7. Na figura 3, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular. Sabe se que:

Transcrição

1 Exames Nacionais exame nacional do ensino secundário Decreto Lei n. 74/004, de 6 de março Prova Escrita de Matemática A 1. Ano de Escolaridade Prova 63/.ª Fase Duração da Prova: 10 minutos. Tolerância: 30 minutos 011 Grupo I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de resposta: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Os medicamentos produzidos num laboratório são embalados em caixas de igual aspeto exterior e indistinguíveis ao tato. Um lote contém 10 caixas de um medicamento X e 0 caixas de um medicamento Y. Desse lote, retiram se, ao acaso, simultaneamente, quatro caixas para controlo de qualidade. Qual é a probabilidade de as caixas retiradas serem todas do medicamento Y? Cotações (A) 10 C 4 30 C 4 (B) 0 C 4 30 C 4 (C) 4 (D) a 4 30 C 4 3 b. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte: x i P(X x i ) a a b b b 1 10 Sabe se que: a e b são números reais; P(X 1) 3P(X ). Qual é o valor de b? (A) 1 10 (B) 4 1 (C) 7 30 (D) 1

2 . a Fase Seja a um número real positivo e seja X uma variável aleatória com distribuição Normal N(0, 1). Qual das igualdades seguintes é verdadeira? (A) P(X a) + P(X a) 0 (B) P(X a) P(X a) (C) P(X a) + P(X a) 1 (D) P(X a) P(X > a) 4. Na figura 1, está representada, num referencial o. n. xoy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 4. f y Qual das expressões seguintes pode definir a função f'', segunda derivada de f? (A) (x 3) (B) (x + 3) O x (C) 9 x (D) x 9 Figura 1. Para um certo número real positivo, k, a função g definida em R por: g (x) { sin x se x > 0 3x In (k x) se x 0 é contínua. Qual é o valor de k? (A) " 3 e (B) e 3 (C) e 3 (D) 3e 6. Na figura, está representado, num referencial o. n. xoy, o círculo trigonométrico. y Sabe se que: C é o ponto de coordenadas (1, 0) ; E A os pontos D e E pertencem ao eixo Oy ; [AB] é um diâmetro do círculo trigonométrico ; O q C x as retas EA e BD são paralelas ao eixo Ox ; q é a amplitude do ângulo COA ; B D q å d0, p c. Figura Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na figura? (A) (cos q + sin q) (B) cos q + sin q (C) (1 + cos q + sin q) (D) 1 + cos q + sin q

3 Exames Nacionais 7. Na figura 3, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular. Sabe se que: o ponto A é a imagem geométrica do número complexo "3 + i ; o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence à circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a OA. A Im (z) B O Re (z) Figura 3 Qual das condições seguintes define, em C, a região a sombreado, incluindo a fronteira? (Considere como arg (z) a determinação que pertence ao intervalo [0, p[.) (A) z p 3 (B) z p 6 (C) z 4 p 3 (D) z 4 p 6 arg (z) p arg (z) p arg (z) p arg (z) p 8. Na figura 4, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números complexos z 1, z, z 3, z 4, z e z 6. Im (z) z 3 z z 4 z O z 1 Re (z) z 6 Figura 4 Qual é o número complexo que pode ser igual a (z + z 4 ) * i? (A) z 1 (B) z 3 (C) z (D) z 6

4 . a Fase 011 Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. 1. Seja C o conjunto dos números complexos. Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora Considere z i e w z 1 * i 4n+3 b " cis a p 4 b com b å R e n å N. 1 Determine o valor de b para o qual w é um número real. 1.. Seja z um número complexo tal que z 1. Mostre que 1 + z + 1 z A MatFinance é uma empresa de consultoria financeira..1. Dos funcionários da MatFinance, sabe se que: 60% são licenciados; dos que são licenciados, 80% têm idade inferior a 40 anos; dos que não são licenciados, 10% têm idade inferior a 40 anos. 0 Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, ser licenciado, sabendo que tem idade não inferior a 40 anos. Apresente o resultado na forma de fração irredutível... Considere o problema seguinte. Foi pedido a 1 funcionários da MatFinance que se pronunciassem sobre um novo horário de trabalho. Desses 1 funcionários, 9 estão a favor do novo horário, 4 estão contra e os restantes estão indecisos. Escolhe se, ao acaso, 3 funcionários de entre os 1 funcionários considerados. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os 3 funcionários, de forma que pelo menos dos funcionários escolhidos estejam a favor do novo horário de trabalho? 1 Apresentam se, em seguida, duas respostas. Resposta I: 1 C 3 6 C 3 Resposta II: 6 * 9 C + 9 C 3 Apenas uma das respostas está correta.

5 Exames Nacionais Elabore uma composição na qual: identifique a resposta correta; explique um raciocínio que conduza à resposta correta; proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná la correta; explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta. 3. Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B. Às zero horas do dia 1 de março de 010, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana. N A (t) é o número aproximado de nenúfares existentes no lago A, t dias após as zero horas do dia 1 de março de 010. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvem se segundo o modelo: N A (t) 10 0,t com t * e N B (t) é o número aproximado de nenúfares existentes no lago B, t dias após as zero horas do dia 1 de março de 010. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem se segundo o modelo: N B (t) 10 0,4t com t * e Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos Como foi referido, às zero horas do dia 1 de março de 010, o lago A recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos sete dias, esse número aumentou. 10 Determine de quanto foi esse aumento. Apresente o resultado com arredondamento às unidades. 3.. Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de março de 010, para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B. 1 Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

6 . a Fase Considere a função f, de domínio d0, p c definida por f(x) ex + cos x x. 1 Sabe se que: B é um ponto do gráfico de f ; a reta de equação y 8x é paralela à reta tangente ao gráfico de f no ponto B. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto B. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.. Considere a função f, de domínio [0, +?[, definida por: f (x) { e x 1 x x + 1 In (x + 1) se 0 x < se x Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos..1. Estude f quanto à existência de assintotas verticais do seu gráfico... Mostre, sem resolver a equação, que f(x) 3 tem, pelo menos, uma solução em d0, 1 c.3. Estude f quanto à monotonia em ], +?[ Para a, b e n, números reais positivos, considere a função f, de domínio R, definida por: f(x) a cos (nx) + b sin (nx) 1 Seja f'' a segunda derivada da função f. Mostre que f''(x) + n f(x) 0, para qualquer número real x. FIM

7 Sugestão de resolução 1. Número de casos possíveis: 30 C 4 Número de casos possíveis: 0 C 4 Probabilidade pedida: Resposta: (B) 0 C 4 30 C 4 Grupo I Número de maneiras de, no conjunto das 30 caixas, escolher um subconjunto de 4 Número de maneiras de, no conjunto das 0 caixas do medicamento Y, escolher um subconjunto de 4 CPEN_MA1 Porto Editora. P (X 1) 3P (X ) P (X 0) + P (X 1) 3 * a 3 * 1 10 a i 1 P (X x i ) 1 a + a + b + b + b a + 3b 9 10 a + b 3 10 Como a 1 10, temos b 3 10 b 10 b 1. Resposta: (D) 3. -a 0 a Atendendo à simetria da curva de Gauss, P (X a) P (X a). Resposta: (B) 4. f é uma função polinomial de grau 4. Por observação, verifica se que o seu gráfico tem dois pontos de inflexão. Logo, a segunda derivada será uma função polinomial de grau com dois zeros distintos. Se f ''(x) x 9, a variação do sinal de f '' e a consequente variação da concavidade do gráfico de f resumem se no quadro seguinte: x? 3 3 +? f'' f 8 PI { PI 8 Os resultados desta tabela ajustam se ao gráfico apresentado. Resposta: (D). Se f é contínua em R então é contínua em x 0, pelo que lim x " 0 f (x) lim x " 0 +f (x). Assim, sin x lim x " 0 In (k x) lim x " 0 + 3x Resposta: (A) In k 1 3 lim sin x x " 0 + x In k 1 3 * 1 In k k e k " 3 e

8 . a Fase OE OD sin q EA BD cos q OA OB 1 P (OA + AE + OE) (1 + cos q + sin q) Resposta: (C) 7. Seja z 1 "3 + i. z 1 "( # 3) + 1 "3 + 1 Seja q um argumento de z 1 : { 1 tg q "3 3 "3 q é do.º quadrante ± p p 6 p 6 é um argumento de z 1. z 1 cis p 6 O setor circular OAB é a parte do círculo de centro na origem e raio igual a, limitada pelas semirretas O A e O B que fazem com a parte positiva do eixo Ox ângulos de amplitude p 6 e p radianos, respetivamente. Uma condição que define, em C, a região sombreada é: z p 6 arg (z) p Resposta: (B) 8. No plano complexo, a imagem vetorial de z + z 4 é o vetor OZ» + OZ» 4 OZ» 3. Im (z) z 3 z 90 z 4 z O z 1 Re (z) z 6 Logo, z + z 4 z 3. (z + x 4 ) * i z 3 * i z dado que ao multiplicar se um número complexo por i a sua imagem no plano complexo sofre uma rotação de + 90º em torno da origem. CPEN_MA1 Porto Editora Respostas: (C)

9 Sugestão de resolução z i Grupo II " cis p 4 " acos p 4 + i sin p " b " a 4 " ib 1 i w z 1 * i 4n+3 b " cis p (1 + i) * i4n * i 3 b 1 i 4 CPEN_MA1 Porto Editora (1 + i) * 1 * ( i) b (1 + i) * ( i) b 1 i 1 i i i b ( b i) * ( 1 + i) 1 i ( 1 i) * ( 1 + i) + b + i + i bi i ( 1) i + b + 3i bi b b w é um número real Im (w) 0 3 b 1.. Seja z r cis q. Se z 1, então z cis q, q å R. 1 + z + 1 z 1 + cis q + 1 cis q i 0 3 b 0 b (cos q + i sin q) + 1 (cos q + sin q (1 + cos q) + i sin q + (1 cos q ) i sin q ("(1 + cos q) + sin q) + ("(1 cos q) + ( sin q) ) 1 + cos q + cos q + sin q + 1 cos q + cos q + sin q + (cos q + sin q) + (cos q + sin q) Sejam os acontecimentos: L : O funcionário escolhido é licenciado ; I : O funcionário escolhido tem idade inferior a 40 anos. É dado que: P (L) 60, 0,6 ; P (I L ) 80, 0,8 ; P (I L) 10, 0,1 Pretende se determinar P (L I ). P (L) 1 0,6 0,4 P (I L) 1 0,8 0, 0,6 L 0,8 0, I I P (I L) 1 0,1 0,9 P (L I ) P (L I ) P (I ) P (L) * P (I L) P (L I ) + P (L I ) 0,6 * 0, 0,6 * 0, + 0,4 * 0, ,4 L 0,1 0,9 I I

10 . a Fase Resposta I Resposta II A favor Outros Total A resposta II é a correta. De facto, escolher 3 funcionários de forma que pelo menos estejam a favor do novo horário de trabalho significa: escolher no grupo dos 9 que estão a favor e 1 nos restantes 6, o que pode ter feito de 9 C * 6 C 1 6 * 6 C maneiras diferentes; ou escolher os 3 entre os 9 que estão a favor, o que pode ser feito de 9 C 3 maneiras diferentes. Há portanto, 6 * 9 C + 9 C 3 maneiras diferentes de escolher 3 funcionários de forma que pelo menos estejam a favor de novo horário de trabalho. A resposta I ficaria correta com a seguinte alteração: 1 C 3 6 C 3 9 * 6 C. 1 C 3 é o número total de maneiras diferentes de, nos 1 funcionários, escolher 3. Se a este número deduzirmos o número de equipas em que pelo menos elementos não estão a favor, obtemos a resposta para o problema. Ora, escolher pelo menos entre os 6 que não estão a favor significa. escolher exatamente 3, o que pode ser feito de 6 C 3 maneiras diferentes; ou escolher 1 entre os 9 que estão a favor e nos restantes 6, o que pode ser feito de 9 C 1 * 6 C 9 * 6 C maneiras diferentes. Por isso, 1 C 3 6 C 3 9 * 6 C também seria uma resposta correta. 3. N A (t) 3.1. N A (7) N A (0) * e 0,t, com t 0 ; N B (t) 10, com t 0 0,4t * e * e 10 0,*7 0,*0 ) 44 1 ) * e Nos primeiros 7 dias, o número de nenúfares da espécie Victoria amazonica aumentou, aproximadamente, 9 unidades. CPEN_MA1 Porto Editora 3.. N A (t) N B (t) t * e 0,t * e 0,4t t 0 10 (1 + 0 * e 0,4t ) 10 (1 + 7 * e 0,t ) t 0 4 (1 + 0 * e 0,4t ) (1 + 7 * e 0,t ) t 0 00 * (e 0,t ) 3 * e 0,t 1 0 t 0

11 Sugestão de resolução Fazendo x e 0,t, vem: 00x 3x 1 0 x 3 "( 3) + 4 * x 1 40 x 1 CPEN_MA1 Porto Editora Dado que a equação e 0,t 1 40 é impossível, temos: e 0,t 1 0,t In a 1 In () b t 0, ± t ) 8 Foram necessários aproximadamente 8 dias para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B. 4. Seja x a abcissa do ponto B. A reta tangente ao gráfico de f no ponto B tem declive igual a 8, ou seja, f '(x) 8. f (x) e x + cos x x f '(x) e x sin x 4x Pretende se resolver graficamento a equação f '(x) 8. Introduzindo na calculadora as funções Y 1 f '(x) e Y 8, com x å d 0, p c e calculando a interseção dos dois gráficos, obtêm se os seguintes resultados: y f ' 8 O 0,91 π x Com aproximação às centésimas, a abcissa do ponto B é igual a 0,91.. f (x) { e x 1 x x + 1 In (x + 1) se 0 x < se x.1. Para x å 30, 3 4, +? 3, f é contínua. Apenas a reta de equação x poderá ser uma assintota vertical do gráfico de f. e lim x " f (x) lim x 1 x " x lim e x 1 e lim y 1 1 x " x x " 0 + y x + 1 lim x " +f (x) lim x " + In (x + 1) 3 In (3) Fazendo y x, temos que x " ± y " 0 + Apesar de f ser descontínua no ponto x 3, os limites laterais neste ponto existem e são números reais. Logo, a reta de equação x não é assintota do gráfico de f. Portanto, o gráfico da função f não tem assintotas verticais.

12 . a Fase No intervalo c0, 1 d, f é contínua, dado ser contínua em [0, [ por ser aí definida pela composta, diferença e quociente de funções contínuas (função exponencial e funções polinomiais). f (0) e e 1 ) 3, ; f a 1 1 b e e 1 3 ),3 Dado que f é contínua em c0, 1 d e f (0) < 3 < f a 1 b, podemos concluir, pelo Teorema de Bolzano, que: E x å d 0, 1 c : f (x) 3 ou seja, a equação f (x) 3 tem pelo menos uma solução no intervalo d 0, 1 c..3. Seja x å 4, +? 3. x + 1 f '(x) a In (x + 1) b' (x + 1)' In (x + 1) (x + 1) (In (x + 1))' (In (x + 1)) f '(x) 0 x å 4, +? 3 (x + 1)' 1 * In (x + 1) (x + 1) * (x + 1) In (x + 1) 1 (In (x + 1)) (In (x + 1)) In (x + 1) 1 (In (x + 1)) 0 x å 4, +? 3 In (x + 1) 1 0 x å 4, +? 3 In (x + 1) 1 x å 4, +? 3 x + 1 e x å 4, +? 3 x e 1 x å 4, +? 3 Como e 1 <, f '(x) 0 0, A x å 4, +? 3. Por outro lado, como a função definida por y In x é crescente, temos que: x > ± x + 1 > 3 ± x + 1 > e ± In (x + 1) > In e ± ± In (x + 1) > 1 ± In (x + 1) 1 > 0 Então, In (x + 1) 1 (In (x + 1)) > 0, A x å 4, +? 3, ou seja, f '(x) > 0, A x å 4, +? 3. Logo, f é estritamente crescente em 4, +? f (x) a cos (nx) + b sin (nx), a, b, n å R + f '(x) na sin (nx) + nb cos (nx) CPEN_MA1 Porto Editora f ''(x) n a cos (nx) n b sin (nx) f ''(x) + n f (x) n a cos (nx) n b sin (nx) + n (a cos (nx) + b sin (nx)) n a cos (nx) n b sin (nx) + n a cos (nx) + n b sin (nx) 0, A x å R Portanto, f ''(x) + n f(x) 0, A x å R.