Um professor de Matemática escreve no quadro os n primeiros termos de uma progressão aritmética: 50, 46, 42,..., a n

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1 Questão 0 U professor de Mateática escreve no quadro os n prieiros teros de ua progressão aritética: 50, 6,,, a n Se esse professor apagar o décio tero dessa seqüência, a édia aritética dos teros restantes será Calcule o tero a n Seja PA (-50, -6, -,, a n ) a -50 e r Então a 0 a + r - Excluindo o 0º tero, a édia aritética dos n - restantes é Assi: S - a n - n 0 Calculando: I S n (a + a n ) n S n [a + a + (n-) r] n S n [-00 + (n - ) ] n S n n - 5n Substituindo e I teos: n - 5n - (- ) n n n n 7 ou n Coo n é inteiro, n 7 Daí a n a 7 a + 6 r a n a n

2 Questão 0 Suponha que, nu cruzaento de ruas de ão única, as édias de veículos que, por inuto, entra e sae desse cruzaento são ostradas neste diagraa: Seja x a édia de veículos que entra, por inuto, no cruzaento, pela rua horizontal, no sentido leste oeste Calcule o valor de x Suponha, agora, que, nua região do centro de ua cidade, co ruas de ão única, as édias de veículos que, por inuto, entra ou sae dos cruzaentos são ostradas neste diagraa: Seja x, y, z e w as édias de veículos que, por inuto, entra ou sae de cada u dos quatros cruzaentos, ostrados nesse diagraa CALCULE os valores de x, y, z e w A) A quantidade de veículos que chega é igual à quantidade que sae x x 0 veículos B) Criando ua equação para cada cruzaento, teos: Z x y (I) ] y + 0 z + 5 (II) [ w + 5 x + w (III) ] z + 0 w + (IV) \ Fazendo (I) + (II): Fazendo (III) - (IV): x y z + y +5 w - z + 5 x + w - x z - 5 (V) x - z + 7 (VI) Igualando V e VI: E VI: z z + 7 x z 6 x E I: E IV: y x - 0 w z + 8 y - 0 w y Os valores são x, y, z 6 e w

3 Questão 0 Ua concessionária de energia elétrica de certo estado brasileiro possui dois planos de cobrança para consuo residencial: o Plano I consiste e ua taxa ensal fixa de R$,00, que perite o consuo de até 60kWh, e, a partir desse valor, cada kwh extra consuido custa R$0,0; o Plano II consiste e ua taxa ensal fixa de R$ 0,00, que perite o consuo de até 80kWh, e, a partir desse valor, cada kwh extra consuido custa R$,0 ESBOCE, no sistea de coordenadas abaixo, os gráficos das funções que representa o custo para o consuidor, e função do consuo de energia elétrica, no Plano I e no Plano II Deterine a faixa de consuo e que o Plano II é ais vantajoso para o consuidor A) As funções preço (custo) são dadas por:, se x # 60 P I (x) ) + 0, (x - 60), se x $ 60 0, se x # 80 P II (x) ) 0 +, (x - 80), se x $ 80, onde x é o consuo de Kwh Assi, os gráficos são: II P (R$) I B 0 A C (Kwh) B) O plano II é ais vantajoso que o plano I para x A < x < x B Ponto A: Ponto B: P I (x) 0, x > 60 P I (x) P II (x), x > , (x - 60) 0 + 0, (x - 60) 0 +, (x - 80) x A 700 kwh x B 0 kwh Logo o plano II é ais vantajoso se o consuo for aior que e enor que 0 kwh 700 kwh

4 Questão 0 Seja ABC u triângulo cujos vértices, e coordenadas cartesianas, são A (, 0), B (, 0) e C (, ) CALCULE a inclinação da reta que passa pelo ponto (0, 0) e divide esse triângulo e duas regiões de áreas iguais y C (,) r D E A (,0) B (,0) x A área do ABC é: S b : h : Coo a reta r divide o ABC e duas regiões de esa área, a área do CDE vale Seja o sistea: y x ) y x - reta r reta suporte do lado AC x x - x - y - (coordenadas do ponto D) Seja o sistea: y x reta r ) y - x + reta suporte do lado BC -x + x x + y + (coordenadas do ponto E) A área do CDE, pelo deterinante, fica: ^ + h + ] - g - 6] - g - ^ + h ] - g ^ + h 8-8 +! ou < 0 8! 7 8-7, pois 0 < < (não convé)

5 Questão 05 Considere o sistea e que a é u núero real positivo DETERMINE o núero de soluções distintas desse sistea e função de a x + ^ y - h a, a > 0 ] Ig * y x ] IIg A equação I representa ua circunferência de centro C(0,) e raio a x, se x H 0 A equação II corresponde a y ) - x, se x < 0 Graficaente, teos: y y -x r: y x C x A distância do centro (0,) à reta r: y x, (x - y 0) é: d c,r Teos, então, 5 casos ostrados na figura: Se a <, não te solução Se a, são soluções Se < a <, são soluções Se a, são soluções Se a >, são soluções

6 Questão 06 Nesta figura, estão representados u tanque cilíndrico e u cilindro sólido etálico, abos circulares retos: O cilindro sólido encontra-se apoiado sobre o fundo e a lateral do tanque, que está, inicialente, vazio Sabe-se que a altura e o raio do tanque ede, respectivaente, e ; o ponto A pertence ao diâetro CD da base do tanque; e o ângulo α BÂD ede CALCULE o raio do cilindro sólido etálico Calcule o volue de água necessário para, na situação descrita, se encher copletaente o tanque ) No triângulo ABC: 0º F G C 0º 0º E r r D 0º A B No triângulo ADE: 6 8 r 0º Logo r ) O volue de água que cabe no tanque é a diferença entre o volue do tanque e o volue do tronco de cilindro AEGC Calculeos inicialente o volue do tronco C F G G 0º E r A E V tronco r d n c + V tronco 8 r Assi: V água V tanque - V tronco cilindro V água π - 8r V água c8r - 8 r

7 Questão 07 Lílian possui sete pares de eias brancas, quatro pares de eias cinza, três pares de eias pretas e cinco pares de eias azuis Sabe-se que as eias de esa cor são idênticas Suponha que todas essas eias estão ebaralhadas e ua gaveta e que Lílian retira dela, aleatoriaente, certo núero de eias Considerando essas inforações, DETERMINE o núero ínio de pés de eia que Lílian deve retirar dessa gaveta para ter certeza de ter, pelo enos, u par de eias de ua esa cor a probabilidade de Lílian, ao retirar exataente dois pés de eia dessa gaveta, obter u par de eias de ua esa cor a probabilidade de Lílian, ao retirar quatro pés de eia dessa gaveta, obter, pelo enos, u par de eias de ua esa cor Coo são cores diferentes, na pior situação, ao Lilian retirar eias, ela ainda não consegue duas de esa cor Na 5ª retirada, co certeza ela obterá u par da esa cor Portanto, para garantir que ela terá, no ínio u par de eias da esa cor, ela deve retirar 5 eias Para conseguir u par da esa cor, ela poderá tirar duas brancas ou duas cinzas ou duas pretas ou duas azuis Então P brancas cinzas pretas azuis ) A probabilidade de Lilian retirar pelo enos u par de eias da esa cor e retiradas é 00% enos a probabilidade dela retirar todas eias de cores diferentes e qualquer orde P -! P 6 70 ª branca ª cinza ª preta 0 5 ª azul

8 Questão 08 Escreva na fora trigonoétrica os núeros coplexos e que i Calcule os enores inteiros positivos e n tais que ) z + i (cos0º + i sen0º) z ( + i) (cos5º + i sen5º) ) ( + i) [ ( + i)] n [ (cos 6 r + i sen 6 r )] [ (cos r + i sen r )] n (cos r + i sen r ) n (cos n r + i sen n r ) 6 6 n e 6r n r + k π n e 6 n + k n e n + k n e n n + k n e n k, usando k, pois e n são os enores inteiros n e 8