Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército EsPCEx

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1 Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Eército EsPCE Questão 1 Sabendo-se que Concurso log log log... log =, podemos afirmar que pertence ao intervalo (A) [ 1,3 ] (B) [ 3,5 ] (C) [ 5,7 ] (D) [ 7,9 ] (E) [ 9,11 ] Sabemos que os logaritmos possuem a seguinte propriedade: logb ac = logb a + logb c Aplicando esta propriedade teremos: log + log + log log = ( ) log... = log = A soma trata-se da soma dos termos de uma progressão aritmética de razão. Calculando o número de termos teremos: a = a + n 1 r 199 = 1 + n 1 n 1 ( ) ( ) 198 n = + 1 n = 100 Assim, queremos calcular a soma de 100 termos desta P.A. Como sabemos que a soma dos n termos de uma P.A. é dada pela epressão: ( a1 + an ) n Sn = Teremos então: ( a1 + a100 ) 100 S100 = ( ) 100 S100 = Portanto: S100 = Voltando à nossa epressão original: log = log = Aplicaremos agora, outra propriedade dos logaritmos: c log a = c log a b 1 b

2 Então: Curso Mentor log = log = 1 = 10 Opção E Questão Considere a função real g ( ) definida por: 5, se < , se > , se 1 3 ( ( )) g g g 1 é O valor de ( ) (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 (E) 4 ( ( )) Como a questão pede o valor de g g g ( 1 ), vamos calcular cada valor sem precisar fazer a composta das funções. Para = 1 usamos a primeira epressão de g: 1 g 1 = 5 g 1 = 5 ( ) ( ) Agora devemos calcular g ( g ( 5 )). Para = 5 usamos a terceira epressão: Agora queremos ( ) Questão g ( 5) = + g ( 5) = 3 g 3, fazemos uso agora da segunda epressão: g ( 3) = g ( 3) = 4 g 3 = ( ) Opção C Um agricultor, que dispõe de 60 metros de tela, deseja cercar uma área retangular, aproveitando-se de dois trechos de muro, sendo um deles com 1 metros de comprimento e o outro com comprimento suficiente, conforme a figura abaio. 1 m Sabendo que ele pretende usar eatamente os 60 metros de tela, pode-se afirmar que a

3 epressão que representa a área cercada y, em função da dimensão indicada na figura, e o valor da área máima que se pode obter nessas condições são, respectivamente, iguais a (A) y = e 648 m (B) (C) (D) (E) y = e y = e y = e y = e 548 m 900 m 454 m 88 m Os lados da área triangular são epressos por 1 possui a seguinte epressão: y = ( 1 + ) z + e z. Desta forma a área retangular Como sabemos que o comprimento da tela é de 60 metros, podemos escrever: + z = 60 O que nos dá z = 48 Substituindo a segunda equação na primeira y = Desenvolvendo ( ) ( ) y = y = Como esta epressão representa uma parábola com concavidade para baio, seu máimo vale y v = 4a Onde y v representa a ordenada do vértice, logo: A área máima será, portanto, Questão 4 y v = y ( 4 4 ( ) 576) 4 ( ) 576 ( 1 + 8) v 648 m. = 8 y = 648 v Opção A Dada a função real modular f ( ) = 8 + ( 4k 3 7), em que k é real. Todos os valores de k para que a função dada seja decrescente pertencem ao conjunto (A) k >,5 (B) k < 1 (C), 5 < k < 1 (D) 1 < k <, 5 (E) k < 1 ou k >,5 3

4 Para que uma função do tipo f ( ) = a + b seja crescente devemos ter a > 0. Portanto, da função dada: 4k 3 7 > 0 4k 3 > 7 Então, há duas hipóteses a considerar: 1) 4k 3 > 7 4k > 10 k >,5 ou ) 4k 3 < 7 4k < 4 k < 1 Questão 5 Opção E Um dos modelos matemáticos de crescimento populacional é conhecido como Modelo Malthusiano (Thomas Malthus, ). Neste modelo, a evolução de uma população é dada pela função t P t = P K ( ) em que P 0 é a população inicial, k indica a taa de crescimento (considerada constante e não negativa neste modelo) e t é o tempo decorrido. Um biólogo que estudava uma cultura de bactérias observou que, oito horas após o início do eperimento, a população era de 8000 indivíduos e que, duas horas depois dessa observação, a população era de indivíduos. Podemos afirmar que a população inicial era de (A) 50 (B) 500 (C) 51 (D) 1000 (E) 104 O enunciado nos dá que E que ( ) P 8 = P K P K = 8000 ( ) P 10 = P K P K = Dividindo uma epressão pela outra teremos 10 K = K = K = ± 8 K 8000 K = Lembrar, do enunciado, que K é uma constante positiva. Voltando a uma das equações: 0 ( ) 8 P = P0 = P0 = Opção B Questão 6 O valor de na equação eponencial (A) log (B) 3log 3 log 7 log = é: (C) log 3 log 7 (D) 3log log 7 (E) 3log 8 log 7 4

5 Podemos reescrever a equação como: Chamando 7 = y teremos: Temos agora duas soluções: ( ) = 0 y 7 y y y = y = 0 y 8y = 0 y ( y 8) = 0 y = 0 7 = 0 R y ( y 8) = 0 y = 8 7 = 8 log78 = Fazendo uma mudança de base para base 10 na segunda solução: 3 log7 8 = log 8 log log 3 log 7 8 = log7 8 = log 7 log 7 log 7 Opção D Questão 7 Dentre as várias formas de se medir temperatura, destacam-se a escala Celsius, adotada no Brasil, e a escala Fahrenheit, adotada em outros países. Para a conversão correta de valores de temperaturas entre essas escalas, deve-se lembrar que 0 grau, na escala Celsius, corresponde a 3 graus na escala Fahrenheit e que 100 graus, na escala Celsius, correspondem a 1 graus na escala Fahrenheit. Para se obter um valor aproimado da temperatura, na escala Celsius, correspondente a uma temperatura conhecida na escala Fahrenheit, eiste ainda uma regra prática definida por: divida o valor da temperatura em Fahrenheit por e subtraia 15 do resultado. A partir dessas informações, pode-se concluir que o valor da temperatura, na escala Celsius, para o qual a regra prática fornece o valor correto na conversão é (A) 10 (B) 0 (C) 30 (D) 40 (E) 50 Sabemos que a regra correta de conversão entre as escalas Celsius e Fahrenheit é dada pela epressão: tc tf 3 = 5 9 A epressão para o valor aproimado é tf tc = 15 Como queremos que os valores aproimado e correto sejam iguais para a temperatura em Celsius, devemos ter: 5 ( tf 3) tf = t 30 = 9t 70 Substituindo em uma das epressões F t = 50 F 5 F 50 tc = 15

6 tc = 10 Opção A Questão 8 O gráfico abaio representa a função y = a. A partir dos dados fornecidos, pode-se concluir que o valor de loga c + logc a é igual a y c 1 3 (A) 4 3 (B) 10 3 (C) 17 4 (D) zero (E) Como o gráfico representa a função Usando o ponto ( 3,c ) : y = a podemos substituir o ponto ( ) 1 y = a = a a = 3 y = c = c = 8 Calculando loga c + logc a : 1 10 loga c + logc a = log 8 + log8 = 3 + = 3 3 Questão 9 6 1, : 19 O número de arcos no intervalo 0, 6 cujo valor do cosseno é igual a 1 é (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 (E) 5 Queremos solucionar a seguinte equação: 1 cos = Teremos então: cos = cos + k, k Z ou cos = cos + k, k Z 3 3 Solucionando cada uma: 1) cos = cos + k 3 = cos + k 3 Opção B

7 Como k Z temos: k = 0 = + 0 = k = 1 = + = k = = + 4 =, está fora do intervalo , 6. ) cos = cos + k 3 5 = cos + k 3 Como k Z temos: 5 5 k = 0 = + 0 = k = 1 = + =, está fora do intervalo 0, As soluções válidas são S =,, Opção C Questão 10 As funções y = sen e y = cos estão representadas no gráfico abaio. Então, a medida da área do triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos AB, BC e AC é: y A B C (A) ( ) 8 (B) 8 0 (C) ( ) 16 (D) (E) ( ) 7

8 O ponto C do triângulo tem suas coordenadas definidas pela solução da equação sen = cos no intervalo 0,. Solucionando a equação sen sen = cos = 1 tg = 1 cos tg = 1 = ± k, k Z 4 Testando os valores de k: k = 0 = ± 0 = = + = k = 1 = ± = = 4 4 A única solução dentro do intervalo é. Como sen = as coordenadas do ponto 4 4 C são, 4. Como o ponto B corresponde à amplitude máima do cosseno de, as 0,1. Assim teremos a área do triângulo dada por: coordenadas do ponto B são ( ) Questão 11 1 AB AC 4 SABC = SABC = SABC = 4 ( ) Opção A Considere duas retas r e s no espaço e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de modo que os pontos A e B pertencem à reta r e os pontos C e D pertencem à reta s. I Se as retas AC e BD são concorrentes, então r e s são necessariamente concorrentes. II Os triângulos ABC e ABD serão sempre coplanares. III Se AC e BD forem concorrentes, então as retas r e s são coplanares. Pode-se concluir que Dentre as afirmações abaio (A) somente a I é verdadeira. (B) somente a II é verdadeira. (C) somente a III é verdadeira. (D) as afirmações II e III são verdadeiras. (E) as afirmações I e III são verdadeiras. Analisemos cada afirmativa em separado: I Falsa. Basta o contra-eemplo em que r s e teremos a figura abaio: 8

9 B r s A C D II Falsa. Basta o contra-eemplo em que r e s são ortogonais, por eemplo, contendo arestas de um cubo. Veja a figura abaio: D C s r B A III Verdadeira. Caso AC e BD sejam concorrentes elas determinarão um ponto E de concorrência. Como três pontos determinam um único plano, teremos dois triângulos coplanares: ABE e DCE. Questão 1 Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais eternas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11 m por galão.,40 m A 3,0 m 7,0 m O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é: (A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 10 (E) 11 B 9

10 Analisando a figura podemos traçar o trapézio ABCD abaio:,40 m A D B C 7,0 m Analisando somente o trapézio: A 1,0 m D 3,0 m B 1,0 m E C,40 m O triângulo CDE é retângulo em E, portanto: CD = DE + CE 4 3 CD = CD = CD = + CD = ( ) CD = 4 m Como CD é a altura do trapézio que compõem as 4 faces laterais do tronco de pirâmide, a área lateral a ser pintada é dada por: ( 7, +,4) 4 S = 4 S = 76,8 m Assim deve-se comprar 7 galões que pintarão até 77 m de superfície para pintar toda a superfície lateral. Opção B Questão 13 Um investidor possui ações das companhias A, B e C. A tabela abaio fornece, em 3 dias consecutivos, as variações, em Reais, dos valores das ações e o lucro obtido em cada dia, também em Reais. Os valores negativos correspondem a desvalorizações, e os valores positivos a valorizações. 10

11 Variações(R$) Lucro Total (R$) A B C Dia Dia Dia Sabendo que o investidor não comprou nem vendeu ações nesses dias, pode-se afirmar que a soma das quantidades de ações das companhias A, B e C que ele possui é (A) 700 (B) 600 (C) 550 (D) 400 (E) 350 Supondo que o investidor possua ações da companhia A, y ações da companhia B e z ações da companhia C. As equações abaio representam os dias: 4 + 5y z = y z = y + 3z = 1700 Há várias formas de solucionar esse sistema. Vamos usar a substituição de uma equação na outra. Assim, da segunda equação: z = + y 00 Substituindo esta epressão na primeira e na terceira equação teremos: 4 + 5y ( + y 00) = y 4y = y + 3 ( + y 00) = y y 600 = y = y = 300 Da primeira equação teremos Substituindo na outra: y = ( 400 ) = = = 1300 = 100 Como y = 400 teremos para y: y = 00 Sabemos que z = + y 00, então: z = 300 Portanto a soma + y + z é igual a 600. Questão Opção B Sete livros didáticos, cada um de uma disciplina diferente, devem ser posicionados lado a lado em uma estante, de forma que os livros de Física, de Química e de Matemática estejam sempre juntos, em qualquer ordem. O número de maneiras diferentes em que esses livros podem ser posicionados é (A) 70 (B) 1440 (C) 160 (D) 880 (E) 5040 Podemos representar esta situação pelo esquema [ FQM] ABCD

12 Onde F,Q e M representam os livros de Física, Química e Matemática. As letras A,B,C e D representam as outras 4 disciplinas. Podemos considerar [FQM] como um dos cinco elementos que permutam. O que nos dá: P5 = 5! P5 = 10 Para cada uma dessas 10 teremos uma permutação de F, Q e M. Portanto, o total será: T = 10 3! T = 70 Opção A 1