Física III-A /1 Lista 3: Potencial Elétrico

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Brian Brandt
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1 Física III-A /1 Lista 3: Potencial Elétrico Prof. Marcos Menezes 1. Qual é a diferença de potencial necessária para acelerar um elétron do repouso até uma velocidade igual a 40% da velocidade da luz no vácuo? Dados: m e = kg, e = C, c = m/s. 2. (Dipolo Elétrico) Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas puntiformes +q e q (q > 0) separadas por uma distância d. Esse dipolo está imerso em uma região de campo elétrico uniforme E e o vetor momento de dipolo elétrico associado p faz um ângulo φ com E. (a) Utilizando o resultado obtido em aula para a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo uniforme, mostre que a energia potencial da interação do dipolo com o campo pode ser escrita como: onde p = p = qd. U = pe cos φ = p E, (b) Faça um gráfico de U(φ). Em qual orientação o dipolo está em equilíbrio estável? E em equilíbrio instável? 3. Duas cargas puntiformes q 1 e q 2, separadas por uma distância d, produzem um potencial V (P ) = 0 em um ponto P do espaço. O potencial gerado por cada carga é nulo para pontos infinitamente afastados delas. (a) As duas cargas podem ter o mesmo sinal? Justifique. (b) O campo elétrico também será necessariamente nulo no ponto P? Justifique. (c) Calcule o trabalho realizado pela força elétrica para trazer uma terceira carga puntiforme q do infinito até o ponto P. 4. Um modelo simples para um cristal iônico de estrutura cúbica como o NaCl consiste em posicionarmos cargas puntiformes +q e q (q > 0) sobre os vértices de um cubo de aresta d, conforme mostrado na figura abaixo. Considere que a energia potencial elétrica do sistema é nula quando todas as cargas estão infinitamente afastadas umas da outras. (a) Determine a energia potencial elétrica total desta configuração e discuta a sua estabilidade. 1

2 (b) Determine o potencial elétrico no centro do cubo, supondo que o potencial produzido por cada carga é nulo em um ponto infinitamente afastado delas. 5. Um anel circular fino, isolante, de raio R possui uma carga Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento. (a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo anel para um ponto ao longo de seu eixo de simetria, a uma distância z do centro. (b) Obtenha o vetor campo elétrico nesse mesmo ponto. (c) Uma partícula puntiforme de massa m e carga q, de mesmo sinal que Q, encontra-se em movimento ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro. Sabendo que sua velocidade inicial, quando ela está infinitamente afastada do anel, vale v 0, qual será a menor distância entre a partícula e o centro do anel? 6. Um disco circular isolante de raio R possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por σ(r) = σ 0 (r/r), onde σ 0 é uma constante e r é a distância ao eixo do disco. (a) Calcule a carga total contida no disco (b) Calcule o potencial elétrico produzido pelo disco para um ponto ao longo do eixo do disco, a uma distância z do seu centro. Sugestão: Divida o disco em aneis e utilize o resultado do problema anterior (c) Obtenha o vetor campo elétrico nesse mesmo ponto. Dado (verifique!): x 2 dx x 2 + a = x x 2 + a a2 ln x + x 2 + a 2 + const 7. (P1 e SC /2) Uma barra fina e isolante de comprimento 2a é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como 2

mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade linear de carga estacionária e não-uniforme dada por λ(x) = λ 0 x/a ( a x a), onde λ 0 é uma constante positiva.

3 mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade linear de carga estacionária e não-uniforme dada por λ(x) = λ 0 x/a ( a x a), onde λ 0 é uma constante positiva. Considere que o potencial eletrostático é nulo no infinito. (a) Determine o potencial eletrostático em um ponto P sobre o eixo X, a uma distãncia x P > a da origem. (b) Determine o campo eletrostático (módulo, direção e sentido) no mesmo ponto P. (c) Obtenha uma expressão assintótica para o resultado do item (a) no limite x P a. Interprete o resultado. 8. Um fio fino e retilíneo com uma densidade linear de carga constante λ é posicionado no eixo de uma casca cilíndrica condutora neutra de raios interno e externo a e b, respectivamente (b > a). (a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo eletrostático produzido pelo sistema em todo o espaço. Justifique cuidadosamente os argumentos de simetria utilizados. (b) Determine o potencial eletrostático em todo o espaço. Tome como zero um ponto sobre a superfície externa da casca, ou seja, s = b. (c) Determine as densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa do cilindro. 9. Uma esfera isolante de raio R possui uma densidade volumétrica de carga nãouniforme dada por ρ(r) = ρ 0 (r/r), onde ρ 0 é uma constante e r é a distância até o centro dela. (a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pela esfera em todo o espaço. Justifique cuidadosamente os argumentos de simetria utilizados. (b) Determine o potencial eletrostático em todo o espaço. Tome como zero um ponto infinitamente afastado da esfera. 10. Uma placa isolante, infinita, de espessura 2d é posicionada paralelamente ao plano xy de um sistema de coordenadas, de forma a ocupar a região delimitada por d z d. Ela está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga ρ 0. Utilizando o campo elétrico calculado para este sistema na lista anterior, obtenha o potencial eletrostático em todo o espaço. Tome como zero um ponto sobre o plano médio da placa, ou seja, z = 0. 3

4 11. Considere três objetos, I, II e III, mostrados na figura abaixo, na presença do campo eletrostático gerado por uma carga puntiforme positiva (indicada por um sinal positivo no centro da figura), alterado pela presença dos objetos. Todas as linhas orientadas ( com setinhas ) mostradas são linhas de campo elétrico e V indica o potencial elétrico. (a) O objeto I pode ser um condutor em equilíbrio eletrostático? Justifique. (b) Se V A > V B, o objeto II pode ser um condutor em equilíbrio eletrostático? Justifique. (c) Se o objeto III é um condutor em equilíbrio eletrostático, devemos ter necessariamente V C = 0? Justifique. 12. Uma esfera condutora neutra de raio R é posicionada com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Ela está imersa em uma região de campo elétrico uniforme dado por E = E 0 ẑ. Nessa situação, é possível mostrar que o potencial elétrico resultante deste campo e do campo produzido pelas cargas induzidas na esfera, no lado de fora da esfera é: V (x, y, z) = V 0 E 0 z + E 0 R 3 z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, onde V 0 é uma constante que corresponde ao potencial elétrico sobre todos os pontos da esfera. (a) Determine as componentes x, y e z do campo elétrico resultante no lado de fora da esfera. (b) Utilizando o resultado acima e seus conhecimentos sobre condutores em equilíbrio eletrostático e indução de cargas, desenhe as linhas de campo produzidas por essa configuração. 13. Uma esfera condutora de raio a possui inicialmente uma carga total Q e encontrase muito afastada de uma segunda esfera condutora neutra de raio b. A seguir, 4

5 conecta-se as duas esferas por meio de um fio condutor fino, mantendo a separação entre elas. Após reestabelecido o equilíbrio eletrostático e desprezando qualquer acúmulo de carga no fio, determine: (a) A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera. (b) As cargas adquiridas por cada esfera. 5

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