Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 1 INE 7002 GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS MODELOS PROBABILÍSTICOS

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1 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos INE 72 GABARITO LISTA DE EERCÍCIOS MODELOS PROBABILÍSTICOS 35) a) Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma informação em contrário). n = 2 p =,5 b) P(>) = P( = ) = C 2,,5,95 2 c) P( = 2) = C 2,2,5 2,95 8 d) E() = n p = 2,5 = erro. 36) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 5 p =,5 b) P( 4) = P( = 4) + P( = 5) = C 5,4,5 4,5 + C 5,5,5 5,5 c) E() = n p = 5,5 = 2,5 caras. Não, a variável não pode assumir este valor. 37) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = p =,5 b) P( 8) = P( = 8) + P( = 9) + P( = ) = C,8,5 8,5 2 + C,9,5 9,5 + C,,5,5 38) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 3 p =, b) P( ) = P( < ) = P( = ) = C 3,,,9 3 39) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = p =,8 b) P( = ) = C,,8,2 =,85899 c) P( = ) = C,,8,2 d) P( 6) = P( = 6) + P( = 7) + P( = 8) + P( = 9) + P( = ) + P( =) = C,6,8 6,2 5 + C,7,8 7,2 4 + C,8,8 8,2 3 + C,9,8 9,2 2 + C,,8,2 + C,,8,2 =,98834 Como P( 6) >,75, a associação deve processar o fabricante. e) E() = n p =,8 = 8,8 carros. 4) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 5 p =, b) P( = 3) = C 5,3, 3,9 2 =,8 c) P( ) = P( = ) + P( = ) = C 5,,,9 5 + C 5,,,9 4 =,9854 d) Novo n =, novo p =,9854 => Sucesso: caixa aceita. P( 8) = P( = 8) + P( = 9) + P( =) = C,8,9854 8, C,9,9854 9,846 + C,,9854,846 4) Proposta versus Proposta 2 Binomial: p =,3 Proposta n = 8 P( 3) = P( = ) + P( = ) + P( = 2) + P( =3) = C 8,,3, C 8,,3, C 8,2,3 2, C 8,3,3 3,97 77 =,7866 Proposta 2 n = 4 P( = ) = C 4,,3,97 4 =,2957 Proposta Lote P(Aceitar) P(Rejeitar) Lucro 4,7866, se aceitar, 3 se não 2 4,2957, se aceitar, 2 se não E(Lucro) = (4 6,7866) + (4 3,2934) = 23679,2 E(Lucro2) = (4 65,2957) + (4 2,7249) = 33227,8 Escolhe-se a proposta pois tem o maior lucro.

2 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 2 42) a) Binomial, n = 8, p =,6 P( = ) = C 8,,6,94 8 =,3283 b) Binomial, novo p =,3283, novo n = 8 P( ) = P( = ) + P( = ) = C 8,,3283, C 8,,3283, ) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 2 p =,25 b) P( 2) = P( < 2) = P( = ) P( = ) = C 2,,25, C 2,,25,75 c) P( 4) = P(< 4) = P( = ) P( = ) P( = 2) P( = 3) = - C 2,,25, C 2,,25,75 - C 2,2,25 2,75 - C 2,3,25 3,75 9 d) P( ) = - P( < ) = - P( = ) = - C 2,,25,75 2 e) E() = n p = 2,25 = 3 Desvio padrão n p ( p) 2, 25, 75, 5 44) Binomial n = 9 p =,8 a) E() = n p = 9,8 = 7,2 micros b) P( > 7) = P( = 8) + P( = 9) = C 9,8,8 8,2 + C 9,9,8 9,2 =,4362 c) Não, porque a probabilidade em b é menor do que,6 (6%). 45) Binomial n = 5 p =,95 a) P( ) = P( > ) = P( = ) P( = 2) P( = 3) P( = 4) P( = 5) = - C 5,,95,5 4 - C 5,2,95 2,5 3 - C 5,3,95 3,5 2 - C 5,4,95 4,5 - C 5,5,95 5,5 =,646 b) Não, a probabilidade é muito baixa. c) Novo n = 2 p =,95 E() = n p = 2,95 = 4 Desvio padrão n p ( p) 2, 95, 5 7, 55 46) Poisson = 2,25 crianças/dia t = dia t = 2,25 = 2,25 crianças P( > 2) = P( 2) = - P( = ) P( = ) P( = 2) 2, 25 2, 25 2, 25 2 e ( 2, 25) e ( 2, 25) e ( 2, 25) = =,6933 =,3967!! 2! O hospital não deve ser instalado: P( > 2) <,5. 47) Poisson =,5 carros/dia t = 2 dias t =,5 2 = carro a) P(pagar dívida) = P( 3) = - P( < 3) = P( = ) P( = ) P( = 2) 2 e ( ) e ( ) e ( ) = =,83 Este valor é o correto, o indicado!! 2! como resposta na lista está errado. e ( ) b) P( = ) = 3678!, c) E() = t =,5 2 = carro V() = t =,5 2 = carro 2 Desvio padrão V () = carro. 48) Poisson = 4 chamadas/hora a) t =,5 horas t = 4,5 = 2 chamadas P( > 3) = P( 3) = P( = ) P( = ) P( = 2) P( = 3) e (2) = e (2) e (2) e (2) =,8572 =,4288!! 2! 3! Há uma probabilidade relativamente pequena de que as 3 viaturas não seja suficientes. b) t = hora t = 4 = 4 chamadas

3 4 e (4) P( = )= =,8356! c) t = 2 horas t = 4 2 = 8 chamadas 8 e (8) P( = ) = =,335462! A chance de não atender nenhuma chamada é muito pequena. Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 3 49) Poisson =,2 chamadas/minuto a) t = minutos t =,2 = 2 chamadas 2 3 e (2) P( = 3) = =,84 3! b) t = minutos t =,2 = 2 chamadas P( 5) = P( < 5) = P( = ) P( = ) P( = 2) P( = 3) P( = 4) e (2) = e (2) e (2) e (2) e (2) =,526!! 2! 3! 4! c) t = 6 minutos t =,2 6 = 2 chamadas 2 e (2) P( = ) = =,48! d) t = 36 minutos t =,2 36 = 72 chamadas P( 5) = P( = ) + P( = ) + P( = 2) + P( = 3) + P( = 4) + P( = 5) e (72) = e (72) e (72) e (72) e (72) e (72)!! 2! 3! 4! 5! e) Meia hora t = 3 minutos E() = t =,2 3 = 6 chamadas. Turno completo t = 36 minutos E() = t =,2 36 = 72 chamadas. 5) Poisson Impurezas => =,5/cm 3 Bolhas => =,5/cm 3 t = cm 3. a) A peça é considerada defeituosa se apresentar 2 ou mais defeitos, sejam eles por impurezas ou bolhas isoladamente, ou qualquer combinação possível deles. Como os defeitos são independentes podemos somar suas taxas de ocorrência e obter a taxa combinada de defeitos: = impurezas + bolhas =,5 +,5 =,55 defeitos/cm 3. Como t = cm 3, então t =,55 =,55 defeitos. P(peça defeituosa) = P( 2) = P( < 2) = P( = ) P( = ),55,55 e (,55) = e (,55) =,54 =,4589!! b) Binomial n = 3 p =,4589 P( ) = P( = ) + P( = ) = C 3,,4589, C 3,,4589,54 2 =,565 c) c. P(Defeito) =,4589 => Lucro = -5 P(Sem defeito) =,54 => Lucro = 5 = 5 E(Lucro) = (-5,4589) + (5,54) =,4 c.2 E(Lucro em 5 peças) = 5 E(Lucro) = 5,4 = 66,5 5) Poisson = 4 carros/ 5 minutos = 6 carros/hora a) t =,5 horas t = 6,5 = 8 carros P( > 2) = P( = 3) + P( = 4) +... = P( 2) = P( = ) P( = ) P( = 2) e ( 8) e ( 8) e ( 8) = =,9862!! 2! b) t = hora t = 6 = 6 carros P( 2) = P( = ) + P( = ) + P( = 2) e ( 6) e ( 6) e ( 6) = =,638!! 2!

4 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 4 c) Sim, porque a probabilidade de chegarem até 2 carros em uma hora é muito baixa. 52) Como p =, é muito baixa, podemos usar Poisson como aproximação a binomial. a) n = 2 m = n p = 2, =,2, 2, 2 e (, 2) e (, 2) P(realizar negócio) = P( < 2) = P( = ) + P( = ) =.!! b) n = 2 m = n p = 2, =,2, 2, 2 e (, 2) e (, 2) P(realizar negócio) = P( < 2) = P( = ) + P( = ) = =,9824!! c) n = 2 m = n p = 2, = e ( 2) e ( 2) P(realizar negócio) = P( < 2) = P( = ) + P( = ) = =,46!! 53) Poisson: = 4 itens/6 horas t = 2 horas t = 8 itens a) P( > 4) = P( 4) = P( = ) P( =) P( =2) P( =3) P(=4) e ( 8) e ( 8) e ( 8) e ( 8) e ( 8) = =,996 =,94!! 2! 3! 4! b) P( > 7) = P( 7) = P( = ) P(=) P(=2) P(=3) P(=4) P(=5) P(=6) P(=7) e ( 8) e ( 8) e ( 8) =,996 - =,4529 =, ! 6! 7! 7 peças é um número suficiente. Há mais de 5% de probabilidade de requisitar mais de 7 peças. 54) a) No gráfico abaixo P(>,),5,4,4,3,3,2,2,,, A área sombreada corresponde a P(>,). Esta probabilidade pode ser obtida diretamente da tabela: P(>,) =,587 b) No gráfico abaixo P( <,),5,4,4,3,3,2,2,,, A área sombreada corresponde a P(<,). Esta probabilidade NÃO pode ser obtida diretamente da tabela. Mas pelas propriedades de probabilidade sabemos que: P(<,) = P(,). Esta última probabilidade pode ser obtida diretamente da tabela, e é igual à probabilidade encontrada no item a (P(>,)), pois é uma variável aleatória contínua. Então: P(<,) = P(>,) = -,587 =,843

5 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 c) No gráfico abaixo P(>-,34),5,4,4,3,3,2,2,,, Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 5 A área sombreada corresponde a P(>-,34). Esta probabilidade NÃO pode ser obtida diretamente da tabela, pois o é negativo. Mas pelas propriedades de probabilidade sabemos que: P(>-,34) = P(<-,34). E devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(<-,34) = P(>,34), e esta última probabilidade pode ser obtida da tabela. Então: P(>-,34) = P(>,34) =,3669 =,633 d) No gráfico abaixo P( < <,5),5,4,4,3,3,2,2,,, Para obter a probabilidade de estar entre e,5 basta obter a probabilidade de ser maior do que zero e subtrair a probabilidade de ser maior do que,5: o resultado será exatamente a probabilidade do intervalo procurado. P( < <,5) = P(>) P(>,5) =,5,668 =,4332 Esta probabilidade foi facilmente obtida por que os valores de são ambos positivos. e) No gráfico abaixo P(,88 < < ),5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra d): P(,88<<) = P(<) P(<,88). A probabilidade P(<) é igual a P(>), mas P(<,88) não pode ser obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(<,88) = P(>2,88). Então: P(,88<<) = P(>) P(>2,88) =,5,2 =,498 O valor de,88 é invisível no gráfico ao lado devido à grande distância da média (2,88 desvios padrões). f) No gráfico abaixo P(-,56<<-,2),5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra e, tendo em mente que os dois valores que definem o intervalo são negativos, e que há simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(-,56<<-,2) = P(>,2) P(>,56) =,427,2877 =,33

6 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 6 g) No gráfico abaixo P(-,49 < <,49),5,4,4,3,3,2,2,,, h) No gráfico abaixo P(2,5 < < 2,8),5,4,4,3,3,2,2,,, Usemos um raciocínio semelhante ao das letras d e e, mas agora os valores que definem o intervalo têm sinais diferentes, mas são iguais em módulo, isto é estão à mesma distância da média (zero). Sendo assim, P(>,49) = P(<-,49), devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média. Recordando que a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a menos a probabilidade do seu complementar, então: P(-,49<<,49) = - 2 P(>,49) = 2,32 =,3758 Usando um raciocínio semelhante ao da letra d, basta obter a probabilidade de ser maior do que 2,5 e subtrair a probabilidade de ser maior do que 2,8: o resultado será exatamente a probabilidade do intervalo procurado. P(2,5< < 2,8) = P(>2,5) P(>2,8) =,62,26 =,36 Esta probabilidade foi facilmente obtida por que os valores de são ambos positivos. O valor obtido é pequeno, pois o intervalo está a mais de 2 desvios padrões da média. i) No gráfico abaixo P(<-,2),5,4,4,3,3,2,2,,, A probabilidade procurada não pode ser obtida diretamente da tabela: esta define as probabilidades de ser MAIOR do que um certo valor. Entretanto, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(<-,2) = P(>,2) =,427 j) No gráfico abaixo P(>-,2),5,4,4,3,3,2,2,,, A probabilidade procurada não pode ser obtida diretamente da tabela, pois aqui é negativo. Entretanto, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero, e usando a propriedade do evento complementar: P(>-,2) = -P(>,2) = -,427 =,5793

7 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 k) No gráfico abaixo P(-,2<<),5,4,4,3,3,2,2,,, Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 7 Podemos usar o raciocínio da letra e. A probabilidade P(<) é igual a P(>), mas P(<-,2) não pode ser obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(<-,2) = P(>,2). Então: P(-,2<<) = P(>) P(>,2) =,5,427 =,793 l) No gráfico abaixo P(-,2<<,4),5,4,4,3,3,2,2,,, Usemos um raciocínio semelhante ao da letra g, mas os valores que definem o intervalo têm sinais e valores diferentes. Mas, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média: P(<-,2) = P(>,2). Recordando que a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a menos a probabilidade do seu complementar, então: P(-,2<<,4) = - P(>,2) - P(>,4) =,427,3446 =, ) Neste exercício devemos procurar pelas probabilidades informadas na tabela e então encontrar os valores de correspondentes. Se não for possível encontrar o valor de exatamente correspondente à probabilidade procurada, pode-se obter o mais próximo possível. a) No gráfico abaixo P(> ) =,55,5,4,4,3,3,2,2,,, Procura-se o valor de tal que a probabilidade de ser MAIOR do que ele seja igual a,55. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha,6. E na primeira linha encontramos a segunda decimal,4, resultando em =,64. b) No gráfico abaixo P(> ) =,228.,5,4,4,3,3,2,2,,, Procura-se o valor de tal que a probabilidade de ser MAIOR do que ele seja igual a,228. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha 2,. E na primeira linha encontramos a segunda decimal,, resultando em = 2,.

8 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 c) No gráfico abaixo P(< ) =,228 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 8,5,4,4,3,3,2,2,,, Procura-se o valor de tal que a probabilidade de ser MENOR do que ele seja igual a,228. Desta forma NÃO podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Entretanto, devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero, sabemos que: P(< ) =,228 = P(>- ) =,228 De acordo com a letra b = 2,, então =,. Observe a coerência do resultado: como a área é limitada por um valor ABAIO de zero, obviamente teria que ser negativo. d) No gráfico abaixo P(<< ) =,4772,5,4,4,3,3,2,2,,, Procura-se o valor de tal que a probabilidade de estar entre e ele seja igual a,4772. Percebe-se que será POSITIVO. P(<<) =,4772 = P(>) P(> ) P(>) =,5,4772 =,228. Observe que se trata do mesmo problema da letra b, então = 2. e) No gráfico abaixo P(- << ) =,95 Esta probabilidade está INCORRETA na lista.,5,4,4,3,3,2,2,,, Procura-se o valor de tal que a probabilidade de estar entre e + seja igual a,95. Como os dois valores estão à mesma distância de zero P(<- ) = P(> ) = (-,95)/2 =,25 P(>) =,25. Procura-se o valor de tal que a probabilidade de ser MAIOR do que ele seja igual a,25. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha,9. E na primeira linha encontramos a segunda decimal,6, resultando em =,96.

9 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 -,5 - -,5,5,5,99 f) No gráfico abaixo P(<) =,,5,4,4,3,3,2,2,,, g) No gráfico abaixo P(< ) =,55,5,4,4,3,3,2,2,,, Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 9 Procura-se o valor de tal que a probabilidade de ser MENOR do que ele seja igual a,. Este valor não pode ser identificado diretamente na tabela, mas devido à simetria da distribuição normal à média zero: P(< ) =, = P(>- ) Procura-se o valor de - tal que a probabilidade de ser MAIOR do que ele seja igual a,. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha 2,2. E na primeira linha encontramos a segunda decimal,9, resultando em - = 2,29. Logo =,29 (observe a coerência com o gráfico, pois é menor do que zero). Procura-se o valor de tal que a probabilidade de ser MENOR do que ele seja igual a,55. Este valor não pode ser identificado diretamente na tabela, mas devido à simetria da distribuição normal à média zero: P(< ) =,55 = P(>- ) Procura-se o valor de - tal que a probabilidade de ser MAIOR do que ele seja igual a,55. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha,6. E na primeira linha encontramos a segunda decimal,4, resultando em - =,64. Logo = -,64 (observe a coerência com o gráfico, pois é menor do que zero). h) P(< ) =,5. Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à sua média zero, então =, pois há 5% de chance dos valores serem menores do que zero. i) No gráfico abaixo P(- << ) =,6825,5,4,4,3,3,2,2,,, Procura-se o valor de tal que a probabilidade de estar entre e + seja igual a,6825. Como os dois valores estão à mesma distância de zero P(<- ) = P(> ) = (-,6825)/2 =,587 P(>) =,587. Procura-se o valor de tal que a probabilidade de ser MAIOR do que ele seja igual a,587. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha,. E na primeira linha encontramos a segunda decimal,, resultando em =,.

10 -,5 - -,5,5,5, , ,5 4 42, ,5 5 52, ,5 6 62, ,5 7 -,5 - -,5,5,5,99 j) No gráfico abaixo P(- << ) =,9544,5,4,4,3,3,2,2,,, Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos Procura-se o valor de tal que a probabilidade de estar entre e + seja igual a,9544. Como os dois valores estão à mesma distância de zero P(<- ) = P(> ) = (-,9544)/2 =,228 P(>) =,228. Procura-se o valor de tal que a probabilidade de ser MAIOR do que ele seja igual a,228. Desta forma podemos procurar esta probabilidade diretamente na tabela. Na coluna da extrema esquerda identificamos a linha 2,. E na primeira linha encontramos a segunda decimal,, resultando em = 2,. 56) A solução desta questão passa pela utilização da equação = (x -)/, sabendo-se que = 25 e = 2. a) = (235)/2 = -, b) = (23,55)/2 = -,75 c) = (245)/2 = -,5 d) = (25,25)/2 =, e) = (25,5 25)/2 =,25 57) Novamente devemos usar a equação = (x -)/, mas isolar o valor de x: x = +, sabendo que = 4 e = 3. a) x = 4 + (, 3) = 4,3 b) x = 4 + (2 3) = 46 c) x = 4 + (,75 3) = 42,25 d) x = 4 + (3 3) = 32,4 e) x = 4 + ( 3) = 3 f) x = 4 + (,2 3) = 3,4 58) é uma variável aleatória contínua com distribuição normal, com = 5 e = 5. Para calcular as probabilidades pedidas é preciso encontrar os valores de correspondentes aos valores de x. a) P(4<<5),5,4,4,3,3,2,2,,, Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a 4 e 5: = (4-5)/5 = 2 = (5-5)/5 = Então: P(4<<5) = P(<<). Abaixo está o gráfico da variável,5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra d do Exercício 54: P(,<<) = P(<) P(<,). A probabilidade P(<) é igual a P(>), mas P(<,) não pode ser obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(<,) = P(>2,). Então: P(,<<) = P(>) P(>2,) =,5,228 =,4772

11 -,5 - -,5,5,5, , ,5 4 42, ,5 5 52, ,5 6 62, ,5 7 -,5 - -,5,5,5, , ,5 4 42, ,5 5 52, ,5 6 62, ,5 7 b) P(49<<5),5,4,4,3,3,2,2,,, Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a 49 e 5: = (49-5)/5 = -,2 2 = (5-5)/5 = Então: P(49<<5) = P(-,2<<). Abaixo está o gráfico da variável,5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra i do Exercício 54: P(-,2<<) = P(<) P(<-,2). A probabilidade P(<) é igual a P(>), mas P(<-,2) não pode ser obtida diretamente da tabela. Contudo, devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero: P(<-,2) = P(>,2). Então: P(-,2<<) = P(>) P(>2,) =,5,427 =,793 c)p(4<<45),5,4,4,3,3,2,2,,, Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a 4 e 45: = (4-5)/5 = 2 = (45-5)/5 =- Então: P(4<<45) = P(<<-). Abaixo está o gráfico da variável,5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra f do Exercício 54: P(<<-) = P(>) P(>2). Então: P(<-,2) = P(>,2). Então: P(-,2<<) = P(>) P(>2,) =,5,427 =,793

12 3 32, ,5 4 42, ,5 5 52, ,5 6 62, , , ,5 4 42, ,5 5 52, ,5 6 62, ,5 7 -,5 - -,5,5,5, , ,5 4 42, ,5 5 52, ,5 6 62, ,5 7 d) P(56<<6),5,4,4,3,3,2,2,,, Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 2 Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a 56 e 6: = (56-5)/5 =,2 2 = (6-5)/5 =2 Então: P(56<<6) = P(,2<<2). Abaixo está o gráfico da variável,5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra h do Exercício 54: P(,2<<2) = P(>,2) P(>2). Então: P(,2<<2) =,5,228 =,923 e) P(4<<65),5,4,4,3,3,2,2,,, Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a 4 e 65: = (4-5)/5 = 2 = (65-5)/5 =3 Então: P(4<<65) = P(<<3). Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54 (embora os valores de não sejam iguais): P(<<3) = - P(>2) P(>3). Então: P(<<3) = -,228,35 =,97585 f) P(45<<55),5,4,4,3,3,2,2,,, Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a 4 e 65: = (45-5)/5 = - 2 = (55-5)/5 = Então: P(45<<55) = P(-<<). Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54: P(-<<) = - 2 P(>) Então: P(-<<) =,587 =,6826

13 2, 225, 25, 275, 3, 325, 35, 375, 4, 425, 45, 475, 4995, 5245, 5495, 5745, 5995, -,5 - -,5,5,5, ,5 - -,5,5,5, ,5 - -,5,5,5,99 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 3 59) Em ambos os casos é preciso encontrar os valores de correspondentes aos escores mínimos 575 e 54. Como 575 é maior do que 55, o valor de associado será positivo, e como 54 é menor do que 55, será negativo. Vamos apresentar os cálculos. Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a 575 e 54: = (575-55)/3 =,83 2 = (54-55)/3 = -,33. Então P(>575) = P(>,83) e P(>54) = P(>-,33). Os gráficos respectivos são mostrados a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, P(>,83) pode ser obtida diretamente da tabela: P(>,83) =,233. Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do evento complementar: P(<-,33)= - P(>,33) =,377 =, ) Suponha a variável como sendo os ganhos mensais. Apenas será interessante mudar de emprego se >35, que são os ganhos atuais. Então, para escolher a melhor opção (letra b), ou para calcular a probabilidade de ganhar mais em cada emprego, é preciso obter P(>35). a) No caso da indústria, = 4 e = 5, P(>35) = P(> ): = (35 4)/5 = -,. Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do evento complementar, a probabilidade de ganhar mais na indústria: P(>35) = P(>-) = P(>) =,587 =,843.

14 3,22 3,27 3,32 3,37 3,42 3,47 3,52 3,57 3,62 3,67 3,72 3,77 3,89 3,869 3,969 3,9 -,5 - -,5,5,5,99 3,22 3,27 3,32 3,37 3,42 3,47 3,52 3,57 3,62 3,67 3,72 3,77 3,89 3,869 3,969 3,9 -,5 - -,5,5,5, ,5 - -,5,5,5,99 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 4 No caso do Vendedor, = 32 e = 26, P(>35) = P(> 2 ): 2 = (35 32)/26 =,. Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, A probabilidade de ganhar mais como vendedor: P(>35) = P(>,) =,4562. b) Obviamente, o emprego na indústria deve ser o escolhido, pois tem uma probabilidade bem maior de proporcionar ganhos superiores ao salário atual do que o de vendedor. 6) a) P(>3,5). = 3,62 e =,, P(>3,5) = P(> ): = (3,5 3,62)/, = -,2. Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do evento complementar, P(>3,5) = P(>-,2) = - P(>,2) = -,5 =,8849. b) A solução é encontrar a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões: P(3,4<<3,8). Eixos dentro dos padrões resultarão em lucro de 5-,2 = 3,8. Eixos fora dos padrões, cuja probabilidade de ocorrência será -P(3,4<<3,8) probabilidade do complementar resultará em prejuízo de,2. Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a 3,4 e 3,8: = (3,4,62)/, =,2 2 = (3,8,62)/, =,8 Então P(3,4<<3,8) = P(,2<<,8). Os gráficos respectivos são mostrados a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54 (embora os valores de não sejam iguais):

15 9,5 2,75 22, 23,25 24,5 25,75 27, 28,25 29,5 3,75 32, 33,25 34,48 35,73 36,98 38,23 39,48 -,5 - -,5,5,5,99 9,5 2,75 22, 23,25 24,5 25,75 27, 28,25 29,5 3,75 32, 33,25 34,48 35,73 36,98 38,23 39,48 -,5 - -,5,5,5,99 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 5 P(,2<<,8) = - P(>,8) P(>2,2). Então: P(,2<<,8) = -,359,39 =,952. Conclui-se então que a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões vale,952, e de estarem fora dos padrões vale -,952 =,498. Podemos então criar uma nova variável aleatória Y, lucro individual, com a seguinte distribuição: Y P(Y) -,2,498 3,8,952 O valor esperado de Y pode ser obtido através da expressão: n E(Y) i y p,2,498 3,8,952 3, 55 i yi Este é o lucro esperado por em uma peça. Queremos encontrar o lucro esperado em. Podemos usar uma propriedade do valor esperado: E(k Y) = E(Y) => O valor esperado do produto de uma constante ( no caso deste problema) pelo valor esperado de uma variável aleatória é igual ao produto da constante pelo próprio valor esperado. Assim, para peças: E( Y) = E(Y) = 3,55 = 355,. 62) a) Variável aleatória = precipitação anual em cm, segue distribuição normal com = 29,5 e = 2,5. Precisamos encontrar o valor de que delimita os 5% maiores valores de : P(> ) =,5. Com base na equivalência com a distribuição normal padrão: P(> ) = P(> ) =,5. Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra a do Exercício 55. Procurar na tabela pela probabilidade,5. Esta probabilidade NÃO EISTE na tabela, podemos encontrar os valores mais próximos. Na coluna da extrema esquerda vamos encontrar o valor,6, e na linha superior vamos encontrar a segunda decimal,4 e,5: P(>,64) =,55 e P(>,645) =,495. Como as probabilidades estão à mesma distância de,5 fazemos a média dos 2 valores de, então =,645. Novamente devemos usar a equação = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = +, sabendo que = 29,5, = 2,5 e =,645: x = 29,5 +,645 2,5 = 33,625 cm. b) P(>32). = 29,5 e = 2,5, P(>32) = P(> 2 ): 2 = (32 29,5)/2,5 =,. Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, P(>,) =,587. Como a probabilidade é menor do que,45 não é viável a instalação do sistema.

16 ,29,376,462,548,634,72,86,892,978 2,64 2,5 2,236 2,323 2, ,5783 2,6643 -,5 - -,5,5,5,99,5 3 4,5 6 7,5 9,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 2 22,5 24 -,5 - -,5,5,5,99, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, 2, 2,98 3,98 4,98 5,98 6,98 -,5 - -,5,5,5,99 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 6 63) Encontrar P(<6) nos dois tipos de televisores. Aquele que apresentar menor valor deve ser o incentivado. No televisor A, P(<6). = 9 e = 2, P(<6) = P(> ): = (6 9)/2= -,5. Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, P(<6)=P(<-,5) Devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero: P(<-,5)= (>,5) =,668 No televisor B, P(<6). = 2 e = 3, P(<6) = P(> 2 ): 2 = (6 2)/3=. Veja os gráficos a seguir: P(<6)=P(<) Devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero: P(<)=P(>2) =,228,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Incentivaria o televisor B, pois ele tem a menor probabilidade de reposição em 6 meses. 64) Primeiramente encontramos a percentagem que atende às especificações P(,6<<2,4). Usando a equação = (x -)/ podemos encontrar os valores de correspondentes a,6 e 2,4: = (,6-,978)/,72 =,2 2 = (2,4-,978)/,72 =2,45 Então: P(,6<<2,4) = P(,2<<2,45). Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54: P(,2<<2,45) = - P(>2,2) P(>2,45). Então: P(,2<<2,45) = -,39,7 =,979. Assim, o percentual dos que NÃO atendem às especificações seria igual a,979 =,2. A esmagadora maioria dos eixos está dentro das especificações. Resta saber se 97,9% é aceitável ou não. 65) O problema é definir as faixas de percentuais, obter os valores de correspondentes e depois os valores das notas que definem os conceitos. Veja os gráficos abaixo.

17 4,56 9, 23,65 28,2 32,74 37,29 4,83 46,38 5,92 55,47 6, 64,56 69, 73,55 78, 82,64 87,9 4,56 9, 23,65 28,2 32,74 37,29 4,83 46,38 5,92 55,47 6, 64,56 69, 73,55 78, 82,64 87,9 222, 225,5 229, 232,5 236, 239,43 242,93 246,43 249,93 253,43 256,93 26,43 263,86 267,36 27,86 274,36 277,86 -,5 - -,5 -,49,99,49,98 2,48 2,98 3,48 3,98, 5, 2, 25, 3, 35, 4, 45, 5, 55, 6, 65, 69,9 74,9 79,9 84,9 89,9,,, -,5 -, -,5,,5,,5,99,5,4,4,3,3,2,2,,, 2 3 4,5,4,4,3,3,2,2,,, Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos P(> 4 ) =, P(> 3 ) =,3 P(> 2 ) =,7 P(> ) =,9 Procurando na tabela da distribuição normal padrão: 4,28, x 4 = 5 +,28 = 62,8 3,53, x 3 = 5 +,53 = 55,3 P(> 2 ) =,7, P(>- 2 ) =,7 =,3-2,53 2 -,53, x 2 = 5 -,53 = 44,7 P(> ) =,9, P(>- ) =,9 =, -,28 -,28, x = 5 -,28 = 37,2 As notas então serão 37,2, 44,7, 55,3 e 62,8. 66) a) P(>26). = 25 e = 7, P(>26) = P(> ): = (26 25)/7 =,43.,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, P(<26) =P(>,43) =,764 b) P(< 2 ) =,5. Devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero: P(< 2 ) =,5 = P(>- 2 ). Lembrando da letra a do exercício 62, - 2 =,645, então 2 = -,645. Novamente devemos usar a equação = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = +, sabendo que = 25, = 7 e 2 = -,645: x 2 = 25 -,645 7= 238,48h. Para repor apenas 5% da produção o prazo máximo de garantia deveria ser de 238,48 h. 67) O índice de aprovação é obtido calculando a probabilidade de que as notas sejam MAIORES do que os pontos alcançados pelos candidatos. Caso seja menor do que a taxa vagas por candidatos o indivíduo está aprovado, caso contrário está reprovado. No curso de economia a probabilidade associada aos pontos alcançados não pode ser maior do que,37 e no de administração,42. a) Economia = 5,92, = 9,9 P(>5) = P(>): = (5-5,92)/9,9 = -,. P(>5) = P(>-,) = -P(>,) = -,462 =,5398 >,37 => candidato reprovado. P(>6) = P(>2): 2 = (6-5,92)/9,9 =,. P(>6) = P(>) =,587 <,37 => candidato aprovado.,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, P(>5) P(>6)

18 4,56 9, 23,65 28,2 32,74 37,29 4,83 46,38 5,92 55,47 6, 64,56 69, 73,55 78, 82,64 87,9 22,2 26,3 3,5 34,6 38,7 42,8 46,9 5 55, 59,2 63,3 67,4 7,5 75,6 79,7 83,8 87,9 b) Economia = 5,92, = 9,9 P(>55 = P(>): = (555,92)/9,9 =,44 P(>5) = P(>,44) =,33 <,37 => candidato aprovado. Administração = 55,, = 8,22 P(>58) = P(>): = (58-55,)/8,22 =,35. P(>58) = P(>,35) =,3632 = <,37 => candidato aprovado. Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 8,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Economia: P(>55) Administração: P(>58 c) Basta encontrar x tal que P(>x ) =,37 em economia e x 2 tal que P(>x 2 ) =,42. P(>x ) = P(> ) =,37;,33 P(>x 2 ) = P(> 2 ) =,42; 2,22 Novamente devemos usar a equação = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = +, sabendo que: = 5,92, = 9,9 em economia e =,33: x = 5,92 +,33 9,9= 54. = 55,, = 8,22 em administração e 2 =,22: x 2 = 55, +,22 8,22= ) a) Pela binomial: P( 8) C,5,5, 833. Como n p e n (-p) são maiores do que 5 4,8 a aproximação pela normal é viável: = n p = 7; =,87 Binomial: P( = 8) => Normal: P(7,5<<8,5) = P(<<2) P(-,8<<,8) =,833. Veja o gráfico abaixo:,25 2=(8,5-7)/,87 =,8 =-2=-,8,2,5, Binomial Normal,5, Observe como a curva normal passa quase por cima das probabilidades binomiais, o que explica os bons resultados. 7 3 b) Pela binomial: P ( 7) C,, 4, , Como n p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim, a título de exemplo: = n p =4; =,55 Binomial: P( = 7) => Normal: P(7,5<<8,5) = P( << 2 ) 2 =(8,5)/,55 =2,9; = (7,5)/,55 =

19 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 9 P(2,26<<2,9) =,43 (este valor está INCORRETO na lista). A aproximação não foi tão ruim assim, pois n p = 4, bem próximo de 5. Veja o gráfico abaixo:,3,25,2,5 Binomial Normal,,5, c) Pela binomial P(8) = P( = 8) + P(=9) + P(=)+...+ P(=5) =,9957. Como n (-p) é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim, a título de exemplo: = n p =2; =,55 Binomial: P( 8) => Normal: P(>7,5) = P(> ) =(7,5-2)/,55 =,9 P(>,9) = -P(>2,9) =,9982. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n (- p) = 3, o que leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:,3,25,2 As probabilidades de,, 3, 4 e 5 apresentam diferenças, e o próprio formato da distribuição binomial não é exatamente simétrico.,5 Binomial Normal,,5, d) Pela binomial: P(<9) = P(=) + P( = ) P( = 8) =,54. Como n p e n (-p) são maiores do que 5 a aproximação pela normal é viável: = n p = 8,4; =,83 Binomial: P( < 9) => Normal: P(<8,5) = P(< ) =(8,5-8,4)/,83 =,5 P(<,5) = -P(>,5) =,48 =,59. A aproximação apresentou diferença apenas na 3ª casa decimal. Veja o gráfico a seguir:

20 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 2,25,2,5, Binomial Normal,5, e) Pela binomial P( 2) = P( = ) + P(=) + P(=2) =,26. Como n p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim, a título de exemplo: = n p =4; =,79 Binomial: P( 2) => Normal: P(<2,5) = P(< ) =(2,5-4)/,79 =-,84 P(<-,84) = P(>,84) =,25. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n p = 4, o que leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:,25,2,5, Binomial Normal As probabilidades de, 2, 3, 5, e 6 apresentam diferenças, e o próprio formato da distribuição binomial não é exatamente simétrico.,5, f) Pela binomial P(5 < 8) = P( = 6) + P( = 7) + P( = 8) =,499 (esta probabilidade está INCORRETA na lista). Como n p e n (-p) são maiores do que 5 a aproximação pela normal é viável: = n p = 7; = 2,3 Binomial: P(5 < 8) => Normal: P(5,5 < < 8,5) = P( < < 2 ) =(5,5-7)/2,3 = 2 = (8,5 7)/2,3 = 5,4 P( < < 5,4) = P( > ) P( > 5,4) =,334,3 =,33 (esta probabilidade está INCORRETA na lista). Observe que houve diferença, provavelmente por se tratar de valores muito elevados de. Mesmo assim, veja o gráfico a seguir:

21 7,37 2,2 23,3 25,86 28,69 3,5 34,34 37,7 4, 42,83 45,66 48,49 5,26 54,9 56,9 59,74 62,57,,, -,5 -, -,5,,5,,5,99 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 2,2,8,6,4,2,,8,6 Binomial Normal As probabilidades de vários valores não coincidem exatamente, indicando que embora a condição mínima para aproximação tenha sido satisfeita ela apresenta algumas discrepâncias.,4,2, ) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (usa ou não o produto), há 2 elementos pesquisados (número máximo de realizações é conhecido), e podemos considerar a probabilidade de sucesso (usar o produto) como constante, uma vez que não há nada indicando o contrário: n = 2; p =,2; p =,8. Pela binomial: P( > 3) = P( = 3) + P( = 32) P( = 2). O procedimento seria tedioso, mas como n p e n ( p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com = n p = 2,2 = 4 n p( p) 2,2, 8 = 5,66 Binomial: P( > 3) => Normal: P( > 3,5) = P(> ) =(3,5)/5,66 = -,68 Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade da probabilidade do evento complementar: P( > -,68) = P( >,68) =,465 =,9535 (a propósito o valor exato pela binomial é,957, bastante próximo). 7) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (acertar ou errar a questão), há 8 questões das quais ele não sabe nada (número máximo de realizações é conhecido), e podemos considerar a probabilidade de sucesso (acertar questão) como constante, uma vez que não há nada indicando o contrário: n = 8; p =,25; p =,75. Pela binomial: P(25 3) = P( = 25) + P( = 26) P( = 3). O procedimento seria tedioso, mas como n p e n ( p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com = n p = 8,25 = 2 n p( p) 8,25, 75 = 3,87 Binomial: P(25 3) => Normal: P(24,5 < < 3,5) = P( < < 2 ) = (24,5 2)/ 3,87 =,6 2 = (3,5 2)/ 3,87 = 2,7 Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade da probabilidade do evento complementar: P(,6 < < 2,7) = P(>,6) P(>2,7) =,96

22 ,5,,5 2, 2,5 3, 3,5 4, 4,5 5,,76 3,62 5,49 7,35 9,2,8 2,94 4,8 6,67 8,53 2,39 22,26 24,8 25,95 27,8 29,67 3,54 -,5 - -,5,5,5,99 4,5 6,44 8,38,32 2,25 4,9 6,3 8,6 2, 2,94 23,87 25,8 27,7 29,64 3,58 33,52 35,45,,, -,5 -, -,5,,5,,5,99 Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 22 A propósito, o valor exato pela binomial é,93 (bastante próximo). 7) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (face 2 ou não 2 na letra a, e face par ou ímpar na letra b), o dado é lançado vezes (número máximo de realizações é conhecido), e se o dado é honesto a probabilidade de sucesso pode ser considerada constante: a) n = ; p = /6; p = 5/6. Pela binomial: P( 8) = P( = 8) P( = 8). O processo de cálculo seria tedioso, mas como n p e n ( p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com = n p = /6 = 6,67 n p( p) / 65/ 6 = 3,73 Binomial: P( 8) => Normal: P( > 7,5) = P( > ) = (7,5 6,67)/ 3,73 =,22 P( >,22) =,429. Veja os gráficos a seguir:,5,4,4,3,3,2,2,,,,5,4,4,3,3,2,2,,, A propósito, o valor exato pela binomial é, ) Foi declarado textualmente que a variável tempo de chamadas segue uma distribuição uniforme entre,5 e 5 minutos: parâmetros a =,5 e b = 5. Seja a variável aleatória duração de uma chamada, e seja Y a variável aleatória duração total das 4 chamadas. Estamos procurando P(Y > 3,5h) = P(Y > 2 minutos). Se há 4 chamadas, a média por chamada é de 2/4 = 2,2 minutos. Então isso significa que procuramos P( > 2,2), veja o gráfico:,5,4,4,3,3,2,2,,, P(>2,2) é a área sombreada. Para calcular tal área na uniforme devemos usar a expressão: (b-x) (/(b-a)) = (5 x)/(/(5,5)). P( > 2,2) = (5 2,2) (/4,5),6624

23 , 49, 99, 49, 99, 249, 299, 349, 399, 449, 3,5 3,55 3,6 3,65 3,7 3,75 3,8 3,5 3,55 3,6 3,65 3,7 3,75 3,8 Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 23 73) Foi declarado textualmente que a variável diâmetro dos eixos segue uma distribuição uniforme entre 3,5 e 3,8 mm: parâmetros a = 3,5 e b = 3,8. a) P( > 3,7) = (3,8 3,7) (/(3,8 3,5)) =,3333 (33,33%). 3,5 3, 2,5 2,,5,,5, b) Para distribuição uniforme E() = (a + b)/2 = (3,5 + 3,8)/2 = 3,65 mm c) P( < 3,72) = (3,72 3,7) (/(3,8 3,5)) =,7333 <,8. A exigência não está sendo satisfeita. 3,5 3, 2,5 2,,5,,5, d) P( < 3,75 > 3,7) = P[( < 3,75) ( > 3,7)]/P( > 3,7) = [(3,75 3,7) /(3,8 3,5)]/,3333 =,5 (5%). 74) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, mas o parâmetro é desconhecido. Contudo, sabe-se que P( > h) =,2233 = e - = e -. Aplicando logaritmo natural (cuja base vale e): ln,2233 = ln e - => -,5 - =>,5. Agora podemos calcular as probabilidades pedidas nas letras a e b. a) P( > 3h) = e - 3 = e -,5 3, b) P( <,5 h) = e -,5 = e -,5,5 = e -,75 =,4723. Como esta probabilidade é obviamente diferente de,9 a afirmação não pode ser feita. 75) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, onde novamente o valor de é desconhecido. Mas, o valor esperado de uma distribuição exponencial é E() = /, e sabemos que E() = 2, logo = /2. a) P( > ) = e - = e -(/2) = e -5/6,4346 b) Sabe-se que P(< ) =,5 => P( > ) =,95 = e - x). Veja o gráfico a seguir:,9,8,7,6,5,4,3,2,,,95 = e -(x/2) Aplicando logaritmo natural: ln,95 = ln e -(x/2) -,5 = -x /2 x = 6,5 meses Então, a garantia máxima para repor até 5% da produção deve ser de 6,5 meses.