Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

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1 Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 01 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. A escolha pode ser feita selecionando, 9 dos 1 quadrados para colocar os discos brancos não considerando a ordem relevante porque os discos são iguais. Ou seja, 1 C 9 são as diferentes formas de dispor os discos brancos no tabuleiro. Depois, selecionamos quadrados, de entre os 7 que permanecem sem qualquer disco. Ou seja 7 C são as diferentes formas de dispor os discos pretos no tabuleiro, depois de termos colocado os 9 discos brancos. Assim, o número de formas diferentes de colocar os 1 discos no tabuleiro, de acordo com as condições definidas é 1 C 9 7 C Resposta: Opção B. O segundo e o penúltimo números de qualquer linha do triângulo de Pascal são iguais. Assim, se o produto do segundo elemento pelo penúltimo elemento de um linha é 484, podemos calcular o valor de ambos: a a 484 a 484 a 484 a Assim, temos que a linha em causa tem elementos da forma C n. Logo só existem elementos desta linha que são inferiores a 1000: C 0 C 1; C 1 C 1 e ainda C C 0 1 Porque C C e todos os restantes são superiores a estes. Logo, sabemos que existem 17 elementos superiores a 1000 num total de, ou seja, o valor da probabilidade é 17 Resposta: Opção C. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que log a a 5 b + a log a b log a a 5 + log a b + b 5 + log a b 1 + b Resposta: Opção A log a b + b b b + b Página 1 de 9

2 4. Como, a função f é contínua em [ e, 1], e como 1 < e < e, ou seja, f e < e < f1, então, podemos concluir, pelo Teorema de Bolzano, que existe c ] e, 1[ tal que fc e, ou seja, que a equação fx e tem, pelo menos, uma solução em ] e, 1[ Resposta: Opção D fx fa 5. Sabemos que a é um zero da primeira derivada porque lim 0 x a x a f a 0 e que tem uma mudança de sinal associada, porque f x < 0, ou seja, f é decrescente: x a f x f x f x + 0 fx Máx Logo podemos concluir que a é um maximizante, e por isso fa é um máximo relativo da função f. Resposta: Opção B Não existem dados suficientes para rejeitar ou validar a afirmação da opção A. A afirmação C é falsa, porque se a fosse um minimizante, então f a > 0. A afirmação D é falsa, porque se P fosse um ponto de inflexão, então f a 0. Podemos descrever a monotonia da função g pela análise do gráfico, e relacionar com a variação do sinal da derivada: x a b + gx Máx min g x Pela observação do gráfico de g podemos ainda afirmar que < a < 0 e 0 < b <. Como fx gx, o gráfico de f resulta de uma translação horizontal do gráfico de g, de unidades para a direita. Assim, temos que os extremos da função f têm abcissas a + e b +, e a variação do sinal é dado por: x a + b + + fx Máx min f x Como < a < 0, temos que 1 < a + < ; e como 0 < b <, sabemos que < b + < 5, pelo que o gráfico da opção A é o único compatível com as condições. Resposta: Opção A Página de 9

3 7. Se z + bi, então z bi Assim temos Re z > 0 e como b < 0, Im z > 0, pelo que sabemos que representação geométrica de z pertence ao primeiro quadrante, logo Arg z não pode ser α Por outro lado z + b, como b > 0, temos que z >, logo z não pode ser Resposta: Opção C 8. Podemos reescrever a condição dada na forma: z + i π argz + i π Imz z--i π argz--i π Assim, sendo o ponto P a representação geométrica do número complexo i, a condição define o conjunto de pontos do plano complexo que: estão a uma distância do ponto P compreendida entre e definem com a semirreta paralela ao eixo real com origem no ponto P e que se prolonga no sentido positivo do eixo, um ângulo compreendido entre π rad 0 π P π Rez e π rad Resposta: Opção A Página de 9

4 GRUPO II Como i i 4 5+ i 1, temos que: z i + i 1 + i i Escrevendo z 1 na f.t. temos z 1 ρ cis θ, onde: ρ z tg θ θ π i i i 1 ; como sen θ > 0 e cos θ < 0, θ é um ângulo do o quadrante, logo Assim z 1 cis π E como cis π e i cis π, temos que: cis π cis π z iz 1 cis π cis π cis π Assim temos que z n cis π + π cis π n n cis n π cis π π cis + 4π cis π cis 7π cis π 7π E para que z n seja um número real negativo, arg z n π + kπ, k Z; ou seja: n π π + kπ, k Z n π + kπ π, k Z n n 1k, k Z π + 1kπ, k Z π Como, n 1k n + 1 k n k 1 logo, para que k Z, o menor valor natural que n pode tomar é, ficando k 1 k Fazendo a simplificação temos: π cosπ α + i cos α cos α + i sen α cosπ α + i sen α cos α + i sen α cosπ α + i sen π α cos α + i sen α π Porque cos α sen α Porque sen α sen π α cis π α cis α cis π α α Fazendo a divisão na forma trigonométrica cis π α Como queriamos mostrar Página 4 de 9

5 . Pelas leis de De Morgan, e pelo teorema do acontecimento contrário, temos que: P A B P A B 1 P A B Assim, vem que: P A B P A B P A B P A B P A B P A B 4 9 P A B P A B 9 Como P B A P B A P A P A P B A P B A ; P B A 9 e P B A, temos que 7 P A P B A P B A Logo, temos que P A 1 P A E que P A B 1 P A B Se repararmos que A B, ou seja que A e B são acontecimentos incompatíveis porque não existem números pares iguais ou maiores que, temos que: P A B P A + P B P A B P A P B E assim a probabilidade de sair o número, ou seja ocorrer o acontecimento B, é, P B Como P X 1 5, sabemos que 5 dos jornalistas são do sexo feminino, ou seja, jornalistas so sexo feminino num total de 0, e por isso, 8 jornalistas do sexo masculino. Escolhendo, ao acaso, jornalistas, de entre os 0, podemos selecionar grupos, com 0, 1 ou jornalistas do sexo feminino, e as probabilidades são: 1 C 0 8 C P Y C C 1 8 C 1 P Y C C 8 C 0 P Y 1 0 C Logo a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Y é: i 0 1 P Y i Página 5 de 9

6 .. A Resposta I 0 C 1 1! 8 A 4 pode ser interpretada como: Selecionando, de entre os 0 jornalistas 1 para ocupar as duas filas da frente, temos 0 C 1 grupos diferentes de 1 jornalistas. Como em cada um destes grupos, existem 1! maneiras diferentes de os sentar, correspondentes a todas as trocas de lugar entre eles que podem ser feitas, multiplicamos os dois números. E, por cada uma das situações diferentes antes consideradas, existem ainda 8 A 4 hipóteses a considerar, decorrentes de selecionar 4 cadeiras, ou posições, de entre as 8 existentes na terceira fila considerando a ordem relevante para fazer a atribuição de cada uma delas a um dos 4 jornalistas que se senta nesta fila. Como consideramos a ordem relevante, ficam já consideradas as trocas possíveis entre eles. A Resposta II 0 A 8 1 A 8 8 A 4 pode ser interpretada como: Existem 0 A 8 formas de ocupar a primeira fila, selecionam-se 8 de entre os 0 jornalistas considera-se a ordem relevante para considerar as trocas possíveis entre cada grupo de 8 selecionados. Por cada uma das hipóteses anteriores, existem 1 A 8 formas de ocupar a segunda fila, correspondentes a selecionar 8 de entre os 1 jornalistas que não ocuparam a primeira fila, podendo estes 8 fazer todas as trocas entre si. Finalmente, por cada uma das 0 A 8 1 A 8 formas de ocupar as duas primeira filas, existem ainda 8 A 4 hipóteses a considerar, decorrentes de selecionar 4 cadeiras, ou posições, de entre as 8 existentes na terceira fila considerando a ordem relevante para fazer a atribuição de cada uma delas a um dos 4 jornalistas que se senta nesta fila. Como consideramos a ordem relevante, ficam já consideradas as trocas possíveis entre eles Para averiguar se a função f é contínua em x 1, temos que verificar se f1 lim x 1 fx lim x 1 +fx f1 1 e e 4 + lim x 1 fx lim xe +x + x 1 e e 4 + x 1 1 x + sen x 1 lim fx lim sen x 1 + x x sen ind. 1 x sen x 1 1 x sen x 1 lim + lim + lim x x 1 x x x x x 1 x1 + x sen x 1 lim x x1 + + lim x x 1 + x 1 1 x sen x 1 lim x x1 + lim x x 1 + x 1 Como lim x 1 fazendo x 1, temos que se x 1 +, então x sen 1 x1 + lim lim x 0 + x 1 }{{} + Lim. Notável lim x x fx lim +fx, não existe lim fx; logo a função f não é contínua em x 1 x 1 x 1 Página de 9

7 4.. Para mostrar que o gráfico da função f admite uma assíntota oblíqua de equação mx+b, quando x tende para, temos: fx m lim x x lim xe +x + x xe +x lim + x lim e +x + x x x x x x b lim x lim x e+x + lim x e+ + e fx mx lim xe +x + x x lim xe +x e + x x e indeterminação fazendo x, temos x e se x, então + b lim xe +x lim e lim e lim e x lim e lim e e lim 1 e e lim 1 e lim }{{} Lim. Notável e lim e e e 1 + e 0 0 Assim temos que a reta de equação x é uma assíntota do gráfico de f quando x tende para Página 7 de 9

8 5. Começando por determinar g temos: g x g x ex + e x + 4x e x + e x + 4x ex + e x + 4x e x + e x ex + x e x x e x + e x ex e x x e x + e x + 4x Para determinar o sentido das concavidades, vamos estudar o sinal de g : g x 0 ex e x + 4 e x + e x + 4x 0 ex e x e x + e x + 4x 0 como e x + e x + 4x > 0 em R + e x e x +4 0 e x 1 e x +4 0 ex e x +4 0 ex +4e x 0 fazendo a substituição de variável e x ± ± 40 4 ± 40 4 ± ± 10 ± / R e x + 10 x ln + 10 Assim, estudando a variação de sinal de g e relacionando com o sentido das concavidades do gráfico de g, vem: x 0 ln g x n.d. 0 + gx n.d. Pt. I. Logo, podemos concluir que o gráfico de g: tem um único ponto de inflexão de abcissa x ln + 10 tem a concavidade voltada para baixo no intervalo ]0, ln + 10[ tem a concavidade voltada para cima no intervalo ] ln + 10, + [. Representado o gráfico de f, no domínio definido reproduzido na figura ao lado, numa janela compatível com o domínio da função 1 x, podemos observar que o triângulo [OAP ] terá área mínima quando a ordenada do ponto P corresponder ao máximo da função. O A P 0.15,.9 x Usando a função da calculadora gráfica para determinar o máximo de uma função num intervalo, determinámos valores aproximados às centésimas para as coordenadas de P 0.15,.9. Designado a ordenada do ponto P por P, temos que o valor da área do triângulo [OAP ] arredondado às centésimas é: f A [AOP ] OA P.9.9 Página 8 de 9

9 Começamos por definir o ponto P,0 e o ângulo AOP, cuja amplitude é π α. Assim, como sabemos que que OP, podemos usar a definição de cosseno podemos calcular OA: cosπ α OP OA cosπ α OA OA cosπ α A r Como cosπ α cos α, temos que: OA cosπ α OA cos α OA cos α Depois, calculamos AP recorrendo à definição de tangente: P π α α O x tg π α AP OP tg π α AP AP tg π α Como tg π α tg α, temos que: AP tg π α AP tg α B Como AB AP e OB OA, calculado a expressão do perímetro vem: P [OAB] AB + OA + OB AP + OA tg α + cos α tg α cos α ] π [ Logo, para cada x, π, o perímetro do triângulo é P x tg x cos x 7.. Como o declive da reta tangente num ponto é dado pela valor da derivada nesse ponto, vamos calcular a derivada da função P : P x tg x cos x 1 cos x tg x tg x cos x cos x cos x cos x 0 sen x cos x cos x sen x sen x cos x cos x Assim, o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa 5π, é 5π sen π 1 5π m P sen 5π π cos cos Página 9 de 9