Funções reais de variável real. Derivadas de funções reais de variável real e aplicações O essencial

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1 Funções reais de variável real Derivadas de funções reais de variável real e aplicações O essencial

2 Taxa média de variação Dada uma função real de variável real f e dois pontos a e b do respetivo domínio, a taxa média de variação de f entre a e b é a razão: f b f(a) b a

3 Derivada de uma função num ponto Dada uma função real de variável real f e um ponto x 0 do respetivo domínio, designa-se por derivada de f no ponto x 0 o limite quando este existe e é finito. f x 0 + h f(x 0 ) lim h 0 h A derivada de f no ponto x 0 representa-se por f (x 0 ) e, quando existe, f diz-se diferenciável (ou derivável) em x 0.

4 Derivada de uma função num ponto Dada uma função real de variável real f e um ponto x 0 do respetivo domínio, quando f x 0 existe: f x 0 = lim x x0 f x f(x 0 ) x x 0

5 Reta tangente ao gráfico de uma função Dada uma função real de variável real f diferenciável em x 0 D f, a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x 0 tem declive igual a f (x 0 ) e pode ser definida pela equação y = f x 0 x x 0 + f x 0.

6 Função posição de um ponto em movimento retilíneo Fixado um instante t 0 para origem das medidas de tempo, uma unidade de tempo T, uma reta numérica r com unidade de comprimento L e um intervalo I, a função p: I IR designa-se por função posição de um ponto que se desloca na reta durante o intervalo de tempo I, se, para cada instante t I, p(t) for a abcissa do ponto de r que representa a posição que P ocupa t unidades de tempo T depois de t 0 se t > 0, ou t unidades de tempo T antes de t 0 se t < 0.

7 Velocidade média e velocidade instantânea Fixado um instante t 0 para origem das medidas de tempo, uma unidade de tempo T, uma reta numérica r com unidade de comprimento L, um intervalo I, a função posição p de um ponto P que se desloca na reta r durante um intervalo de tempo I, e dados dois instantes t 1 < t 2 de I, a velocidade média de P no intervalo de tempo [t 1, t 2 ] na unidade L/T é a taxa média de variação de p entre t 1 e t 2 e, para t I, a velocidade de P no instante t é a derivada de p em t, caso exista.

8 Função derivada Dada uma função real de variável real f, designa-se por função derivada de f e representa-se por f a função de domínio D f = x D f : f é diferenciável em x que, a cada x D f faz corresponder f (x).

9 Função diferenciável num conjunto Uma função real de variável real f diz-se diferenciável em A quando é diferenciável em todos os pontos de A.

10 Monotonia e sinal da derivada Dada uma função real de variável real f diferenciável num conjunto A e crescente, em sentido lato, nesse conjunto, então para todo o x A, f (x) 0. Dada uma função real de variável real f diferenciável num conjunto A e decrescente, em sentido lato, nesse conjunto, então, para todo o x A, f (x) 0.

11 Derivabilidade e continuidade Dada uma função real de variável real f e um ponto a do respetivo domínio, se f é diferenciável em a, f é contínua em a.

12 Derivada da soma Dado um conjunto D IR e funções reais de variável real f: D IR e g: D IR diferenciáveis num ponto a de D, a função f + g é diferenciável em a e f + g a = f a + g a.

13 Derivada do produto Dado um conjunto D IR e funções reais de variável real f: D IR e g: D IR, diferenciáveis num ponto a de D, a função fg é diferenciável em a e fg a = f a g a + f a g a. Dado um conjunto D IR e uma função real de variável real f: D IR, diferenciável num ponto a de D, e um número real k, a função kf é diferenciável em a e kf a = kf a.

14 Derivada do quociente Dado um conjunto D IR e funções reais de variável real f: D IR e g: D IR, diferenciáveis num ponto a de D, com g a 0, a função f g é diferenciável em a e f g a = f a g a f(a)g (a) g a 2.

15 Derivada da função composta Dada uma função f: D f IR, diferenciável num ponto a D f, e uma função real de variável real g: D g IR, tal que D f D g, diferenciável em f(a), a função composta g f é diferenciável em a e g f a = f a g f a.

16 Derivada da potência de expoente inteiro Dado um número natural n (respetivamente, inteiro negativo), a função real de variável real f de domínio IR (respetivamente, IR\ 0 ) definida por f x = x n é diferenciável e, para todo x D f, f x = nx n 1.

17 Derivada da raiz Dado um número natural n par (respetivamente, ímpar superior a 1), a função f de domínio IR + (respetivamente, IR\ 0 ) definida por f x = n x é diferenciável e, para todo o x D f, f x = 1 n n x n 1 = 1 n x1 n 1.

18 Derivada da potência de expoente racional Dado um número racional r 0, a função f de domínio IR + definida por f x = x r é diferenciável e, para todo x D f, f x = rx r 1.

19 Derivada da potência de expoente racional Qualquer função polinomial é diferenciável em IR. Uma função racional é diferenciável no respetivo domínio. Da derivada da potência e da derivada da função composta resulta imediato que a função f p é diferenciável no respetivo domínio e f x p = p f x p 1. f x, p Q Em particular, n f x = 1 n n f x n 1 f x = f x n n f x n 1