3 a Ficha de exercícios de Cálculo para Informática

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1 3 a Ficha de exercícios de Cálculo para Informática SUCESSÕES, INDUÇÃO, LIMITES. 3-1 Considere a equação recursiva, x n = x n 1 + a n, para todo o n 1. Encontre uma expressão algébrica para x n em função de x 0, a e n. 3- Uma pequena ilha está ligada ao continente através de uma ponte rodoviária. A tabela seguinte mostra os fluxos ϕ n de entrada de automóveis na ilha em cada hora, entre as 8h e as 16h. n-ésima hora fluxo ϕ n Relacione os fluxos ϕ n com o número de veículos, V n, presentes na ilha à hora n. Sabendo que V 1 = 5 automóveis, determine o número de carros que se encontravam na ilha: a) às 8 horas. b) às 16 horas. [ Para cada hora n entre as 9h e as 16h, o fluxo ϕ n representa o número de veículos que entram, menos os que saiem, entre as n 1 e n horas. ] 3-3 Um tanque com a capacidade de 5000 m 3 continha 1 m 3 de água no instante em que começa a encher. A água é debitada no tanque a um caudal que vai diminuindo hora a hora, até que o reservatório fique completamente cheio. Sabemos que durante a n ésima hora, contada a partir do instante em que o tanque começa a encher, a água é debitada a um caudal constante de 100 n metros cúbicos por hora. Determine então: a) uma equação recursiva para o volume de água, V n, no tanque ao fim de n horas. b) uma expressão algébrica para a quantidade de água V n V 0, que é debitada no reservatório durante as n primeiras horas. c) se as primeiras 100 horas chegam, ou não, para encher o tanque, e, em caso afirmativo, ao fim de quantas horas fica cheio o reservatório. 3-4 Considere uma sucessão x n ) satisfazendo a equação recursiva x n+1 x n + x n 1 = a n, para n > 1, onde x n descreve a posição de um móvel sobre um eixo, medida em metros ao fim de n segundos, e a n a aceleração, em metros por segundo quadrado, no instante n. Imagine-se a controlar o movimento através da aceleração a n cujo valor pode escolher em cada instante sem exceder 1

2 o limite de 10 metros por segundo quadrado, i.e. a n 10 m/s, para todo o n = 1,, 3,. Supondo que v 0 = 30 m/s = 108 Km/h), veja se é possivel a1) parar o móvel em menos de.5 segundos. Qual o tempo mínimo para conseguir parar o móvel? a) parar o móvel em menos de 30 metros. Qual a distância mínima para conseguir parar o móvel? Supondo v 0 = 0 m/s), qual b1) a distância máxima que consegue percorrer em 5 segundos? b) o tempo mínimo para percorrer os primeiros 150 metros? [ A aceleração a n no instante n corresponde à variação v n+1 v n entre a velocidade no segundo imediatamente anterior a n, v n = x n x n 1 m/s), e a velocidade no segundo posterior, v n+1 = x n+1 x n m/s). ] 3-5 Para resolver este exercício é necessário conhecer a operação de multiplicação de matrizes e as suas propriedades. Considere a família de matrizes [ ] cos θ sin θ R θ =, θ R. sin θ cos θ Esta família satisfaz as seguintes propriedades: a) R 0 = I, b) R θ = R θ ) 1 e c) R θ+θ = R θ R θ. Vamos [ identificar ] cada vector [ v ] = x, y) R com a matriz coluna x x1 v =. O vector v y 1 =, obtido efectuando o produto y 1 [ ] [ ] [ ] cos θ sin θ x x cos θ y sin θ R θ v = =, sin θ cos θ y x sin θ + y cos θ resulta de v por uma rotação de ângulo θ no sentido anti-horário. Fixados um ponto P e um vector v em R, considere a seguinte sucessão de pontos no plano X n = P + R θ ) n v = P + n {}}{ R θ R θ R θ v, n 0. a) Descreva geométricamente a sucessão de pontos X n. b) Mostre que para todo o n 1, R θ ) n R θ ) n 1 + R θ ) n = 1 cos θ) R θ ) n 1. Comece por ver o caso n = 1. c) Mostre que a sucessão X n satisfaz a equação recursiva X n X n 1 + X n = 1 cos θ) X n 1 P ), n 1.

3 d) Interprete cinemáticamente a equação anterior. e) Seja Y n outra sucessão satisfazendo a equação recursiva da alínea c), e satisfazendo além disso Y 0 P = v e Y 1 P = R θ v. Mostre que, para todo o n N, Y n = P + R θ ) n v. 3-6 Neste problema usaremos números naturais para medir, a intervalos de duas décadas, um período de 00 anos que começa em 180. A variavel x n representará o número de habitantes de um país no ano n. A tabela seguinte mostra as taxas de crescimento populacional, que suporemos constantes em cada um dos dez períodos de 0 anos. A taxa τ n reporta-se ao intervalo de tempo entre os anos n 1) e n. n τ n a) Encontre uma equação que defina recursivamente a sucessão x n ) em função das taxas τ n, e utilize-a para obter uma expressão algébrica para x n em função de x 0 e das taxas τ n. b) Se as taxas τ n fossem constantes a sucessão x n seria uma progressão geométrica. Justifique a afirmação e diga qual a razão da progressão. c) Usando a tabela acima determine o número de habitantes no ano 00, sabendo que o país tinha habitantes no ano de 180. [ Define-se a taxa de crescimento populacional como o número de novos habitantes na população por ano e por habitante. ] 3-7 Indique, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: a) Se x n ) e y n ) são sucessões divergentes, então a sucessão x n + y n ) é divergente. b) Se x n ) e y n + x n ) são sucessões convergentes, então a sucessão y n ) é convergente Considere a sucessão { u1 = u n+1 = + u n a) Calcule os três primeiros termos da sucessão. b) Prove por indução que 1. u n, para todo o n N.. u n ) é crescente.

4 4 c) Prove que u n ) é convergente e determine o limite. 3-9 a) Prove que a sucessão u n = é monótona e convergente. n n+1 n b) Prove que o limite L = lim u n, satisfaz 1 L Chama-se proporção de um rectângulo à razão entre os comprimentos dos seus lados maior e menor. A razão de um rectângulo é sempre um número maior ou igual a um. Chama-se razão de oiro à proporção de um rectângulo que possa ser decomposto num quadrado e noutro rectângulo exactamente com a mesma proporção. a) Mostre que a razão de oiro λ é solução da equação x = x. b) Veja que as raízes desta equação são λ = 1+ 5 = e λ 1 = 1 5 = c) Mostre que quaisquer que sejam os números a, b R, a sucessão x n = a satisfaz a equação recursiva ) n + b 1 5 ) n, x n = x n 1 + x n, para todo o n. d) Determine os coeficientes a e b de modo que a sucessão da alínea anterior satisfaça as condições iniciais x 0 = x 1 = 1. Como relaciona a sucessão obitda com a sucessão de Fibonacci? e) Mostre que a sucessão de Fibonacci, f n = f n 1 + f n, f 0 = f 1 = 1, satisfaz lim f n = f n 1

5 3-11 Considere o número de oiro λ = 1+ 5 = , e a sucessão r n ) definida recursivamente por r 1 = 1, e r n = 1 + 1, para n > 1. Mostre que: a) Sendo f n a sucessão de Fibonacci, r n = fn f n 1, para todo o n 1. b) Para todo o n 1, r n 1. c) Para todo o n 1, r n λ 1 λ λ. Sugestão: r n λ = λ d) Para todo o n 1, r n λ 1 λ. n+1 e) lim r n = λ. 1 1 λ 3-1 Prove, recorrendo ao método de indução matemática, que: nn + 1) a) n =, para todo n N. b) n nn + 1)n + 1) =, para todo o n N. 6 c) n 1 n!, para todo o n N Usando o teorema das sucessões enquadradas, calcule o limite das seguintes sucessões: a) n!/n n b) 1 n + 1 n + 1) n) c) a/n) n, a R n d) n n n4 + n 3-14 Calcule os seguintes limites 1 + n 3 a) lim n + n 1 b) lim. 1 3 ) n c) lim n + n + 3 n 3 n