Problemas de Máximos e mínimos

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1 roblemas de Máimos e mínimos rof. Me. Arton Barboni ) Obter dois números positivos cuja soma seja 60 e o produto o maior possível. * Supor, R + S = + = 60 (I) =. (II) De (I), segue que = 60 (III). Substituindo (III) em (II), tem-se: () = + 60, 0 < < 60 Temos: () = Se () = 0, então + 60 = 0 e, daí, = 0. Sinal de A função é crescente em 0 < 0 e decrescente em 0 < 60. ortanto, tem máimo local em = 0. Substituindo = 0 em (III), tem-se = 60 (0) = 0. Os números procurados são = 0 e = 0. O maior produto é = 900. ) Construir uma caia em forma de paralelepípedo, sem tampa, com uma chapa de papelão quadra de cm de lado. O processo de construção consiste em recortar pequenos quadrados nos cantos da chapa de papelão e dobrar a parte restante para formar os lados da caia. Quais deverão ser as dimensões da caia para que o seu volume seja o maior possível? Supor o lado dos pequenos quadrados e = as arestas da base. Volume da caia: V() = ( ) V() = , 0 < < Temos: V () = Se V () = 0, então = 0 e, daí, = Sinal de V + 0 A função V é crescente em 0 < e decrescente em <. ortanto, V tem máimo local em =. Assim, a caia de maior volume tem base quadrada de = 6 cm de lado e altura = cm. O volume da caia é de V = 0 cm. ) Deseja-se cercar um terreno de forma retangular com uma tela de 0m de comprimento. Sabendo-se que um dos lados do retângulo é um muro, pede-se determinar as suas dimensões de modo que a área seja máima. Seja a medida dos lados do retângulo perpendiculares ao muro e o lado paralelo ao muro. Temos: S = + = 0 (I) A =. (II) De (I), segue que = 0 (III). Substituindo (III) em (II), tem-se: A() = + 0, 0 < < 0 Temos: A () = + 0. Se A () = 0, então + 0 = 0 e, daí, = 5.

2 0 5 0 A função A é crescente em 0 < 5 e decrescente em 5 < 0. ortanto, A tem máimo local em = 5. Substituindo = 5 em (III), tem-se = 0 (5) = 0. As dimensões do terreno fechado deverão ser = 5m e = 0m. A maior área possível é A = 50m. ) Uma caia sem tampa, em forma de paralelepípedo, tem um volume de m. O comprimento de um lado da base é o dobro do outro. O material da base custa R$,00 por m e o das laterais R$,00 por m. ede-se: a) Epressar o custo da construção em função da menor dimensão da base. b) Quais devem ser as dimensões para se ter custo mínimo? Seja o comprimento do menor lado da base e a altura do paralelepípedo. Área da base = ( ) = Área lateral = () + () = 6 Volume do paralelepípedo = ( ) = (I) Custo total da construção = (,00) + (,00) 6 (II) a) Epressão do custo de construção De (I), segue que = (III). Substituindo (III) em (II), tem-se: 7 C( ) = +, > 0 b) Dimensões para se ter custo mínimo Temos: C '( ) = 8 ou C'( ) =, > 0 Se C () = 0, então 8 7 = 0 e, daí, = 9. Sinal de C A função A é decrescente em 0 < 9 ortanto, C tem mínimo local em = 9. e crescente em 9. 9 Substituindo = 9 em (III), tem-se = ( 9 ) = 8 = = =. ortanto, as dimensões para custo mínimo são: 9 m, 9 m e ( 9 /)m. 5) Um fabricante deseja construir caias em forma de paralelepípedo fechadas, de modo que tenha m de altura e volume m. Quais devem ser as dimensões da caia para que se gaste o mínimo de material? Sejam e as dimensões da base da caia. Sabemos que ela tem altura m. Temos que: Volume = ()( )( ) = m (I) Material gasto = + + (II) De (I), segue que = (III). Substituindo (III) em (II), tem-se: M() = + +, > 0. Temos: M () = =.

3 Se M () = 0, então = 0 e, daí, =. Substituindo = em (III), tem-se = =. As dimensões da caia para ter gasto mínimo são: m X m X m. 6) Deseja-se construir uma calha retangular em forma de U com uma folha metálica de 0cm de largura e comprimento suficiente para suas necessidades. Determinar: a) a epressão da área da seção transversal em função da medida lateral da calha. b) qual é o valor da área transversal máima? Seja a medida das laterais da calha. ortanto, a base mede = 0. a) Área da seção transversal da calha: A () = (0 ), isto é, A() = + 0, 0 < < 0. b) Área máima: Temos que A () = + 0, 0 < < 0. Se A () = 0, então + 0 = 0 e, daí, = A função A é crescente em 0 < 0 e decrescente em 0 < 0. ortanto, A tem máimo local em = 0. Logo, A má = (0) + 0 (0) = 00 cm. 7) Deseja-se construir um canal com a seção transversal em forma de trapézio, sendo que a base menor forma o fundo do canal e tem mesma medida K das laterais. Qual é o ângulo de inclinação das laterais (em relação ao fundo e do lado eterno do canal) para que a área da seção seja máima? Temos: = K cos e = K sen, K > 0 K K K Base maior = K + K cos Base menor = K A = Área do trapézio = (K + K cos α ) + K.(K sen) A ( = K( + cosα + ). K senα = K [ +cos ] sen, 0 < < / Temos: A ( K { sen. sen + [+cos]. cos } A ( K { sen + cos + cos } A ( K { cos + cos + cos } A ( K { cos + cos} Se A (0, então cos + cos = 0 e, daí, cos = ½. Logo, = /. 0 / / A função A é crescente em 0 < / e decrescente em / < /. ortanto, A tem máimo local em = /.

4 8) Determinar as dimensões do retângulo de maior área que tem dois vértices no eio O e os dois outros vértices sobre a parábola = 6 acima do eio O. Encontre a área máima desse retângulo. Temos que (, 6 ). ortanto, A() = 8 +, 0 < <. Temos : A () = +. Se A () = 0, então + = 0 e, daí, = / e = - As dimensões do retângulo são: base = e altura = (6 ) A área do retângulo é A() =. (6 ) 0 A função A é crescente em 0 < ortanto, A tem máimo local em =. Logo, A Má =. [ 6. ] = e decrescente em [6 6 <. ] = 8 9 ua 9) Achar as dimensões de um retângulo de área máima sendo que um dos lados esta sobre a reta = e dois vértices na parábola = /6. = Temos que (, /6) Área do retângulo =.( /6) A() = 6, 0 < < Temos que A () = 6 e, daí, A () = 8 8 Se A () = 0, então 8 = 0 e, daí, =. 0 8 A função A é crescente em 0 < e decrescente em < 8. ortanto, A tem máimo local em =. A Má = 8. = 6 ua. Dimensões do retângulo: base = () = 8 uc, altura = () 6 = uc e

5 0) Determinar a área máima de um trapézio isósceles inscrito numa circunferência de raio 6m, cuja base maior é o diâmetro da circunferência e a base menor tem seus etremos na circunferência. Considerar que a equação da circunferência seja + = O 6 Temos que (, 6 ) Área do trapézio: Base menor = Base maior = Altura = 6 + A() = ( ) 6, 0 < < 6 Temos que A () = 6 ( + 6) e, daí, A () = 6 Se A () = 0, então = 0 e, daí, = A função A é crescente em 0 < e decrescente em < 6. ortanto, A tem máimo local em =. A Má = 6. [ () + 6 ] = 9 7 ua. ) Determinar as dimensões de um cilindro reto de maior volume que pode ser inscrito num cone com raio da base R = m e altura H = 9m. Volume do cilindro = r h (I) Relação entre as dimensões do cone e do cilindro: h r H = 9m H 9-h R = r 9 9- h = r Logo, h = 9 r (II) r Substituindo (II) em (I), tem-se: R = m V() = r (9 r) ortanto, V(r) = ( r + 9 r ), 0 < r < Temos que V (r) = ( 9 r + 8 r) Se V (r) = 0, então 9 r + 8 r = 0 e, daí, r =. 0 A função V é crescente em 0 < r e decrescente em r <. ortanto, A tem máimo local em r =. As dimensões do cilindro são: r = m e h = 9 () = m. 5

6 ) Determinar as dimensões de um triângulo isósceles de área máima inscrito numa circunferência de raio 6cm. -6 O 6 Tem-se que (, 6 ) Área do triângulo: Base = Altura = A( ) =.(6 + 6 ), 0 < < 6 Temos que A () = Se A () = 0, então = = e, daí, = A função A é crescente em 0 < 7 e decrescente em 7 < 6. ortanto, A tem máimo local em = 7. Dimensões do triângulo de área máima: base = 7 cm e altura = = cm 7.(6 + 7) A Ma ( ) = = ( ) cm. ) As 9hs um navio B encontra-se a 65 km a leste do navio A. O navio B navega rumo a oeste a 0 km/h, enquanto o navio A navega rumo ao sul a 5km/h. Se eles continuarem nos respectivos rumos, qual a menor distância que os separará e a que horas isto ocorrerá? B 65Km A Temos que 0 t d 5 t Temos que d (t) = 650t 00, t > t + 5t Se d (t) = 0, então 650 t 00 = 0 e, daí, t =. d = (65 0t) + (5t) d = 5 00t + 5t, t > 0 Sinal de A + 0 A função A é decrescente em 0 < t e crescente em t. Logo, A tem mínimo local em t = horas. ortanto, a) d = 5 00() + 5() = 95 Km b) A menor distância ocorre as horas. (9h + h = h) 6

7 ) Um homem esta num barco e sua distância da praia é 5 km. Sabe-se que é a posição do barqueiro no mar, A é o ponto da praia mais próimo de e C o ponto da praia, distante 6 km de A, onde ele pretende chegar. Se o homem rema a km/h e caminha a km/h, então determine a posição do ponto B na praia, em relação a A, que ele deve desembarcar para conseguir seu objetivo no menor tempo possível. 5 =. Temos T = B BC + B = 5 BC = 6 A B C T = Temos que T () = Se T () = 0, então , 0 < < = Sinal de T =, isto é, 5 A função T é decrescente em 0 < 5 Logo, T tem mínimo local em = 5. ortanto, o ponto B esta distante = + e, daí, e crescente em 5 km de A. (obs: 5 < 6., 89km) 5) Um posto de perfuração de petróleo está a km da costa e será conectado a uma refinaria costeira por tubos. A refinaria esta distante 0 km do ponto onde incide a perpendicular ao continente que passa pelo posto de perfuração. Sabendo-se que os dutos subaquáticos custam R$ ,00 por quilômetro e os terrestres R$ 0 000,00 por quilômetro, determinar os comprimentos dos dois tipos de dutos para que a coneão seja a mais econômica. Temos C = B BC B = BC = 0 A B C daí, = 9. Temos que C () = Se C () = 0, então C = (0 ), 0 < < = + + = +, isto é, 5 5 9( ) = + e, 7

8 Sinal de C A função C é decrescente em 0 < 9 e crescente em 9 < 0. Logo, C tem mínimo local em = 9. Assim, B = 9 = 5 Km marítimo BC = 0 (9) = Km terrestre Custo total = R$ ,00 6) Uma indústria de alimentos necessita de latas com tampa em forma cilíndrica com capacidade de 8π cm. Calcule as dimensões da lata que utilize o mínimo de material na sua construção. Volume do cilindro V = = 8π (I) Material gasto M = + (II) 8 De (I), = (III) Substituindo (III) em (II), tem-se M = 8 +. ortanto, M() = + 56 π 56π, > 0. Temos que: M () =. Se M () = 0, então π 56π = 0, isto é, = 6 e, daí, =. Sinal de M + 0 A função M é decrescente em 0 < e crescente em. Logo, M tem mínimo local em =. 8 Dimensões do recipiente: = cm e = = 8cm 7) Uma indústria de alimentos necessita de recipientes com tampa em forma de cilindro com capacidade de 08π cm. Sabendo-se que o material da tampa e do fundo custa R$,00 e o da lateral R$,00, determinar as dimensões do recipiente para que o custo seja mínimo. Volume do cilindro V = = 08π (I) Custo do material C = (,00) + (,00) (II) 08 De (I), = (III) Substituindo (III) em (II), tem-se C = ortanto, C() = + 6 π 6π, > 0. Temos que: C () = 8. Se C () = 0, então 8π 6π = 0, isto é, = 7 e, daí, =. Sinal de C + 0 A função C é decrescente em 0 < e crescente em. Logo, C tem mínimo local em =. 08 Dimensões do recipiente: diâmetro = () = 6cm e altura = = cm. 8

9 8) Quatro metros de fio são utilizados para formar um quadrado e um círculo. Quanto do fio deve ser usado no quadrado e quanto deve ser usado no círculo de modo que cerque uma área total mínima envolvendo as duas figuras? r erímetro do quadrado + erímetro do circulo = m + r = A = Área do quadrado + Área do círculo A = + r (II) De (I), r = (III). Substituindo (III) em (II), tem-se: π A() = A() = + π π, 0 < < ( π ) 8 + +, 0 < <. π Temos que A () = ( + π ) 8. Se A () = 0, então ( + π ) = 8 e 0,56 π Sinal de A + 0 /(+ A função C é decrescente em 0 < Logo, C tem mínimo local em = Obs: + π + π 0,56. e crescente em + π <. Substituindo em = 0,56 m em (III), tem-se (0,56) r = 0, 8 m + π π erímetro do quadrado (0, 56) =, m erimetro do circulo π (0, 8) =, 76m a) Se =, então o fio todo é utilizado no perímetro do quadrado e, daí, a área total cercada é m. b) Se = 0, então o fio todo é utilizado no perímetro do circulo que terá raio r 0, 6m e, daí, a sua área é A π (0, 6),9m. ortanto, a maior área cercada ocorrerá se o fio for utilizado apenas no circulo. 9) Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular ao lado de um rio. O pasto deve conter m para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca, se não há necessidade de cerca ao longo do rio? A = = (I) A = m = + (II) Substituindo (III) em (II), De (I), = (III) ( ) = +, > 0. (I) 9

10 Temos que () = =. Se () = 0, então = 0 e, daí, =. Logo, = 00m Sinal de A função é decrescente em 0 < 00 e crescente em 00. Logo, tem mínimo local em = Substituindo = 00m em (II), tem-se = = 600m. 0) Quais pontos do gráfico cartesiano de f : da origem? R R, 00 f ( ) = está mais próimo onto de tangência: (, ) D - D () = D() =, < < Temos que: D () = = + + Se D () = 0, então = 0 e, daí, =. Sinal de D + A função D é decrescente em < e crescente em, Teremos mínimo local de D em =. Se =, então = = 0,5 = 0,75 e, daí, o ponto Bibliografia: mais próimo da origem e (, 0,75 ). O fato de a parábola ser simétrica em ralação ao eio segue que o ponto Q(, 0,75 ), tal como, tem distância mínima até a origem do sistema cartesiano. Cálculo Diferencial e Integral a Uma variável Arton Barboni e Walter aulette Ed. LTC Cálculo Diferencial e Integral Frank Ares, Jr e Elliott Mendelson Ed. MAKRON Books Cálculo Luiz Mauro Rocha Ed. Atlas Cálculo Diferencial e Integral Vol aulo Boulos Ed. MAKRON Books Cálculo Vol Larson Hostetler Edwards Ed. McGraw Hill 0