Ponto Flutuante IEEE 754

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1 Exemplo 1: Converter 25,5 em binário 1ª Etapa: Transformar o número em algo parecido om 1,### x 2 ### Isso é alcançado através de divisões ou multiplicações. No caso do exemplo, divisões, pois o número é menor do que 1. Nesta etapa o sinal de negativo do número, caso exista, deve ser ignorado! 25,5 / 2 = 12,75 12,75 / 2 = 6,375 6,375 / 2 = 3,1875 3,1875 / 2 = 1,59375 Ao final desta etapa, obtemos R1 = 1,59375 através de 4 divisões. Com isso, apenas encontramos outra forma de representar 25,5 que é 1,59375 x 2 4 2ª Etapa: Calcular a mantissa baseado na parte fracionária de R1 Esse processo se dá sempre através de multiplicações sucessivas, até que o resultado seja 0, ou até um máximo de 23 multiplicações. Como R1 = 1,59375, logo, sua parte fracionária é 0, ,59375 x 2 = 1,1875 (De uma etapa para a outra, leva-se apenas a parte fracionária!) 0,1875 x 2 = 0,375 0,375 x 2 = 0,75 0,75 x 2 = 1,5 0,5 x 2 = 1,0 0,0 x 2 = 0,0 (Acabou!) Mantissa calculada = Como a quantidade de bits da mantissa ficou inferior à 23, completa-se o final com 0's até formar 23 dígitos. Mantissa final = ª Etapa: Coletar as informações necessárias para criar a representação binária - Sinal Positivo = 0 (Se fosse negativo seria 1) - Expoente

2 4 (Calculado na 1ª etapa) Porém, devido ao padrão estabelecido pela IEEE para números de ponto flutuante, esse expoente deve ser acrescido de 127. Assim: = 131 = Mantissa (Calculada na 2ª etapa) 4ª Etapa: Montar a representação binária Basta juntar o sinal, o expoente e a mantissa coletados na 3ª etapa, para montar o valor de 32 bits que representa o valor inicial. Assim, a representação final é: Ou (Sem a formatação de cores)

3 Conversão binário-decimal com vírgula flutuante Considere-se o número: 0,145 Temos, então, uma décima (peso de 0,1), 4 centésimas (peso de 0,01) e 5 milésimas (peso de 0,001). Traduzindo em potências de base 10, temos: Conversão de binário para decimal com vírgula flutuante Vejamos, agora, um número binário: 0,01 Se para a parte inteira, usávamos potências de base 2 positivas, para a parte decimal usamos potências de base 2 negativas. À semelhança do que vimos em decimal, teremos: Logo: 0,01 (2) = 0,25 (10) Vejamos agora um número binário mais completo e usemos também a amiga tabela: 101, = = = = 0, = 0, , 1 1 Temos, então: Logo: 101,11 (2) = 5,75 (10) Mas nem tudo é sempre assim tão simples se considerarmos um limite dado pela precisão que podemos ter com um determinado número de bits. Seja o limite dado por 7 bits e considere-se ainda o seguinte binário (repare-se que neste caso representamos os zeros à direita para completar 7 bits): 0, Fazendo as contas temos: Agora, a questão está num problema que existe até nos conversores de digital para analógico. Trata-se da resolução ou precisão! Um número binário está limitado a um determinado número de combinações possíveis e, mesmo com casas decimais, enfrentamos também esse problema. Repare-se que temos 7 dígitos binários na representação das casas decimais. Sabemos que, na parte inteira, 7 bits podem representar um total de 2 7 combinações, ou seja, 128 combinações. Para a parte decimal, depois da vírgula, temos também

4 apenas 128 representações possíveis, mas estas não são lineares como para a parte inteira. Basta ver que: 0,10 = 0,5 0,01 = 0,25 0,11 = 0,75 Ou seja, temos intervalos não contínuos de números decimais! Não quer dizer que não tenhamos um 0,1 ou um 0,7 pois estes podem aparecer com mais bits, como veremos em seguida. O problema reside em saber se com 7 bits conseguimos representar todo o valor que obtivemos: 0, Para garantirmos que o valor decimal resultante respeita a resolução, ou precisão, que temos com 7 bits, temos a seguinte condição genérica: 10 p 2 n, com p o número de algarismos (precisão) para as casas decimais e n o número de bits. No caso, sabemos que temos 7 bits, ou seja, a condição será: 10 p 2 7. Para determinar p, temos que fazer um cálculo adicional e temos, para tal, uma fórmula um pouco mais complicada, pois envolve um logaritmo de base 10. A fórmula genérica, usando as mesmas letras p e n, é: Em que a função x representa a função de nome Inglês floor, que devolve o maior número inteiro menor ou igual que x. Para o nosso caso, que temos 7 bits, temos que: Ou seja, temos apenas dois algarismos de precisão! Assim, chegamos à conclusão que, atendendo a uma resolução de 7 bits, o nosso resultado será: 0, (2) = 0,78 (10) Para terminar esta parte, considere-se que teríamos resoluções ou precisões de 10 e 16 bits Com 10 bits, o binário seria representado por: 0, Teríamos então: Então, a solução já seria dada por: 0, (2) = 0,781 (10) E com 16 bits, teríamos o binário representado por: 0, Calculando o número de algarismos de precisão: Arredondando, a solução seria: 0, (2) = 0,7813 (10)

5 Conversão de decimal para binário com vírgula flutuante Terminamos este artigo com a conversão de um número fraccionário de base 10 para binário. Se para convertermos um inteiro utilizamos divisões sucessivas por 2, para casas decimais usamos multiplicações sucessivas por 2, mas com uma regra específica, até chegar a um resultado final exacto de 1. Vejamos um dos resultados anteriores: 0,25 Usemos uma tabela para ajudar nesta fase: 0,25 x 2 = 0,50 0,50 x 2 = 1,00 Explicando, passo a passo, temos: Multiplicamos o valor 0,25 por 2 e obtemos 0,50. Não temos ainda um resultado final de 1, por isso voltamos a multiplicar, agora 0,50 por 2 e obtemos 1 (1,00). Agora, de cima para baixo, juntamos os resultados inteiros temos que: 0,25 (10) = 0,01 (2) Este foi um exemplo simples, consideremos agora o número: 0,75 Parece simples Façamos agora os cálculos passo a passo, com atenção: 0,75 x 2 = 1,50 Repare-se que temos um resultado maior que 1 e não exactamente 1,00! Se multiplicarmos por 2 teremos 3, e 3 não existe em binário! Que fazer? Pegamos então nas casas decimais e continuamos com a parte inteira a zero! 0,50 x 2= 1,00 Finalmente chegámos a 1,00. Pegamos de novo nos inteiros de cima para baixo e temos que: 0,75 (10) = 0,11 (2) Esta é a regra para este tipo de cálculo. Vejamos outro decimal, já conhecido: 0,78125 Aplique-se o mesmo raciocínio: 0,78125 x 2 = 1,5625 0,5625 x 2 = 1,125 0,125 x 2 = 0,25 0,25 x 2 = 0,5 0,5 x 2 = 1 E lá temos o nosso 0,11001 em binário. Neste caso, que não especificámos a precisão, será apresentado assim. Mas se pensarmos em ter 8 bits de precisão, teremos: 0,78125 (10) = 0, (2)

6 Se considerarmos menos bits de precisão, por exemplo 4, teremos que truncar o resultado para 0,1100. O problema da resolução ou precisão verifica-se em números mais complicados. O seguinte número em base 10 pode parecer simples, mas vejamos: 0,32 Aplicando as regras: 0,32 x 2 = 0,64 0,64 x 2 = 1,28 0,28 x 2 = 0,56 0,56 x 2 = 1,12 0,12 x 2 = 0,24 0,24 x 2 = 0,48 0,48 x 2 = 0,96 0,96 x 2 = 1,92 Quando paramos? Tudo depende da precisão que queremos em números de bits! Juntemos agora inteiros com casas decimais! Seja o número de base 10: 58,125 Neste caso, tratamos cada uma das partes! Comecemos pela parte inteira, aplicando as divisões sucessivas por 2: Temos então que 58 é, em binário, Agora as casas decimais: 0,125 x 2 = 0,25 0,25 x 2 = 0,50 0,50 x 2 = 1,00 Temos então que 0,125 é, em binário, 0,001. Juntando tudo, concluímos que: 58,125 (10) = ,001 (2