TESTE FINAL DE ÁLGEBRA LINEAR 18 de Janeiro de 2017 Instituto Superior Técnico - Engenharia Aeroespacial

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1 TESTE FINAL DE ÁLGEBRA LINEAR 18 de Janeiro de 2017 Instituto Superior Técnico - Engenharia Aeroespacial Nome: Número: O que vai fazer? Só T1+T2 Só T3 T1+T2 e T3 Problema a b c d lalala Problema a b c d lalala T1+T2 - Problemas 1 a 12 - duração de 1 hora e 30 minutos. No Problema 12, justifique todos os passos. Os Problemas 1 a 11 são de escolha múltipla - assinale uma única resposta no quadro acima. T3 - Problemas 13 a 24 - duração de 1 hora e 30 minutos. Nos Problemas 23 e 24, justifique todos os passos. Os Problemas 13 a 22 são de escolha múltipla - assinale uma única resposta no quadro acima. T1+T2 e T3 - Problemas 1 a 24 - duração de 3 horas.

2 TESTES T1+T2 Problema 1. (1.5; 0.0; -0.3) Seja A uma matriz 4 2, e seja B outra matriz, tal que AB T é uma matriz 4 3. Então B é uma matriz a) 2 3 b) 3 4 c) 3 2 d) 4 3 Problema 2. (1.5; 0.0; -0.3) Encontre a matriz A, 2 2, tal que ( ) 1 5 ( 3I + A T ) 1 =. 0 1 a) A = b) A = c) A = d) A = ( ( ( ) ) ) ( )

3 Problema 3. (1.5; 0.0; -0.3) Seja A uma matriz 3 3 com entradas reais, que satisfaz A = E 2 E 1 C onde C é uma matriz na forma de escada por linhas, com característica 2, E 1 é uma matriz elementar do tipo 1, que troca as duas primeiras linhas, e E 2 é uma matriz elementar do tipo 2, que multiplica a terceira linha por 5. Considere as afirmações: I. A = E 1 C. II. A matriz A é invertível. III. A matriz A tem exactamente uma linha nula. 0 IV. O sistema AX = 0 é impossível. 1 O número de afirmações correctas é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Problema 4. (1.5; 0.0; -0.3) Seja A = O determinante de A é igual a a) 6 b) 6 c) 9 d) 9

4 Problema 5. (1.5; 0.0; -0.3) Considere a matriz A = 1 a a, onde a R. 0 a 2 Faça a discussão do sistema AX = B, em termos dos parâmetros reais a e b, quando b B = a. 0 Qual das afirmações não está correcta? a) Se a = 0 e b 0, o sistema é impossível. b) Se a = 2 e b 2, o sistema é possível e indeterminado. c) Se a 0 e a 2, o sistema é possível e determinado. d) Se a = 0 e b = 0, o sistema é possível e indeterminado.

5 Problema 6. (1.5; 0.0; -0.3) Sejam U e W dois subespaços lineares de R 3, em que U é um plano com equação cartesiana x 2y = 0 e W = L({(1, 0, 0), (0, 1, 1)}). Então, U W é uma recta em R 3 dada pela equação a) t(1, 2, 1), t R b) x = 2t, y = t, z = t, t R c) t(2, 1, 2), t R d) x = t, y = 2t, z = 2t, t R

6 Problema 7. (1.5; 0.0; -0.3) Seja A uma matriz 4 4 com entradas reais, e sejam 0, 1, 2, e 3 os valores próprios de A. Qual das seguintes afirmações é correcta? a) A é uma matriz não-singular. b) A I tem característica 4. c) A dimensão do núcleo de A 2I é 0. d) O sistema (A 3I)X = 0 é indeterminado. Problema 8. (1.5; 0.0; -0.3) Complete a matriz ( ) 2 6 A = r s sabendo que v 1 = (3, 1) e v 2 = (2, 1) são vectores próprios de A: a) r = 1 e s = 7 b) r = 1 e s = 7 c) r = 3 e s = 1 d) r = 1 e s = 3 Problema 9. (1.5; 0.0; -0.3) Sejam A e S matrizes 3 3 com entradas reais, S invertível, e tais que D = S 1 AS, onde D = Sabendo que o vector (1, 0, 1) pertence ao núcleo de A, escolha a afirmação verdadeira: a) (1, 0, 1) é um vector próprio de D, associado ao valor próprio 0. b) O conjunto {(1, 0, 1)} é base de um dos espaço próprio de A. c) (1, 0, 1) é um vector próprio de A, associado ao valor próprio 1. d) (2, 0, 2) é um vector próprio de A, associado ao valor próprio 2.

7 Problema 10. (1.5; 0.0; -0.3) Seja A uma matriz 3 3 com entradas reais, e não invertível. Sejam λ 1 e λ 2 valores próprios de A, tais que λ 1 λ 2, λ 1 0 e λ 2 0. Escolha a afirmação correcta: a) O polinómio característico de A é p(λ) = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2. b) O traço de A é igual a λ 1 + λ 2. c) Zero não é valor próprio de A. d) A dimensão do espaço próprio de A associado a λ 1 é diferente da dimensão do espaço próprio de A associado a λ 2. Problema 11. (1.5; 0.0; -0.3) Imagine que em Janeiro de 2017, 50% dos sócios de um clube de futebol está contente com o presidente do clube, e os outros 50% estão descontentes com o presidente. A partir ( de ) então, temos um vector estado para cada mês k (k = 0, 1, 2, ), ck X k =, onde c k representa a percentagem de sócios do clube que está d k contente com o seu presidente no mês k, e d k representa a percentagem de sócios que está descontente com o presidente no mês k. ( ) Seja A = a matriz de Markov tal que X k+1 = AX k = A k+1 X 0. Qual é, a longo prazo, a percentagem de sócios do clube que estará contente com o seu presidente? a) 10% b) 20% c) 25% d) 33%

8 Problema 12. Sejam A e B matrizes 4 3 com entradas reais. a) (0.6) Defina o núcleo de B. N(B) =... b) (1.9) Mostre que o núcleo de B é um subespaço linear de R 3.

9 c) (1.0) Mostre que se A T B é invertível, então o núcleo de B é {0}.

10 TESTE T3 Problema 13. (1.5; 0.0; -0.3) Seja T : R 2 R 2 uma transformação linear e seja ( ) 2 1 C = 1 1 a matriz que representa T em relação à base B = {(1, 1), (1, 1)} de R 2. Encontre a matriz A, que representa T em relação à base B = {( 1, 1), (1, 1)} de R 2. ( ) 2 1 a) A = 1 1 ( ) 2 1 b) A = 1 1 ( ) 2 1 c) A = 1 1 ( ) 2 1 d) A = 1 1 Determine T (1, 1), onde T é a trans- Problema 14. (1.5; 0.0; -0.3) formação linear do Problema 13. a) T (1, 1) = (2, 1) b) T (1, 1) = (2, 1) c) T (1, 1) = (3, 1) d) T (1, 1) = (3, 1)

11 Problema 15. (1.5; 0.0; -0.3) Seja S : R 2 R 2 a rotação em torno da origem, de um ângulo de π/2, no sentido positivo (anti-horário), e seja T : R 2 R 2 uma transformação linear tal que ( ) 1 1 A = 1 1 é a matriz que representa T em relação à base canónica de R 2. Então, o núcleo da transformação linear T S é a) A recta y = x. b) {y( 1, 1); y R}. c) {(0, 0)}. d) A recta x + y = 1.

12 Problema 16. (1.5; 0.0; -0.3) Seja T : R 3 R 3 uma transformação linear e seja A = a matriz que representa T em relação à base B = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R 3. Determine o espaço próprio de T associado ao valor próprio λ = 3: a) E(3) = {a(1, 1, 0) + c(0, 0, 1); a, c R} b) E(3) = {a(1, 1, 0); a R} c) E(3) = {a(1, 1, 1); a R} d) E(3) = {a(1, 1, 1) + c(0, 0, 1); a, c R}

13 Problema 17. (1.5; 0.0; -0.3) Seja V o espaço linear real das matrizes 2 2 com entradas reais. Seja T : V V uma transformação linear definida da seguinte maneira: para A V, ( ) 1 0 T (A) = P A, onde P =. 0 0 Calcule o polinómio característico da transformação linear T + 2I, onde I é a transformação identidade de V para V. a) (2 λ) 2 (1 λ) 2 b) (2 λ)(1 λ) 3 c) (3 λ)(2 λ) 3 d) (3 λ) 2 (2 λ) 2

14 Problema 18. (1.5; 0.0; -0.3) e seja A a seguinte matriz 5 4: A = Considere R 4 com o produto interno usual, Então, o complemento ortogonal do núcleo de A é um subespaço de R 4 de dimensão a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Problema 19. (1.5; 0.0; -0.3) Considere R 3 com o produto interno usual. Seja A uma matriz 3 2 com entradas reais, tal que o seu espaço das colunas é o subespaço linear de R 3 constituído pelos vectores (x, y, z) que satisfazem a equação cartesiana x + 2y + z = 0. Escolha a afirmação correcta: a) O vector (1, 1) pertence ao núcleo de A. b) O vector (1, 2, 1) pertence ao núcleo de A T. c) O vector (1, 0, 1) pertence ao espaço das linhas de A T. d) O vector (1, 1, 1) pertence ao espaço das linhas de A.

15 Problema 20. (1.5; 0.0; -0.3) Considere R 3 com o produto interno usual. Sejam u R 3 e v = (2, 0, 2) R 3 tais que e u, v = 2. Calcule a projecção ortogonal de u sobre v. a) ( 1/8, 0, 1/8) b) ( 1/4, 0, 1/4) c) ( 1/2, 0, 1/2) d) ( 1, 0, 1) Problema 21. (1.5; 0.0; -0.3) Seja V um espaço linear real com produto interno, e sejam u, v, w 1, w 2 V, onde w 1 é a projecção ortogonal de u sobre v, e w 2 é a projecção ortogonal de v sobre u. Considere as afirmações: i) Os vectores u e v w 1 são sempre ortogonais. ii) Os vectores u e v w 2 são sempre ortogonais. iii) Se u e v são ortogonais, então u + v 2 = u 2 + v 2. iv) Se u + v 2 = u 2 + v 2, então u e v são ortogonais. Indique a lista completa de afirmações verdadeiras: a) i), ii) e iii) b) ii), iii) e iv) c) iii), iv) e i) d) iv), i) e ii)

16 Problema 22. (1.5; 0.0; -0.3) Seja V o espaço linear real das matrizes 2 2 com entradas reais. Considere em V o produto interno usual. Seja S o subespaço linear de V, cujos elementos são matrizes da forma ( 0 a a 0 ), a R. Qual é a distância de ( ) a S? a) 2 b) 2 2 c) 1 d) 2

17 Problema 23. Considere R 2 com o produto interno usual, e considere a matriz ( ) 0 2 A =. 2 3 a) (1.5) Encontre os valores próprios de A, e encontre o espaço próprio de A associado a cada valor próprio. b) (1.0) Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz ortogonal S (isto é, S 1 = S T ), tal que A = SDS 1. c) (1.5) Determine a forma quadrática Q(x, y) associada à matriz A. Diagonalize Q(x, y). Qual é a mudança de variáveis que permite eliminar o termo em xy?

18 Problema 24. (1.0) Considere R n com o produto interno usual, seja T : R n R n uma transformação linear, e seja A a matriz que representa T em relação à base canónica de R n. Sabendo que para todo o X R n, T (X) = X, mostre que A T A = I, onde I é a matriz identidade n n. Sugestão: Considere a matriz A T A = (a ij ). Não se esqueça que A T A é uma matriz simétrica. Mostre que a 11 = 1 e mostre que a 12 = 0. Para além das hipóteses, pode usar o facto de que A T AX, Y = AX, AY, para todos os vectores X, Y R n. (Escolha vectores X = Y apropriados.)