TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA. Prof. Rogério Rodrigues

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1 0 TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA Prof. Rogério Rodrigues

2 1 I) INTRODUÇÃO : Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. O estudo da trigonometria tem suas origens nos primórdios das civilizações, particularmente naas aplicações arqutetônicas. Ainda hoje, os profissionais ligados à construção civíl usam conceitos de trigonometria nos processos mais elementares. Exemplo disso é o cálculo do caimento dos telhados: quando se diz, por exemplo, que um telhado tem um caimento de 10%, é omesmo que dizer que o ângulo desse telhado com a horizontal é tal que sua tangente é 0,1. Veja figura abaixo. P Q α R tg α = = = 0,1 = 10% II) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO : Um triângulo é dito retângulo quando possui um ângulo reto (90 o ). Nesse caso, tem-se: A B α C Hipotenusa : lado oposto ao ângulo reto (AC) Catetos: lados que formam o ângulo reto (AB e BC) Em relação a um dos ângulos agudos ( ou ), tem se um cateto oposto e um cateto adjacente. Por exemplo, em relação ao ângulo, de medida α, tem-se: Cateto oposto : AB Cateto adjacente: BC

3 2 Com isto, são definidas as seguintes razões ou relações trigonométricas: II.1) Seno de um ângulo agudo : É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo. Em relação à figura anterior, temos: sen α = (equação 1) II.2) Cosseno de um ângulo agudo : É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo. Em relação à figura anterior, temos: cos α = (equação 2) II.3) Tangente de um ângulo agudo : É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida do cateto adjacente do triângulo. Em relação à figura anterior, temos: tg α = (equação 3) III) PROPRIEDADES E RELAÇÕES SECUNDÁRIAS: A β B α C Considere-se a figura acima. De acordo com as definições anteriores, temos: 1 o ) sen β = 2 o ) cos β = (equação 4) (equação 5)

4 3 3 o ) tg β = (equação 6) III.1) Propriedades: a) Os ângulos de medidas α e β do triângulo ABC da figura anterior são complementares, ou seja, somam 90 o. α + β = 90 o α e β são complementares b) Comparando as equações 1 e 5, 2 e 4, 3 e 6, verificamos que: Se dois ângulos de medidas α e β são complementares, então: sen α = cos β e cos α = sen β tg α = β III.2) Relações secundárias : a) Dividindo-se, membro a membro, as equações 1 e 2, tem-se é igual a tg α, ou seja, tg α = =. = que b) Elevando-se ao quadrado as equações 1 e 2 e somando-se as equações resultantes, tem-se sen 2 α = cos 2 α = sen 2 α + cos 2 α = = = 1 sen 2 α + cos 2 α = 1

5 4 III.3) Valores notáveis : MEDIDA GRAU RAD 30 π / 6 45 π / 4 60 π / 3 SENO COSSENO TANGENTE 90 π / Não é definido Exercicios resolvidos : 1) No triângulo ABC, tem-se AB = 8 cm, AC = 12 cm e BÂC = 30 o. Calcule a área do triângulo ABC. Resolução: B 8 1 h 30 o C 12 A 1 o ) Traçando-se a altura h, tem-se, à direita um triângulo retângulo de hipotenusa AB. Então, sen 30 o. = Consultando-se a tabela acima. temos sen 30 o = = 2h= 8 h= 4 cm. = 2 o )Como a área do triângulo é o semi-produto da base e da altura, tem-se: S = 12.4/2 = 24 cm 2. 2) Num triângulo retângulo os ângulos agudos têm medidas m e n, tais que cos m = Calcule a) sen m e tg m. b) sen n, cosn e tg n..

6 5 Resolução: 1 o ) como sen 2 m + co 2 m = 1, tem-se sen 2 m + = 1 sen 2 m = 1 - = sen m = = ± ; mas como m é ângulo agudo, sen m = sen m = de tg m = =. =., que racionalizado é tg m = 2 o ) Como m e n são complementares, tem-se: sen n = cos m = cos n = sen m = tg n = 1/tg m =. Daí, tem-se o valor IV) O CICLO TRIGONOMÉTRICO : O triângulo é o modelo primitivo para o estudo trigonométrico, mas é limitado a ângulos menores do que 90 o (ângulos agudos). Vamos, a partir de agora, adotar um modelo geométrico que permita trabalhar com qualquer medida de ângulo: a circunferência orientada, que chamaremos de Ciclo trigonométrico. Suas propriedades são registradas a seguir.

7 6 1 o ) Circunferência de raio unitário associada ao plano cartesiano de tal modo que seu centro é a origem do plano cartesiano e sua origem (0 o ) é o ponto A. Então, a partir do ponto A, marca-se qualquer arco AP, associado a um ângulo central AÔP. Exemplo da figura: arco AP = 30 o. 2 o ) Cada arco da circunferência trigonométrica pode ser marcado no sentido anti-horário (POSITIVO) ou horário (NEGATIVO). Todo arco cuja medida é precedida do sinal + é marcado, a partir do ponto A, no sentido anti-horário e, do mesmo modo, todo arco de medida precedida do sinal é marcado, a partir do ponto A, no sentido horário. 3 o ) Todo ponto da circunferência trigonométrica equivale a um arco e viceversa. As coordenadas de cada ponto são cartesianas do tipo (x P, y P ) em que x P é o cosseno do arco associado ao ponto e y P é o seno do mesmo arco; veja a justificativa a seguir: a) O ponto P assinala o arco AP associado ao ângulo central PÔA = α. No triângulo POx P, temos sen α = cateto oposto/hipotenusa = y P /OP; como o raio da circunferência é unitário, sen α = y P. No mesmo triângulo, cos α = cateto adjacente/hipotenusa = x P /OP; cos α = x P. Então as coordenadas do ponto P são dadas por P(cos α, sen α). Como exemplo, se α = 30 o, temos P(cos 30 o, sen 30 o ) ou P( b) O eixo das tangentes é paralelo ao eixo das ordenadas (eixo y) e tangencia a circunferência em sua origem; sua orientação é a mesma do eixo y: positivo para cima e negativo para baixo. A tangente de um arco é determinada pelo prolongamento do raio na, ).

8 7 extremidade do arco. Observe, como exemplo, o arco AP associado ao ângulo central PÔA = α : prolongando-se o raio OP, encontra-se o ponto B no eixo das tangentes. No triângulo AOB, tem-se tg α = cateto oposto/cateto adjacente = AB/AO, como AO = raio= =1, tem-se tg α = AB. do mesmo modo, o arco AQ, do 2 o quadrante, tem sua tangente determinada pelo prolongamento do raio QO, determinando-se o ponto C; então, a tangente do ângulo central associado ao arco AQ é (AC). Pode-se montar o seguinte quadro de sinais: QUADRANTE INTERVALO DO CICLO EM GRAUS EM RAD. sen cos tg 1 o 0 < α < 90 0 < α < π/ o 90 < α < 180 π/2 < α < π o 180 < α < 270 π < α < 3π/ o 270 < α < 360 3π/2< α < 2π c) Todo ponto associado a um arco negativo tem sua versão positiva e vice-versa. Se um arco tem medida indicada por α, ele, no sentido positivo, será 360 o α : É o caso, por exemplo, dos pares -30 o e 330 o, -110 o e 250 o, - 2π/5 e 8π/5,... d) Como a circunferência trigonométrica é cíclica, cada ponto determina infinitos arcos, dependendo do número de voltas completas que se percorre, sempre passando por cada ponto. Por exemplo, saindo-se do 0 o, passa-se pelo ponto P, que determina um arco de 30 0, determinando-se os arcos 30 o = 0 voltas + 30 o = o + 30 o = 0. 2π + π/6 rad = π/6 rad 390 o = 1 volta + 30 o = o + 30 o = 1. 2π + π/6 rad = 13π/6 rad 750 o = 2 voltas + 30 o = o + 30 o = 2. 2π + π/6 rad = 25π/6 rad 1110 o = 3 voltas + 30 o = o + 30 o = 3. 2π + π/6 rad = 37π/6 rad

9 8 Todos esses arcos são chamados de arcos côngruos, pelo fato de se posicionarem no mesmo ponto do ciclo; 30 o ou π/6 é chamado de menor determinação desses arcos. De um modo geral, se a menor determinação de um ponto no ciclo corresponde a um arco de medida α, sua expressão geral será {x R/ x = α o. k} ou {x R/ x = α + 2kπ} Para o caso do nosso exemplo, teremos Exercícios resolvidos: {x R/ x = 30 o o. k} ou {x R/ x = π/6 + 2kπ} 1) Observando os pontos assinalados na circunferência trigonométrica a seguir, faça o que de pede: (OBS: são de mesma medida os arcos AB, BC, CD, DE,..., KL e LA) a) Qual é a medida de cada arco citado no enunciado? b) Dê, em graus e em radianos, a medida dos arcos AB,AC, AD, AE, AF, AG, AH, AI, AJ, AK, AL e AA. c) Dê as coordenadas cartesianas dos pontos A, B, C,..., K e L. d) Observando as coordenadas determinadas no item anterior, agrupe os pontos cujas coordenadas correspondentes tem o mesmo módulo. e) Dê, em graus e em radianos, a expressão geral dos arcos associados aos pontos C, E, G e I.

10 9 Resolução: a) como os pontos dividem a circunferência em 12 partes iguais, temos AB=BC=CD= =DE =...= 360 o /12 = 30 o ou π/6 radianos. b) Como todos os arcos são múltiplos de 30 o, temos: Arco AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL AA Graus 30 o 60 o 90 o 120 o 150 o 180 o 210 o 240 o 270 o 300 o 330 o 360 o rad π/6 π/3 π/2 4π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π c) A(cos 0 o, sen 0 o ) A(1, 0) B(cos 30 o, sen 30 o ) B( 3/2, 1/2) C(cos 60 o, sen 60 o ) C(1/2, 3/2) D (cos 90 o, sen 90 o ) D(0, 1) E(cos 120 o, sen 120 o ) E(-1/2, 3/2 ) F(cos 150 o, sen 150 o ) F(- 3/2, 1/2) G(cos 180 o, sen 180 o ) G(-1, 0) H(cos 210 o, sen 210 o ) H(- 3/2, -1/2) I(cos 240 o, sen 240 o ) I(-1/2, 3/2) J(cos 270 o, sen 270 o ) J(0, -1) K(cos 300 o, sen 300 o ) K(1/2,- 3/2) L(cos 330 o, sen 330 o ) L( 3/2, -1/2) OBS: Os pontos marcados em negrito são os limites dos quadrantes. d) Os pontos B, F, H e L têm abscissas de módulo 3/2. Os pontos C, E, I e K têm abscissas de módulo 1/2. Os pontos B, F, H e L têm ordenadas de módulo 1/2 Os pontos C, E, I e K têm ordenadas de módulo 3/2 OBS: Em cada quadrante tem um arco cujo módulo do seno ou do cosseno é o mesmo número. e) Ponto C ; {x R/ x = 60 o o. k} ou {x R/ x = π/3 + 2kπ} Ponto E ; {x R/ x = 120 o o. k} ou {x R/ x =2π/3 + 2kπ} Ponto G ; {x R/ x = 180 o o. k} ou {x R/ x = π + 2kπ} Ponto I ; {x R/ x = 240 o o. k} ou {x R/ x =4π/3 + 2kπ}

11 10 2) Resolva a equação 1 a) 2cos 2 x 3 cos x = - 1 no intervalo [o, 2π]. b) sen 3 x cos x senx cos x = 0 em ]-, [. Resolução : a) Fazendo cos x = y, temos 2y 2 3y + 1 = 0 = 9 8 = 1 y = y 1 = 1 cos x = 1 x = 0 ou x = 2π y 2 = cos x = x = ou x = S = {0,,, 2π} b) Evidenciando senx cos x, tem-se senx cos x(sen 2 x 1) = 0. Então, deve-se ter 1 o ) sen x = 0 pontos equivalentes a 0 e π ou 2 o ) cos x = 0 pontos equivalentes a e (2k + 1) ou 3 o ) sen 2 x 1= 0 sen x = 1 pontos equivalentes a e. S = { x R/ x = π/2, k Z} V) REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE : O exercício resolvido número 1 da página 8 mostrou que os valores de seno e cosseno vão se repetindo em módulo de acordo com cada quadrante e se limitam ao intervalo de -1 a 1, ou seja -1 1 e Vamos associar os pontos correspondentes aos valores de seno e cosseno de mesmo módulo, como fizemos no exercício aqui citado, de um modo mais genérico e formal. V.1) Arcos de medida α do 2 o quadrante:

12 11 Na figura, temos arco AB = α arco BD = arco AC = 180 o α para que os pontos B e C sejam simétricos em relação ao eixo y. Neste caso, temos: sen α = sen (180 o α) cos α = - cos (180 o α) Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que tg α = - tg (180 o α) Exemplos: a) sen 135 o = sen 45 o = 2/2 b) cos 150 o = - cos 30 o = - 3/2 c) tg 120 o = - tg 60 o = - 3 V.2) Arcos de medida α do 3 o quadrante: Na figura, o arco AB mede α arco CB = arco AD = α 180 o e temos: sen α = - sen (α 180 o ) cos α = - cos(α 180 o ) Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que tg α = tg (α 180 o )

13 12 Exemplos: a) sen 225 o = - sen 45 o = - 2/2 b) cos 210 o = - cos 30 o = - 3/2 c) tg 240 o = tg 60 o = 3 V.3) Arcos de medida α do 4 o quadrante: Na figura, o arco AB mede α arco AC = arco BA = 360 o α para que os pontos B e C sejam simétricos em relação ao eixo x. Neste caso, temos: sen α = - sen (360 o - α) cos α = cos(360 o - α) Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que Exemplos: a) sen 300 o = - sen 60 o = - 3/2 b) cos 315 o = cos 45 o = 2/2 c) tg 330 o = - tg 30 o = - 3 /3 tg α = - tg(360 o - α) Exercício resolvido: Determine os valores trigonométricos indicados em cada caso a seguir:

14 13 a) sen 840 o b) cos 930 o c) tg o d) sen (-30 o ) e) cos (-120 o ) f) tg ( o ) g) cos h) tg (- ) i) sen j) cos o k) tg ( o ) Resolução : a) sen 840 o = sen [2.(360 o ) o ] = sen 120 o = sen 60 o = b) cos 930 o = cos [2.(360 o ) o ] = cos 210 o = - cos 30 o = - c) tg o = tg [2.(360 o ) +315 o ] = tg 315 o = - tg 45 o = - 1 d) sen (-30 o ) = sen(360 o -30 o )= sen 330 o = - sen 30 o = - e) cos (-120 o )= cos(360 o o )= cos 240 o = - cos 60 o = - f) tg ( o ) = tg [-3.(360 o ) - 30 o ] = tg( -30 o ) = tg 330 o = - tg 30 o = - g) cos = - cos( π = - h) tg (- )= tg(-2π - )= tg(- ) = tg 3 i) sen = sen (2π +π )=sen π = j) cos o = cos[10.(360 o ) o ] = cos 135 o = - cos 45 o = - k) tg ( o )= tg[-20.(360 o )- 30 o ] = tg (-30 o ) = tg 330 o = - tg 30 o = - VI) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS : VI.1) FUNÇÃO SENO: É a função real que associa cada número real x a sen x, ou seja, f(x) = sen x. Seu gráfico, abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu período é p = 2π. O dominio de f(x) = sen x é R e seu conjunto imagem é o intervalo real [-1, 1].

15 14 VI.2) FUNÇÃO COSSENO: É a função real que associa cada número real x a cos x, ou seja, f(x) = cos x. Seu gráfico, abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu período é p = 2π. O dominio de f(x) = cos x é R e seu conjunto imagem é o intervalo real [-1, 1]. VI.3) FUNÇÃO TANGENTE: É a função real que associa cada número real x a tg x, ou seja, f(x) = tg x. Seu gráfico, abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu período é p = π. Observe que a função não é definida para os arcos cônguos). e ( e seus O dominio de f(x) = tg x é D = {x R / x + kπ, k Z}.

16 15 VII) RELAÇÕES SECUNDÁRIAS IDENTIDADES: Ainda são definidas as seguintes relações, envolvendo as funções básicas: VII.1) Cotangente: É o inverso da tangente, ou seja, cotg x = VII.2) Secante: É o inverso do cosseno, ou seja, sec x = x x kπ, k Z + kπ, k Z VII.3) Cossecante: É o inverso do seno, ou seja, cossec x = x kπ, k Z Exercícios resolvidos: 1) Um arco de medida α, π < α < π, é tal que sen α = cossec α.. Calcule cotg α, sec α e Resolução : 1 o ) cos 2 α = 1 )2 cos 2 α = ; como α é do 2 o quadrante, temse cos α = -. cos α = 2 o ) Então, cotg α = - cossec α =.. cotg α = -, sec α = - sec α = - e 2) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: a) sec 2 x tg 2 x = 1, para x + kπ, k Z b) cossec 2 x cotg 2 x = 1, para x kπ, k Z c) cos x.tg x. cossec x = 1, para x, k Z

17 16 Resolução : a) sec 2 x tg 2 x = b) cossec 2 x cotg 2 x = - = = = 1 c) cos x.tg x. cossec x = cos x. - = = = 1. = 1 VIII) FÓRMULAS DA ADIÇÃO DE ARCOS : VIII.1) COSSENO DA SOMA DE ARCOS: Observe a figura abaixo. Nessa figura, estão representados, no ciclo trigonométrico, os pontos P, Q e R, associados, respectivamente, aos arcos de medidas α, α + β e -β. No plano cartesiano xoy, as coordenadas desses pontos são P(cos α, sen α), Q(cos (α + β), sen (α + β)) e R(cos β, -sen β). Sabe-se que, como os arcos OQ e PR têm a mesma medida, as cordas OQ e PR também são congruentes. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, tem-se OQ = PR [1 cos (α + β)] 2 + [0 - sen (α + β)] 2 = (cos α - cos β) 2 + (sen α + sen β) 2. Então, 1-2 cos (α + β) + cos 2 (α + β) + sen 2 (α + β) = cos 2 α - 2 cos α cos β + cos 2 β + + sen 2 α + 2 sen α sen β) + sen 2 β cos 2 (α + β)+ sen 2 (α + β) (sen 2 α + cos 2 α) - (cos 2 β + sen 2 β) + 1 2cos (α + β) + 2 cos α cos β - 2 sen α sen β) =

18 cos (α + β) + 2 cos α cos β - 2 sen α sen β 2cos (α + β) = - 2 sen α sen β cos α cos β. Então, cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β VIII.2) COSSENO DA DIFERENÇA DE ARCOS: cos (α - β) = cos [α + (- β)] = cos α. cos (-β) - sen α. sen (- β) = cos α. cos β + + sen α. sen β cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β VIII3) SENO DA SOMA DE ARCOS: sen (α + β) = cos [ = cos [ = cos + sen = sen α. + cos.. sen (α + β) = sen α. +. cos VIII4) SENO DA DIFERENÇA DE ARCOS: sen (α - β) = sen[α +(-β)] = sen α. cos(-β) + sen (-β). cos α = sen α. cos β - sen β. cos α e sen (α - β) = sen α. -. cos IX) SENO E COSSENO DO ARCO DUPLO: IX.1) SENO DO ARCO DUPLO: sen 2α = sen (α + α) = sen α. cos α + sen α. cos α = 2 sen α. cos α. Então, tem-se sen 2α = sen (α + α) = sen α. cos α + sen α. cos α = 2 sen α. cos α

19 18 sen 2α = 2 α. cos IX.2) COSSENO DO ARCO DUPLO: cos 2α = cos (α + α) = cos α cos α sen α sen α = cos 2 α sen 2 α. Então, tem-se cos 2α = cos 2 α sen 2 α Exercícios resolvidos : 1) Calcule o valor da expressão y = 2sen 75 o 3cos Resolução : 1 o ) sen 75 o = sen(45 o + 30 o ) = sen45 o cos 30 o + sen30 o cos 45 o = 2 o ) cos 15 o = oos(45 o - 30 o ) = cos45 o cos 30 o + sen 45 o sen 30 o = + + = = 3 o ) y = - ( 2) O triângulo AEO da figura tem AE = 15 cm, EO = 8 cm, AÊO = 2α e sen α = 1/4. Calcule a área do triângulo AEO. A O α 8 cm h 2α 15 cm E Resolução : 1 o ) Se sen α = 1/4, então cos 2 α = 1 (1/4) 2 cos α = 15/4 sen 2 α = 2 sen α cos α = = 2,(1/4).( 15/4) = 15/8. Traçando-se a altura h do triângulo, tem-se h/ 15 = 15/8, Então, 8h = 15 e h = 15/8 cm. 2 o ) A área do triângulo será S = (1/2)(8).(15/8) = 15/2 cm 2.

20 19 X) RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS: X.1) Lei dos senos: A figura a seguir apresenta o triângulo ABC, inscrito na circunferência de centro 0 e raio R, e suas três alturas h 1, h 2 e h 3. 1 o ) Considerando a altura h 1, temos sen = h 1 / AB h 1 = (AB) sen e sen = h 1 / AC h 1 = (AC) sen. Então, (AB) sen (AC) sen AB/ sen = AC/ sen (Eq. 1) 2 o ) Considerando a altura h 2, temos sen = h 2 / BC h 2 = (BC) sen e sen = h 2 / AC h 2 = (AC) sen. Então, (BC) sen (AC) sen BC/ sen = AC/ sen (Eq. 2) 3 o ) Considerando a altura h 3, temos sen = h 3 / BC h 3 = (BC) sen e sen = h 3 / AB h 3 = (AB) sen. Então, (BC) sen (AB) sen BC/ sen = AB/ sen (Eq. 3) 4 o ) Traçando-se o triângulo ABS, passando pelo centro O da circunferência, temos que o referido triângulo é retângulo em B. Por outro lado, os ângulos A B e A B têm a mesma medida, pois são inscrito na mesma circunferência, determinando o mesmo arco. Então, temos sen = sen = AB/AS ou sen = AB/2R AB/ sen (Eq. 4) De Eq. 1, Eq. 2, Eq. 3 e Eq. 4, concluímos: AB/ sen BC/ / Chamado de Lei dos senos ou Teorema dos senos.

21 20 X.2) Lei dos cossenos: A figura acima apresenta o triângulo ABC dividido, pela altura h, em dois triângulos retângulos. Então, temos: 1 o ) b 2 = x 2 + h 2 (Eq. 1) 2 o ) c 2 = h 2 + a 2 2ax + x 2 = x 2 + h 2 + a 2 2ax (Eq. 2) 3 o ) cos α = x/b x = bcos α (Eq. 3) Substituindo-se as equações 1 e 3 na equação 2, tem-se: c 2 = a 2 + b 2 2abcos α No triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Então, temos: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos γ b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 2abcos α (Lei dos cossenos ou Teorema dos cossenos) Questões Propostas : 1) (CEFET MG) - Sendo. 0, então para todo x 1 2 π/4 + kπ/2, k Z, o valor de α é a) tg 2 x b) sec 2 x c) cos 2 x d) sen 2 x e) 2.sen x

22 21 2) (CEFET MG) O gráfico da função f(x) =, para x [0, 2π], x π/2 e x 3π/2, está melhor representado na alternativa 3) (CEFET MG) Considere O gráfico da função f.

23 22 A função representada é definida por a) f(x) =1 + 2sen ( x - π/4) b) f(x) =1-2sen ( x - π/4) c) f(x) =1 + 2sen ( x + π/4) d) f(x) =1-2sen ( x + π/4) e) f(x) =1 + 2sen ( 2x - π/4) 4) (CEFET MG) A expressão a) 1 b) cotg2 x c) cossec2 x d) sec2 x e) tg2 x é equivalente a 5) (CEFET MG) Dados os números reais a e b, com π/2 α < β π, é FALSO afirmar que a) tg a < tg b b) cos a > cos b c) sen a > sen b d) sec a > sec b e) cossec a < cossec b 6) (CEFET MG) Um menino mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m, formando com a horizontal um ângulo de 300. A pipa atinge o solo ficando com a linha esticada, conforme a figura.

24 23 Desprezando-se a altura da criança, a distância final entre ela e a pipa, em metros, é igual a a) 90 b) 45 3 c) 50 3 d) e) ) (CEFET MG) - O conjunto solução da equação sec x. cossec x = sec x + 2 tg x, no intervalo [0, 2π], é a) {π/3, 5π/3} b) {π/6, 5π/6} c) {π/6, 5π/6, 3π/2} d) {π/3, 5π/3, 3π/2} e) {π/6, π/3, 5π/6, 5π/3} 8) (CEFET MG) - Sabe se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120, e os outros dois, x e y, são tais que =. A diferença y x, em graus, é a) 5 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

25 24 9) (CEFET MG) - A expressão a) cos2x é equivalente a b) cos4x c) cos2x d) cos4x e) sec2x 10) (CEFET MG) - Os valores de x no intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação - 2sen 2 x + 1 = 0 são a) 0, π, 2π b) π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 c) π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 d) π/6, 5π/6, π, 7π/6, 11π/6 e) π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3 11) (CEFET MG) - Os valores de x no intervalo [0, 2π] que satisfazem a inequação 2sen 2 x sen x são a) π/6 x 5π/6 b) π/3 x 2π/3 c) 5π/6 x 2π d) π/3 x 2π/3 ou π x 2π e) π/6 x 5π/6 ou π x 2π ) (CEFET MG) Sendo x, y [0, π/2] e 0 = 0, a relação entre 1 x e y é a) x + y = 0 b) x + y = π/2 c) x y = π/2 d) 2x y = π e) 2x + y = π

26 25 13) (CEFET MG) Um topógrafo vai medir a altura de uma montanha e para tal toma como referência o ponto P, no pico. A partir de um ponto A no solo, calcula a medida do ângulo α que o segmento AP forma com a horizontal local e, afastando-se 1 km até o ponto B, mede o ângulo β de BP com a horizontal. O valor da altura, em km, será expresso por a) 1 β b). β β c). β β d) β. β e). β β 14) (CEFET MG) Seja y = m.sen x.cos x. Se o menor valor que y assume é 2, então, m é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 15) (CEFET MG) Considerando-se 0 < x < 2π, os valores de x que satisfazem a equação cos 2x = são a) {π/12, 11π/12, 13π/12, 23π/12} b) {π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3} c) {0, 2π/3, 4π/3} d) {π/12, 2π/3} e) {π/12, 5π/3}

27 26 16) (FUVEST SP) - O conjunto de todas as soluções reais da inequação > no intervalo [0, 2π] é a) ]π/3, 2π/3[ ]4π/3, 5π/3[ b) ]π/6, 5π/6[ ]7π/6, 11π/6[ c) [0, π/3[ ]5π/3, 2π[ d) [0, π/6[ ]5π/6, 7π/6 [ ]11π/6, 2π[ e) [0, π/3[ ]2π/3, 4π/3 [ ]5π/3, 2π[ 17) (UFOP MG) - Resolva a equação trigonométrica sen (x + π + sen (x - π. = 18) (UFOP MG) - Considere a função f (x)= sen (w x), representada no gráfico: Podemos afirmar que o valor da soma f(1/6) + f(1/4) + f(1/2) é a) b) c) d) 19) (UFOP MG) - Nos triângulos a seguir, o ângulo  é reto. A medida do segmento CB é 20 cm, a do segmento BD é 11cm e a do segmento DA é 5cm. Determine o valor de tg β (Sugestão: Utilize a identidade tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1- tg α. tg β))

28 ) (UFOP MG) Considere a matriz M = 5 3, com x [0, 2π]. Então, resolva a equação det M = ) (UFOP MG) Resolva a equação trigonométrica: 1 4cos2x = 0, x [0, 2π]. 22) (UFOP MG) Encontre a solução do sistema ) (UFV MG) - Seja f a função definida por f (x) = sen x, x 0. Num mesmo sistema de coordenadas, considere os pontos A(π/6,0), B(π/2,0), C e D, em que C e D estão sobre o gráfico de f, cujas abscissas são, respectivamente, π/2 e π/6. Unindo-se esses pontos obtém-se o quadrilátero ABCD, cuja área vale a) π/4 b) π/2 c) π/5 d) π/3 24) (UFV MG) Considere f : R R uma função real definida por 2 1 f(x) = det 1 2. O gráfico que melhor representa a função f é 0

29 28 25) (UFV MG) Sejam f e g funções definidas no intervalo (-π/4, π/4), por f(x) = = tg 2x e g(x) =. a) Calcule f(π/8) + g(-π/6). b) Determine as soluções da equação g(x) = 0. 26) (UNICAMP SP) - Considere a equação trigonométrica sen 2 2 cos sen 2 0. a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de para os quais cos = 0. b) Encontre todos os valores de cos que são soluções da equação. 27) (UFSJ MG) Um veículo percorre uma estrada reta com uma inclinação de 15 o. Se o ponto de chegada situa-se 150( 6-2 ) metros mais alto que o ponto de partida, a distância em metros percorrida pelo veículo é a) 600 c) b) d) 500

30 29 28) (UFSJ MG) O valor numérico da soma 1 + cos 5 o + cos 10 o + cos 15 o + cos 20 o + cos 25 o +... cos 170 o + cos 175 o é a) 1 b) 0 c) -34 d) 630cos 5 o 29) (UFSJ MG) Se E = em que α, β e θ são as respectivas medidas dos ângulos internos de um triângulo Retângulo, então E 2 é igual a a) 1/4 b) (cotg 2 α + cotg 2 β + cotg 2 θ) 2 c) 1 d) (cossec 2 α + cossec 2 β + cossec 2 θ) 2 30) (UFSJ MG) Considere a seguinte soma : arctg + arctg + artg1. Utilizandose, se desejar, das informações do gráfico a seguir, é correto afirmar que um valor provável, em radianos, para a soma indicada é igual a a) 3π/4 b) 5π/12 c) 7π/12 d) π/2

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