1 Congruência. 2. m mmc(n, m) m a b. De 1) e 2) segue que: a b mod n e a b mod m.

Transcrição

1 1 Congruência Exercício 1.1. Proposição 23. (7) a b mod n e a b mod m a b mod mmc(n, m) De fato, ( ) Se a b mod n n a b, se a b mod n m a b. nm a b, como mmc(n, m) nm então mmc(n, m) a b a b mod mmc(n, m). ( ) Se a b mod mmc(n.m) mmc(n, m) a b, como : 1. n mmc(n, m) n a b 2. m mmc(n, m) m a b De 1) e 2) segue que: a b mod n e a b mod m. (8) Se a b mod n, teremos mdc(a, n) = mdc(b, n) Seja d = mdc(a, n). Por hipótese a b mod n n a b d a b q Z tal que a b = dq. Mas d a, ou seja, existe q tal que a = dq. a b = dq b = dq a b = a dq b = dq dq b = d(q q) d b. Portanto, d n e d b. Suponhamos que exista c n e c b tal que c d e c d. Daí, c d e d a c a. Absurdo. Portanto d = mdc(a, b). Logo, mdc(a, b) = mdc(a, n). Exercício 1.2. a) ( mod 51) 7 2 2( mod 51), pois 49 2( mod 51) 7 10 ( 2) 5 ( mod 51) ( mod 51), pois 32 19( mod 51) b) ( mod 11) ( mod 11), pois ( mod 11) ( mod 11) ( mod 11). c) ( mod 17) [Teorema de Fermat] (14 16 ) ( mod 17) ( mod 17) d) Erro digitação na apostila. Exercício ( mod 17), pois 19 2 = 361 4( mod 17) ( mod 17), pois 4 2 = 16 1( mod 17) ( mod 17), pois 19 8 = (19 4 ) 2 ( 2) 2 = 1( mod 17) n N: (19 8 ) n 1( mod 17) n n 1 é múltiplo de 17. Exercício 1.4. a) Agora observemos que qualquer potência de 10 divido por 6 deixa resto 4. De fato, Vamos mostrar por indução que 10 n 4( mod 6): Para n = 1, temos que ( mod 6) Suponhamos que valha para n = k, ou seja 10 k 4( mod 6) Vamos mostrar que vale para n = k + 1, dai: 10 k+1 = 10 k ( mod 6). como ( mod 7), podemos reduzir as nossas potências a 4. Ou seja, ( mod 7). Como ( mod 7), temos que: ( mod 7) b) Observemos que: 1

2 a 7 a( mod 7), a N. Sendo assim, temos: 14( )+1+2 3( mod 7), pois a cada 7 números temos um SCR. No caso acima, teremos 14 SCR, 99 1( mod 7) e 100 2( mod 7). c) Pelo teorema de Fermat: se b a então a p 1 1( mod p) Sendo temos: ( ) ( mod 7) ( mod 7). d)façamos as contas: ( mod 7) ( mod 7), pois ( mod 7) ( mod 7), pois 12 2( mod 7) ( mod 7), pois ( 2) 10 2( mod 7) ( mod 7), pois ( mod 7) ( mod 7), pois ( 4) 5 5( mod 7) ( mod 7) ( mod 7), pois ( mod 7) ( mod 7), pois 4 4 = 16 2( mod 7) ( mod 7), pois ( mod 7) ( mod 7), pois ( mod 7) ( mod 7), pois 2 2 4( mod 7) ( mod 7), pois 4 2 = 16 2( mod 7) Exercício 1.5. a) ?( mod 4) = ( ) Observemos que: 2 2 ( ) 0( mod 4) e ( mod 4). Assim: ( mod 4) b) ?( mod 4) ( mod 4) 2 5 0( mod 4) 3 5 3( mod 4) 4 5 0( mod 4) 5 5 1( mod 4) 6 5 0( mod 4) 7 5 3( mod 4) Portanto, ( )( mod 4) ( mod 4). 2

3 Exercício 1.6. a) Vamos mostrar pelo Princípio da Indução Matemática: Para n = 1, temos: 10 2 = = ( 1) ( 1)( mod 11). Suponhamos que valha para n = k, ou seja: 10 2k 1( mod 11) Agora, basta provar que vale para n = k + 1: 10 2(k+1) = 10 2k = 1( mod 11) 10 2n 1( mod 11), n N. b) Erro digitação na apostila. Exercício 1.7. a) Método 1. Pelo AD4, tems qque a Z temos que a admite uma das formas: a = 4q, a = 4q + 1, a = 4q + 2 ou a = 4q + 3. Se a = 4q a 2 = 16q 2 a 2 = 8(2q 2 ) = 8q a 2 0( mod 8) Se a = 4q + 1 a 2 = 16q 2 + 8q + 1 a 2 = 8(2q 2 + q) + 1 = 8q + 1 a 2 1( mod 8) Se a = 4q + 2 a 2 = 16q q + 4 a 2 = 8(2q 2 + 2q) + 4 = 8q + 4 a 2 4( mod 8) Se a = 4q + 3 a 2 = 16q q + 9 a 2 = 8(2q 2 + 3q + 1) + 1 = 8q + 1 a 2 1( mod 8) Portanto, todo quadrado perfeto é congruente a 0, 1 ou 4 módulo 8. Método 2. Pelo AD8, tems que a Z, a admite uma das formas: a = 8q, a = 8q + 1, a = 8q + 2, a = 8q + 3, a = 8q + 4, a = 8q + 5, a = 8q + 6 ou a = 8q + 7. Agora, basta seguir os mesmos passos que zemos com AD4 e chegamos a mesma resposta. Este método pode apresentar-se mais longo, no entanto, na hora da prova pode ser o unico raciocínio que temos... b)observemos que: 2 2( mod 8) 22 6( mod 8) 222 6( mod 8) ( mod 8) ( mod 8). Portanto, nenhum número da sequência é congruente a 0, 1 ou 4 módulo 8. Sendo Assimm, não existem quadrados perfeitos na sequência. c) Como temos uma PA, sabemos que o termo geral desta PA é da forma: a n = a 1 + (n 1)r a n = 3 + (n 1)8 = 3 + 8n 8 = 8n 5 a n 5( mod 8) a n 3( mod 8), a n PA. Logo não existe nenhum quadrado perfeito na PA. 2 A equação ax b mod n Exercício 2.1. a) mdc(5, 24) = 1 e 1 3. Então a congruência linear tem uma única solução. 5x 3 mod (5x 3) y Z; 5x 3 = 24y 5x 24y = 3. 3

4 24 * * * * 5(5) 24(1) = 1 5(15) 24(3) = 3 Logo, x 0 = 15 é a única solução da congruência linear. b) mdc(3, 10) = 1 e 1 1. Logo a congruência tem uma única solução. 3x 1( mod 10) 3x 9( mod 10) x 1( mod 10) x 9( mod 10) x = 9 é a única solução da congruência linear. c) mdc(23, 19) = 1 e 1 7. Logo a congruência linear tem uma única solução. 23x 7( mod 19) 19 23x 7 y Z; 23x 7 = 19y 23x 19y = * * * * 23(5) 19(6) = 1 23(35) 19(42) = 7 Portanto, x 0 = 35 é a única solução da congruência linear. d) mdc(18, 7) = 1 e 1 5. Então a congruência 7x 5 mod 18 tem uma única solução. 7x 5 mod 18 7x 18y = 5 18 * * * * 7( 5) 18( 2) = 1 7( 25) 18( 10) = 5 4

5 Portanto, x 0 = 25 é a solução da congruência linear. e) mdc(120, 25) = 5 e Logo, a congruência linear 25x 15 mod 120 admire 5 soluções. Vamos encontrar uma solução particular: 25x 15 mod x 120y = * * * * 25(5) 120(1) = 5 25(15) 120(3) = 15 Portanto, x 0 = 15, x 1 = 39, x 2 = 63, x 3 = 87, x 4 = 111 são as 5 soluções não congruentes entre si da congruência linear. Exercício 2.2. a) mdc(2, 3) = mdc(2, 7) = mdc(3, 7) = 1, portanto o sitema de congruências tem solução. n 1 = 21, n 2 = 14 e n 3 = 6. Daí, x ( ) mod 42 x 47 mod 42 x = 5 é solução do Sistema linear. 21x 1 mod 2 14x 2 mod 3 6x 5 mod 7 x 1 mod 2 x 1 mod 3 x 2 mod 7 x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = 2 b) mdc(5, 7) = mdc(7, 11) = mdc(5, 11) = mdc(2, 5) = mdc(3, 7) = mdc(5, 11) = 1 Primeiramente, vamos calcular os inversos: i) inverso de 2 módulo 5: Basta resolvermos a congruência: 2a 1 1 mod 5 e obtemos que a 1 = 3 ii) inverso de 3 módulo 7: Basta resolvermos a congruência: 3a 2 1 mod 7 e obtemos que a 2 = 5 iii) inverso de 5 módulo 11: Basta resolvermos a congruência: 5a 3 1 mod 11 e obtemos que a 3 = 9 5

6 multiplicando no sitema original: linha 1 por a 1 linha 2 por a 2 linha 3 por a 3 E obtemos o sistema equivalente: x 7 mod 11 x 45 mod 13 x 12 mod 5 E este sistema de congruências se encaixa no Teorema Chinês do Resto. Temos: n 1 = 77, n 2 = 55 e n 3 = 35 77x 3 mod 5 55x 10 mod 7 35x 63 mod 11 x 4 mod 5 x 4 mod 7 x 4 mod 11 x 1 = 4 x 2 = 4 x 3 = 4 Logo, pelo TCR: X 0 ( ) mod 385 X mod 385 Portanto, x = 283 é a solução do sitema de congruência. c) mdc(11, 13) = mdc(13, 5) = mdc(5, 11) = mdc(1, 11) = mdc(3, 13) = mdc(7, 5) = 1. Como a primeira equação já está na forma do TCR, temos que procurar apenas dois inversos: i) Inverso de 3 módulo 13 = 9 ii) Inverso de 7 módulo 5 = 3 Multiplicando os inversos, obtemos o sistema equivalente: x 7 mod 11 x 45 mod 13 x 12 mod 5 E estes sitema de congruências se encaixa no Teorema Chinês do Resto: Temos: n 1 = 65, n 2 = 55 e n + 3 = 143 Logo: X 0 ( ) mod 715 X mod 715 Portanto: x = 227 é solução do sistema. 65x 7 mod 11 55x 45 mod x 12 mod 5 x 4 mod 11 x 2 mod 13 x 4 mod 5 x 1 = 4 x 2 = 2 x 3 = 4 Exercício 2.3. a) mdc(5, 7) = 1 e 1 7. Logo, a congruência admite solução. Procurando uma solução particular. 5x 3 mod 7 y Z, tal que 5x 7y = 3 6

7 7 * * * * Logo, 5(3) 7(2) = 1 5(9) 7(6) = 3 Daí, x 0 = 3 é uma solução particular. Solução Geral: x = 3 + 7t; t Z. Analogamente, obtemos as outraas soluções: b) x = t; t Z c) mdc(15, 25) = 5 e 5 9, portanto a equação não tem solução. d) x = 16 19t; t Z e) x = 1 + 3t; t Z Exercício 2.4. Queremos encontrar a solução do seguinte sistema: 3x 11 mod 25 3x 11 mod 7 3x 11 mod 13 mdc(25, 7) = mdc(7, 13) = mdc(13, 25) = mdc(3, 25) = mdc(3, 7) = mdc(3, 13) Prucurando os inversos: i) Inverso de 3 módulo 25: a 1 = 17 ii) Inverso de 3 módulo 7: a 2 = 5 iii) Inverso de 3 módulo 13: a 3 = 9 Multiplicando linha 1 por a 1, linha 2 por a 2 e linha 3 po a 3, obtemos o seguinte sistema equivalente: x 12 mod 25 x 6 mod 7 x 8 mod 13 n 1 = 91, n 2 = 325 e n 3 = 175 Solução: x = t; t N. 91x 12 mod x 6 mod 7 175x 8 mod 13 x 1 = 7 x 2 = 2 x 3 = 10 7

8 Exercício 2.5. Basta resolvermos o sistema: x 2 mod 3 x 3 mod 4 x 4 mod 5 Solução: x = t; t N. 8