Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II

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1 1 Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II. 1 O Anel dos Inteiros Módulo n Consideremos um número natural n 2 fixado. Para cada número inteiro a definimos a = {x Z; x a mod n}. Como para todo n e a Z temos a a mod n, teremos que a a. Exemplo 1. Para n = 2, temos: 1 = {x Z; x 1 mod 2}; 0 = {x Z; x 0 mod 2}. É simples ver que 1 = {x Z; x 1 mod 2} = conjunto dos números ímpares e 0 = {x Z; x 0 mod 2} = conjunto dos números pares. Exemplo 2. Para n = 5, temos 0 = {x Z; x 0 mod 5} = {x Z; x = 5k; k Z} 5 = {x Z; x 5 mod 5} = {x Z; x 5 = 5k; k Z} = {x Z; x = 5(k + 1)} = 0 É simples ver que 1 = {5k + 1; k z}, 2 = {5k + 2; k z}, 3 = {5k + 3; k z} e 4 = {5k + 4; k z}, logo Z = Proposição 3. Para cada n 2 fixado teremos a = b a b mod n. Demonstração. ( ) a = b a b a b mod n ( ) a b mod n x a mod n x b mod n x a x b. Proposição 4. Para cada n 2 fixado teremos a b = ou a = b

2 2 Demonstração. Se a b, existe x tal que x a e x b, isto é, x a mod n e x b mod n, o que nos leva a a b mod n e, pela proposição acima, teremos a = b. Sabemos que a b mod n se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n e, portanto, temos que a = b se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n. Como temos n possíveis restos na divisão de um número inteiro por n teremos que, fixado um número natural n, o conjunto {a; a Z} possui n elementos, quais sejam 0, 1,..., n 1. Somos levados à definição.. Definição 5. Seja n > 1 um número natural fixado. O anel Z n (ou Z/nZ) dos inteiros módulo n é definido por Z n = {0, 1,..., n 1} juntamente com as operações de soma e produto definidas, respectivamente, por a+b = a + b e a.b = a.b 1. Para m N definimos, ainda, ma = a+a+...+a e a m = a.a.....a(ambos m vezes). Exemplo 6. Z 2 = {0, 1}; Z 3 = {0, 1, 2} Exemplo 7. Construir as tabelas de soma e produto em Z 4 Solução Proposição 8. Sendo a, b e c, temos: (a) a + b = b + a(comutatividade da soma) (b) a + (c + b) = (a + c) + b(associatividade da soma) (c) a + 0 = a (0 (o elemento neutro da soma) d) Existe a Z tal que a + a = 0( existência do elemento simétrico ) e) a.(c.b) = (a.c).b (associatividade do produto) f) a.(c + b) = a.c) + a.b 2 g) 1.a = a(1 ( elemento neutro do produto) Demonstração. Deixaremos para exercício! Definição 9. Diremos que a Z n possui inverso(ou é invertível) se existe b Z n satisfazendo Neste caso, diremos que a e b são inversos. a.b = 1. 1 É simples mostrar que estas operações estão bem definidas! 2 um conjunto no qual estão definidas duas operações satisfazendo a b, c, d, e, f acima é chamando um anel!

3 3 Exemplo 10. Em Z 5 temos que 2 e 3 são inversos, pois 2.3 = 6 = 1. Em Z 10 temos que 3 e 7 são inversos pois 3.7 = 21 = 1. A proposição abaixo caracteriza os elementos invertíveis em Z n. Proposição 11. Em Z n um elemento a possui inverso se, e somente, mdc(a, n) = 1. Demonstração. Temos mdc(a, n) = 1 ax + ny = 1 ax 1 = ny ax 1 mod n a x = 1. Corolário 12. Em Z p, com p um número primo, todo elemento a 0 possui inverso. Demonstração. Consequência imediata da proposição anterior. Definição 13. Diremos que a 0 em Z n é um divisor de zero se existe b 0 em Z n satisfazendo a.b = 0. Exemplo é um divisor de zero em Z 8 pois 2.4 = 8 = é um divisor de zero em Z 12 pois 10.6 = 60 = 0. A proposição abaixo caracteriza os divsores de zero em Z n. Proposição 15. a será um divisor de zero em Z n se, e somente se, mdc(a, n) = d > 1. Demonstração. ( ) Suponhamos mdc(a, n) = d > 1. Então, existem x, y tais que Daí, vem com x 0. a = dy; n = xd com 1 < x < n. ax = xdy = ny ax = ny a.x = 0 ( ) Suponhamos existir b 0 tal que a.b = 0, Neste caso, temos que n ab. Se mdc(n, a) = 1, teríamos que n b e, portanto, b = 0. Corolário 16. Em Z p, com p primo, não temos divisores de zero. Demonstração. Consequência imediata da proposição anterior. Proposição 17. Sendo p um número primo, em Z p temos Demonstração. Deixamos para exercício! (a + b) p = a p + b p.

4 4 Exercício 18. 1) A equação x 2 + x + 1 = 0 possui raízes em Z 2? Justifique! E em Z 3? 2) A equação x 2 = 5 possui solução em Z 7? Quantas? Justifique! 3) Mostre que sendo p um número primo a equação x 2 1 = 0 possui exatamente duas soluções em Z p. 4) O resultado acima continua verdadeiro se p não é primo? Justifique! 5) Construa as tabelas de soma e produto para Z 6 e Z 7. 6) Mostre que se a e b possuem inverso em Z n, então ab possui inverso em Z n. 7) Mostre que em Z p com primo primo a equação ax = b com b 0 possui solução única. 8) Exiba um exemplo mostrando que a condiçao p primo é essencial para a condição acima. 2 Sistemas de Numeração Dado um número natural n, com certeza, estamos familiarizados com sua representação na base 10, isto é, o sistema decimal. Nesta seção mostramos que qualquer número natural b > 1 pode ser usado como base para um sistema de numeração. Lema 19. Seja b um número natural. Para qualquer número natural k e números naturais a 0, a 1,..., a k menores que b teremos a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0 < (a k + 1)b k b k+1. Teorema 20. Dados n, b N com b > 1, existem únicos números inteiros não-negativos k, a 0, a 1,..., a k, com k > 0, a i < b i = 0, 1, 2,..., k e a k > 0 tais que n = a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0. Observação 21. a k a k 1... a 1 a 0 é chamada a representação de n na base b e anotamos [n] b = a k a k 1... a 1 a 0. Quando a base não é indicada estamos trabalhando na base 10. Exemplo 22. Representar o número 711 na base 5. Solução. Em sala!

5 5 Exercício 23. 1) Seja dado o número 4783 na base 10; escreva-o nas bases: 2, 3, 4, 7, 12 e 15. 2) O número 3416 está na base 7, escreva-o nas bases 5 e 12. 3) Um número na base 10 escreve-se 37; em que base escrever-se-á 52? Justifique! 4) Considere 73 na base 10; em que base ele se escreverá 243? Justifique! 3 Alguns Critérios de Divisibilidade Nesta seção estaremos interessados em reconhecer se um dado número natural n, cuja representação decimal conhecemos é ou não divisível por certos números. No que se segue estaremos sempre supondo que a representaçãod ecimal de um número natural n é dada por n = a k a k 1... a 1 a 0. Proposição 24. Seja N um número natural. n será divisível por 2 se, e somente se, 2 a 0. Demonstração. Através da prova desta proposição ilustraremos como utlizar congruências para concluir certos fatos sobre divisibilidade. Seja n = a k a k 1... a 1 a 0. Então, a 0 a 0 mod, 2 e para todo j > 1, temos que 10 j 0 mod 2 e, portanto, a j 10 j 0 mod 2 o que nos leva a e, daí, o resultado segue. n = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0 a 0 mod 2 Podemos demonstrar, de maneira análoga, critérios para 3, 4, 5, 8 ou 9. Proposição 25. Seja n um número natural. n será divisível por 3 se, e somente se, 3 a 0 + a a k 1 + a k. Demonstração. Seja n = a k a k 1... a 1 a 0. Então, a 0 a 0 mod, 2 e para todo j > 1, temos que 10 j 1 mod 2 e, portanto, a j 10 j a j mod 3 o que nos leva a e, daí, o resultado segue. n = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0 a 0 + a a k mod 3 Proposição 26. Seja n um número natural. n será divisível por 9 se, e somente se, 9 a 0 + a a k 1 + a k. Proposição 27. Seja n um número natural. n será divisível por 4 se, e somente se, 4 a 0 +10a 1, isto é, se, e somente se, 4 a 1 a 0.

6 6 Proposição 28. Seja n um número natural. n será divisível por 5 se, e somente se, a 0 = 0 ou 5, isto é, se, e somente se, 5 a 0. Proposição 29. Seja n um número natural. n será divisível por 8 se, e somente se, 8 a a a 2, isto é, se, e somente se, 8 a 2 a 1 a 0. Proposição 30. Seja n um número natural. n será divisível por 11 se, e somente se, 11 a 0 a ( 1) k 1 a k 1 + ( 1) k a k. Demonstração. Seja n = a k a k 1... a 1 a 0. Então, a 0 a 0 mod, 11 e para todo j > 1, temos que 10 j ( 1) j mod 11 e, portanto, a j 10 j ( 1) j a j mod 11 o que nos leva a n = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0 a 0 a ( 1) k a k mod 11 e, daí, o resultado segue. Proposição 31. Seja n = a k a k 1... a 1 a 0 um número natural. 7 n se, e somente se, 7 a k a k 1... a 1 2a 0. A proposição acima pode ser útil para verificarmos se um número é ou não divisível por 7. Vejamos um exemplo. Exemplo 32. Verificar se o número é divisível por 7. O critério abaixo é interessante, pois vale para os números 7, 11 ou 13 Proposição 33. Seja n = a k a k 1... a 1 a 0 um número natural onde supomos k + 1 um número múltiplo de 3(Se não for o caso, acrescentamos alguns zeros à presentação decimal de n). n será divisível por 7, 11 ou 13, se e somente se, a 2 a 1 a 0 a 5 a 4 a 3 +a 8 a 7 a 6...+( 1) k 2 a k a k 1 a k é divisível, respectivamente, por 7, 11 ou 13. Exemplo 34. Verifique se o número é divisível por 7, 11 ou 13. Solução. Em sala!