LFA. Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos

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1 LFA Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos

2 Técnicas de Demonstração Um teorema é uma proposição do tipo: p q a qual, prova-se, é verdadeira sempre que: p q

3 Técnicas de Demonstração Uso de teoremas: Verificar se uma determinada implementação está correta.

4 Técnicas de Demonstração As proposições p e q são denominadas hipótese e tese, respectivamente. Corolário é um teorema que é uma conseqüência quase direta de um outro já demonstrado (ou seja, cuja prova é trivial ou imediata). Lema é um teorema auxiliar que possui um resultado importante para a prova de um outro teorema.

5 Técnicas de Demonstração A (B U C) = (A B) U (A C) Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então A (B U C) = (A B) U (A C) Hipótese Tese

6 Técnicas de Demonstração Para teoremas do tipo p q Prova Direta Prova por Contradição Prova por Redução ao Absurdo ou simplesmente Prova por Absurdo Prova por Indução

7 Prova Direta Pressupões verdadeira a hipótese e, a partir desta, prova ser verdadeira a tese. Exemplo: A (B U C) = (A B) U (A C) A, B e C são conjuntos quaisquer é verdade.

8 Prova Direta Lembrando: Por definição X = Y se e somente se X Y e Y X Por definição, X Y se e somente se todos os elementos de X também são elementos de Y

9 Prova Direta Temos que provar que A (B U C) (A B) U (A C) (A B) U (A C) A (B U C)

10 Prova Direta A (B U C) (A B) U (A C) Suponha x Є A (B U C) então x Є A (B U C) => x Є A e x Є (B U C) => definição de intersecção definição de união x Є A e ( x Є B ou x Є C) => distributividade sobre e/ou (x Є A e x Є B) ou (x Є A e x Є B) => definição intersecção x Є (A B) ou x Є (A C)=> definição de união x Є (A B) U (A C) CQD

11 Prova Direta (A B) U (A C) A (B U C) Suponha x Є (A B) U (A C) então x Є (A B) U (A C) => definição de união x Є (A B) ou x Є (A C) =>definição de intersecção ( x Є A e x Є B) ou ( x Є A e x Є C) => distributividade sobre e/ou x Є A e (x Є B ou x Є C) => definição união x Є A e x Є (B U C)=> definição de intersecção x Є A (B U C) CQD

12 Prova por Contradição p q ~q ~p Exemplo: Supondo que n pertença ao conjunto dos números Naturais. n! > (n+1) n>2 Demonstrar o equivalente: n 2 n! n+1 Basta testar os caso n=0, n=1 e n=2

13 Prova por Redução ao Absurdo Quando p q consiste em supor a hipótese p, supor a negação da tese ~q e concluir por cantradição. Prova por contra exemplo Teorema: 0 é o único elemento neutro da adição em N

14 Prova por Absurdo Se 0 é elemento neutro da adição em N, então 0 é o único elemento neutro da adição em N. Suponha a hipótese (0 é elemento neutro da adição em N) e que a negação da tese (0 não é o único elemento neutro da adição em N). Seja x um elemento neutro da adição em N tal que x 0 (se 0 não é o único, então existe um outro, diferente de 0).

15 Prova por Absurdo Como 0 é elemento neutro, para qualquer n em N, vale n=0+n=n+0. Em particular, para n=x, vale x=0+x=x+0. Como x é elemento neutro, para qualquer n em N, vale n=n+x=x+n. Em particular, para n=0, vale 0=0+x=x+0. Portanto, como x=0+x=x+0 e 0=0+x=x+0, pela transitividade da igualdade, vale x=0, o que é uma contradição, pois foi suposto que x 0.

16 Indução O princípio da indução matemática é um técnica para lidar com tipos de dados que têm uma relação de boa ordem, isto é, uma relação onde todo subconjunto não vazio do tipo de dado tem um elemento mínimo segundo essa relação de ordem.

17 Indução Principio da Indução Matemática Seja p(n) uma proposição sobre M={n Є N n m e m Є N}. p(m) é verdadeira; Para qualquer k ЄM, vale p(k) => p(k+1) Então, para qualquer n ЄM, p(n) é verdadeira.

18 Indução Base da indução: a proposição p(m) Hipótese de indução: a proposição p(k) Passo de indução: a implicação p(k) => p(k+1)

19 Prova Indutiva Teorema: Para qualquer nєn, vale que n = (n 2 +n)/2 Prova Base de Indução. Seja k=0. Então: (0 2 +0)/2 = 0/2 = 0 Portanto, p(0) é verdadeira.

20 Prova Indutiva Hipótese de Indução: Suponha que, para algum kєn, k = (k 2 +k)/2 é verdadeira. Passo da Indução: Provar para p(k+1): k+ (k+1) = ((k+1) 2 +k+1)/2 é

21 Prova Indutiva k+(k+1) = ( k)+(k+1) = (k 2 +k)/2+(k+1)= (k 2 +k)/2+(2k+2)/2= (k 2 +k+2k+2)/2= ((k 2 +2k+1)+(k+1))/2 ((k+1) 2 +(k+1))/2 Portanto: p(k+1): k+ (k+1) = ((k+1) 2 +k+1)/2 é verdadeira.

22 Sintaxe e Semântica Sintaxe é conjunto de regras formais que especifica a composição de programas (letras,digitos, ), while, do....) Semântica é o conjunto de regras que especificam o significado de algum programa sintaticamente válido.

23 Sintaxe Análise Léxica (regras léxicas): São regras que especificam um conjunto de caracteres que constituem um alfabeto (símbolos elementares) é a maneira como tais caracteres podem ser combinados. Ela efetua a validação da formação das palavras de uma linguagem. Análise Sintática (regras sintáticas): São regras que definem a forma da linguagem. Realiza a verificação da estrutura sintática da linguagem (sintaxe possui construções matemáticas bem definidas e universalmente reconhecidas).

24 Teoria dos Conjuntos Conjunto é um grupo de objetos representados como uma unidade Conjunto das Vogais a i u e o

25 Teoria dos Conjuntos Conjunto é um grupo de objetos representados como uma unidade Conjunto das Vogais a Elementos são membros ou objetos num conjunto. i u e o

26 Teoria dos Conjuntos Dizemos que um elemento pertence ( ) ou não pertence ( ) quanto ele está ou não está em um conjunto, respectivamente. Ex.: a pertence ao conjunto das vogais Conjunto V a a V b V i u e o

27 Teoria dos Conjuntos Diagrama de Venn é a forma de se representar gráficamente na teoria dos conjuntos. universo (U) Conjunto A Conjunto A

28 Teoria dos Conjuntos A é um subconjunto de B se e somente se todo elemento de A pertence também a B, denotamos a continência da seguinte forma: A B B A A B A B {a, b} {a, b, c, d} A B {a, b, c} {b, c, d, e}

29 Teoria dos Conjuntos Sendo A, B, e C três conjuntos arbitrários valem as seguintes propriedades: A A A (reflexiva) (A B e B A) A = B (anti-simétrica) (A B e B C) A C (transitiva)

30 Teoria dos Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. {a,b} U {c, d} = {a, b, c, d} ; U = ; {a, b, c} U = {a, b, c}; A U B = B U A

31 Teoria dos Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. {a,b} {c, d} = (conjunto disjunto não tem elementos comum) {a, b, c} =

32 Teoria dos Conjuntos A diferença de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertence a B {a, b, c} {b, c, d, e} = {a} {a, b} {a, b, c, d, e} =

33 Teoria dos Conjuntos O Produto Cartesiano de dois conjuntos (A x B) é o conjunto de todos os pares onde o primeiro elemento é um objeto de A e o segundo e um elemento de B. Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} então A x B = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 1)}

34 Teoria dos Conjuntos O complementar de um conjunto A, denominado A, é o conjunto de todos os elementos que não pertence a A. A A = ; A U A = U.