CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico)

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1 1 INTRODUÇÃO CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) ARCOS: Dados dois pontos A e B de uma circunferência, definimos Arco AB a qualquer uma das partes desta circunferência compreendida entre A e B. Se os pontos A e B coincidem, então uma das partes é um arco nulo (AB = 0 ) e a outra é um arco de uma volta (AB = 360 ) A C B C A B Medida de Arcos: A medida de uma grandeza é sempre um número real x que exprime a relação que existe entre essa grandeza e uma grandeza unitária da mesma espécie. As unidades usuais de medida de arcos são: i) Grau ( ): é um arco de uma circunferência que equivale a circunferência. 1 / 360 dessa mesma ii) Grado (gd): é um arco de uma circunferência que equivale a circunferência. 1 / 400 dessa mesma iii) Radiano (rd): é um arco de uma circunferência que equivale, retificado, ao raio dessa mesma circunferência. ÂNGULOS: Duas retas AB e CD, de um plano, que se interceptam no ponto O, dividem este plano em 4 (quatro) regiões. Cada uma destas regiões é definida como Ângulo. A D O C B Medida de Ângulos: Do mesmo modo que os arcos, os ângulos são medidos em Graus, Grados e Radianos, considerando que cada ângulo corresponde à medida do arco relativo a este, determinado pela circunferência de centro O (vértice deste ângulo).

2 2 As medidas aqui utilizadas serão Grau ( ) e Radiano (rd) Assim valem as relações: Graus ( ) Radianos (rd) /6 45 /4 60 /3 90 /2 120 / / / /6 Circunferência e Arco orientado: A partir de qualquer um de seus pontos, os demais pontos da circunferência se sucedem em dois sentidos, horário e anti-horário. Convencionaremos que o sentido anti-horário como positivo e o sentido horário como negativo. Desta forma a medida algébrica de um arco de circunferência será positiva ou negativa conforma a orientação deste arco, no sentido anti-horário ou horário, respectivamente. Redução à rimeira Volta: Observamos que após cada volta, as medidas dos ângulos se repetirão, assim sendo a medida de um ângulo x será dada pela relação x = 2k + ϕ sendo k um número Inteiro ( Ζ), correspondente ao número de voltas no sentido anti-horário ou horário e ϕ o ângulo correspondente antes de completar a primeira volta. Desta forma dado um arco AB cuja medida seja, por exemplo, µ, devemos procurar decompor esse número na forma µ = 2k + ϕ, com 0 ϕ < ; a medida de ϕ dará sua representação na primeira volta. Exemplificando: i) Um ângulo µ de 17, corresponderá ao ângulo ϕ=, pois sendo µ = 2k + ϕ, teremos µ = 17 = 16+. ii) iii) Um ângulo µ de 37 / 2, corresponderá ao ângulo ϕ = / 2, pois sendo µ = 2k + ϕ, teremos µ = 37 / 2 = 36 / 2 + / 2. Um ângulo µ de 3720, corresponderá ao ângulo ϕ= 120, pois sendo µ = 2k + ϕ, e lembrando que = 360, teremos µ = 3720 = / / / / / /

3 3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Círculo (ou Circunferência) Trigonométrico (a): Vamos considerar um Sistema Cartesiano Ortogonal de origem O e uma circunferência de centro O e raio unitário (r = 1). Nestas condições o conjunto assim definido recebe o nome de Círculo (ou circunferência) Trigonométrico (a), e os seus arcos, arcos trigonométricos. O = A, ao lado representado, é um arco trigonométrico. Como conseqüência teremos: a) Todo arco trigonométrico pertence a uma Circunferência Orientada, cujo raio é Unitário (=1). b) Os arcos côngruos ao AB de uma circunferência Trigonométrica medem x= 2k +ϕ, k Ζ, onde ϕ é a rimeira determinação positiva de AB e x varia nos 1 x reais ( < x < + ). O ϕ A x c) A circunferência orientada cujo raio é unitário será Definida como Circulo (ou circunferência) Trigonométrico(a) Conceitos de Seno e Cosseno de um Arco: Consideremos no Círculo Trigonométrico um =(A) com origem no ponto A e extremidade no ponto, tal como na figura ao lado, definimos a Abscissa do ponto (extremidade do arco), como sendo o valor do Cosseno deste arco e a Ordenada deste mesmo onto +1 como sendo o valor do Seno deste arco. Os valores relativos ao Seno e Cosseno de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: sen x No primeiro Quadrante o Seno e Cosseno são maiores A que zero (>0). +1 No segundo Quadrante o Seno é >0 e o Cosseno < 0. cos x No terceiro Quadrante o Seno e o Cosseno são menores que zero (<0). No quarto Quadrante o Seno é <0 e o Cosseno > 0. Quando a extremidade do arco ocupar as posições Dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema Cartesiano, os valores de Seno e Cosseno serão iguais +1 ou, conforme o caso.

4 4 FUNÇÃO SENO: Considerando um, a função em IR, definida pela lei de composição que a cada faz corresponder o número real = sen x, é denominada Função Seno. Y Lembrando que o raio do Círculo Trigonométrico é igual a 1, a variação do seno de x será sen x +1, isto é a Imagem da função Seno será: +1 Im (sen x)=[,1]. A variação da função Seno, pode ser vista na tabela: sen x ϕ x 0 /2 3 /2 O A x Sen x O Gráfico da Função Seno será: 0 /2 3 /2 Observamos que a função Seno é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (360 ). Este período é composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). +1 Y sen x ϕ 1 O A +1 x sen x ϕ arco x Observando a figura ao lado, concluímos que: sen x = sen ( x) ou sen ( x) = sen x. Sendo assim, Seno é uma Função Ímpar. 1

5 5 FUNÇÃO COSSENO: Considerando um, a função em IR, definida pela lei de composição que a cada faz corresponder o número real = cos x, é denominada Função Cosseno. Y Lembrando que o raio do Círculo Trigonométrico é igual a 1, a variação do cosseno de x será 1 cos x +1, isto é a Imagem da função Cosseno será: +1 Im (cos x)=[,1]. A variação da função Cosseno, pode ser vista na tabela: 1 ϕ +1 x 0 /2 3 /2 O A x cos x cos x +1 O Gráfico da Função Cosseno será: 0 /2 3 /2 Observamos que a função Cosseno é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (360 ). Este período é composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). +1 Y ϕ 1 O A +1 x ϕ arco x Observando a figura ao lado, concluímos que: cos x = cos ( x). Sendo assim, Seno é uma Função ar. 1 cos x = cos ( x)

6 6 FUNÇÃO TANGENTE: B tg x 1 O ϕ A x O = A, ao lado representado, é um arco trigonométrico. Definimos Tangente do, ao número real relativo ao comprimento do segmento AB, sobre a reta tangente no Círculo Trigonométrico no ponto A. Sendo B o ponto de intersecção desta reta com a reta que contem o raio O. Conceitos do valor da Tangente de um Arco: Os valores relativos a Tangente de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: No 1 Quadrante o valor da tangente é positivo (>0). No 2 Quadrante o valor da tangente é negativo (<0). +1 No 3 Quadrante o valor da tangente é positivo (>0). No 4 Quadrante o valor da tangente é negativo (<0). tg x Quando a extremidade do arco ocupar as posições dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema O A Cartesiano, os valores da Tangente do arco não estão +1 definidas, pois a intersecção que define o ponto B não tg x existe. Neste caso, considerando que na vizinhança destes ontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto assumimos que os valores da Tangente tendem ao Infinito. Assim: x 0 /2 tg x Concluímos então: i. O conjunto Imagem da função tangente é todo o campo dos Reais, isto é Im (tg x) =IR); ii. A função tangente é sempre crescente, nos intervalos em que é definida; iii. A função tg x não assume valores em / 2 e 3 / 2, ou de modo geral em / 2 + k, onde k Ζ. iv. O domínio da Tangente é: D(tg)= {x IR, tal que x / 2 + k, onde k Ζ}. v. A variação da Tangente de x será < tg x < +. 3 /2

7 7 O Gráfico da Função Tangente será: Y /2 3 /2 Observamos que a função Tangente é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (180 ). Este período é composto por 2 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). Observando a figura ao lado, concluímos que: tg x = tg ( x) ou tg ( x) = tg x. tg x O A x arco x tg x :

8 8 FUNÇÃO COTANGENTE: O = A, ao lado representado, é um arco trigonométrico. cotg x Definimos Cotangente do, ao número real C D relativo ao comprimento do segmento CD, sobre a reta B tangente no Círculo Trigonométrico no ponto C. Sendo D o ponto de intersecção desta reta com a reta que tg x contem o raio O. 1 O ϕ A x Conceitos do valor da Cotangente de um Arco: Os valores relativos a Cotangente de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: No 1 Quadrante o valor da cotangente é positivo (>0). cotg x cotg x No 2 Quadrante o valor da cotangente é negativo (<0). + 1 No 3 Quadrante o valor da cotangente é positivo (>0). No 4 Quadrante o valor da cotangente é negativo (<0). Quando a extremidade do arco ocupar as posições dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema O A Cartesiano, os valores da Cotangente do arco não estão +1 definidas, pois a intersecção que define o ponto D não existe. Neste caso, considerando que na vizinhança destes ontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto assumimos que os valores da Cotangente tendem ao Infinito. Assim: x 0 /2 cotg x Concluímos então: i. O conjunto Imagem da função Cotangente é todo o campo dos Reais, isto é Im (cotg x) =IR; ii. A função Cotangente é sempre decrescente, nos intervalos em que é definida; iii. A função cotg x não assume valores em 0 e, ou de modo geral em k, onde k Ζ. iv. O domínio da Cotangente é: D(cotg)= {x IR, tal que x k, onde k Ζ}. v. A variação da Cotangente de x será < tg x < +. 3 /2

9 9 O Gráfico da Função Cotangente será: Y /2 3 /2 Observamos que a função Cotangente é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (180 ). Este período é composto por 2 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). Observando a figura ao lado, concluímos que: cotg x cotg x cotg x = cotg ( x) ou cotg ( x) = cotg x. O A x arco x

10 10 FUNÇÃO SECANTE: O = A, ao lado representado, é um arco trigonométrico. Definimos Secante do, ao número real relativo ao comprimento do segmento OB, sobre o eixo das abscissas. Sendo B o ponto de intersecção deste eixo com a reta tangente ao Círculo Trigonométrico no ponto extremidade do. 1 Observar que a origem do é o ponto A. O ϕ A B x sec x Conceitos do valor da Secante de um Arco: Os valores relativos a Secante de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: No 1 Quadrante o valor da secante é positivo (>0). No 2 Quadrante o valor da secante é negativo (<0). C +1 No 3 Quadrante o valor da secante é negativo (<0). No 4 Quadrante o valor da secante é positivo (>0). Quando a extremidade do arco ocupar as posições dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema D O A Cartesiano, os valores da Secante do arco serão: sec ±x sec ±x +1 No ponto A igual a +1, no ponto D igual a 1. Nos pontos C e E os valores da Secante não são definidos, pois a intersecção que define o ponto B não existe. Neste caso, considerando que na vizinhança E destes ontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto assumimos que os valores da Secante tendem ao Infinito. Assim: x 0 /2 sec x Concluímos então: i. O conjunto Imagem da função secante é todo o campo dos Reais, isto é Im (sec x) =IR; ii. A função secante pode ser crescente ou decrescente, nos intervalos em que é definida; iii. A função sec x não assume valores em / 2 e 3 / 2, de modo geral em / 2 + k, onde k Ζ. iv. O domínio da Secante é: D(sec)= {x IR, tal que x / 2 + k, onde k Ζ}. v. sec x = sec ( x) ou sec x = sec ± x vi. A variação da Secante de x será > sec x > /2

11 11 O Gráfico da Função Secante será: Y /2 3 /2 1 1 Observamos que a função Secante é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função se repetem a cada radianos (360 ). Este período é composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de /2 radianos (90 ). FUNÇÃO COSSECANTE: O = A, ao lado representado, é um arco B trigonométrico. Definimos Cossecante do, ao número real C relativo ao comprimento do segmento OB, sobre o eixo das ordenadas. Sendo B o ponto de intersecção deste cossec x eixo com a reta tangente ao Círculo Trigonométrico no ponto extremidade do. 1 Observar que a origem do é o ponto A. O ϕ A x

12 12 Conceitos do valor da Cossecante de um Arco: Os valores relativos a Cossecante de um arco dependem da posição que o ponto ocupa no círculo. Assim: No 1 Quadrante o valor da cossecante é positivo (>0). No 2 Quadrante o valor da cossecante é positivo (>0). C +1 No 3 Quadrante o valor da cossecante é negativo (<0). cossec +x No 4 Quadrante o valor da cossecante negativo (<0). Quando a extremidade do arco ocupar as posições dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema D O A Cartesiano, os valores da cossecante do arco serão: +1 No ponto C igual a +1, no ponto E igual a 1. cossec x Nos pontos A e D os valores da cossecante não são definidos, pois a intersecção que define o ponto B não existe. Neste caso, considerando que na vizinhança E destes ontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto assumimos que os valores da Cossecante tendem ao Infinito. Assim: Concluímos então: i. O conjunto Imagem da função cossecante é todo o campo dos Reais, isto é Im (cossec x) =IR; ii. A função cossecante pode ser crescente ou decrescente, nos intervalos em que é definida; iii. A função cossec x não assume valores em 0 e, ou de modo geral em k, onde k Ζ. iv. O domínio da Cossecante é: D(cossec)= {x IR, tal que x k, onde k Ζ}. v. cossec x = cossec ( x) ou cossec ( x) = cossec x vi. A variação da Cossecante de x será > cossec x > +1. O Gráfico da Função Cossecante será: + + Observamos que a função Cossecante é uma função periódica e que seu período é, isto é, o comportamento e a variação da função, se repetem a cada radianos (360 ). Este período é composto por passos de variação de função, cada um deles de / 2 radianos (90 ). 0 /2 3 /2 3 /2 x 0 /2 cossec x

13 13 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Consideremos o Triângulo ABC reto em A. Indicamos os valores de comprimento dos lados por BC = a ; AC = b ; AB = c e A = h. (altura relativa ao lado BC) C Relações Métricas nos Triângulos Retângulos m γ a = m+n ; a b b 2 = a m ; c 2 = a n ; a 2 = b 2 + c 2 ; h n α β A c B h 2 = m n Definiremos as seguintes relações: I. Seno de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do cateto oposto a este ângulo e a medida da Hipotenusa. Assim: sen β = b / a e sen γ = c / a II. Cosseno de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do cateto adjacente a este ângulo e a medida da Hipotenusa. Assim: cos β = c / a e cos γ = b / a III. Tangente de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre as medidas do cateto oposto e adjacente a este ângulo. Assim: tg β = b / c e tg γ = c / b IV. Cotangente de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre as medidas do cateto adjacente e oposto a este ângulo. Assim: cotg β = c / b e cotg γ = b / c V. Secante de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida da Hipotenusa e a medida do cateto oposto a este ângulo. Assim: sec β = a / c e sec γ = a / b VI. Cossecante de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do cateto adjacente a este ângulo e a medida da Hipotenusa. Assim: cossec β = a / b e cossec γ = a / c

14 14 Observamos que: i) As relações de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, são razões entre grandezas de mesma espécie. Assim sendo resultam em um número puro. ii) Em um triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento. iii) Em um triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente de seu complemento. iv) A tangente de um ângulo é igual à razão entre os valores de seno e cosseno. v) A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente deste ângulo e vice-versa. vi) A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente deste ângulo e vice-versa. vii) A cotangente de um ângulo é igual à razão entre os valores de cosseno e seno. viii) A Secante de um ângulo é o inverso dd cosseno deste ângulo e vice-versa. ix) A Cossecante de um ângulo é o inverso do seno deste ângulo e vice-versa. Tabela de alguns valores de relações Trigonométricas 0 ou 0 rd 30 ou / 6 rd 45 ou / 4 rd 60 ou / 3 rd 90 ou / 2 rd Seno 0 ½ 2 / 2 3 / 2 1 Cosseno 1 3 / 2 2 / 2 ½ 0 Tangente 0 3 / Cotangente / 3 0 Secante / Cossecante / 3 1

15 15 TRIÂNGULOS QUAISQUER Consideremos um Triângulo ABC qualquer. Indicamos os valores de comprimento dos lados por BC = a ; AC = b ; AB = c. A c α b B β a γ C r Definiremos as seguintes relações: a b c I. Lei dos Senos: = = senα sen β sen γ Observamos que em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a este lado, é constante e vale igual a 2r, em que r é a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. II. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cosα Lei dos Cossenos: b 2 = a 2 + c 2 2 a c cosβ c 2 = a 2 + b 2 2 a b cosγ Observamos que em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto destes dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Centro Universitário da FSA FAFIL rof.: Anastassios H.K.