Introdução aos números inteiros
|
|
|
- Rodrigo Moreira Imperial
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Introdução aos números inteiros Laura Goulart UESB 19 de Dezembro de 2017 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
2 Adição Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
3 Adição 1 a + b = b + a (comutativa) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
4 Adição 1 a + b = b + a (comutativa) 2 a + (b + c) = (a + b) + c (associativa) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
5 Adição 1 a + b = b + a (comutativa) 2 a + (b + c) = (a + b) + c (associativa) 3 a + 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
6 Adição 1 a + b = b + a (comutativa) 2 a + (b + c) = (a + b) + c (associativa) 3 a + 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição) 4 a + ( a) = 0 (-a é o oposto de a) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
7 Multiplicação Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
8 Multiplicação 1 ab = ba (Comutativa) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
9 Multiplicação 1 ab = ba (Comutativa) 2 a(bc) = (ab)c (Associativa) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
10 Multiplicação 1 ab = ba (Comutativa) 2 a(bc) = (ab)c (Associativa) 3 a 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
11 Multiplicação 1 ab = ba (Comutativa) 2 a(bc) = (ab)c (Associativa) 3 a 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação) 4 ab = 1 a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
12 Multiplicação 1 ab = ba (Comutativa) 2 a(bc) = (ab)c (Associativa) 3 a 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação) 4 ab = 1 a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo) 5 ab = 0 a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
13 Multiplicação 1 ab = ba (Comutativa) 2 a(bc) = (ab)c (Associativa) 3 a 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação) 4 ab = 1 a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo) 5 ab = 0 a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto) 6 (Distributiva) i) a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc ii) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
14 Multiplicação 1 ab = ba (Comutativa) 2 a(bc) = (ab)c (Associativa) 3 a 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação) 4 ab = 1 a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo) 5 ab = 0 a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto) 6 (Distributiva) i) a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc ii) OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
15 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
16 1 a a (reexiva) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
17 1 a a (reexiva) 2 a b e b a a = b. (anti-simétrica) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
18 1 a a (reexiva) 2 a b e b a a = b. (anti-simétrica) 3 a b e b c a c (transitiva) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
19 1 a a (reexiva) 2 a b e b a a = b. (anti-simétrica) 3 a b e b c a c (transitiva) 4 Dados quaisquer a, b Z temos que a b ou b a. (totalidade) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
20 1 a a (reexiva) 2 a b e b a a = b. (anti-simétrica) 3 a b e b c a c (transitiva) 4 Dados quaisquer a, b Z temos que a b ou b a. (totalidade) 5 a b a + c b + c (compatibilidade com a adição) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
21 1 a a (reexiva) 2 a b e b a a = b. (anti-simétrica) 3 a b e b c a c (transitiva) 4 Dados quaisquer a, b Z temos que a b ou b a. (totalidade) 5 a b a + c b + c (compatibilidade com a adição) 6 a 0 e b 0 ab 0 (compatibilidade com a multiplicação) Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
22 Regras de sinais Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
23 Regras de sinais 1 a > 0 e b > 0 ab > 0 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
24 Regras de sinais 1 a > 0 e b > 0 ab > 0 2 a > 0 e b < 0 ab < 0 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
25 Regras de sinais 1 a > 0 e b > 0 ab > 0 2 a > 0 e b < 0 ab < 0 3 a < 0 e b < 0 ab > 0 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
26 Princípio do menor inteiro Todo conjunto não vazio de números inteiros limitado inferiormente admite um mínimo. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
27 1o. Princípio de Indução Finita Seja P(n) uma propriedade relativa a um número inteiro n a. Então, P(n) será verdadeira para todo inteiro n a desde que seja possível provar as seguintes armações: i) P(a) é verdadeira. ii) P(k) é verdadeira para algum k a (Hipótese de Indução) P(k + 1) também é verdadeira. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
28 2o. Princípio de Indução Finita Seja P(n) uma propriedade relativa a um número inteiro n a. Então, P(n) será verdadeira para todo inteiro n a desde que seja possível provar as seguintes armações: i) P(a) é verdadeira. ii) Dado r > a, P(k) é verdadeira para todo a k < r (Hipótese de Indução) P(r) também é verdadeira. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
29 Exercícios Prove por indução, as seguintes propriedades pra os números inteiros: n(n + 1) n =, n 1. 2 n(n + 1)(2n + 1) n 2 =, n a > 0, a n > 0, n 0. 4 a m a n = a m+n ; n, m 0. 5 (a m ) n = a m n ; n, m 0. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
30 Divisibilidade dos números inteiros Dizemos que a divide b, e denotado por a b, quando existe um único c Z tal que b = ac. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
31 Divisibilidade dos números inteiros Dizemos que a divide b, e denotado por a b, quando existe um único c Z tal que b = ac. Propriedades: 1 a a Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
32 Divisibilidade dos números inteiros Dizemos que a divide b, e denotado por a b, quando existe um único c Z tal que b = ac. Propriedades: 1 a a 2 a b e b a a = ±b. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
33 Divisibilidade dos números inteiros Dizemos que a divide b, e denotado por a b, quando existe um único c Z tal que b = ac. Propriedades: 1 a a 2 a b e b a a = ±b. 3 a b e b c a c Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
34 Divisibilidade dos números inteiros Dizemos que a divide b, e denotado por a b, quando existe um único c Z tal que b = ac. Propriedades: 1 a a 2 a b e b a a = ±b. 3 a b e b c a c 4 a b a bk, k Z. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
35 Divisibilidade dos números inteiros Dizemos que a divide b, e denotado por a b, quando existe um único c Z tal que b = ac. Propriedades: 1 a a 2 a b e b a a = ±b. 3 a b e b c a c 4 a b a bk, k Z. 5 a b e a c a (b + c). Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
36 Exercícios 1 Prove que a b e a c a (bx + cy); x, y Z. 2 Por indução, prove que 7 (2 3n 1), n 1 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
37 Algoritmo da Divisão Sejam a, b Z com a 0. Então, existem q, r Z únicos tais que b = aq + r com 0 r < a. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
38 Máximo divisor comum Dado d 0, dizemos que d é o máximo divisor comum de a e b quando as seguintes condições são satisfeitas: i) d a e d b ii) c a e c b c d. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
39 Teorema Identidade de Belzout Sejam a, b Z não nulos. Então, existe d Z tal que d = mdc(a, b). Além disso, existem s, t Z tais que d = sa + tb. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
40 Exercícios 1 Se b = aq + r, mostre que mdc(a, b) = mdc(a, r). 2 Se a bc e mdc(a, b) = d, mostre que a cd. 3 Se a bc e mdc(a, b) = 1, mostre que a c. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
41 Números Primos Dizemos que p 1 é um número primo quando q p q = ±p ou q = ±1. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
42 Teorema Se p é primo e p ab então p a ou p b. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
43 Teorema Fundamental da Aritémica Todo numéro inteiro n > 1 é um produto de fatores primos estritamente positivos de maneira única. Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de / 18
4-Operações de Matrizes
4-Operações de Matrizes Laura Goulart UESB 30 de Outubro de 2018 Laura Goulart (UESB) 4-Operações de Matrizes 30 de Outubro de 2018 1 / 16 4.1 - Adição de matrizes Dadas as matrizes A = (a ij ) e B = (b
Programa Combinatória Aritmética Racional MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/ / 52
1 / 52 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019 2 / 52 Programa 1 Combinatória 2 Aritmética Racional 3 Grafos 3 / 52 Capítulo 1 Combinatória 4 / 52 Princípio
DE MATEMÁTICA I. Prof. ADRIANO CATTAI. Corpos Numéricos (Atualizada em 8 de março de 2016)
ac COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA I Prof. ADRIANO CATTAI Corpos Numéricos (Atualizada em 8 de março de 2016) NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14 Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do
Vetores. Laura Goulart. 21 de Julho de 2018 UESB. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
Vetores Laura Goulart UESB 21 de Julho de 2018 Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 1 / 1 Introdução Muitas grandezas físicas como força para serem completamente identicadas precisam de comprimento,
Semana 2. Primitivas. Conjunto das partes. Produto cartesiano. 1 Teoria ingênua dos conjuntos. 2 Axiomática ZFC de conjuntos. 4 Conjuntos numéricos
Semana 2 1 Teoria ingênua dos conjuntos 2 Axiomática ZFC de conjuntos 3 4 Semana 2 1 Teoria ingênua dos conjuntos 2 Axiomática ZFC de conjuntos 3 4 e pertinência Conjunto é entendido como uma coleção de
Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de
Aritmética Racional MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/ / 42
1 / 42 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019 2 / 42 1 Combinatória 2 3 Grafos 3 / 42 Capítulo 2 4 / 42 Axiomática dos Inteiros Sejam a e b inteiros. Designaremos
ANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo ANÉIS DEFINIÇÃO 1 Um sistema matemático (A,, ) constituído de um conjunto não vazio A e duas leis de composição interna sobre A, uma adição: (x, y) x y e uma multiplicação
Números Reais. Jairo Menezes e Souza 19/09/2013 UFG/CAC
UFG/CAC 19/09/2013 Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Chamamos de Z o conjunto dos números
Relações binárias. Laura Goulart. 7 de Março de 2018 UESB. Laura Goulart (UESB) Relações binárias 7 de Março de / 1
Relações binárias Laura Goulart UESB 7 de Março de 2018 Laura Goulart (UESB) Relações binárias 7 de Março de 2018 1 / 1 Produto Cartesiano Dados E, F conjuntos quaisquer não vazios, denimos o produto cartesiano
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Fundamentos de Álgebra Moderna Profª Ana Paula CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros formam um conjunto, que notaremos por, no qual estão definidas duas operações, que chamaremos de adição
Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c
Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais
Números inteiros. Sandro Marcos Guzzo
Números inteiros Sandro Marcos Guzzo Cascavel - Pr Agosto de 2013 1 Construção do conjunto dos números inteiros O conjunto dos números inteiros, designado por Z será aqui construído a partir do conjunto
MA14 - Aritmética Unidade 1 Resumo. Divisibilidade
MA14 - Aritmética Unidade 1 Resumo Divisibilidade Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do
MATEMÁTICA I. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br www.fcav.unesp.br/amanda MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari CONJUNTOS NUMÉRICOS
OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA
Professora: Elisandra Figueiredo OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA DEFINIÇÃO 1 Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição
Axioma dos inteiros. Sadao Massago
Axioma dos inteiros Sadao Massago setembro de 2018 Sumário 1 Os Números 2 1.1 Notação......................................... 2 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos)................... 2
Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares
Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)
(Ciência de Computadores) 2005/ Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação
Álgebra (Ciência de Computadores) 2005/2006 Números inteiros 1. Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação (a) {inteiros positivos impares}; (b) {inteiros negativos pares};
Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago
Capítulo 1 Os Números Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago 1.1 Notação Números naturais: Neste texto, N = {0, 1, 2, 3,...} e N + = {1, 2, 3, }. Mas existem vários autores considerando
Dado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a
Exemplo (U(n)) Dado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a multiplicação módulo n é uma operação binária
Teoria dos anéis 1 a parte 3
A U L A Teoria dos anéis 1 a parte 3 Meta da aula Descrever a estrutura algébrica de anel como uma generalização de determinadas propriedades dos números inteiros. objetivos Ao final desta aula, você deverá
Um polinômio com coeficientes racionais é uma escrita formal
Polinômios. Um polinômio com coeficientes racionais é uma escrita formal P (X) = a i X i = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 +... + a n X n onde a i Q para todo i {0, 1,..., n}. Isso nos dá uma função f : N Q definida
n. 1 Matrizes Cayley (1858) As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo:
n. Matrizes Foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes, definindo a ideia de operarmos as matrizes como na Álgebra. Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes.
Álgebra Moderna Profª Ana Paula OPERAÇÕES
Álgebra Moderna Profª Ana Paula OPERAÇÕES Definição 1: Sendo E. Toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E). Notação: f : E E E fx,
Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos Prof.:
Números Reais. Gláucio Terra. Departamento de Matemática IME - USP. Números Reais p. 1/2
Números Reais Gláucio Terra glaucio@ime.usp.br Departamento de Matemática IME - USP Números Reais p. 1/2 Corpos DEFINIÇÃO Seja K um conjunto munido de duas operações, denotadas por + e. Diz-se que (K,
Geometria Analítica. Cleide Martins. Turmas E1 e E3. DMat - UFPE Cleide Martins (DMat - UFPE ) VETORES Turmas E1 e E3 1 / 22
Geometria Analítica Cleide Martins DMat - UFPE - 2017.1 Turmas E1 e E3 Cleide Martins (DMat - UFPE - 2017.1) VETORES Turmas E1 e E3 1 / 22 Objetivos 1 Entender a denição de VETOR 2 Aprender a somar dois
Notas de Aula. Gustavo Henrique Silva Sarturi. i Z (1 i m) a j1 a j2
Notas de Aula Gustavo Henrique Silva Sarturi Matemática B - Em Ação gustavo.sarturi@ufpr.br 1 Matrizes Definição 1.1. Uma matriz A m n é um arranjo retangular de m n números reais (ou complexos) organizados
1 Conjuntos, Números e Demonstrações
1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para
Notas de aulas. álgebra abstrata
1 Notas de aulas de álgebra abstrata UEMA LICENCIATURA EM MATEMATICA Elaborada por : Raimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA
Pensamento. "A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números." (Blavatsky) Prof. MSc. Herivelto Nunes
Aula Introdutória Álgebra Linear I- Abril 2017 Pensamento "A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números." (Blavatsky) Prof. MSc. Herivelto Nunes Unidade Matrizes. Matrizes A matriz foi criada
Eduardo. Matemática Matrizes
Matemática Matrizes Eduardo Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos
Relações Binárias, Aplicações e Operações
Relações Binárias, Aplicações e Operações MAT 131-2018 II Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 1 / 24 Referências ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos,
MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (2/6) Carlos Luz. EST Setúbal / IPS Abril 2012
MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (2/6) Carlos Luz EST Setúbal / IPS 16 22 Abril 2012 Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (2/6) 16 22 Abril 2012 1 / 15 Divisão Inteira Teorema Sendo
19 AULA. Princípio da Boa Ordem LIVRO. META Introduzir o princípio da boa ordem nos números naturais e algumas de suas conseqüências.
LIVRO Princípio da Boa Ordem META Introduzir o princípio da boa ordem nos números naturais e algumas de suas conseqüências. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Aplicar o princípio
Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais (inteiros positivos)
Capítulo 1 Os Números 1.1 Notação Números naturais: N = {1, 2, 3,...}, mas existem vários autores considerando N = {0, 1, 2, 3,...}. Por isso, é recomendado dizer números positivos, números não negativos,
Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4. Quarta Edição por William Stallings
Criptografia e Segurança de Rede Capítulo 4 Quarta Edição por William Stallings Capítulo 4 Corpos Finitos Na manhã seguinte, ao nascer o dia, Star entrou em casa, aparentemente ávida por uma lição. Eu
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação
Teorema 1.1 (Teorema de divisão de Euclides). Dados n Z e d N, existe uma única dupla q Z, r. n = qd + r
Matemática Discreta September 18, 2018 1 1 Divisão de inteiros Teorema 1.1 (Teorema de divisão de Euclides). Dados n Z e d N, existe uma única dupla q Z, r {0,..., d 1} tal que n = qd + r Dizemos que a
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Os números irracionais Ao longo
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS NÚMEROS RACIONAIS Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos Numero racional é todo o numero que pode ser escrito na forma a/b (com b diferente de zero) : a)
Slides de apoio: Fundamentos
Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio: Fundamentos Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2017 Conjuntos Um conjunto é coleção de objetos, chamados de elememtos do conjunto. Nomeraremos conjuntos
Espaços Vetoriais Reais
Espaços Vetoriais Reais Laura Goulart UESB 1 de Agosto de 2018 Laura Goulart (UESB) Espaços Vetoriais Reais 1 de Agosto de 2018 1 / 1 Denição Seja V um conjunto não vazio munido das seguintes operações:
Cálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Dezembro 2010 Capítulo 1 Números reais As propriedades do conjunto dos números reais têm por base um conjunto restrito
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS FICHA DE EXERCÍCIOS
FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Campus de Lhanguene, Av de Moçambique, km 1, Tel: +58 1401078, Fa: +58 140108, Maputo ESTRUTURAS ALGÉBRICAS -01 FICHA DE EXERCÍCIOS
Algoritmos. OBMEP Teoria dos números - Parte I. Algoritmo da divisão:
OBMEP Teoria dos números - Parte I Elaine Pimentel 1 o Semestre - 2006 Algoritmos Algoritmo = processo de cálculo baseado em regras formais Especificação de um algoritmo: entrada + instruções + saída Perguntas:
MATEMÁTICA I. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda@fcav.unesp.br www.fcav.unesp.br/amanda HORÁRIO DA DISCIPLINA Quinta-Feira: 9h (Turma 1) sala 38 Quinta-Feira: 14h (Turma 2) sala 38 DISPENSA
Inteiros. Inteiros. Congruência. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006.
Inteiros Inteiros. Congruência. Referência: Capítulo: 4 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006 1 Números reais A relação binária em R é uma ordem parcial
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 1 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 47 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática
Números - Aula 03. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil
Números - Aula 03 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 28 de Fevereiro de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2013106 - Engenharia Mecânica Corpos Vimos que o
CENTRO EDUCACIONAL GIRASSOL TD de Matemática Prof.: Tiago Rodrigues
CENTRO EUCACIONAL GIRASSOL T de Matemática Prof.: Tiago Rodrigues proftiagorodrigues@gmail.com IVISIBILIAE E RESTO. Introdução O assunto divisibilidade no Conjunto dos Inteiros ( ) é extremamente importante
Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 1. Números Naturais
Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 01 Lista 1 Números Naturais 1. Demonstre por indução as seguintes fórmulas: (a) (b) n (j 1) = n (soma dos n primeiros ímpares).
Reticulados e Álgebras de Boole
Capítulo 3 Reticulados e Álgebras de Boole 3.1 Reticulados Recorde-se que uma relação de ordem parcial num conjunto X é uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva em X. Um conjunto parcialmente
Reticulados, Álgebra Booleana e Formas Quadráticas Abstratas
Reticulados, Álgebra Booleana e Formas Quadráticas Abstratas Clotilzio Moreira dos Santos Resumo O objetivo deste trabalho é introduzir formas quadráticas sobre reticulados. Demonstramos que a definição
2. SEGMENTOS ORIENTADOS
FFCLRP-USP - ALGEBRA LINEAR - Vetores Geométricos 1 NOTAS DE AULAS Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos 1 1. LEMBRETE DA GEOMETRIA DE EUCLIDES RETA Dados dois pontos distintos no espaço P e Q, existe
3 - Subespaços Vetoriais
3 - Subespaços Vetoriais Laura Goulart UESB 16 de Agosto de 2018 Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 1 / 10 Denição Um subespaço vetorial é um subconjunto de um e.v.r. que
XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível U. Alguns Teoremas Básicos de Grupos e Suas Aplicações. Samuel Feitosa
XIX Semana Olímpica de Matemática Nível U Alguns Teoremas Básicos de Grupos e Suas Aplicações Samuel Feitosa O projeto da XIX Semana Olímpica de Matemática foi patrocinado por: Semana Olímpica 2016 Alguns
Lista 2 - Álgebra I para Computação - IME -USP -2011
Lista 2 - Álgebra I para Computação - IME -USP -2011 (A) Relações de Equivalência e Quocientes 1. Seja N = {0, 1, 2,...} o conjunto dos números naturais e considere em X = N N a seguinte relação: (a, b)
Capítulo Propriedades das operações com vetores
Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:
MATEMÁTICA 1 MÓDULO 2. Divisibilidade. Professor Matheus Secco
MATEMÁTICA 1 Professor Matheus Secco MÓDULO 2 Divisibilidade 1. DIVISIBILIDADE 1.1 DEFINIÇÃO: Dizemos que o inteiro a é divisível pelo inteiro b (ou ainda que a é múltiplo de b) se existe um inteiro c
Matemática para Ciência de Computadores
Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP Complexidade 2002/03 1 Inteiros e divisão Definição: Se a e b são inteiros com a 0, dizemos que a divide
Opera»c~oes Bin arias
3 Opera»c~oes Bin arias Neste cap ³tulo, faremos mais preciso o conceito de opera»c~ao bin aria, (ou simplesmente opera»c~ao), e introduziremos tamb em a nomenclatura j a consolidada de propriedades not
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 1-Matrizes Departamento de Matemática FCT/UNL 2016-2017 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 1 / 67 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas
Escalonamento de matrizes
Escalonamento de matrizes Laura Goulart UESB 20 de Outubro de 2016 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de 2016 1 / 20 Operações elementares sobre as linhas Chamamos de operações
Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 5 27 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 27 de agosto de 200 Aula 5 Pré-Cálculo Expansões decimais: exemplo Números reais numericamente
A2. Cada operação é distributiva sobre a outra, isto é, para todo x, y e z em A, x (y + z) = (x y) + (x z) e x + (y z) = (x + y) (x + z)
Álgebra Booleana Nesta parte veremos uma definição formal de álgebra booleana, que é baseada em um conjunto de axiomas (ou postulados). Veremos também algumas leis ou propriedades de álgebras booleanas.
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO MATERIAL EXTRAÍDO DOS LIVROS-TEXTOS (KOLMAN/ROSEN) UFSC - CTC - INE UFSC/CTC/INE p. 1 11 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 11.1) Operações Binárias 11.2)
Algebra Sandro Marcos Guzzo Cascavel 1 de abril de 2019
Álgebra Sandro Marcos Guzzo Cascavel 1 de abril de 2019 Sumário Introdução 4 1 Relações, aplicações e operações 5 1.1 Terminologia básica dos conjuntos.......................... 5 1.2 Números inteiros....................................
inteiros positivos). ˆ Uma matriz com m linhas e n colunas diz-se do tipo m n. Se m = n ( matriz quadrada), também se diz que a matriz é de ordem n.
Matrizes noções gerais e notações Definição Designa-se por matriz de números reais a um quadro do tipo a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn onde os elementos a ij (i = 1, 2,...,
Capítulo 1. Introdução
Capítulo 1 Introdução O objeto de estudo de Mat-1 são as funções reais de variável real. Estudaremos nesta disciplina os conceitos de limite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade de funções reais
Exercício Obtenha, em cada caso, o módulo, o argumento e a forma trigonométrica de z: a) z = 1 + i. setor Aula 31. ρ = 1 2 +( 3 ) 2 ρ= 2.
setor 0 00408 Aula NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS Até este ponto, usamos, para representar um número complexo a expressão a + b i, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária Com
Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva
Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 08/03 (quarta-feira) Recepção dos alunos 15/03 (quarta-feira) AULA 1 22/03 (quarta-feira) AULA 2 29/03 (quarta-feira) AULA 3 05/04 (quarta-feira) AULA 4 12/04 (quarta-feira)
GAN Matemática Discreta Professores Renata de Freitas e Petrucio Viana. Lista A
GAN 00167 Matemática Discreta Professores Renata de Freitas e Petrucio Viana Lista A 1. Verdadeiro ou falso? Justifique. (a) {3} {3, 4, 5} (b) {3} {{3}, 4, 5} (c) {3} {3, 4, 5} (d) {3} {{3}, 4, 5} 2. Verdadeiro
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08
MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 Neste curso, consideraremos o conjunto dos números naturais como sendo o conjunto N = {0, 1, 2, 3,... }, denotando por N o conjunto N \ {0}. Como
Álgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes
Álgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR - 2014 Importante Material desenvolvido a partir dos livros
1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que:
Números Complexos e Polinômios Prof. Gustavo Sarturi [!] Esse documento está sob constantes atualizações, qualquer erro de ortografia, cálculo, favor comunicar. Última atualização: 01/11/2018. 1 Números
ÁLGEBRA DE BOOLE POSTULADOS, TEOREMAS E PROPRIEDADES
ÁLGEBRA DE BOOLE POSTULADOS, TEOREMAS E PROPRIEDADES A aplicação principal da álgebra de Boole é o estudo e a simplificação algébrica de circuitos lógicos. As variáveis booleanas podem assumir apenas dois
Álgebra Linear - Prof. a Cecilia Chirenti. Lista 3 - Matrizes
Álgebra Linear - Prof. a Cecilia Chirenti Lista 3 - Matrizes. Sejam A = C = 0 3 4 3 0 5 4 0 0 3 4 0 3, B = 3, D = 3,. Encontre: a A+B, A+C, 3A 4B. b AB, AC, AD, BC, BD, CD c A t, A t C, D t A t, B t A,
1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo).
1 a Lista de Exercícios de Álgebra II - MAT 231 1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo). 2. Seja A um anel associativo. Dado a A, como você definiria a m, m IN?
Relações Binárias, Aplicações e Operações
Relações Binárias, Aplicações e Operações MAT 131-2018 II Pouya Mehdipour 19 de outubro de 2018 Pouya Mehdipour 19 de outubro de 2018 1 / 7 Referências ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos,
Notas sobre teoria dos números (2)
1 / 29 Notas sobre teoria dos números (2) Fonte: livros do L. Lóvasz e Kenneth Rosen (ref. completa na página) Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco 2007.1 / CIn-UFPE 2 / 29 Maior divisor
objetivos Teoria dos anéis 2 a parte 4 Meta da aula Pré-requisito
A U L A Teoria dos anéis 2 a parte 4 Meta da aula Apresentar algumas propriedades operatórias básicas dos anéis e descrever tipos especiais de anéis, chamados domínios de integridade e corpos. objetivos
Matemática- 2008/ Se possível, dê exemplos de: (no caso de não ser possível explique porquê)
Matemática- 00/09. Se possível, dê exemplos de (no caso de não ser possível explique porquê) (a) Uma matriz do tipo ; cujos elementos principais sejam 0. (b) Uma matriz do tipo ; cujo elemento na posição
Universidade Federal de Goiás Regional Catalão - IMTec
Universidade Federal de Goiás Regional Catalão - IMTec Disciplina: Álgebra I Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 11/03/2015 1. Prove que G é um grupo com a operação de multiplicação
Revisão de Pré-Cálculo NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES
Revisão de Pré-Cálculo NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016 Direitos
Rascunho. De N a R. Capítulo O conjunto N Operações em N
Capítulo 1 De N a R Para entender melhor o conjunto dos números reais, iremos passar por todos conjuntos numéricos relevantes. Nestes momentos iniciais deste curso, consideramos que todos alunos tem alguma
Renato Martins Assunção
Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear
MATRIZES E DETERMINANTES. a, com índices duplos, onde
MATRIZES E DETERMINANTES Para designar com clareza situações que apresentam um grupo ordenado de números dispostos em tabelas com linhas e colunas, introduziremos o conceito de matriz. Nesse sentido, matrizes
Um Curso de Nivelamento. Instituto de Matemática UFF
Introdução à Álgebra Linear Um Curso de Nivelamento Jorge Delgado Depto. de Matemática Aplicada Katia Frensel Depto. de Geometria Instituto de Matemática UFF Março de 2005 J. Delgado - K. Frensel ii Instituto
é encontrado no cruzamento da linha i com a coluna j, ou seja, o primeiro índice se refere à linha e o segundo à coluna.
Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal De Santa Catarina Campus São José Professora: ELENIRA OLIVEIRA VILELA COMPONENTE CURRICULAR: ALG ÁLG. LINEAR MATRIZES
Cristina Maria Marques Departamento de Matemática-UFMG 1999 ( com revisão em 2005)
Introdução à Teoria de Anéis Cristina Maria Marques Departamento de Matemática-UFMG 1999 ( com revisão em 2005) 2 Prefácio Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Álgebra I e
a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn
Matrizes Definição Definição Uma matriz m n é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos,
Conjuntos e sua Representação
Conjuntos e sua Representação Professor: Nuno Rocha nuno.ahcor@gmail.com Conjuntos Um conjunto é o agrupamento de vários elementos que possuem características semelhantes. Exemplos de conjuntos: Países
Aula 25 - Espaços Vetoriais
Espaço Vetorial: Aula 25 - Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio de objetos com duas operações definidas: 1. Uma adição que associa a cada par de objetos u, v em V um único objeto u + v, denominado
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]
LFA. Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos
LFA Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos Técnicas de Demonstração Um teorema é uma proposição do tipo: p q a qual, prova-se, é verdadeira sempre que: p q Técnicas de Demonstração