Eletrônica Digital. Instituto Federal de Santa Catarina Campus São José. Área de Telecomunicações. Sistema de Numeração

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1 Instituto Federal de Santa Catarina Campus São José Área de Telecomunicações Curso Técnico Integrado em Telecomunicações Eletrônica Digital Sistema de Numeração

2 INTRODUÇÃO Eletrônica digital trabalha com sinais discretos; Usa os mesmos componentes da eletrônica analógica resistores, capacitores, diodos, transistores, etc; Sinal analógico contínuo no tempo; Sinal digital discreto no tempo existe uma descontinuidade entre uma condição e outra; Exemplo termômetro.

3 Analógico vs Digital Grandeza Sinal analógico ou contínuo Grandeza Sinal Discreto Grandeza Sinal Digital Tempo Tempo Tempo

4 Sistema de Numeração Origem dos números surgiu da necessidade de contar; Dizem que surgiu há mais de 3500 anos. O Teorema de Pitágoras data de 500 anos A.C., para se ter uma ideia; O sistema de numeração normalmente utilizado é o DECIMAL, com números entre 0 e 9; Descrição geral de um número em qualquer base...+ X.Base Y +... X dígito do número em questão; Base é a base do sistema de numeração.

5 Sistema de Numeração Y posição do dígito em relação a vírgura. Positivo à esquerda e negativo à direita (os números decimais); Y vale 0 para o 1º dígito à direita da vírgula, 1 para o 2º dígito e assim por diante; Y vale -1 para o 1º dígito à esquerda da vírgula, -1 para o 2º dígito e assim por diante; Os dígitos sempre iniciam em zero; Para um sistema de numeração com base N, os dígitos vão de 0 até N-1; Quando se atinge a contagem N, um novo dígito é acrescentado à direita do número (parte inteira), por exemplo 9 para 10.

6 Exemplos (1.036,87) 10 = 1 x x x x x x 10-2 = ,80 + 0,07 = 1036,87 10 (0,013) 10 = 0 x x x x 10-3 = 0, ,003 = 0, ( ) 10 = 2 x x x x x 10 0 = =

7 Exercícios Represente os números decimais na forma (13) 10 ; (0,13) 10 ; (128) 10 ; (2.049,05) 10 ; ( ) 10 ; ( ,009) 10 ; (0,00001) 10 ; X.Base Y

8 Sistema Binário Base é 2; O dígitos que formam este sistema de numeração são 0 e 1; Amplamente utilizado em projetos de circuitos eletrônicos. Por exemplo, o bit 0 pode representar uma tensão de -5V e o bit 1 uma tensão de +5V; Conversão de número binário para decimal (110101) 2 = 1 x x x x x x 2 0 = = (1 x 32) + (1 x 16) + (0 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) = = = (53) 10 Sempre que o dígito mais a direita for 1, então, o número será sempre ímpar! Por quê?

9 Sistema Binário Outros exemplos (1110) 2 = 1 x x x x 2 0 = = (1 x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) = = = (14) 10 (001110) 2 = 0 x x x x x x 2 0 = = (0 x 32) + (0 x 16) + (1 x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) = = = (14) 10 (111000) 2 = 1 x x x x x x 2 0 = = (1 x 32) + (1 x 16) + (1 x 8) + (0 x 4) + (0 x 2) + (0 x 1) = = = (56) 10

10 Sistema Binário Conversão de decimal para binário (14) = (17) =

11 Exercícios Converta os números abaixo do sistema binário para o decimal (100) 2 (101) 2 (1000) 2 (111001) 2 (00111) 2 (0101) 2 (101010) 2 ( ) 2

12 Exercícios Converta os números abaixo do sistema decimal para o binário (100) 10 (17) 10 (63) 10 (32) 10 (8) 10 (79) 10 (21) 10 (127) 10

13 Sistema Binário Conversão da parte fracionário do nº decimal para binário Multiplica-se a parte fracionária pelo valor da base; O número resultante à esquerda da vírgula é o dígito (0 ou 1) procurado; Se o dígito à esquerda for 0 (zero) continuar multiplicando pela base; Se o dígito à esquerda for 1 (um), retira-se o 1 e prossegue a multiplicação; O processo continua até obter-se 0 (zero) como resultado, ou atingir a resolução estabelecida, no caso de dízima (nº de casas após a vírgula); A leitura dos dígitos é feita de cima para baixo, ao contrário da parte inteira.

14 Exemplos (0,625) 10 0,625 x 2 1,250 0,250 x 2 0,50 0,50 x 2 1,00 (0,101) 2

15 Exemplos (0,27) 10 0,27 x 2 0,54 0,54 x 2 1,08 0,08 x 2 0,16 0,16 x 2 0,32 0,32 x 2 0,64 0,64 x 2 1,28 (0,010001) 2

16 Exercícios Faça a conversão dos seguintes números decimais para binário, com até cinco casas decimais após a vírgula (0,32) 10 (0,66) 10 (1,20) 10 (13,48) 10 (230,01) 10 (1010,10) 10 (8036,85) 10

17 Sistema Octal A base do sistema de numeração é igual o número de dígitos que ela usa. No sistema octal a base é 8, portanto tem 8 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 (0 até N-1, N base do sistema de numeração) Sua utilidade nos sistemas digitais vem do fato de que, associando-se os algarismos de um número binário (bits) em grupos de três, obtémse uma corresnpondência direta com os dígitos do sistema octal. 2 3 = 8 10 (2 sistema binário; 3 quantidade de bits) Conversão de octal para decimal

18 Sistema Octal 1247,235 8 =? 10 = 1 x x x x x x x 8-3 = = 1 x (2 3 ) x (2 3 ) x (2 3 ) x (2 3 ) x (2 3 ) x (2 3 ) x (2 3 ) -3 = = 1 x x x x x x x 2-9 = = 1 x x x x x (1/8) + 3 x (1/64) + 5 x (1/512) = = , , , = = 679, = 679,

19 Sistema Octal Conversão de decimal para octal =? = Converter o número fracionário 380,796 da base decimal para octal, com 4 casas decimais após a vírgula 380, = , Primeiro converte-se a parte inteira, depois a fracionária.

20 Sistema Octal Parte inteira Parte fracionária = ,796 x 8 6,368 0,368 x 8 2,944 0,944 x 8 7,952 0,952 x 8 4,416 = 0, Para 4 casas após a vírgula! 380, = 574,6274 8

21 Sistema Octal Conversão de octal em binário O mais intuitivo é converter primeiro para a base decimal e depois para a base binária. Mas como a base octal é 2 3, ou seja, terceira potência de 2, existe uma correspondência direta entre as bases. OCTAL BINÁRIO

22 Sistema Octal Por exemplo , ,432 8 = ( , ) 2 Reescrevendo , Agrupa-se os valores binários sempre de 3 em 3 bits. Adicionando-se zeros à esquerda na parte inteira, e à direita na parte fracionária, quando necessário.

23 Sistema Octal Conversão de binário para octal Agrupa-se os bits de 3 em 3 a partir da vírgula, para a direita e para a esquerda , = = , = , = 2731, , = , = 1 3 5, 7 4 = 135,74 8

24 Sistema Octal Converta o número para binário 1ª alternativa dividir sucessivamente por 2. Mas é uma solução bastante extensa! 2ª alternativa converter para octal e, em seguida, converter para binário. Solução menos trabalhosa, veja! Agora converte-se para binário =

25 Sistema Octal = ( ) 2 = Exercícios Resolva as conversões numéricas propostas a seguir (24) 10 = (?) 8 = (?) 2 (132) 10 = (?) 8 = (?) 2 (98) 10 = (?) 8 = (?) 2 (556) 10 = (?) 8 = (?) 2 (1024) 10 = (?) 8 = (?) 2 (100) 10 = (?) 8 = (?) 2

26 Sistema Hexadecimal Este sistema apresenta a base 16, portanto possui 16 dígitos distintos. Os valores usados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Nomenclatura mais usadas na base hexadecimal 53A,E2 16 0x53A,E2 O sistema hexadecimal também apresenta equivalência direta entre seus dígitos e grupos de 4 dígitos binários

27 Sistema Hexadecimal HEXADECIMAL BINÁRIO A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111

28 Sistema Hexadecimal Conversão de decimal para hexadecimal 637,33 10 =? = 27D 16 = 0x27D 0,33 x 16 5,28 0,28 x 16 4,48 0,48 x 16 7,68 0,68 x 16 10,88 = 0,547A ,33 10 = 27D,547A 16

29 Sistema Hexadecimal Conversão de hexadecimal para decimal AFC0,7D 16 =? 10 = A x F x C x x x D x 16-2 = = 10 x x x x x x 16-2 = = 44992, Conversão de hexadecimal para binário FAFA,CACA 16 =? 2 = F A F A, C A C A = , = ,

30 Sistema Hexadecimal Conversão de binário para hexadecimal , =? 16 = , = B A B A, 3 E 8 = BABA,3E8 16 Tabela de conversão de sistemas de numeração

31 Tabela de conversões DE/PARA

32 Operações Numéricas Adição e subtração no sistema decimal Adição Vai um - Transporte - Carry Obs. Toda vez que a soma de dígitos for maior ou igual ao valor da base (10) ocorre um vai um.

33 Operações Numéricas Subtração Empresta um - Vem um - Borrow

34 Operações Numéricas Adição e Subtração no Sistema Binário Como serão os procedimentos que realizarão as operações de soma e subtração em circuitos digitais? Primeiro veremos como representar números positivos e negativos através de sequências de bits em um tamanho definido pelo HW. Para números fracionários o número de bits da sequência deve ser considerada para a parte fracionária da mesma forma que a parte inteira.

35 Operações Numéricas Representação de números binários sinalizados A subtração de números binários A e B, A B, é calculado como a soma entre o número A e o negativo do número B ( B). Logo, devemos calcular o negativo do segundo número. Para representar números binários negativos serão utilizadas 3 representações Sinal-Magnitude; Complemento de 1; Complemento de 2.

36 Operações Numéricas Sinal Magnitude O bit mais significativo, ou seja, o bit mais à esquerda é utilizado para o sinal. 0 para número positivo 1 para número negativo Os demais bits contém o valor da magnitude. Assim um número com 8 bits, possui apenas 7 bits representando a magnitude = = 13 10

37 Operações Numéricas Sinal Magnitude Sendo o formato de 8 bits, é possível representar 2 8 = 256 números válidos. No entanto, existem 255 números diferentes nesta representação. Pois = = Assim os números se estendem no intervalo de -127 até +127.

38 Operações Numéricas Complemento de um O complemento de 1 de um número binário é obtido trocando todos os zeros por um e os uns por zeros. Os números, +13 e -13 decimal, em formato de 8 bits serão = = O bit mais significativo (mais à esquerda) representa o sinal. Assim 0 número positivo 1 número negativo

39 Operações Numéricas Complemento de um Neste caso também teremos o zero positivo ( ) e o zero negativo ( ). E os números se estendem dentro do intervalo de -127 até Complemento de dois O complemento de 2 de um número binário é obtido calculando primeiro o complemento de 1 do número e depois somando 1. Por exemplo

40 Operações Numéricas Os números, +13 e -13 decimal, em formato de 8 bits serão = = (complemento de 1) = = (complemento de 2) O bit mais significativo do número também é 1 quando o número for negativo, e 0 quando o número for positivo. No formato de 8 bits, agora é possível representar os 256 números válidos, pois, +0 ( ) e 0 ( ) possuem a mesma representação binária. COMPROVE!

41 Operações Numéricas

42 Operações Numéricas Para realizar a subtração entre dois números, é necessário calcular o complemento de 2 do subtraendo e somar com o minuendo. Isto resulta em economia de HW e redução de sua complexidade. O bit mais significativo vai indicar se o resultado desta subtração ainda é um número negativo. Você pode saber sua magnitude se fizer o processo inverso, ou seja, debitar de 1 o resultado e complementar todos os bits, ou melhor ainda, realizar o complemento 2 sobre este número. Ou seja, complementar 2 vezes é retornar ao número original em magnitude com sinal positivo. Se o resultado da soma (seja ela entre números positivos ou negativos) extrapolar o número da seqüência de bits definida pelo sistema digital, basta ignorar o bit excedente à esquerda do mais significativo da seqüência.

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44 Overflow Overflow é a mudança no sinal do resultado devido a realização de operações com números que levam ao estouro da capacidade do registrador (sequência de bits). Esta situação ocorre quando se realiza operações equivalentes de soma de dois números positivos ou de dois números negativos. Por exemplo, considere um registrador de 4 bits e uma representação usando complemento de = = = > resultado correto!

45 Overflow = = = > resultado ERRADO! Houve overflow! O número 1 do bit mais significativo indica número negativo. Portanto, pela representação de complemento de 2 o resultado obtido foi > Complementando os bits, obtém-se = +7

46 Overflow = = = > resultado CORRETO! Ou seja > Complementando os bits, obtém-se = +5

47 Overflow = = = > resultado ERRADO! Houve overflow! O zero mais à esquerda indica que o número é positivo, portanto o resultado obtido foi +7

48 Operações Numéricas Adição e subtração no sistema de numeração octal e hexadecimal A forma mais prática de efetuar uma operação artimética em um número octal ou hexadecimal é transformá-lo em binário, efetuar a operação e depois reconvertê-lo para octal ou hexadecimal. Por exemplo ( ) 8

49 Operações Numéricas Transformar os números octais para binário e verificar se o resultado da operação está correto = = = 3663 Transformar os números hexadecimais para binário e verificar se o resultado da operação está correto F0FC + 0A73 = FB6F CA1 = 15A1 F = F720 BEBE + 62DEB = 6ECA9

50 Resumo Sistema Num. De Para Binário Octal Decimal Hexadecimal Binário (base 2) Agrupa X.2 y +... Agrupa 4 Octal (base 8) Desagrupa 3...+X.8 y +... (Desagrupa 3 / Agrupa 4) Converte base 2 Agrupa 4 Decimal (base 10) PI / 2 PF x 2 PI / 8 PF x 8 PI / 16 PF x 16 Hexadecimal (base 16) Desagrupa 4 Converte base 2 Agrupa 3 (Desagrupa 4 / Agrupa 3)...+X.16 y +...