INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CAMPUS SERRA BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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1 INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CAMPUS SERRA BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Uma equação onde a incógnita está no expoente é chamada de equação exponencial. A maioria das equações exponenciais pode ser resolvida simplesmente tornando as bases iguais e em seguida igualando-se seus expoentes. Outras necessitam de uma análise mais aprofundada. Vejamos alguns exemplos: EXEMPLO Encontre o valor de x que satisfaz a equação ( 4) x =6 x+ ( 4) x =6 x+ ( ) x =( 4 ) x+ x+ = 4x+8 x+=4x+8 x= EXEMPLO Resolva a equação 3 x 0 x+7 = 9 3 x 0 x+7 = 9 3 x 0 x+7 =3 x 0 x+7= x 0 x+9=0 x = ou x = 9. PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES EXPONENCIAIS EXEMPLO 3 A automedicação é considerada um risco, pois a utilização desnecessária ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão y= y 0 0,5t, em que y 0 é a concentração inicial e t é o tempo em

2 hora. Calcule o tempo transcorrido até a concentração da substância tornar-se a quarta parte da concentração inicial. Quando a concentração do medicamento se tornar a quarta parte da concentração inicial teremos y= 4 y 0. Então, basta substituir y= 4 y 0 na equação y= y 0 0,5t. Fazendo isso: y= y 0 0,5t 4 y 0 = y 0 0,5t 4 =0,5t = 0,5t =0,5 t t=4 Portanto, o tempo transcorrido é de 4 horas. EXEMPLO 4 O valor V de um instrumento cirúrgico decresce exponencialmente com o tempo t de acordo com a expressão V = c.a t, em que a e c são constantes reais. Se esse instrumento foi comprado por R$.000,00 e quatro anos após a compra seu valor for R$ 8.000,00, qual a melhor aproximação para o valor oito anos após a compra? a) R$.660,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 5.330,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 6.660,00 Quando t = 0 temos V = 000 e quando t = 4 temos V = Substituindo esses valores na equação V = c.a t produzimos duas expressões: Expressão I: 000=c a 0 Expressão II: 8000=c a 4 Queremos encontrar o valor de V =c. a 8. Para isso, vamos pensar no seguinte: Da equação I encontramos c = 000. Substituindo esse valor na equação II, encontramos o valor de a 4 : 8000=c a =000 a 4 a 4 = 8 = 3. Para fechar a questão: temos o valor de a 4, mas precisamos de a 8. Então é só elevar a 4 ao quadrado! a 8 =(a 4 ) = ( 3) = 4 9. Portanto, o valor do instrumento cirúrgico oito anos após a sua compra é: V =c.a 8 V = , 33.

3 Logo a resposta é a letra C. EXEMPLO 5 A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático h(t) =,5 + log 3 (t+), com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a. 9 b. 8 c. 5 d. 4 e. Temos que encontrar o valor de t que faz com que h seja 3,5. Basta trocar h por 3,5 na equação dada e isolar t. Fazendo isso, temos: h(t)=,5 + log 3 (t+),5 + log 3 (t+)=3,5 log 3 (t+)= t+=3 t=8 Portanto a resposta é a letra B. 3. FUNÇÃO EXPONENCIAL Denomina-se função exponencial de base a, toda função real dada por f(x) = a x (com a e a > 0), onde x pertence ao conjunto dos números reais. Quando a >, temos uma função exponencial crescente; Quando 0 < a <, temos uma função exponencial decrescente. EXEMPLO 6 São funções exponenciais: a) V = t b) f ( x)= ( c) y=0,34 x 5) x 3. DOMÍNIO DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS O Domínio das funções exponenciais é sempre o conjunto dos números reais. 3. IMAGEM DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS A imagem de uma função exponencial é o conjunto dos números reais positivos. 4. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Na figura abaixo temos funções exponenciais crescentes para diferentes valores de a. Quanto maior for o valor de a na expressão f(x) = a x mais verticalizado é o gráfico da função, conforme o valor de x aumenta. O eixo das abscissas é uma assíntota horizontal.

4 y O 3 x Veja ainda esta outra figura, que ilustra o que foi mencionado no parágrafo anterior: y 7 Os valores de a vão diminuindo e o gráfico se torna mais próximo da reta y = O x Já na próxima figura temos funções exponenciais decrescentes para diferentes valores de a. Quanto mais próximo de zero for o valor de a na expressão f(x) = a x mais próximo da posição horizontal é o gráfico da função. O eixo das abscissas é uma assíntota horizontal.

5 y O 3 x Uma observação importante é que o gráfico de qualquer função exponencial sempre passa pelo ponto (0,). Por quê? 5. LOGARITMOS Considere uma função exponencial a x = y (com a positivo e diferente de ). O número a é chamado de base da função exponencial, x é o expoente ou logaritmo e y é a potência ou logaritmando. Dizemos que x é o logaritmo de y na base a e escrevemos x=log a y, significando que x é o expoente a que se deve elevar o número a para encontrar resultado y. Temos a seguinte equivalência: EXEMPLO 7 Calcule log 6 4. Primeiramente representamos o logaritmo que queremos calcular por x. log 6 4=x Agora, utilizamos a equivalência x=log a y a x = y. log 6 4=x 6 x =4 x=log a y a x = y Desta forma, basta resolver a equação exponencial 6 x =4, encontrando x=. 5. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO I) log b =0 O logaritmo de em qualquer base é igual a zero. II) log b b= Se a base e o logaritmando são iguais, o logaritmo vale. III) log b b m =m IV) b log b N =N V) log b N=log b P N =P 5. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

6 I) log b ( NP)=log b N+log b P II) log b ( N P ) =log b Nlog b P III) log b N p = p log b N O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos de seus fatores. O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. O logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. EXEMPLO 8 Dados log b 0, 693, log b 3, 099 e log b 7, 946, utilize as propriedades dos logaritmos para obter um valor aproximado para as seguintes expressões: a) log b 6 log b 6=log b (.3) log b +log b 3 0, 693+, 099, 79 b) log b 7 7 log b ( 7 7) =log b 7log b 7 log b 7log b 3 3 log b 73log b 3, 9463.,099,35 EXEMPLO 9 Sendo log = 0,30 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 8? (º) Fatoramos o 8: log(8)=log(. 7) (º) Logaritmo do produto: log(. 7)=log( )+log 7 (3º) Logaritmo da potência: log( )+log 7=.log +log 7 (4º) Substituição dos valores dados:. log +log7=.0, 30+0,845 =, EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

7 Geralmente, para resolver uma equação logarítmica devemos transformá-la em uma equação exponencial, usando a definição x=log a y a x = y. É importante observar que y deve ser um número positivo! Por quê? EXEMPLO 0 Resolva a equação log (4x+8)=log (3x+9). Como condição para a existência dos dois logaritmos devemos ter 4x+8>0 e 3x+9>0. Daí concluímos que x >-. Isso significa que toda solução da equação logarítmica deve ser um número maior que -. Como os logaritmos têm mesma base, podemos, simplesmente, igualar os logaritmandos: 4x+8=3x+9 Resolvendo a equação encontramos x=. Como é um valor maior que -, a solução da equação é S = {}. Repare que se tivéssemos encontrado um valor de x menor que -, o conjunto solução da nossa equação seria o conjunto vazio. EXEMPLO Resolva a equação e 53x =0. Repare que temos uma equação exponencial cuja base é o número e. Um artifício, nesse caso, é aplicar o logaritmo natural (base e) nos dois membros da equação. Veja: e 53x =0 ln(e 53x )=ln(0) A partir daí é só usar as propriedades dos logaritmos: ln( e 53x )=ln(0) (53x).ln(e)=ln(0) 53x=ln(0) 3x=5ln(0) x= 5ln(0) 3 (Repare que ln( e)= ) Se usarmos uma calculadora científica, encontraremos o valor x 0, MUDANÇA DE BASE Muitas vezes temos o valor de log b N, mas queremos obter o valor de log a N. Para isso, usamos a relação:. log a N= log b N log b a EXEMPLO Dados log 0 = 0,3003 e log 0 00 =, calcular log 00. log 00= log 0 00 = log 0 0,3003 =6,6438

8 Isso significa que 6, EXEMPLO 3 As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções: A(t) = log 4 ( + t) 5 e B(t) = log (t + 4), nas quais a variável t representa o tempo em anos. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a: a) 6 b) 8 c) 0 d) e) 4 Temos que descobrir o valor de t que faz com que A(t) = B(t). Para isso, vamos igualar as expressões das duas funções: log 4 ( + t) 5 = log (t + 4) Agora temos um problema a ser resolvido: um dos logaritmos tem base 4, enquanto o outro tem base! Vamos escrever os dois logaritmos na base e depois utilizar normalmente as propriedades dos logaritmos e das potências. log 4 ( + t) 5 = log ( t + 4) log ( + t)5 = log ( t + 4) 5 log ( + t) = log (t + 4) 5 (+t) =4.(+t) 5 (+t) (+t) =4 (+t) =4 +t=6 t=4 Assim, a resposta é a letra E. 8. FUNÇÃO LOGARÍTMICA Denomina-se função logarítmica de base b, a função f real dada por f(x) = log b x (com b, b > 0 e x > 0) Quando b >, temos uma função logarítmica crescente. Quando 0 < b <, temos uma função logarítmica decrescente. EXEMPLO 4 São funções logarítmicas: a) V =log 0 x

9 b) f ( x)=log x 5 c) y=log 0,34 x 8. DOMÍNIO DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS O domínio das funções logarítmicas é o conjunto dos números reais positivos. 8. IMAGEM DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS A imagem das funções logarítmicas é o conjunto de todos os números reais. OBSERVAÇÃO: A função logarítmica é a inversa da exponencial. 9. GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Na figura abaixo temos funções logarítmicas crescentes para diferentes valores de b. Quanto maior for o valor de b na expressão f(x) = log b x menos verticalizado é o gráfico da função, conforme o valor de x aumenta. O eixo das ordenadas é uma assíntota vertical. y,5 0,5 0,5 O 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 x 0,5,5,5 3 Já na próxima figura temos funções logarítmicas decrescentes para diferentes valores de b. Quanto mais próximo de zero for o valor de b na expressão f(x) = log b x mais seu gráfico é próximo da posição horizontal, conforme o valor de x aumenta. O eixo das ordenadas é uma assíntota vertical.

10 y,5 0,5 0,5 O 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 x 0,5,5,5 3 QUESTÕES PROPOSTAS ) Resolva as equações exponenciais: a) ( x ) x =6 b) (3 x ) x 4 = 7 c) x 7x+ = x d) 8 x =4 e) 0 x4 =30 f) (6 x ) x+ = g) (0,) x = (0,0) 4x + 3 h) x + 4. x = 5 ) Em uma comunidade de bactérias, há inicialmente 0 6 indivíduos. Sabe-se que após t horas (ou fração de hora) haverá Q(t)= t indivíduos. Neste caso, para que a população seja o triplo da inicial, o tempo, em minutos, será: a) 0 b) 0 c) 30 d) 40 e) 50 3) Admita que a temperatura do café em uma xícara, passados t minutos do instante em que foi servido, seja dada por T(t) = t Celsius. Analise as afirmações abaixo e marque a alternativa verdadeira: a) A temperatura será inferior a vinte e sete graus Celsius somente quando passados mais de quatro minutos.

11 b) Entre t = 3 e t = 5 a temperatura diminuiu de três graus Celsius. c) A temperatura será igual ou superior a vinte e nove graus Celsius até o terceiro minuto. d) A temperatura nunca será igual ou inferior a vinte e cinco graus Celsius. 4) Visando atingir uma meta de produção, uma empresa usa a função f (t)= ,t como parâmetro para estabelecer o número mínimo de peças a serem produzidas por seus funcionários a cada dia t, a partir da data de sua admissão. Nessas condições, espera-se que a produção mínima de 30 peças seja alcançada por funcionários trabalhando, no máximo, há: a) 5 dias. b) 8 dias. c) 0 dias. d) 5 dias. e) 0 dias. 5) A relação P=64000 ( 0,t ) descreve o crescimento de uma população de microorganismos, sendo P o número de microorganismos t dias após o instante 0. O valor de P é superior a se, e somente se, t satisfazer à condição: a) < t < 6 b) t > 6 c) t < 30 d) t > 60 e) 3 < t < 64 6) Calcule A = x + y em que x e y são, respectivamente, as soluções das equações exponenciais: x =8 e 9 y3 =7 y. 7) Determine o valor dos logaritmos abaixo: a) log 00 b) log 6 4 c) log a a d) log 0, 0 e) ln e - 8) Use as propriedades dos logaritmos para escrever log(5x 3 y) como uma soma de logaritmos. 9) Sendo log = 0,3; log 3 = 0,4 e log 5 = 0,7, calcule: a) log 50 b) log 3 45 c) log 9 d) log e) log 5 3 f) log 6 5

12 0) Resolva a equação exponencial 7 x +7 x =8 x. ) Qual é o maior: log 5 7 ou log 8 3? Justifique. ) John Napier foi um matemático escocês que viveu entre 550 e 67, tendo produzido vários estudos e inventado e construído várias máquinas destinadas à guerra. Napier arrependeu-se por tais estudos e construções, condenando-se por ter dado a seus patrícios o poder de destruição. Em 64, publicou a primeira tabela de logaritmos, passando a ser considerado um grande matemático. Essa descoberta revelou-se uma das mais importantes concepções matemáticas, simplificando de maneira considerável a computação aritmética. Os logaritmos facilitam a computação aritmética, valendo-se da propriedade de que a. o logaritmo de um número N qualquer, em uma base b qualquer, é igual a b n. b. o logaritmo da soma de dois números quaisquer M e N, em uma base b qualquer, é igual ao produto dos logaritmos de M e de N na base b. c. o logaritmo do produto de dois números quaisquer M e N, em uma base b qualquer, é igual à soma do logaritmo de M com o logaritmo de N, ambos na base b. d. o logaritmo do quociente de dois números quaisquer M e N, em uma base b qualquer, é o quociente do logaritmo de M na base b, pelo logaritmo de N na base b. e. o logaritmo da diferença de dois números quaisquer M e N, em uma base b qualquer, é igual ao quociente do logaritmo de M na base b pelo logaritmo de N na base b. 3) Qual é a solução de 0,5 4x + 3 < 0,5 x +? a. x > b. x < c. x > d. x < e. < x < 4) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por T(t) = TA + a.3 bt, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e a e b são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de 8ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a 6ºC após 70 minutos. Pode-se afirmar que o valor absoluto do produto de a e b é igual a: a. 5/9 b. 3/5 c. 9/5 d. 5/3 e. 4/9 5) Em uma comunidade de bactérias, há inicialmente 0 6 indivíduos. Sabe-se que após t horas (ou fração de hora) haverá Q(t)= t indivíduos. Neste caso, para que a população seja o triplo da inicial, o tempo, em minutos, será: a) 0 b) 0 c) 30 d) 40

13 e) 50 6) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I=0 até I=8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula I= 3 ( log E E 0), onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E 0 =7 0-3 kwh. a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? b) Aumentando de uma unidade a intensidade de um terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? 7) Se log = a e log 3 = b, então o valor de x em 8 x = 9 é: a. b/3a b. a/3b c. b/a d. a/b e. 3b/a 8) (CEFETES 007) O carvão é o mais abundante de todos os combustíveis fósseis e, apesar de ser uma fonte de energia explorada há muito tempo, ainda existe em grande quantidade. Calcula-se que as reservas mundiais, estimadas em 8 0 toneladas, sejam suficientes para mais de cem anos de consumo. Se atualmente são consumidas 0 9 toneladas por ano, e contando com um aumento de 5% no consumo anual, quantos anos serão necessários para consumir todo o carvão dessas reservas? Admita que log,05 = 0,0 e log,0 = 0,30 a) 09 b) c) 3 d) 5 e) 7 9) (CEFETES 008) A intensidade sonora, ou "volume" do som, indica a potência transportada pela onda ao atingir uma determinada área, sendo representada pela letra i e medida emw/m². No entanto, a física explica que as ondas do som são percebidas pelo homem em seus diferentes níveis sonoros (N). Esse nível sonoro é medido em decibéis (db) pelo quociente entre as intensidades i e i 0, conforme a fórmula N=0 log ( i i 0), onde i 0 é a menor intensidade do som detectável pelo ouvido humano e vale 0 W / m. O Plano Diretor Urbano de Vitória estabelece em 50 db o limite máximo do nível sonoro para as zonas de uso residencial. Isso equivale a uma intensidade sonora de a) 0-3 W/m² b) 0-5 W/m² c) 0-7 W/m² d) 0-9 W/m² e) 0- W/m² 0) (CEFETES 006) O crescimento da população de uma cidade, ao fim de certo tempo, é dado pela fórmula P=P 0 (+t) n, em que P representa a população, P 0 a população inicial, t a taxa de crescimento da população ao ano, e n o número de anos. Suponha que, em janeiro de 000, a

14 população era de habitantes e a cada ano a população crescia % em relação à população do ano anterior. Com esses dados, a população, em 003, será aproximadamente: a) habitantes. b) 5 00 habitantes. c) habitantes. d) habitantes. e) habitantes. RESPOSTAS * C 3 D 4 D 5 D 6 * 7 * 8 * 9 * 0 * * C 3 A 4 B 5 C 6 * 7 A 8 D 9 C 0 A. a) x= ou x=- b) x= ou x=3 c) x=3 ou x=4 d) x=3 e) x=-3 ou x= ,5 8. log5+3logx+logy 9. a) 7/3 b) 5/4 c) 3/8 d) 3 e) 4/7 f) /7 0. x=. log 5 7 (Dá um resultado maior que, enquanto o outro logaritmo não) 6. a) b) 0 3