : D(T) X Y não é sobrejectiva é preciso distinguir entre a aplicação ser aberta do seu domínio (a) em Y (b) sobre a sua imagem R(T) = T(D(T)). (b) é mais fraco que (a), pois, se X Y a aplicação T : X X Y, x T x := x é aberta se e só se X é um aberto de Y. Enquanto que a aplicação é aberta em qualquer caso. T : X R(T) = X, x T x := x 208

10 2. Recordamos que uma aplicação T : X Y diz-se contínua se a préimagem de qualquer aberto em Y é um aberto em X. Isto não implica que T seja uma aplicação aberta. Por exemplo a aplicação sin( ) : R R, t sin(t) é contínua mas não é aberta, pois, a imagem de (0, 2π) é [ 1, 1]. Teorema 9.14 (Aplicação aberta) Sejam X, Y espaços de Banach e T B(X, Y) um operador dado. Então T é uma aplicação aberta. A prova deste teorema está baseada no seguinte lema. Lema 9.15 (Bola aberta unitária) Sejam X, Y espaços de Banach e T B(X, Y) um operador dado. Então T possui a seguinte propriedade: se B 0 := B 0 (1) X é a bola aberta unitária em torno da origem 0 X, então T(B 0 ) contém uma bola aberta em torno de 0 Y. Prova. Ver por exemplo [Kre78, Lema ]. Prova do teorema aplicação aberta. Vamos mostrar que se O X é um aberto em X a sua imagem por intermédio de T, T(O), é um aberto em Y. Para tal vamos mostrar que qualquer ponto y = T x T(O), x O contém uma bola aberta centrada em y = T x a qual está contida em T(O). Como O é um aberto e x O, então O contém uma bola aberta centrada em x. Assim, O x contém uma bola aberta com centro em 0, digamos B 0 (r) O x, r > 0. Denotando k = 1/r ou ainda r = 1/k, então a bola aberta unitária com centro em 0, B 0 (1), está contida em k(o x). Pelo Lema 9.15, T(k(O x)) = k(t(o) T x) contém uma bola aberta em torno da origem 0, pelo que também T(O) T x. Assim, T(O) contém uma bola aberta em torno de T x = y. Da arbitrariedade de y = T x T(O) resulta que T(O) é aberto. Teorema 9.16 (Inverso limitado ou teorema grande de Banach) Sejam X, Y espaços de Banach e T B(X, Y) um operador bijectivo dado. Então T 1 B(X, Y). 209

11 Prova. É claro que T 1 : Y X existe e é linear, cf. Teorema Por outro lado, T é uma aplicação aberta, pois, está nas condições do Teorema Assim, para qualquer aberto O X em X, TO é um aberto em Y. Mas agora TO é a imagem inversa em Y de O X por intermédio de T 1, logo T 1 é contínuo e, portanto, limitado, cf. Teorema 4.9. Exercícios Exercício 9.8 Sejam X, Y espaços de Banach e T B(X, Y) um operador bijectivo dado. Mostre que existem constantes k 1, k 2 > 0 tais que para todo x X temos k 1 x T x k 2 x. Exercício 9.9 Sejam (X, 1 ), (X, 2 ) espaços de Banach e c > 0 tal que para todo x X x 1 c x 2. Mostre que existe uma constante k > 0 tal que para todo x X temos x 2 k x 1. Assim, as normas 1, 2 são equivalentes. 9.4 Teorema do gráfico fechado Na prática nem todos os operadores importantes são limitados. Exemplo disso é o operador de diferenciação visto nos Exemplos 4.2 e 4.6. Os operadores não limitados aparecem em muitas áreas da matemática mas queles mais usados são os operadores lineares fechados. Assim, pela sua importância prática, vamos dedicar esta secção aos operadores lineares fechados. Definição 9.17 (Operador fechado) Sejam X, Y espaços normados e T : D(T) X Y um operador linear dado. Então T diz-se um operador linear fechado se o gráfico de T G(T) := {(x, y) x D(T), y = T x} (9.8) 210

12 é fechado no espaço normado X Y. As operações algébricas de espaço vectorial em X Y e a norma são definidas por (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) α(x, y) = (αx, αy) (x, y) = x + y. (9.9) A questão agora é saber em que condições um operador linear fechado é limitado. A resposta é dada pelo teorema do gráfico fechado. Teorema 9.18 (Gráfico fechado) Sejam X, Y espaços de Banach e T : D(T) X Y um operador linear fechado. Então se D(T) é fechado em X, o operador T é limitado. Prova. Vamos em primeiro lugar mostrar que X Y com a norma definida em (9.9) é um espaço normado completo. Para tal, tomamos uma sucessão de Cauchy arbitrária (z n ) n=1 com z n = (x n, y n ), n N arbitrária. Temos de mostrar que esta sucessão possui um limite em X Y. Para cada ε > 0 existe uma ordem N ε tal que Assim, claramente z n z m = x n x m + y n y m < ε, n, m > N ε (9.10) x n x m < ε, n, m > N ε y n y m < ε, n, m > N ε. ou seja (x n ) n=1 e (y n) n=1 são sucessões de Cauchy em X e Y, respectivamente. Como X e Y são espaços de Banach, então estas sucessões possuem limite x n x X, n, y n y Y, n. Podemos concluir que z n z = (x, y), pois, em (9.10) fazendo m temos z n z < ε, n > N ε. Portanto, X Y é completo. Por hipótese G(T) e D(T) são fechados, logo completos, cf. Proposição Definimos a aplicação P por P : G(T) D(T), (x, T x) x. A aplicação é claramente linear e limitada porque P(x, T x) = x x + T x = (x, T x) 211

13 de onde resulta P 1. Temos ainda que P é bijectiva sendo o inverso dado por P 1 : D(T) G(T), x (x, T x). Então podemos aplicar o teorema do inverso limitado (Teorema 9.10) para concluir que P 1 é limitado, digamos Por outro lado pelo que T é limitado. P 1 x = (x, T x) k x P 1 k. T x x + T x = (x, T x) k x T k Critério 9.19 (Operador linear fechado) Sejam X, Y espaços normados e T : D(T) X Y um operador linear dado. Então T é fechado se e só se possui a seguinte propriedade. Se (x n ) n=1 D(T) é tal que x n x e T x n y, então x D(T) e T x = y. Prova. Como G(T) é fechado, então se z G(T) (= G(T)) existe (z n ) n=1 G(T) tal que z n z pelo que x n x, T x n y; e z = (x, y) G(T) se e só se x D(T) e y = T x. Observação 9.20 Note que o critério anterior é diferente da seguinte propriedade para operadores lineares limitados. Se T é um operador linear limitado e se (x n ) n=1 D(T) é tal que x n x D(T), então (T x n ) n=1 também converge, mais precisamente, T x n T x. Isto não acontece necessariamente com os operadores lineares fechados. Exemplo 9.21 (Operador de diferenciação) Seja X = C([0, 1]) o espaço de Banach com norma x = max t [0,1] x(t) e T definido por T : D(T) C([0, 1]) C([0, 1]), x (T x)(t) := x (t). O domínio D(T) é formado pelas funções diferenciáveis com derivada contínua. Então T não é limitado mas é fechado. Conclua que D(T) não pode ser fechado pelo Teorema

14 Prova. Já vimos que T não é limitado, cf. Exemplo 4.6. Vamos mostrar que T é fechado aplicando o Critério Seja (x n ) n=1 D(T) uma sucessão tal que x n x, T x n = x n y. Como a convergência em C([0, 1]) é uniforme em [0, 1], então de x n y resulta que y é contínua e ou seja t 0 y(s)ds = t 0 t lim n x n(s)ds = lim x n n(s)ds = x(t) x(0), 0 x(t) = x(0) + t 0 y(s)ds. Assim, x D(T) e x = y T x = y. Portanto T é fechado pelo Critério Finalmente, D(T) não pode ser fechado, pois, se D(T) fosse fechado, então pelo teorema do gráfico fechado T seria limitado. Observação 9.22 O exemplo anterior mostra o facto de T ser fechado não implica ser limitado. Inversamente, T pode ser limitado e não ser fechado. Na verdade, consideremos o operador linear T : D(T) X D(T) X, onde D(T) X é um subespaço próprio denso em X. É claro que T é limitado, T = 1. No entanto T não é fechado porque se x X\D(T), então existe uma sucessão (x n ) n=1 D(T) convergente para x. Temos T x n y = T x mas x D(T). Portanto, pelo Critério 9.19 T não é fechado. Os resultados anteriores parecem indicar que a ligação entre operadores lineares não limitados, domínios e extensões desempenham um papel principal. Assim é de facto; esta é uma área que por si só ocupa um lugar muito importante em análise funcional mas que não é abordada neste curso. Para terminar temos o seguinte lema. Lema 9.23 Sejam X, Y espaços normados e T : D(T) X Y um operador linear limitado dado. Então: 1. Se D(T) é um subconjunto fechado em X, então T é fechado. 2. Se T é fechado e Y é completo, então D(T) é um subconjunto fechado em X. 213

15 Prova. 1. Seja (x n ) n=1 D(T) uma sucessão convergente para x tal que (T x n) n=1 converge. Então x D(T) porque D(T) é fechado e temos ainda T x n T x pois T é contínuo. Pelo Critério 9.19 T é fechado. 2. Seja x D(T) dado e (x n ) n=1 D(T) com x n x, n. Como T é limitado, então a sucessão (T x n ) n=1 Y é tal que T x n T x m T x n x m < ε. Ou seja, uma sucessão é de Cauchy em Y (espaço completo), logo T x n y Y e, por T ser fechado, x D(T), y = T x. Da arbitrariedade de x resulta que D(T) é fechado. Exercícios Exercício 9.10 Seja T um operador linear fechado tal que o seu inverso T 1 existe. Mostre que T 1 também é um operador linear fechado. Exercício 9.11 Seja T um operador linear fechado, (x n ) n=1, ( ˆx n) n=1 D(T) duas sucessões convergentes para o mesmo limite tais que (T x n ) n=1, (T ˆx n) n=1 são convergentes. Mostre que as sucessões (T x n ) n=1, (T ˆx n) n=1 têm o mesmo limite. Exercício 9.12 (Núcleo) Mostre que o núcleo N(T) de um operador linear fechado T : X Y é um subespaço fechado de Y. Exercício 9.13 Sejam X, Y espaços normados, T 1 : X Y um operador linear fechado e T 2 B(X, Y). Mostre que T 1 + T 2 é um operador linear fechado. 214