APRESENTAÇÃO. Sumário

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1 APRESENTAÇÃO Sumário Escrevi este pequeno livro com o objetivo de conscientizar ; simplificando os cálculos,algébricos e também da geometria. As situações desafiadoras continuam exercendo um papel preponderante na troca de idéia com os colegas, onde terão oportunidade de trabalho em duplas ou grupos, com questionamento de estratégias, a discussão de soluções e o levantamento de hipótese. Agradeço a meus amigos e professores de matemática que ajudam no projeto de instrumentação e aplicabilidade dos conteúdos de matemática. Agradecimento especial:luis Cirilo da Costa (pai ) Inês Rodrigues da Silva (mãe). De já, O Autor e Editor Antônio José Silva Costa Dúvidas e colaboração Fale conosco Fone: (98) tonruzé2000@hotmail.com LEITURA

2 Todos os conjuntos numéricos, suas propriedades, teoremas, e nomenclaturas matemático, foram descobertas e desenvolvidas para atender uma necessidade,portanto, todo conteúdo tem sua aplicabilidade. A instrumentação, abordagem dos conteúdos e onde se aplica cada um, possa despertar sobre a pesquisa matemática. Antônio José Silva Costa, nascido em Esperantina-PI, filho de Luis Cirilo da Costa e Inês Rodrigues da Silva,sendo professor de matemática em Batalha, Esperantina, Morro do Chapéu e (UESPI no período especial,nos cursos de matemática, física e educação física). MÉTODOS ABORDAGENS E APLICABILIDADE DOS CONTÚDOS DE MATEMÁTICA DE 5ª A 8ª CAPITULO I Linguagem concisa É verdade que muito poucas ciências modernas podem ser aprendidas sem auxílio dela. Até a forma geométrica da sala de aula, e o número de alunos, exprime idéias matemáticas. Nós, professores de matemática precisamos urgentemente se desprender de memorização de regras e a mecanização dos processos de calcular, hoje damos ênfase à compreensão. Devemos proporcionar inúmeras experiências matemáticas a criança para que elas desenvolva habilidade e os demais conceitos. A instrução matemática da criança deve ser maior e mais completa para acompanhar o progresso da civilização. A criança deve ser estimulada em sua curiosidade, desenvolvida em sua habilidade de ler, em suas motivações e em seus hábitos essenciais de estudo, encaminhando-se, assim, para uma aprendizagem independente em matemática. IMPORTANCIA DO MATERIAL NO ENSINO DA MATEMATICA. CAPITUO II O estímulo é que leva o aluno a aprender, portanto para se realizar as atividades necessárias, envolvendo o aluno em atuação de aprendizagens, é necessário de material útil no ensino da matemática,como: palitos, ábaco, linha, numerada, trena, régua, calendário relógio, balança, moedas, termômetros, litro, cartaz em figura geométrica planas, partes fracionarias, dominó, polígonos móveis, resta um,bingo transferidor de graus, compasso, dominó com tabuada, tabuleiro de divisores, material dourado cubos transparência em reto projetor, fitas de vídeo, com método e técnicas etc. ABORDAGEM DOS CONTEÚDOS POR SERIE, METODOS E APLICABILIDADE CAPITOLO III Dar mais importância as operações aritméticas como por exemplo: uma soma algébrica do tipo que temos = 5 0 = 5 e vem a duvida que é a incógnita? Podemos fazer uma comparação com um comerciante que compra castanha de caju e vai anotar o movimento do dia onde comprou 7 kg mais 3 kg e vendeu 8, depois mais 5 kg,depois vendeu 2. Daí temos o que compra é mais(+) e o que vende é menos(-). Faça assim essa comparação que provavelmente começa a ter gosto pelo assunto partir da abordagem.

3 O aluno que for melhor preparado em matemática será o melhor professor em matemática, que por sua vez formará outros alunos bem preparados na disciplina. 5ª serie MÚLTIPLOS DE UM NUMERO: podemos usar um instrumento chamado dominó, para melhorar comparação, sendo feito na sala de aula com o jogo de dominó. Se quiser conhecer os múltiplos de 3 divida-se o dominó com 4 pessoas e sai na partida do aluno que tirou a pedra chamada camburão de 3, e daí soma os números dos extremos, só então marcarão pontos os que formarem múltiplos de 3, como por exemplo: 3, 6, 9, 2, 5, 8,... Organizar uma exposição onde o aluno possa perceber que a soma de números pares, é igual a par e a soma de números, impares é igual a par, Exemplo: O aluno participa quando faz descobertas e, através dessas descobertas, chega a uma generalização. Isto é a mesma coisa e inclui a procura de outros exemplos diferentes do que já apareceram no assunto que está sendo ensinado. Quando a criança participa, ela levanta uma hipótese extraída de uma situação de aprendizagem, toda essa hipótese testa esta hipótese com mais outros exemplos e formula uma generalização. Finalmente, a criança pode provar essa generalização, embora isso não seja necessário no nível elementar. Outra maneira de promover a descoberta inclui, de um lado, uma técnica indireta de descoberta, que leva a pesquisar a estrutura de uma situação de aprendizagem. Devem ser levados em consideração alguns aspectos desse tipo de descoberta, como:. O professor deve ter uma percepção maior do assunto para poder reconhecer e focalizar os aspectos importantes descobertos pelos os alunos 2. O professor deve conhecer suficientemente o assunto para reconhecer quando os alunos estão no caminho errado e, então reconduzi-los a caminhos mais produtivos. 3. O professor precisa ter a habilidade de formular a pergunta certa na hora certa, para levar a descoberta. Mostrar alguns produzidos pelos os alunos em casa ou na sala de aula, nomeando assim seus elementos de cada polígono e conseqüentemente mostrando os ângulos e quantos graus ele mede. UM BICHO PAPÃO: CHAMADA TABUADA pode deixar de ser. Para resolver expressões numéricas com potência, raiz quadrada; é preciso dominar a multiplicação e a divisão. Para isso é preciso incentivá-los com alguns métodos, como: bingomática e bandeirolas. O bingomática é um jogo para despertar o interesse pela tabuada, envolvendo assim as operações aritméticas; Ex: se o aluno está com uma cartela de bingo com os números (46, 54, 32) será chamado assim, 50 4, 6 x 9, 8 x 4 Bandeirolas: os alunos ficarão em círculo cada um com uma bandeirola diferente, como por exemplo: 7x9 Nota: O aluno escolhido reponde, dizendo: quanto vale cada valor das bandeirolas erguidas, e se errar o aluno

4 que estiver com a bandeirola corrigirá imediatamente. Os estudos das frações devem ser abordados com um simples exemplo: Cortar uma folha de papel em alguns pedaços iguais e depois mostrar que cada pedaço é o numerador e o total de pedaço, é o denominador. A partir daí pode se ter noções de porcentagem com cálculo mental. Exemplo: = ou 0, y x 5x = 00 x = 00/5 x = 20% DIVISORES DE UM NUMERO Para conhecer melhor os divisores de um número é aconselháveis que use um instrumento chamado tabuleiro, com fichas numeradas em duplas de a 42, de forma retangular e seis fichas de cada numeradas de a 6 formando assim 84 fichas retangulares e 36 fichas em forma redondas, daí começam o jogo como no exemplo: pontos 2 pontos 2 pontos ponto 2 pontos 2 pontos 2 pontos Obs: cada ficha redonda deve ser colocada no tabuleiro pelo lançamento de um dado feito pelo próprio aluno, observando que a soma das faces opostas do dado é igual a 7, e que as fichas retangulares são colocadas apenas em duas laterais consecutivas, convenientemente com o maior número de divisores NOTA: O jogo deve ser feito com 4 pessoas e cada dupla deve ter um tabuleiro. E retirar aleatoriamente 6 fichas retangulares antes do jogo de dados; daí ganha a dupla que somar mais pontos. 6ª SERIE TENDENCIAS ATUAIS DA EDUCAÇÃO MATEMATICA As mudanças culturais, estruturais e econômicas tem exercido uma grande pressão sobre a educação escolar em geral. Sobre a educação matemática em particular. Os resultados de um levantamento feito em 975, em paises de todos as partes do mundo, revelaram que a educação matemática em nível pós-elementar se tornou, um modo geral, uma educação de massas. Esta massificação exige, segundo especialista no assunto, que se estabeleça uma concepção clara da cultura matemática para todos. Essa cultura deve ser formada na escola, independentemente dos estudos e das profissões futuras dos alunos, e integrada na sua cultura geral. A analise de documentos provindos de paises do mundo inteiro, evidencia tendências que visam sobretudo ao desenvolvimento de atividades mentais e a aquisição de qualificações intelectuais. Para se ter noções de ângulos e bissetriz de um ângulo, é necessário uso de cartolinas para fazer dobraduras. Para aprofundar o estudo das frações, na adição e subtração, é aconselhável que produza as frações na própria sala de aula. Somando cada pedaço destacado e depois segue para a parte numérica: Exemplo:

5 2 + Daí vai para a parte numérica 4 NUMEROS 3 INTEIROS 4 Para somar e subtrair números inteiros, nada melhor que a reta numérica de Z. Onde: = Para calcular os ângulos internos de polígonos regulares e não regulares, basta produzir triângulos e de acordo com o número de triângulos produzidos, é só multiplicar por 80º, sabendo que os ângulos internos de qualquer triangulo é igual a 80º. Vide demonstração: A radiciação, conhecida como a sexta operação aritmética, deve ser vista de uma forma bem mais simples, exemplo: r s 3 4 Onde temos um quadrado com 3 cm de cada lado, então a raiz quadrada de 9 é 3, pois cada lado deste quadrado tem 3 cm Exemplo: - 2; corta-se um pedaço de papel de 0 a e outro de 0 a -2 e faz-se a união deles, e observa-se que é igual a -3 Já com 3 + 2; corta-se um pedaço de papel de 0 a +2 e com este cobre o pedaço começando do 3, e daí vai que vai até o, portanto = -. Ou então se estou devendo 3 reais num comercio e tenho 2, na prestação de contas, fico devendo, ou então: = -. Proporções É importante dar ênfase ao estudo das proporções: Já usando a propriedade fundamental das proporções, como no exemplo:, 2, 3, 6 Onde o produto dos extremos é igual ao produto dos meios: 2 = 6 3 Cálculo com porcentagens Calcular distâncias

6 Termo desconhecido de uma proporção Ex: Duas mulheres costuram 5 vestidos por dia. Se dobrarmos o número de mulheres, quantos vestidos devem ser costurados? Riacho Mulher 2 Vestidos 5 A 0m B 5 m 2 m 2V = 20 4 V V = 20 : 2 V = 0 A disciplina de matemática tem 200 horas aula. Se eu quiser ministrar apenas 90% dessas aulas. Quantas aulas vou ministrar? 20 A 00A = 8000 Ex: A = 8000: 00 0% 90% A = 80 horas Para medir distância, usa-se a semelhança de triângulos: Então: R = 0 5R = 20 Daí a largura do riacho é de 8 metros 2 5 R = 20 : 5 R = 8 Para abordar o conteúdo de sistema de equações do º grau, vamos ver agora um exemplo: Se pegarmos a idade do professor Francisco Oliveira que tem 33 anos e o professor Jubevan Abreu que tem 25 anos, daí temos: F + J = 58 F J = 8 Então F = F = 33 Solução {33, 25} isolamos a idade do professor Francisco, fica: F = 58 - J 56 J J = 8-2J = J = - 50 J = - 50 : - 2 J = + 25 Com esta abordagem o aluno terá mais gosto pelo conteúdo.

7 7ª SERIE É exatamente na 7ª serie do ensino fundamental que acontece com mais intensidade o estudo da álgebra e da geometria, que é possível ser abordado. Além do aspecto dinâmico que a geometria ganha, quando seu ensino começa através das informações, ela ganha, também, uma abordagem intuitiva e informal que permite explorar relações entre as figuras usando continuidade e simetria. Considerando validos os apelos constantes ao uso das informações em geometria, elas foram utilizadas em fichas da 7ª e 8ª série, onde, numa abordagem bastante intuitiva se apresenta ao aluno, pois sendo a geometria plana. Este modo de proceder não elimina a geometria euclidiana que passa inclusive a ser ensinada como matéria viva em vez de uma coleção de regras velhas. O estudo sistemático da geometria, tal como foi idealizado para as referidas series, é feito a partir de uma folha de papel quadriculada, ou da superfície de uma mesa, ou quadro negro, admitindo-se que esses objetos possam ser prolongados; indefinidamente, em todas as direções. Se dois triângulos têm os lados correspondentes proporcionais, então eles são semelhantes. Ex: A 6 A C C B 8 B Se os lados AB // AB, então os triângulos ABC e ABC são semelhantes, e com triângulos semelhantes, medimos a largura de rios. Para representar as formas geométricas espaciais no plano os poliedros devem ser produzidos em sala de aula, com o aluno, como por exemplo: pirâmide, cubo e conhecendo assim os seus elementos. Obs: através de um cubo de aresta de 6 cm, pode ser trabalhada potência ou a raiz quadrada.sendo sua área de 26 cm 2, é 6 cm cada lado do cubo. Para ter uma visão melhor sobre um trinômio quadrado perfeito ou um trinômio que pode ser observado no exemplo: - X -X X 2 -X 2 Veja os exemplos: a) (X 2 +3X + 2 =(X+) (X+2), encontrado da fórmula: (X-X ) X-X ) X X 2 X X X

8 b) O trinômio X 2 3X + 2 = (X ) (X 2) c) O trinômio X 2 + 6X + 9 = (X+3) 2 Ex: J=juro T=tempo CI P = J = CIT Área de figuras geométricas Para calcular área de polígonos como triângulo, retângulo, losango e quadrado, (com produção na sala de aula), associando as fórmulas como: Ainda na 7ª serie é aconselhável estudar as raízes de uma equação do 2º grau, para que possa encontrar as raízes de um trinômio. b x h. D. d 2 l Não deixar também de estudar porcentagem e juros simples, nas fórmulas: P=porcentagem C=capital I=taxa b. h b. h 2

9 Para calcular a área de regiões circulares é aconselháveis a produção em sala com uso de barbante, para então conhecer o valor do número PI= 3,4. (aproximadamente). Onde a medida do comprimento de um círculo é igual a 3 diâmetros mais 4% aproximadamente da medida do diâmetro.. Para transformar a expressão x 2 +0x+5 num trinômio quadrado perfeito devemos acrescentar 0 unidades. x 5 complemento trinômio perfeito x Diâmetro x 2 +0x+5+0= x 2 +0x+25 (A abordagem geométrica, pode ser explorada em sala de aula). x 2 0x 5 x 2 2x(? ) (?) 2 Para completar um quadrado de lados (x+5), devemos acrescentar um quadrado de lado (5x5). 5 x x 5 A expressão da área da figura ao lado é X 2 +5x+5x+25=x 2 +0x+25 ou (x+5) 2 A raiz quadrada de x 2 =x 2.(x).(?)=0x, logo o termo desconhecido é 5; então o terceiro termo é 5 2 = =0, que é o valor a ser acrescido à expressão.

10 8ª SÉRIE Para o aluno entender melhor, de onde saiu o valor de PI, o famoso Irracional, é só mostrar numa circunferência qualquer, pode até ser feito usando um pedaço de corda e explicar que o diâmetro é igual a 2 raios. Se a letra grega ( ) quer dizer contorno, visto isso, temos: C/2r= então o comprimento de qualquer circunferência é igual a 2 r que temos C= 2 r. Como já vimos que =3,4. Se determinarmos o comprimento de um raio como sendo 9m de raio. C=2 r C= 2.3,4.9 C=56,52m. Qualquer que seja a incógnita, com esta equação: C=2 r. Exemplo: Qual o comprimento de x de um arco de 60 0 numa circunferência que tem 2cm de raio? Sabemos que a medida completa de uma circunferência, em graus, é 360.Portanto para resolver esse problema vamos usar uma regra de três simples e direta: r 60 0 X Daí: 360 0/ /60 0 =2 r / x 6x=3,8 x=2,98 Logo, o comprimento do arco pedido é 2,98m. A casa do professor Antônio José em Esperantina-PI, é de 8m por 3m, na planta a medida do terreno do lado é ilegível, mas sabese que a área livre é(a terreno -A casa ) é De796 m 2.. Quanto mede o lado do terreno? Como a área do terreno menos a área da casa é igual a 796, temos: X 2 04=796 X 2 = X 2 =900 X= ± 900 X= ±30 Como 30 não serve, a medida do lado do terreno é de 30m.(equação do 2º grau) A figura seguinte representa aparte da planta de um escritório. As duas salas quadradas e o corredor retangular têm, juntos, 40m 2 de área. Cada sala tem (x) metros de lado e o corredor tem m de largura. Qual é a medida de (x) de cada sala quadrada? x x x x Se o corredor de cada quadrado é (x), então temos 2x+2x 2 =40. Sendo 2x, a área do corredor e 2x 2, a área das duas salas. Equações desse tipo são denominadas equações do 2º grau com uma incógnita.onde ax 2 +bx+c=0, com a 0. pois 2x 2 +2x-40=0. As raízes da equação são( 4 e 5), como o 5 não vale, a largura de cada quarto é de 4m.

11 B x y A x P N y C M D D Observemos agora a área de ABCD e PNMC, em função de x e y. O quadrado ABCD, desta figura tem 44cm 2 de área, e o retângulo PNMC,35cm 2.Quantos são os valores de x e y? Área ABCD= l44 (x+y) 2 = 44 x+y= ± 44 x+y= ± 2 Como x+y representam medidas,sãonúmeros positivos,; Portanto x+y=2. A área CMNP=35 X.Y=35 X+Y=2 X.Y=35 ( obs: chegamos a um sistema de equações do 2º grau (Com duas incógnitas) Resolvendo sistemas de equações de 2º grau Se representarmos por x e por y as dimensões do retângulo, podemos escrever: 2x + 2y = 6 ou x + y = 3 e xy = 2 Então, formaremos o sistema: x + y = 3 xy = 2 Veja os exemplos a seguir. - Construí um retângulo dobrando um arame com 6 metros de comprimento. Esse retângulo ficou com uma área de 2 m. Quais são as dimensões do retângulo formado com o pedaço de arame? Esse sistema é de 2º grau, pois uma das questões é de 2º grau. Para resolvê-lo, usamos o método da substituição..

12 O teorema de Pitágoras Sabemos que um triângulo é retângulo quando tem um ângulo reto. A figura seguinte nos mostra um triângulo retângulo ABC, no qual destacamos: O lado BC, oposto ao ângulo reto, chama-se hipotenusa e vamos indicar sua medida por a. Os lados AC e AB, que formam o ângulo reto, chamam-se catetos. Suas medidas estão indicadas por b e c, respectivamente. Baseado no triângulo retângulo particular dos egípcios, e construindo quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter a figura a seguir, que nos permite estabelecer uma relação entre as medidas dos lados desse triângulo particular. = unidade de comprimento = unidade de área Os antigos egípcios, usando uma corda com 2 nós, parecem ter construído um triângulo retângulo particular para obter cantos em ângulos retos. Esse triângulo particular tem lados medindo 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de comprimento. Neste triângulo, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângulo reto. Assim, temos:

13 Nessas condições, confirma-se a relação: A área do quadrado construído sobre o maior lado do triângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois menores lados. Observe, agora os quadrados MNPQ e DEFG, que têm a mesma área, pois o lado de cada quadrado mede (b + c). Dizem que Pitágoras, filósofo e matemático grego que viveu na cidade de Samos, no século VI a.c., conseguiu provar essa relação métrica era válida para todos os triângulos retângulos. Até hoje essa relação métrica é utilizada, sendo um dos mais importantes teoremas da Matemática. Podemos, então, enunciar o teorema de Pitágoras: Em todo triângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. A partir desses dois quadrados, temos: área do quadrado MNPQ = área do quadrado RSVT + (área do triângulo RNS) 4 área do quadrado DEFG = área do quadrado IELJ + área do quadrado GHJK + (área do retângulo DIJH) 2 Queremos saber a largura L de um rio, sem atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte processo. Existem inúmeras maneiras de demonstrar esse teorema. Veremos uma delas, baseada no cálculo de áreas de figuras geométricas planas. Consideremos o triângulo retângulo da figura: Marcamos dois pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada margem, de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto. Marcamos um ponto C, distante 8 m de A, onde fixamos o aparelho de medir ângulos (teodolito). Medimos o ângulo de 70º no ponto C. Nessas condições, qual a largura L do rio?

14 Estudando as relações trigonométricas em um triângulo qualquer A apresentação matemática do problema está esboçada na figura abaixo, em que: L = medida do cateto oposto a 70º 8 = medida do cateto adjacente a 70º Considere a seguinte situação: Um navio se encontra num ponto A, distante 6 milhas de um farol F. No mesmo instante, um outro navio se encontra num ponto B, distante 5 milhas do farol F, de tal modo que o ângulo de visão de um observador que se encontra no farol F e vê os dois navios é de 60º. Qual a distância entre os dois navios nesse instante? Daí temos: tg 70º = cateto oposto a 70º tg 70 = L cateto adjente a 70 8 Como tg 70 = 2,75 (olhando a tabela), temos: 2,75 = L L 2,75. 8 L = 22,00 m 8 Então a largura do rio é de 22 metros. Pelo desenho, é possível observar que devemos determinar a medida de um lado de um triângulo que não é triângulo retângulo, quando conhecemos as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado cuja mediada se quer encontrar. Como o triângulo não é retângulo, não podemos aplicar as relações já conhecidas. Vamos, então, estudar outras relações possíveis de ser aplicadas em um triângulo acutângulo ou obtusângulo e que são muito úteis não só no estudo da Matemática como também da Física, principalmente nas questões de Mecânica.

15 Lei (ou teorema) dos senos Vamos considerar o triângulo acutângulo ABC, em que: No triângulo retângulo ACH, temos : sen C= h h = b sen C 2 b Comparando e 2, podemos escrever: Daí resulta: c sem B = b sem C a, b, c são as medidas dos lados h é a medida da altura AH h 2 é a medida da altura CH 2 Considere os triângulos BCH 2 e ACH 2, que são triângulos retângulos. Observe a demonstração: Considere os triângulos ABH e ACH, que são triângulos retângulos. No triângulo retângulo BCH 2, temos: sen B= h 2 h 2 = a sen B 4 a No triângulo retângulo ACH 2, temos: sen A= h 2 h 2 = b sen A 5 b No triângulo retângulo ABH, temos: sen B = h h = c sen B c Comparando 4 e 5, podemos escrever: a sen B = b sen A

16 Daí resulta: Considere o triângulo acutângulo ABC, em que: Finalmente, comparando 3 e 6, podemos escrever a seguinte igualdade de razões: a = b = c c sen A sen B sen C Essa igualdade denomina-se lei dos senos e é válida para qualquer triângulo. a, b, c são as medidas dos lados do triângulo h é a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo x e y são as medidas dos segmentos que a altura determina sobre o lado BC Vejamos uma aplicação: Determinar a medida x indicada no triângulo acutângulo da figura abaixo. 8 = x Pela lei senos, temos: Sen 45 sen 60 Lei (ou teorema) dos cossenos

17 Observe, agora: No triângulo retângulo ABH, aplicando o teorema de Pitágoras, temos: c 2 = h 2 + x 2 h 2 = c 2 x 2 No triângulo retângulo ACH, aplicando o teorema de Pitágoras, temos: b 2 = h 2 + y 2 h 2 = b 2 y 2 2 Comparando e 2, temos: b 2 y 2 = c 2 x 2 b 2 = c 2 x 2 + y 2 Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a 2 = b 2 + c 2 2bc. cos A b 2 = a 2 + c 2 2ac. cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab. cos C Veja as aplicações da lei dos cossenos na resolução de problemas: Determinar a medida x indicada no triângulo: Como y = a x, substituindo y, temos: b 2 = c 2 x 2 + (a x) 2 b 2 = c 2 x 2 + a 2 2ax + x 2 b 2 = a 2 + c 2 2ax 3 No triângulo retângulo ABH, temos: cos B = x c x = c. cos B Substituindo x por c cos B na igualdade 3, temos: b 2 = a 2 + c 2 2ª. (c. cos B) b 2 = a 2 + c 2 2ac. cos B Essa igualdade é conhecida como lei dos cossenos e é válida para qualquer triângulo. Observe, agora: No triângulo retângulo ABH, aplicando o teorema de Pitágoras, temos: c 2 = h 2 + x 2 h 2 = c 2 x 2 No triângulo retângulo ACH, aplicando o teorema de Pitágoras, temos: b 2 = h 2 + y 2 h 2 = b 2 y 2 2 Comparando e 2, temos: b 2 y 2 = c 2 x 2 b 2 = c 2 x 2 + y 2

18 Como y = a x, substituindo y, temos: b 2 = c 2 x 2 + (a x) 2 b 2 = c 2 x 2 + a 2 2ax + x 2 b 2 = a 2 + c 2 2ax 3 No triângulo retângulo ABH, temos: cos B = x c x = c. cos B Substituindo x por c cos B na igualdade 3, temos: b 2 = a 2 + c 2 2ª. (c. cos B) b 2 = a 2 + c 2 2ac. cos B Essa igualdade é conhecida como lei dos cossenos e é válida para qualquer triângulo. Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a 2 = b 2 + c 2 2bc. cos A b 2 = a 2 + c 2 2ac. cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab. cos C Veja as aplicações da lei dos cossenos na resolução de problemas: Determinar a medida x indicada no triângulo: Para construir um retângulo com uma corda de 6 metros de comprimento, esse retângulo ficou com uma área de 2 m 2. Quais as dimensões do retângulo formado com o pedaço de corda? a b Se representarmos por a e b as dimensões do retângulo, podemos escrever : 2a+2b=6 ou a+b=3 e a. b= 2. Então formamos o sistema: a + b = 3 a. b = 2 Esse sistema é do 2º grau, pois uma das equações é de 2º grau, e para resolver esse sistema, usaremos o método da substituição. Para produzir uma tabela de razões trigonométricas, pode ser produzido com uma circunferência com aproximação de até 0,; como segue no exemplo:

19 sen tg - cos - - Para usar melhor, é necessária uma figura semelhante a essa, e mostrar para o aluno o sen,cos e tangente dos ângulos compreendidos entre 0 e 90º.