Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Aplicações da Derivada

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1 1) Velocidade e Aceleração 1.1 Velocidade Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Aplicações da Derivada Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que móvel até o instante. Então, no intervalo de tempo entre e. represente o espaço percorrido pelo, o corpo sofre um deslocamento. Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente, isto é, a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo. De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo no instante. Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante, calculamos sua velocidade média em instantes de tempo cada vez menores. A velocidade instantânea, ou velocidade no instante, é o limite das velocidades médias quando se aproxima de zero. Isto é, Esse limite é a derivada da função em relação a, portanto: 1.2 Aceleração O conceito de aceleração é introduzido de forma análoga ao de velocidade. A aceleração média no intervalo de tempo t até é dada por quociente tempo tempo Observa-se que ela mede a variação da velocidade do corpo por unidade de tempo no intervalo de. Para obtermos a aceleração do corpo no instante t, tomamos sua aceleração média em intervalo de cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite. Logo, a derivada da velocidade nos dá a aceleração. Como, temos. Exemplo: No instante um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante é dada por. Determinar: a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2, 4]; b) a velocidade do corpo no instante ;

2 , no instante, a velocidade é c) a aceleração média no intervalo [0, 4]; Como, temos 2) Taxa de variação Quando um corpo se move em linha reta de acordo com a equação do movimento a sua velocidade é dada por. A velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo. Assim, a derivada é a taxa de variação da função por unidade de variação. O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por. Ela representa a razão de variação da velocidade por unidade de variação do tempo. Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função quando a variável independente varia de a, a correspondente variação de será. O quociente representa a taxa média de variação de em relação a. A derivada, é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x. ciências. A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas Exemplo: Sabemos que a área de um quadrado é em função de seu lado. Determinar: a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m; Sejam a área do quadrado e seu lado. Sabe-se que b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m. Quando, temos: Portanto, quando, a taxa de variação da área do quadrado será de por variação de 1 metro no comprimento do lado.

3 3) Máximos e Mínimos A figura abaixo mostra o gráfico de uma função y = f (x), onde estão assinalados os pontos de abscissas. Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os pontos e são pontos de máximo relativos (ou local), enquanto que e f(x3) são valores máximos relativos. Os pontos e são chamados pontos de mínimo relativos (ou local), enquanto que e são os valores mínimos relativos. Além disso, observamos que f é crescente para e e decrescente para ) e. Uma função definida em um dado intervalo pode admitir diversos extremos relativos. O maior valor da função neste intervalo é chamado máximo absoluto e o menor valor, mínimo absoluto. Definição: Um ponto k D( f ) tal que f (k) = 0 ou f (k) não existe é chamado de ponto crítico de f, logo os possíveis pontos de máximos e mínimos é dado em. 3.1 Procedimento para encontrar extremos absolutos

4 Exemplo: Encontre, caso exista, os extremos absolutos no intervalo (-1, 5) da função:. 3.2 Procedimento para encontrar Extremos Relativos (O Teste da Primeira Derivada) Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que possui derivada em todo ponto do intervalo (a,b), exceto possivelmente num ponto k:

5 1º) Determine os pontos críticos de. 2º) Determine o sinal de à esquerda e à direita de cada ponto crítico. a) Se para todo x < k e para todo x > k, então f tem um máximo relativo em k, em outras palavras, se muda o sinal de positivo para negativo quando nos movemos através do ponto crítico, então tem um máximo relativo em k. b) Se para todo x < k e para todo x > k, então f tem um mínimo relativo em k, em outras palavras, se muda o sinal de negativo para positivo quando nos movemos através do ponto crítico, então tem um mínimo relativo em k. c) Se não muda de sinal quando nos movemos através do ponto crítico, então não é um extremo relativo. Exemplo: Encontre os máximos e mínimos relativos da função Solução: A derivada de é e é contínua em toda parte. Os zeros de, e são os únicos pontos críticos da função. O diagrama de sinais de é mostrada na figura abaixo. Examine os dois pontos críticos e para um extremo relativo usando o teste da primeira derivada e o diagrama de sinais para : 1º) O ponto crítico Uma vez que a função muda o sinal de positivo para negativo quando passamos por da esquerda para direita, concluímos que um máximo relativo de ocorre em. O valor de quando 2 é. 2º) O ponto crítico : muda de sinal de negativo para positivo quando passamos por da esquerda para direita; logo, é um mínimo relativo de.

6 3.3 Procedimento para encontrar Extremos Relativos (O Teste da Segunda Derivada) Seja f uma função derivável num intervalo (a,b) e k um ponto crítico de f neste intervalo, isto é,. Então: a) tem um máximo relativo em k; b) tem um mínimo relativo em k. Exemplo: Determine os extremos da função f (x) =, usando o teste da segunda derivada.. Os pontos críticos de f são., logo é ponto de máximo relativo., logo é ponto de mínimo relativo., logo é ponto de mínimo relativo. 4. Teorema de Rolle Seja f uma função tal que: i) contínua num intervalo fechado [a,b]; ii) derivável no intervalo aberto (a,b); iii). Então existe um número c em (a,b) tal que. Exemplo: Dada, comprove que as condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos:. Solução: Como existe para todos os valores de, f é derivável em. Assim, as condições (i) e (ii) do Teorema de Rolle são válidas em qualquer intervalo. Para determinar em quais intervalos a condição (iii) se verifica, encontra-se os valores de x para os quais. Se

7 . Como e o teorema é válido em. Analogamente, o teorema de Rolle é válido em. Para encontrar os valores adequados de c, equacionamos, obtendo: Portanto no intervalo, uma escolha adequada para c é. No intervalo tomamos, enquanto no intervalo temos duas possibilidades para c:. 5. Teorema do Valor Médio Seja f contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Então existe um número c no intervalo (a, b) tal que: Geometricamente, o teorema estabelece que existe pelo menos um ponto c entre a e b, tal que a reta tangente é paralela a reta que passa pelos pontos e. Exemplo: Seja definida no intervalo. Calcular o valor de c que o TVM garante existir. Solução: e Vamos calcular e, assim: e Como é contínua para todo x, existe em e para, temos:

8 Portanto, o valor de c que o TVM garante existir em vale Regra de L Hospital A Regra de L Hospital é uma outra aplicação das derivadas, que consiste num modo bastante útil de calcular limites de formas indeterminadas. Permite-nos levantar indeterminações do tipo e. Se o ou então calcule e logo. Exemplos: a) b) c) d) e) f) g) h) i)