Escola Preparatória. de Cadetes do Exército. 17 de novembro. EsPCEx

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1 Escola Preparatória de Cadetes do Eército 17 de novembro 010 Este documento contém soluções comentadas das questões de matemática das provas de seleção para a Escola Preparatória de Cadetes do Eército EsPCE

2 Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Eército EsPCE Questão 1 Sabendo-se que Concurso log log log... log , podemos afirmar que pertence ao intervalo (A) [ 1,3 ] (B) [ 3,5 ] (C) [ 5,7 ] (D) [ 7,9 ] (E) [ 9,11 ] Sabemos que os logaritmos possuem a seguinte propriedade: logb ac logb a + logb c Aplicando esta propriedade teremos: log + log + log log ( ) log log A soma trata-se da soma dos termos de uma progressão aritmética de razão. Calculando o número de termos teremos: a a + n 1 r n 1 n 1 ( ) ( ) 198 n + 1 n 100 Assim, queremos calcular a soma de 100 termos desta P.A. Como sabemos que a soma dos n termos de uma P.A. é dada pela epressão: ( a1 + an ) n Sn Teremos então: ( a1 + a100 ) 100 S100 ( ) 100 S100 Portanto: S Voltando à nossa epressão original: log log Aplicaremos agora, outra propriedade dos logaritmos: c logb a c logb a Então:

3 10000 log log 1 10 Opção E Questão Considere a função real g ( ) definida por: 5, se < , se > , se 1 3 ( ( )) O valor de ( ) g g g 1 é (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 (E) 4 ( ( )) Como a questão pede o valor de g g g ( 1 ), vamos calcular cada valor sem precisar fazer a composta das funções. Para 1 usamos a primeira epressão de g: 1 g 1 5 g 1 5 ( ) ( ) Agora devemos calcular g ( g ( 5 )). Para 5 usamos a terceira epressão: Agora queremos ( ) Questão g ( 5) + g ( 5) 3 g 3, fazemos uso agora da segunda epressão: g ( 3) g ( 3) 4 g 3 ( ) Opção C Um agricultor, que dispõe de 60 metros de tela, deseja cercar uma área retangular, aproveitando-se de dois trechos de muro, sendo um deles com 1 metros de comprimento e o outro com comprimento suficiente, conforme a figura abaio. 1 m Sabendo que ele pretende usar eatamente os 60 metros de tela, pode-se afirmar que a epressão que representa a área cercada y, em função da dimensão indicada na figura, e o valor da área máima que se pode obter nessas condições são, respectivamente, iguais a 3

4 (A) (B) (C) (D) (E) y e y e y e y e y e Curso Mentor 648 m 548 m 900 m 454 m 88 m Os lados da área são epressos por 1 seguinte epressão: + e z. Desta forma a área retangular possui a y ( 1 + ) z Como sabemos que o comprimento da tela é de 60 metros, podemos escrever: + z O que nos dá z 48 Substituindo a segunda equação na primeira y Desenvolvendo ( ) ( ) y y Como esta epressão representa uma parábola com concavidade para baio, seu máimo vale y v 4a Onde y v representa a ordenada do vértice, logo: A área máima será, portanto, Questão 4 y v y ( 4 4 ( ) 576) 4 ( ) 576 ( 1 + 8) v 648 m. 8 y 648 v 4 Opção A Dada a função real modular f ( ) 8 + ( 4k 3 7), em que k é real. Todos os valores de k para que a função dada seja decrescente pertencem ao conjunto (A) k >,5 (B) k < 1 (C), 5 < k < 1 (D) 1 < k <, 5 (E) k < 1 ou k >,5 Para que uma função do tipo ( ) Portanto, da função dada: f a + b seja decrescente devemos ter a < 0. 4k 3 7 < 0

5 4k 3 < 7 Então, há duas hipóteses a considerar: 1) 4k 3 < 7 4k < 10 k <,5 e ) 4k 3 > 7 4k > 4 k > 1 Fazendo a interseção das soluções, obtemos a resposta. Opção D Questão 5 Um dos modelos matemáticos de crescimento populacional é conhecido como Modelo Malthusiano (Thomas Malthus, ). Neste modelo, a evolução de uma população é dada pela função t P t P K ( ) em que P 0 é a população inicial, k indica a taa de crescimento (considerada constante e não negativa neste modelo) e t é o tempo decorrido. Um biólogo que estudava uma cultura de bactérias observou que, oito horas após o início do eperimento, a população era de 8000 indivíduos e que, duas horas depois dessa observação, a população era de indivíduos. Podemos afirmar que a população inicial era de (A) 50 (B) 500 (C) 51 (D) 1000 (E) 104 O enunciado nos dá que E que ( ) P 8 P K P K 8000 ( ) P 10 P K P K Dividindo uma epressão pela outra teremos 10 K K K ± 8 K 8000 K Lembrar, do enunciado, que K é uma constante positiva. Voltando a uma das equações: 0 ( ) 8 P P0 P Opção B Questão 6 O valor de na equação eponencial (A) log (B) 3log 3 log 7 log é: (C) log 3 log 7 (D) 3log log 7 (E) 3log 8 log 7 Podemos reescrever a equação como: ( )

6 Chamando 7 y teremos: y 7 y y y y 0 y 8y 0 y ( y 8) 0 Temos agora duas soluções: y R y ( y 8) 0 y log78 Fazendo uma mudança de base para base 10 na segunda solução: 3 log7 8 log 8 log log 3 log 7 8 log7 8 log 7 log 7 log 7 Opção D Questão 7 Dentre as várias formas de se medir temperatura, destacam-se a escala Celsius, adotada no Brasil, e a escala Fahrenheit, adotada em outros países. Para a conversão correta de valores de temperaturas entre essas escalas, deve-se lembrar que 0 grau, na escala Celsius, corresponde a 3 graus na escala Fahrenheit e que 100 graus, na escala Celsius, correspondem a 1 graus na escala Fahrenheit. Para se obter um valor aproimado da temperatura, na escala Celsius, correspondente a uma temperatura conhecida na escala Fahrenheit, eiste ainda uma regra prática definida por: divida o valor da temperatura em Fahrenheit por e subtraia 15 do resultado. A partir dessas informações, pode-se concluir que o valor da temperatura, na escala Celsius, para o qual a regra prática fornece o valor correto na conversão é (A) 10 (B) 0 (C) 30 (D) 40 (E) 50 Sabemos que a regra correta de conversão entre as escalas Celsius e Fahrenheit é dada pela epressão: tc tf A epressão para o valor aproimado é tf tc 15 Como queremos que os valores aproimado e correto sejam iguais para a temperatura em Celsius, devemos ter: 5 ( tf 3) tf t 30 9t 70 Substituindo em uma das epressões F t 50 F F 50 tc 15 t 10 C Opção A 6

7 Questão 8 O gráfico abaio representa a função y a. A partir dos dados fornecidos, pode-se concluir que o valor de loga c + logc a é igual a y c 1 3 (A) 4 3 (B) 10 3 (C) 17 4 (D) zero (E) Como o gráfico representa a função Usando o ponto ( 3,c ) : y a podemos substituir o ponto ( ) 1 y a a a 3 y c c 8 Calculando loga c + logc a : 1 10 loga c + logc a log 8 + log Questão 9 7 1, : 19 O número de arcos no intervalo 0, 6 cujo valor do cosseno é igual a 1 é (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 (E) 5 Queremos solucionar a seguinte equação: 1 cos Teremos então: cos cos + k, k Z ou cos cos + k, k Z 3 3 Solucionando cada uma: 1) cos cos + k 3 cos + k 3 Como k Z temos: k Opção B

8 7 k k + 4, está fora do intervalo , 6. ) cos cos + k 3 5 cos + k 3 Como k Z temos: 5 5 k k 1 +, está fora do intervalo 0, As soluções válidas são S,, Opção C Questão 10 As funções y sen e y cos estão representadas no gráfico abaio. Então, a medida da área do triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos AB, BC e AC é: y A B C (A) ( ) 8 (B) 8 0 (C) ( ) 16 (D) (E) ( ) O ponto C do triângulo tem suas coordenadas definidas pela solução da equação sen cos no intervalo 0,. Solucionando a equação 8

9 sen sen cos 1 tg 1 cos tg 1 ± k, k Z 4 Testando os valores de k: k 0 ± k 1 ± A única solução dentro do intervalo é. Como sen as coordenadas do ponto 4 4 C são, 4. Como o ponto B corresponde à amplitude máima do cosseno de, as 0,1. Assim teremos a área do triângulo dada por: coordenadas do ponto B são ( ) Questão 11 1 AB AC 4 SABC SABC SABC 4 ( ) Opção A Considere duas retas r e s no espaço e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de modo que os pontos A e B pertencem à reta r e os pontos C e D pertencem à reta s. I Se as retas AC e BD são concorrentes, então r e s são necessariamente concorrentes. II Os triângulos ABC e ABD serão sempre coplanares. III Se AC e BD forem concorrentes, então as retas r e s são coplanares. Pode-se concluir que Dentre as afirmações abaio (A) somente a I é verdadeira. (B) somente a II é verdadeira. (C) somente a III é verdadeira. (D) as afirmações II e III são verdadeiras. (E) as afirmações I e III são verdadeiras. Analisemos cada afirmativa em separado: I Falsa. Basta o contra-eemplo em que r s e teremos a figura abaio: B r s A C D 9

10 II Falsa. Basta o contra-eemplo em que r e s são ortogonais, por eemplo, contendo arestas de um cubo. Veja a figura abaio: D C s r B A III Verdadeira. Caso AC e BD sejam concorrentes elas determinarão um ponto E de concorrência. Como três pontos determinam um único plano, teremos dois triângulos coplanares: ABE e DCE. Opção C Questão 1 Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais eternas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11 m por galão.,40 m A 3,0 m 7,0 m O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é: (A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 10 (E) 11 Analisando a figura podemos traçar o trapézio ABCD abaio: B 10

11 A,40 m D B C 7,0 m Analisando somente o trapézio: A 1,0 m D 3,0 m B 1,0 m E C,40 m O triângulo CDE é retângulo em E, portanto: CD DE + CE 4 3 CD CD CD + CD ( ) CD 4 m Como CD é a altura do trapézio que compõem as 4 faces laterais do tronco de pirâmide, a área lateral a ser pintada é dada por: ( 7, +,4) 4 S 4 S 76,8 m Assim deve-se comprar 7 galões que pintarão até 77 m de superfície para pintar toda a superfície lateral. Opção B Questão 13 Um investidor possui ações das companhias A, B e C. A tabela abaio fornece, em 3 dias consecutivos, as variações, em Reais, dos valores das ações e o lucro obtido em cada dia, também em Reais. Os valores negativos correspondem a desvalorizações, e os valores positivos a valorizações. Variações(R$) Lucro Total (R$) 11

12 A B C Dia Dia Dia Sabendo que o investidor não comprou nem vendeu ações nesses dias, pode-se afirmar que a soma das quantidades de ações das companhias A, B e C que ele possui é (A) 700 (B) 600 (C) 550 (D) 400 (E) 350 Supondo que o investidor possua ações da companhia A, y ações da companhia B e z ações da companhia C. As equações abaio representam os dias: 4 + 5y z y z y + 3z 1700 Há várias formas de solucionar esse sistema. Vamos usar a substituição de uma equação na outra. Assim, da segunda equação: z + y 00 Substituindo esta epressão na primeira e na terceira equação teremos: 4 + 5y ( + y 00) y 4y y + 3 ( + y 00) y y y y 300 Da primeira equação teremos Substituindo na outra: y ( 400 ) Como y 400 teremos para y: y 00 Sabemos que z + y 00, então: z 300 Portanto a soma + y + z é igual a 600. Questão 14 Opção B Sete livros didáticos, cada um de uma disciplina diferente, devem ser posicionados lado a lado em uma estante, de forma que os livros de Física, de Química e de Matemática estejam sempre juntos, em qualquer ordem. O número de maneiras diferentes em que esses livros podem ser posicionados é (A) 70 (B) 1440 (C) 160 (D) 880 (E) 5040 Podemos representar esta situação pelo esquema [ FQM] ABCD 1

13 Onde F,Q e M representam os livros de Física, Química e Matemática. As letras A,B,C e D representam as outras 4 disciplinas. Podemos considerar [FQM] como um dos cinco elementos que permutam. O que nos dá: P5 5! P5 10 Para cada uma dessas 10 teremos uma permutação de F, Q e M. Portanto, o total será: T 10 3! T 70 Opção A Questão 1 Concurso 008 Observando o gráfico abaio, que representa a função real f ( ) k p, pode-se concluir que os valores de k e p são, respectivamente, f ( ) (A) e 3 (B) 3 e 1 (C) 1 e 1 (D) 1 e (E) e 1 Vamos desenvolver a epressão da função: k p, se k 0 f ( ) k p f ( ) + k p, se k < 0 Então: ( k + p ), se k f ( ) + ( k p ), se < k Observando o gráfico da função e comparando com a epressão anterior, percebemos que a abscissa em que a função f deia de ser decrescente e passa a ser crescente, 1. pertence ao ponto ( ) Portanto, Para Questão k a função é crescente e corta o eio das ordenadas no ponto ( ) ( k + p) 1 + p 1 p 1 Os gráficos das funções f ( ) a e ( ) g 9 7 cuja abscissa é igual a 5. Nesse caso, o valor de a é: 0,1, logo: Opção E se interceptam em um ponto 13

14 (A) 1 (B) No ponto de interseção teremos então que 5, daí: f 5 a f 5 a Portanto: (C) 3 (D) 3 (E) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 g g a 7 a 3 Opção D Questão 3 Na figura abaio, estão representados os gráficos das funções reais f ( ) ( 0,1) e g ( ) log ( 1). Nessas condições, os valores de A, B e C são, respectivamente, f ( ) y g ( ) A 1 C B (A) 1, e (B) 1, e 9 10 (C) 1 10, e 1 (D) 10, 11 e 9 10 (E) 1, e 9 10 O ponto A tem coordenadas ( 0,a ). Substituindo na função correspondente: 0 f ( 0) ( 0,1) f ( 0) 1 a 1 O ponto B tem coordenadas ( b,0 ). Substituindo na função correspondente: g ( b) log ( b 1) log ( b 1) 0 O ponto C tem coordenadas ( c, 1). Substituindo na função correspondente: 0 b 1 10 b g ( c) log ( c 1) log ( c 1) 1 c 1 10 c c Opção A 14

15 Questão 4 Curso Mentor O valor de para o qual as funções reais f ( ) e g ( ) 1 5 possuem a mesma imagem é: (A) log + 1 (B) log 1 (C) 1 log (D)log + 1 (E) 1 log Para que ambas possuam a mesma imagem devemos ter: f g O que nos dá: ( ) ( ) ( ) 10 5 Aplicando logaritmo na base 10 de ambos os lados: log10 log log log10 log 1 log Opção C Questão 5 Uma pesquisa sobre produção de biodiesel mostra que os lucros obtidos em função da área plantada, para a mamona e para a soja, são descritos pelas funções a seguir: f para a mamona, ( ) para a soja, g ( ) Em ambos os casos, corresponde ao número de hectares plantados e f() e g() aos respectivos lucros obtidos. Com base nessas informações, é possível afirmar que: (A) O plantio de soja torna-se lucrativo para todas as áreas maiores que 0 ha. (B) Para um agricultor que vá cultivar 40 ha, a opção mais lucrativa é a soja. (C) O plantio de mamona é mais lucrativo que a soja em áreas maiores que 50 ha. (D) Para uma área de 50 ha, as duas culturas apresentam a mesma lucratividade. (E) O plantio da mamona dá prejuízo para todas as áreas menores que 30 ha. Analisando cada uma das opções: (A) Falsa. Verificamos para que valores de teremos: > > > 5 1 (B) Falsa. Para 40 ha temos: f ( 40) f ( 40) 000 g ( 40) g ( 40) 1800 Ou seja, para 40 ha a mamona é mais lucrativa. (C) Falsa. Queremos que: > < 1000 < 50 15

16 (D) Verdadeira. Para 50 ha teremos: f f ( ) ( ) g ( 50) g ( 50) 3000 (E) Falsa. Queremos que: < < 000 < 0 O prejuízo ocorre para áreas menores que 0 ha. Opção D Questão 6 Uma esfera de cm de raio é colocada no interior de um vaso cônico, conforme a figura a seguir. O vaso tem 1 cm de altura e sua abertura é uma circunferência com 5 cm de raio. Nessas condições, a menor distância (d) entre a esfera e o vértice do cone é 5 cm 1 cm d cm (A) 3,0 cm (B) 3, cm (C) 3,4 cm (D) 3,6 cm (E) 3,8 cm Fazendo uma seção meridiana da figura dada temos a figura abaio: A 5 B 1 a D E C Como CDE é retângulo, podemos calcular a hipotenusa BC: BC BC 13 cm Os triângulos ABC e CDE são retângulos e semelhantes, então: a a 5 A distância d então será: 16

17 d d d 3, cm Opção B Questão 7 Para obter o sólido geométrico representado abaio, partiu-se de um cubo de aresta L e retirou-se de cada um dos vértices desse cubo uma pirâmide de base triangular com as arestas laterais medindo L conforme a figura. Denominando-se V o volume do cubo a 4 partir do qual foi obtido o sólido, pode-se concluir que o volume desse sólido é L L 4 (A) 3V 4 (B) 47V 48 (C) 71V 7 (D) 95V 96 (E) 143V 144 Foram retiradas 8 pirâmides de base retangular e arestas medindo L 4, calculando o volume total retirado: L L 4 4 L L L 3 L V Re tirado 8 VRe tirado 8 VRe tirado L VRe tirado 48 O volume do sólido V S fica então: L 47L VS L VS Como V é o volume do cubo: 3 V L E 47 VS V 48 Opção B Questão 8 Na figura a seguir, está representado um muro (BD) de 6m de altura em que está apoiada uma escada representada por AC, que faz um ângulo α com a horizontal. 17

18 Sabe-se que a parte da escada indicada pelo segmento AB corresponde a /3 do seu comprimento. Num determinado momento do dia, os raios de sol fazem com a vertical um ângulo também de valor α, projetando no ponto F a sombra da etremidade C da 3 4 escada. Dados: sen α ; cos α 5 5 Sol B C A α D E F Assim, considerando desprezível a espessura do muro, a medida do segmento DF, que corresponde à parte da sombra da escada que está além do muro, nesse instante, é igual a: (A) 6,75 m (B) 10,75 m (C) 14,75 m (D) 18,75 m (E),75 m Como ACB é retângulo em B temos que o triângulo ACF é retângulo em C. Em consequência, os triângulos ABD, ACE e ACF são semelhantes. Dos dados do enunciado temos: BD 3 6 sen α AB 10 m AB 5 AB Como a escada está apoiada em 3 do seu comprimento: O que nos dá: Continuando: E também: Como queremos DF: 30 AB AC AC AC 15 3 BC 5 AC cos α AF m AF 5 AF 4 AD 4 AD cos α AD 8 m AB DF AF AD DF DF DF 10,75 m 4 Opção B Questão 9 Em uma determinada função quadrática, e 3 são suas raízes. Dado que o ponto ( 3,1) pertence ao gráfico dessa função, pode-se concluir que (A) o seu valor máimo é 1,50 18

19 (B) o seu valor mínimo é 0,50 (C) o seu valor máimo é 6,5 (D) o seu valor mínimo é 1,50 (E) o seu valor máimo é 0,50 Curso Mentor Toda função quadrática pode ser escrita em função de suas raízes 1 e da seguinte maneira: f a + b + c f a Então: ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) a ( + ) ( 3) 1 Fazendo 3 : 1 a ( 3 + ) ( 3 3) 1 a 6 a Reescrevendo a função: f + 3 f 1 Calculando a ordenada do vértice: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yv yv yv 4a 4 8 yv 1,5 Como a é positivo a função tem um valor mínimo. Questão 10 Opção D Para se ter acesso a um arquivo de computador, é necessário que o usuário digite uma senha de 5 caracteres na qual os três primeiros são algarismos distintos, escolhidos de 1 a 9, e os dois últimos caracteres são duas letras, distintas ou não, escolhidas dentre as 6 do alfabeto. Assim, o número de senhas diferentes, possíveis de serem obtidas por esse processo, é (A) (B) (C) (D) (E) Pelo princípio da multiplicação temos: T T Algarismos distintos de 1 a 9 Letras quaisquer do alfabeto Opção B Questão 11 1 tg Considere as matrizes M1 cos cotg resultante do produto matricial M1M é: (A) (B) sec cos tg cos e M 19 1 tg, k,k Z. A matriz

20 sec (C) sen cos sec (D) sen cos (E) sen Multiplicando as matrizes: Lembrando que: 1 tg 1 M1 M cos cot g tg 1 + tg M1 M cos + cot g tg 1 + tg M1 M cos sen cos + sen cos sen + cos 1 sen 1 cos Dividindo a epressão anterior por cos : sen cos 1 sen + cos 1 + tg + 1 sec cos cos cos Substituindo na matriz: sec M1 M sen Opção C Questão 1 A ilustração a seguir representa um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH e um prisma reto triangular de base EHJ seccionado por um plano, gerando o triângulo isósceles ADI, cuja medida AI é igual à medida DI. Diante das informações acima, podemos afirmar que: B A C D I F E G H (A) A reta JH é ortogonal à reta DC (B) As retas EJ e FG são reversas (C) A reta IJ é ortogonal à reta EF 0 J

21 (D) A reta AI é concorrente à reta BC (E) A reta AI é paralela à reta EJ Curso Mentor Analisando as afirmações: (A) Falsa. JH e DC são retas reversas (estão em planos distintos), mas não ortogonais (os planos não formam um diedro de 90 ). (B) Falsa. EJ e FG são coplanares. Ambas pertencem ao plano EFGHJ. (C) Verdadeira. IJ pertence aos planos IDHJ e AEJI (interseção dos planos) e portanto é ortogonal a reta que contém FE. (D) Falsa. AI e BC são reversas. (E) Falsa. AI e EJ são concorrentes, pois pertencem ao mesmo plano AEJI e seus prolongamentos se interceptam. Opção C Questão 13 Na figura, está representado um circulo trigonométrico em que os pontos P 1 a P 5 indicam etremidades de arcos. Esses pontos, unidos, correspondem aos vértices de um pentágono regular inscrito no círculo. Se o ponto P 1 corresponde a um arco de 6 radianos. Então o ponto P 4 corresponderá à etremidade de um arco cuja medida, em radianos, é igual a: P y P 1 P 3 0 P 5 P 4 (A) (B) (C) 9 30 (D) (E) Como o ponto P 1 corresponde a um arco de radianos, basta verificarmos quanto vale 6 o ângulo central de um pentágono regular: a 360 c a c 5 5 Daí o ponto P 4 corresponde a: P4 + 3 P P Opção D

22 Questão 14 Curso Mentor A soma das idades dos amigos Pedro, José e Ivo é igual a 60. Sabe-se que a soma da idade de José com a diferença entre as idades de Pedro e Ivo (nesta ordem) é igual a 30 e que o dobro da idade de Pedro mais a idade de José, menos a idade de Ivo é igual a 55. Assim, a idade de José é (A) 10 (B) 15 (C) 0 (D) 5 (E) 30 Chamando as idades de P, J e I, teremos: P + J + I 60 J + P I 30 P + J I 55 Somando a primeira com a segunda equação e a primeira com a terceira equação teremos: P + J + I + J + P I P + J I + P + J + I P + J 90 J + 3P 115 Subtraindo a segunda da primeira equação: J + 3P P J P 5 Substituindo no segundo sistema formado: 5 + J 90 J 0 Substituindo no sistema original: I 60 I 15 Opção C