CAMPUS PATO BRANCO CURSO DE MATEMÁTICA PARA ALUNOS INGRESSANTES. Projeto Institucional da Área de Matemática do campus Pato Branco

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1 CAMPUS PATO BRANCO CURSO DE MATEMÁTICA PARA ALUNOS INGRESSANTES Projeto Institucional da Área de Matemática do campus Pato Branco Pato Branco - PR, 2011

2 Sumário 1 Números Naturais Números Naturais Múltiplos Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) Divisores Máximo Divisor Comum (M.D.C) Frações Operações com frações Outras operações com frações Decimais Potenciação e Radiciação 16.1 Potenciação Exercícios para Fixação! Radiciação e suas propriedades Propriedades da Radiciação Expressões numéricas Ordem das Operações Equação do primeiro grau Expressões Algébricas e Polinômios Expressões Algébricas Operações com Monômios Polinômios Operações com Polinômios Operações com polinômios II Decomposição de Polinômios Frações Polinomiais Exponencial e Logaritmo Equações exponenciais Inequações exponenciais Logaritmos Propriedades dos logaritmos

3 7 Trigonometria Introdução à trigonometria Razões trigonométricas no triângulo retângulo Ângulos Notáveis: 0 o, 45 o e 60 o Cálculo do seno, cosseno e tangente de 0 o e 60 o Cálculo do seno, cosseno e tangente de 45 o Exercícios Arcos, ângulos e o círculo trigonométrico Arcos e ângulos Estudo do Círculo Trigonométrico Expressão Geral Circulo Trigonométrico Identidades Trigonométricas Identidades Trigonométricas Respostas dos Exercícios Respostas dos Exercícios do Capítulo Respostas dos Exercícios do Capítulo Respostas dos Exercícios do Capitulo Respostas dos Exercícios do Capítulo Respostas dos Exercícios do Capítulo Respostas dos Exercícios do Capítulo Respostas dos Exercícios do Capítulo Respostas dos Exercícios do Capítulo Referências 76

4 Capítulo 1 Números Naturais 1.1 Números Naturais O sistema de numeração mais usados em nossos dias é o indo-arábico, que tem base decimal e é de caráter posicional, ou seja, o valor de cada algarismo é definido em função da posição que ele ocupa na expressão do número. N = {0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8,...}. Exemplo 1 Escreva o conjunto dos números naturais menores que 12: Solução: A = {0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Nota: N = {1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8,...} FAZENDO VOCÊ APRENDE 1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos: (a) O conjunto dos números naturais que são ímpares. (b) O conjunto dos números naturais que são pares. (c) O conjunto dos números ímpares e menores que 12. (d) O conjunto dos números ímpares menores ou iguais a 11. 2) Escreva em extensão, ou seja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por uma propriedade: (a) A = {n N n < 1} (b) B = {n N n 11} (c) C = {n N n > 2 e n < 10} (d) D = {n N 2 < n < 10} (e) E = {n N n 2 e n 10} (f) F = {n N 2 n 10} ) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N: (a) A = {1, 2,, 4, 5} (c) C = {2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (b) B = {0, 2, 4, 6, 8} (d) D = {, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4

5 5 (e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10,..., n,...} (f) F = {1, 2,, 4, 5,..., n,...} 4) ) Represente em extensão os conjuntos: (a) A = {2n n N} (b) B = {2n N n > 0 e n < 5} (c) C = {2n N 0 < n < 5} (d) D = {2n N 0 n 5} 5) Represente na reta numérica os seguintes subconjuntos dos números naturais: (a) A = {0, 1, 2, } (b) B = {0, 2, 4, 6, 8} (c) C = {, 4, 7, 10} (d) D = {n N n < 10} (e) E = {n N n < 12} (f) F = {N N n > 2 e n < 9} É LÓGICO! Num certo planeta, os dias têm 17 horas e 17 minutos. Lá costuma se praticar o zists. As partidas de zists começam sempre às 1h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam? 1.2 Múltiplos Definição 1 : Chamam-se múltiplos de um número ao produto desse número por um número natural qualquer. O conjunto dos múltiplos de um número natural não nulo é infinito e podemos conseguí-lo multiplicando-se o número dado por todos os números naturais. Exemplo 2 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25,...} Observação 1 O número zero (0) é múltiplo de qualquer número. FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Determine e indique os conjuntos em N: 1. M(1) 2. M(2). M(6) 4. M(10) 5. M(12) 6. M(50) 2) Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo. (a) O número zero é múltiplo de qualquer número natural. (b) O maior múltiplo de um número é o próprio número. (c) O conjunto dos múltiplos de um número é infinito. (d) Todo número natural é múltiplo de si mesmo. (e) O número um só é múltiplo dele mesmo.

6 6 ) Quais são os múltiplos de 12 menores do que 50? 4) Quais são os múltiplos de 1 compreendidos entre 15 e 40? 5) Qual é o menor múltiplo de um número natural? 6) Qual é o nome que se dá ao conjunto dos múltiplos de 2? 7) Considere n {1, 2, }. Sabendo que a = 2n e b = n, escreva os múltiplos comuns de a e b menores que 50. 8) Escreva o conjunto dos números naturais que são múltiplos de e também, de 6. 9) Escreva o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 4 e também, de 5. 10) Escreva o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 5 e também, de 6. É LÓGICO! Na pirâmide abaixo, tem-se que o número de cada tijolo é a soma dos números dos dois tijolos vizinhos, do andar de baixo. 1. Usando x, como se indica o número do tijolo escuro? 2. Usando x, como se indica o número do tijolo hachurado?. Qual é o valor de x? 4. Determine o valor de cada tijolo da pirâmide. Resp: x = Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) Definição 2 Tendo-se dois ou mais números naturais não nulos, o m.m.c. deles é o menor número não nulo que seja múltiplo de todos eles.

7 7 Exemplo Obter m.m.c de 28 e 6. Observação 2 Decompor um número composto em fatores primos significa expressar este número como produto de outros que sejam primos. Definição Números Primos são aqueles que são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo. Definição 4 Números Compostos são aqueles que podem ser escritos através do produto de números primos elevados a uma potência. Observação Os números 0 e 1 não são nem primos, nem compostos. FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Determine o m.m.c. entre os números: e ,12 e ,15 e , 18, 0 e ,, 5,7 e 10 2) O Sr. Joaquim toma um comprimido de 5 em 5 horas e um xarope de em horas. Se à meia-noite ele tomou os dois remédios, a que horas ele voltará a tomar os dois remédios juntos? ) Do porto de Santos, partem navios argentinos de 16 em 16 dias e navios uruguaios de 40 em 40 dias. Se, num certo dia, saíram navios das duas nações, quantos dias demorará para ocorrer uma nova partida conjunta? 4) Em uma pista circular dois ciclistas partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O primeiro completa cada volta em 24 minutos e o segundo em 18 minutos. Após quantos minutos da partida os dois vão estar juntos outra vez? 5) Numa estação rodoviária, os ônibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B de 8 em 8 horas. Numa ocasião, um ônibus para a cidade A partiu junto com o outro para a cidade B. Quanto tempo depois isso acontecerá de novo? 6) Um país tem eleições para presidente de 5 em 5 anos, e para governadores de 4 em 4 anos. Em 1988, essas duas eleições coincidiram. Dê os anos das três próximas vezes em que elas voltarão a coincidir. É LÓGICO! Um poço tem 10 metros de profundidade. Uma lesma que esta no fundo do poço sobe quatro metros durante o dia, e durante a noite, enquanto dorme, escorrega, para baixo, três metros. Em quantos dias sairá do poço?

8 8 1.4 Divisores Definição 5 Sendo a e b dois números inteiros, com a 0, dizemos que a é divisor de b quando b é divisível por a. Exemplo 4 1) Determine os divisores de 14. Solução: D(14)={1, 2, 7, 14} FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Escreva os números naturais que: 1. São divisores de São divisores de 0, mas não de São divisores de 0.. São divisores de 12, mas não de São divisores comuns de 12 e 0. 2) Quais são os divisores de um número primo p? ) O conjunto dos divisores de 10 é indicado por D(10) e os divisores de 24 por D(4). Apresente os conjuntos: 1. D(10) 2. D(24). D(10) D(24) 4. D(10) D(24) 4) A tia Rosa da cantina comprou 200 balas para serem vendidas em pacotes que contenham mais de balas e menos de 7 balas. Todos os pacotes devem ter o mesmo número de balas e não deve sobrar nenhuma das 200 balas. Quais são as diferentes maneiras que tia Rosa encontrou para fazer os pacotes? 5) O professor Elder, de artes, quer dividir a classe em grupos que tenha no mínimo alunos e no máximo 6. Sabendo-se que a classe tem 6 alunos e que todos os grupos devem ter o mesmo número de alunos, quais são as maneiras possíveis de o professor Elder formar os grupos? 6) Um torneio de futebol de salão vai reunir 24 equipes. O organizador quer formar grupos que tenham o mesmo número de equipes, com no mínimo 2 e no máximo 8 equipes. Quais são as maneiras possíveis de formar estes grupos? 7) Encontre todas as maneiras possíveis para ampliar 20 caixas de refrigerante em pilhas iguais, de modo que cada pilha tenha no mínimo 2 e no máximo 10 caixas. 8) Disse um matemático: O produto das idades de meus dois filhos é igual a 18 anos. Quais são as possíveis idades (em anos) dos filhos deste matemático? É LÓGICO! Usando 2 quadrinhos, de 1 cm de lado, quero formar retângulos como o da figura abaixo:

9 9 Agora, responda: (a) É possível formar outros retângulos usando todos os quadrinhos? (b) Quais as medidas dos lados desses retângulos? 1.5 Máximo Divisor Comum (M.D.C) Definição 6 Tendo-se dois ou mais números naturais não nulos, o m.d.c. natural divisor de todos eles. deles é o maior número Exemplo 5 Determine o m.d.c de 12 e 16. MDC(12)= {12} MDC(16)= {16} Observação 4 O m.d.c. é o produto dos fatores comuns com o menor expoente: m.d.c.{12, 16} = 2 2 = 4. Exemplo 6 Determinar o mdc entre 20 e 9. D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e D(9) = {1,, 9} Assim, mdc{20, 9} = 1 Atenção: Dois números são primos entre si, se o m.d.c. entre os dois for 1. FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Obtenha: 1. o m.d.c. (27, 6) 2. o m.d.c. (45, 75). o m.d.c. (20, 26) 4. o m.d.c. (16, 21) 2) Um professor dá aulas numa 7 a série, de 0 alunos, e numa 8 a série, de 18 alunos. Em cada sala, ele formou grupos, e todos os grupos (tanto na 7 a como na 8 a ) tinham o mesmo número de alunos. Qual é o maior número de alunos que cada grupo pode ter? ) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois números naturais não nulos, quando um deles é divisor do outro? 4) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois números primos diferentes? 5) Na escola de Laura, a 5 a série A tem 6 alunos e a 5 a série B tem 42. Para participar de uma exposição de artes, cada classe formará equipes. Todas as equipes devem ter o mesmo número de alunos. Sabendo que todos os alunos devem participar dessa exposição, responda:

10 10 (a) Qual o número máximo de alunos por equipe? (b) Quantas serão as equipes da 5 a série A? E da 5 a série B? 6) Para confecção de uma tela, dois rolos de arame de 50 cm e 140 cm vão ser divididos em pedaços da mesma medida e a maior possível (sem sobras). Qual o número de pedaços que serão obtidos de cada rolo? 7) Para montagem de uma estante, três pedaços de madeira (caibros) medindo 240 cm, 20 cm e 400 cm devem ser divididos em pedaços iguais de maior medida possível (sem sobras). Qual o número total de pedaços que serão obtidos? 8) A gerente de uma loja de tecidos quer dividir três peças de fazenda em partes iguais e de maior tamanho possível. Sabendo que essas peças medem 180 m, 216 m e 288 m, determine o número de partes em que será dividida cada peça e o comprimento dessas partes. É LÓGICO! Quantos quadrados há na figura?

11 Capítulo 2 Frações 2.1 Operações com frações Adição e Subtração Exemplo 7 (a) = = = (b) = = = 1 40 FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Efetue as adições e se possível, simplifique os resultados: (a) (b) (c) (d) ) Calcule as adições e expresse os resultados na forma de fração irredutível: (a) (b) (c) (d) ) Efetue as adições: (a) ( ) + 4 (b) 10 + ( ) (c) ( ) (d) ( ) (e) ) Transforme os números mistos em frações impróprias e efetue as adições: (a) = = = = (b) (c) (d)

12 12 5) Calcule as diferenças: (a) (b) (c) (d) (e) ( ) 5 18 (f) ( 7 2 2) ( 7 8 ) 6) Calcule: (a) 20 5 ( ) (b) ( ) 1 2 (c)considerando os resultados obtidos em a e b, responda: (1) O que você observa neles? (2) A subtração de números fracionários é associativa? (Pesquise o que é uma operação associativa). 7) Transforme os números mistos em frações impróprias e efetue as subtrações: (a) = = = = (d) (e) (b) (f) 1 4 (c) (g) ) No sítio de Lucas, 1 da plantação é de milho, 1 4 correspondente à plantação de soja? é de arroz e o restante é de soja. Qual é a fração 9) Rui, Noé e Isa ganharam uma caixa de bombons Quero-Quero. Rui comeu 1 6, Noé comeu 1 10 e Isa comeu 1 5. Que fração sobrou dos bombons? 1 10) Uma praça retangular tem lados medindo 100 m e 60 m. da praça é reservado para a área de recreação infantil, 1 4 é constituído de calçadas e o restante é gramado. Qual a área, em m2, reservada para o gramado? 11) Uma piscina é um bloco retangular de arestas medindo 25 m, 12 m e 1,5 m. Se apenas um terço da piscina contém água, quantos litros faltam para encher completamente essa piscina? 12) Fábio tem uma barraca de feira onde vende frutas. Das trinta caixas de laranjas que comprou, um meio estavam verdes. Das caixas restantes 1 15 estavam estragadas e as demais estavam maduras. Quantas caixas de laranjas maduras Fábio comprou? É LÓGICO! Um grupo de seis alunos pediu ao professor que elaborasse mais uma prova para a classe. O professor disse: - Vocês são apenas um quinto da classe. Só darei outra prova se a metade da classe pedir. Vocês não sabem o trabalho que dá para corrigir... Quantos alunos precisarão se juntar ao grupo para que o professor dê a prova?

13 1 2.2 Outras operações com frações Multiplicação: Exemplo 8 (a) = = 5 24 (b) 5 2.( ) = 5 2.( 1 ) = 15 2 = 15 2 Divisão: Exemplo 9 (a) = = = 12 0 = 2 5 (b) 5 2 ( ) = 5 2 ( 1 ) = 5 6 FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Determine o produto e simplifique quanto puder: (a) (b) 4 1 (c) (d) (e) (f) (g) (h) 4 5 (i) ) Calcule: (a) A metade de uma dezena (b) Um terço de uma dúzia (c) A metade da metade (d) A metade de um terço (e) A metade de um quarto (f) A terça parte de uma dúzia e meia ) Determine os quocientes e simplifique se puder: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) ) Transforme os números mistos em frações impróprias e efetue as divisões: (a) (c) (b) (d) ) Um aluno acertou 4 5 de uma prova de 10 questões. Quantas questões ele errou? 6) Um guardanapo de papel é quadrangular e tem lados medindo 1 5 de papel correspondem a 100 guardanapos? m. Quantos metros quadrados 7) Um ladrilho é quadrangular e tem lados medindo 1 4 m. Para fazer o piso de uma sala retangular de lados medindo 10 m e 12 m, quantos ladrilhos iguais a esse serão necessários?

14 14 8) O piso de um salão, que é quadrado, vai ser coberto por 400 placas de borracha. Essas placas são quadradas e seus lados medem 2 5 m. (a) Qual é a área em m 2, de salão? (b) Qual o perímetro, em m, desse salão? 1 9) Uma empresa de transporte coletivo vai muito mal: 20 dos seus ônibus estão quebrados. Isso corresponde a 520 ônibus quebrados. Quantos ônibus têm essa empresa? 10) Para evitar problema com a coluna, as crianças não devem carregar mais de 1 10 do próprio peso. Adultos podem carregar até 1 5 do próprio peso. Sabendo disso, um adulto e uma criança fizeram seus cálculos: ele pode carregar até 14 kg e a criança até 4. Quantos quilogramas tem esse adulto e essa criança? 11) Eu tenho 5 da quantia que você tem. (a) Se você tiver R$1.800, 00, quanto eu terei? (b) Se eu tiver R$1.800, 00, quanto você terá? 12) Uma estrada de 08 km acaba de ser inaugurada. Só que é a terceira vez que isso acontece. Na primeira vez, apenas 2 7 da estrada estavam asfaltadas; na segunda, mais 1 4 da estrada, e desta vez, mais Quantos quilômetros da estrada estão sem asfalto? É LÓGICO! Dona Ester foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos com este bilhete. Dividam igualmente o dinheiro. Beijos. O primeiro filho chegou, pegou 1 do dinheiro e saiu. O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro, pegou 1 do dinheiro que tinha pela frente e saiu. O terceiro encontrou 8 notas de R$1, 00. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. a) Que fração de dinheiro deixado pela mãe o segundo filho pegou? b) Que fração do dinheiro deixado pela mãe sobrou, quando o segundo filho saiu? c) Quantos reais dona Ester deixou? d) Devido ao engano do segundo filho, alguém saiu beneficiado? E prejudicado? Quem? 2. Decimais Definição 7 As frações com denominadores 10, 100, 1000, (potências de 10) são frações decimais. 5 Exemplo 10 (a) 10 = 0, 5 (b) = 0, 1 (c) = 0, 045 FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Coloque na forma decimal as seguintes frações: (a) 2 (b) (c) (d)

15 15 2) Substitua por = ou : 1 (a) 10 0, 1 (b) , 01 (c) 0, (d) 0, 7 0, 700 (e) 21 21, 0 (f) 0, 701 0, 71 ) Escreva o número decimal correspondente a cada uma das funções decimais: (a) 10 (b) 100 (c) 1000 (d) 100 (e) 1000 (f) (g) (h) ) Transforme em fração decimal: (a) 0, 5 (b) 1, (c) 0, 08 (d) 0, 212 (e) 8, 71 (f) 0, 485 (g) 5, 278 (h) 9, 164 5) Expresse o números na forma de fração irredutível: (a) 0, 60 (b) 0, 225 (c) 0, 155 (d) 0, 45 (e) 0, 006 (f) 0, 422 (g) 0, 425 (h) 5, 008 É LÓGICO! Responda: (1) Qual é o menor número decimal que somado a 6,02 resulta em um número natural? (2) Qual é o menor numero decimal que subtraído de 6,02 resulta em numero natural? () Qual é o menor numero decimal, não nulo, que somado a ele mesmo resulta em um número natural?

16 Capítulo Potenciação e Radiciação.1 Potenciação Definição 8 Potenciação é a operação em que determinamos o produto de fatores iguais: Exemplo = = 256 (1) Multiplicação: a m.a n = a m+n (2) Divisão: a m a n = a m n () Potenciação: (a m ) n = a m.n (4) Radiciação: a n m = m a n (5) Potência de um produto: (a.b) n = a n.b n a n = a.a.a...a } {{ } nfatores Propriedades da Potenciação (6) Potência de um quociente: ( a b )n = an b n, com b 0 (7) Potência com expoente inteiro negativo: a n = 1 a n, com a 0 (8) a 1 = a, a 0 (9) a 0 = 1, a 0 FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Reduza a uma só potência: (a) (b) (c) (d) ) Dê o resultado na forma de potência: (a) (b) (c) (d) 8 9 (8.8 6 ) ) Reduza a uma só potência: 16

17 17 (a) ( 4 ) 2 (b) (4 ) 5 (c) (7 ) (d) (6 2 ) 5 6 (e) [(10 2 ).(10 ) 4 ] (10 6 ) (f) [7 10 (7 8 ) 2 ].(7 5 ) 2 4) Aplique a propriedade de potência de um produto: (a) (.a) 2 (b) (4.a) 5 (c) (x.y) (d) (2.x.y) 7 5) Use as propriedades da potenciação para transformar cada expressão em uma só potência: (a) ( ) ( 21 ) (b) ( 8 )2 ( 8 ) (c) ( 17 5 ) 2 ( 17 5 ) (d) ( 7 9 )5 ( 7 9 )2 (e) ( 21 4 ) 2 ( 21 4 ) 5 (f) [( )2 ] (g) [( 5 4 ) 2 ] (h) (0, 0) 7 (0, 0) 4 (i ) [(0, 0) 5 ] 2 6) Resolva as potências abaixo, usando a propriedades 8 e 9: (a) 1 = (b) 0 = (c) (0, 5) 1 = (d) (0, 5) 0 = (e) (1/2) 1 = (f) (1/2) 0 = (g) 2 1 = (h) 2 0 = 7) Dê um exemplo de uma potência em que: (a) A base e o expoente são inteiros, mas a potência não é. (b) A base não é um número inteiro, mas o expoente e a potência são. É LÓGICO! Represente as expressões com uma só potência de base 2: 1 1 (a) 16 0, (b) ((0, 5) 2 ) [( 1 16 ) ] 4 Outros Exemplos: 1) Calcule as expressões seguintes (sem usar sua calculadora). (a) 9 1/2 (b) 27 2/ (c) 8 1/ (d) ( ) /2 (e) Exercícios para Fixação! 1) Usando as propriedades elencadas anteriormente, calcule as seguintes expressões: (a) 16 1/2 (c) (e) ( 4 ) 2 (b) 4 1/2 (d) 25 2 (f) (5.6) 2

18 18 (g) ( ) (h) ( 1, 2) 2 (i) (5) 4 (j) (π) 1 4 (l) ) Calcule o valor das potências: (a) ( 5) 1 (b) ( 1 ) (c) (0, 4) 1 (d) 10 2 (e) (0, 01) 2 (f) ( ) 1 (g) ( 2 ) 1 (h) ( 8 ) 2 (i) ( ) 2 (j) ( 2 ) 4 (l) [( 9 4 ) 2 ] ) Escreva na forma de potência: (a) 7 (c) 5 2 (e) 1 ( 2) (b) 4 2 (d) 1 4 (f) 1 ( 2 )5 4) Escreva na forma de radical: (a) (b) (c) (a b) 1 4 (d) (m 2.n) 1 5 (e) m 4 5) Fatore os radicandos e escreva na forma de potência com expoente fracionário: (a) 2 (c) 4 27 (e) (b) 25 (d) 7 8 (f) Radiciação e suas propriedades n a = b b n = a, n 2 Onde: n Índice. b Raiz. Sinal radical. a Radicando..2.1 Propriedades da Radiciação 1. a 2 = a 2. n a b = n a n b, com n par, a 0 e b 0.. n a b = n a n b, com n par, a 0 e b 0.

19 n am = ( n a) m,n 1 n an = a, com n > 1 n am = n p a m p n m a= n m a n am = a m n RACIONALIZAÇÃO: Exemplo 12 (a) a = a b. = a b = a b = a b b b b b.b b 2 b (b) (c) (d) (e) a = a b b. b 2 = a b 2 b 2 = a b 2 b b 7 2 = 7 2 a + b = 2 = = a b. = 2 a 2 b a + b a b a b 2. = 2. = 6 = = + 2 FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Calcule o valor das expressões: (a) (c) 5 0, , , 027 (b) , 0001 (a) (b) (c) (d) 2) Simplifique os radicais: 7 x b x5.y 10 (e) 25a 4 x (f) (g) a 12 x 1 (h) 81 (i) (j) 52 (l) (m) 288.a 2 75.b 4 x 6.y 5 a 7 (n) x 2 + 6x + 9 = (o) y y + 25 ) Efetue as operações com radicais, simplificando o resultado sempre que possível:: (a) (b) (c) b a + 7 b 2 a a a a (d) 81 9 (e) (f) b.5 b. 4 1 b (g) ( 2a b 2b 2 a ) 2

20 20 (h) (a a 4 b) 4 (i) a 5 b b a (j) x y 4 x 2 y 4) Racionalize os denominadores das frações: (a) a 2 b (d) (b) a2 b ab (e) 2a 1 2a 1 (c) ab 5 ab c 4 (f) +

21 Capítulo 4 Expressões numéricas 4.1 Ordem das Operações Ordem das operações: (1) Potência e/ou raiz (2) Multiplicação e/ou divisão () Soma e/ou subtração (4) Considere-se as operações na ordem em que aparecem Exemplo 1 ( ) + [(2 ) 1 2 ] = ( ) + [ 2 2 ] = ( 1 ) + [ 2 2 ] = ( 9 1 ) + [1] = = FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Determine o valor das expressões: (a) ( 4 ) ( 2) 8 (b) 5 6 ( 4 ) 2 (c) 4 + ( 2 ) ( 5 ) 4 [( ) 8] (d) ( 7 8 ) 16 [ 5 2 ( 1 2 )] (e) ( 4, 7)(6, 8 9, 4) [18, ( 4, 5)] (f) 6 7 ( 5 4 ) ( 7 8 ) (g) ( 198, , 8 12, 00) 0, 006 (h) ( ) ( ) 7 15 [ 9 20 ( 5 2 ) 4 5 ] 2) Calcule o valor das expressões: 21

22 22 (a) ( 1 2 )2 ( 5 9 ) 1 + ( 2 )2 7 9 (b) [( 1 2 ) 2 4 ] 1 ( 5 ) 1 (c) [( 6 7 ) ( 8 21 ) (2 2 )] 25 (d) (e) (f) ) Resolva as expressões: (a) ( 1) (2 5) 10 (b) 10 4 ( ) ( 10 ) ( 15 4 ) (c) ( ) [ ( 1 9 )] (d) [( 2 )( 4 ) + ( 1 2 ) 1 ] 2 ( 15 8 ) 4 (e) ( 16) (f) ( 1 2 )2 4 (2) É LÓGICO! Uma escola tem 54 alunos. Um deles inventou uma fofoca sobre o diretor da escola e, em um minuto, contou a colegas. Pelo jeito, a fofoca era boa porque, no minuto seguinte, cada um desses contou a novidade a colegas que ainda não conheciam. Assim, cada um que recebia a notícia a transmitia a colegas desinformados, gastando, para isso, um minuto. a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no terceiro minuto? b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato nos três primeiros minutos? FALAR, PENSAR E FAZER MATAMÉTICA! Definição 9 (Módulo ou Valor absoluto de um número) O módulo ou valor absoluto de um número é o próprio número, se ele for positivo. Caso ele seja negativo, torna-se o sinal contrário, tornando-o positivo. { x = x se x 0 x se x < 0 Exemplo 14 (1) 5 = 5 (2) 5 = 5 ou seja, por definição: -(-5)=5. Observação 5 (Números Inteiros Opostos) Quando dois números inteiros têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários, dizemos que são opostos +a o oposto de a. Exemplo 15 (1) - é oposto de +. (2) +100 é o oposto de Observação 6 Ordenação dos números inteiros (Seja a > 0 e b > 0 1) +a > b 2) +a > +b + a > + b, ) a > b a < b, 4) a < 0 < +b.

23 2 4.2 Equação do primeiro grau Definição 10 Equação é uma sentença matemática, que contém uma ou mais letras com valores desco nhecidos (incógnitas), formada por duas expressões ligadas pelo sinal de igual. Equação do primeiro grau é uma equação do tipo ax + b = 0, onde a e b representam números reais com a 0 Exemplo 16 (1) x + 1 = 0 x = 1 x = 1 (2) 2x + = (x 1) 2x + = x 2x x + + = 0 x + 6 = 0 x = 6 Observação 7 Num dado universo U,dizemos que uma sentença que expressa uma igualdade é uma equação em U, quando e somente quando essa sentença determina um conjunto verdade V, que está contido em U. (V U). Exemplo 17 Se U = {1, 2, } e x + = 5 então V = {2}. FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Resolva as seguintes equações para U = Q: (a) 2x + = 19 (c) 2x 1 = 5 4 (e) x 4 = x (g) 4x+1 = 5(5x+2) 2 (b) 8x 4 = 60 (d) 7 5x = 1 2 (f) x = x (h) (x 2) 2 = 4(5 x) 2) Escreva uma equação para cada sentença: (a) O dobro de um número mais seu triplo é igual a 50. (b) A metade de um número mais sua terça parte é igual a 15. (c) A diferença entre um número e sua metade é 40. (d) A soma de dois números consecutivos é 11. (e) A diferença entre o triplo de um número e sua metade é 25. (f) A soma de duas idades é 20. O mais moço nasceu 4 anos depois do mais velho. (Use uma só variável) (g) A diferença entre duas idades é 20 anos. O mais velho tem triplo da cidade do mais moço. ) Determine o número que, somado aos seus /5, é igual a 24. 4) Determine o número tal que a diferença entre ele e os seus 2/ seja 8. 5) Um número, somado à sua quinta parte e à sua metade, é igual a 51. Qual é esse número? 6) A soma de dois números é 6 o quociente entre ambos é exato e vale 6. quais são esses números? 7) Na classe de Rosana, 49% dos alunos foram para a praia nos feriados, 25% para as montanhas e 14 alunos não saíram da cidade. Quantos alunos têm essa classe?

24 24 8) Numa fabrica trabalham, 52 pessoas entre homens, mulheres e menores. O número de homens é o dobro do de mulheres e este é o dobro do de menores. Quantos são os homens, as mulheres e os menores? 9) Um pai tem 46 anos e um filho tem 10. Daqui a quantos anos a idade do pai será o quádruplo da idade do filho? 10) A soma das idades de um pai e um filho é de 42 anos. Há três anos, a idade do pai era onze vezes a idade do filho. Determine as idades. 11) Repartir 6 figurinhas entre dois garotos de modo que um ganhe o dobro do outro. 12) Num estacionamento, há um total de 200 veículos, entre motos e carros. Se há 20 motos a mais que carros, quantas motos e quantos carros estão nesse estacionamento? É LÓGICO! Descubra os números do seguinte circuito:

25 Capítulo 5 Expressões Algébricas e Polinômios 5.1 Expressões Algébricas Definição 11 Expressões que apresentam uma ou mais variáveis e, ainda, as expressões que só têm números são chamadas expressões algébricas. Exemplo 18 x + 2xy. Definição 12 Monômios, são expressões algébricas que apresentam apenas um número, apenas uma variável ou multiplicações entre números e variáveis. Exemplo 19 (a) 5x 2 y (b) 2x (c) x (d) 12 Observação 8 (Monômios Semelhantes) São aqueles que tem a mesma parte literal semelhantes. Exemplo 20 (a) 7x y 2 e 5x y 2 (b) 6x e x FAZENDO VOCÊ APRENDE! (1) Escreva estas sentenças, utilizando variáveis. (a) Todo número real multiplicado por um resulta no próprio número real. (b) Todo valor real somado com ele mesmo resulta em duas vezes o seu valor. (c) Numa multiplicação de dois números reais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto. (d) Todo número real somado com seu oposto dá zero. (2) Tenho 5,00 e minha irmã tem x (ela nunca me diz quanto tem!). (a) Responda com uma expressão algébrica: ganhando 16,00, com quanto minha irmã ficará? 25

26 26 (b) Qual é o valor numérico dessa expressão quando é igual a 59? () Houve um tempo em que os táxis cobravam 4,00 pela bandeirada, mais 1,40 por km rodado. (a) Responda com uma expressão algébrica: quantos reais eram pagos num percurso de quilômetros? (b) Qual é o valor dessa expressão quando vale 10? (4) Escreva estas sentenças, utilizando variáveis: (a) Todo número real multiplicado por ele mesmo resulta no quadrado desse número. (b) Numa adição de dois números reais quaisquer, a ordem das parcelas não altera a soma. (5) Considere estas adições: Observe: na 1 a adição as parcelas valem 1 e o número de parcelas é 2. Na 2 a adição as parcelas valem dois e número de parcela é, e assim por diante. (a) A terceira adição dá 12. Quanto dá a 0 a adição? (b) Qual é o resultado da enésima adição? Para responder, use a variável. (6) Escreva a parte literal de cada monômio. (a) 5x 5 y 5 (b) 2x (c) x 4 y 2 (d) 4, 2y (7) Escreva os coeficientes dos monômios: (a) 7ax 6 (b) ax 4 (c) 1 2 x2 y (d) 1ay Operações com Monômios (1) Adição e Subtração: Considerando 7x y 2 + 5x y 2, para somá-los, pode-se pensar assim: temos 7 monômios x y 2 mais 5 desses monômios, logo, temos 7+5, ou seja, 12 monômios x y 2. Portanto: 7x y 2 +5x y 2 = 12x y 2. Quando falamos em adição algébrica de monômios, podemos estar nos referindo tanto a uma adição de monômios, quanto a uma subtração.

27 27 (2) Multiplicação: Acompanhe a multiplicação do monômio x 4 pelo monômio x : Exemplo 21 (6x 2 y ).(5x 4 y 4 z) = 6.5.x 2.x 4.y.y 4.z = 0x 6 y 7 z Observação 9 Essa propriedade é a base qualquer da multiplicação de monômios. () Divisão: Acompanhe a divisão do monômio x 5 pelo monômio x : Exemplo 22 Exemplo 2 x 5 x = x.x.x.x.x = x 2 x.x.x 12x 5 y z 4 x y 2 z = 12.x5 x.y y 2.z4 z = 4x2 yz (4) Potenciação: Exemplo 24 (2x y 4 ) = (2x y 4 ).(2x y 4 ).(2x y 4 ) = x.x.x.y 4.y 4.y 4 = 8x 9 y 12 Exemplo 25 ( 2x y) 4 = ( 2x y).( 2x y).( 2x y).( 2x y) = ( 2).( 2).( 2).( 2).x.x.x.x.y.y.y.y = 16x 12 y 4 FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1)Efetue as adições e subtrações: (a) 5x x 2 (b) 8xy 2 8xy 2 (c) 2xy 5 z 2xy 5 z (d) 2x 1 2 x (e) 12x 2 y 8x 2 y x 2 y + x 2 (f) y 12y + x 2 18y + x 2 (g) 5x 2 y x2 y x2 y 2 (h) 2y 2 4 y2 + y 2 10 y2 (i) 7x y + 8x y 15x y 2) Efetue as multiplicações e divisões: (a) 2y 2.y (c) x 2.(xy) (e) ( 2x 2 ).( 4y 2 ).( 5x y 4 ) (b) 5y.( 8y 2 ) (d) (x 2 z 2 ).( 2xy).(6z 2 ) (f) ( 2 5 x2 y 2 ).( 7 x y )

28 28 (g) (4a 2 b ) 2 (h) (xy 2 z ) 8 (i) x y x 2 y 2 (j) 6a4 x 5 9a x 2 (l) 8a5 y 6 40ay (m) 25a x 2 y 4 5x 2 (n) 2 5 a5 b a2 b (o) (2x y) 4 (5x 6 y 2 ) 2 (p) ( 2 x2 y 2 ).( 4 xy ) 2 (q) x 2.x 4 + x.x 5 + x.x 2x 5.x (r) x2 y 7x 2 y+x 2 y x 2 ) Indique com um monômio: (a) A área do retângulo I (b) A área do retângulo II (c) A área do quadrado III (d) A área total da figura. 4) Escreva o monômio que: (a) Subtraído x 5 y dá 2x 5 y (b) Subtraído de 6y dá 10y (c) Somado com 12x y 8 resulta zero (d) Somado com 4xy dá 4xy. 5) Calcule o valor numérico das expressões algébricas a seguir, para x = 2 e y = 1. Mas, antes, efetue as adições dos monômios semelhantes. (a) 2xy 18xy + 17xy 216xy (b) 2x 5 y + x 5 y + 5x 5 y (c) x2 y 4 + x2 y 2 + x2 y 4 (d) 7x 9y 9x + 8y 6) Na figura a seguir, a parte hachurada é formada por quatro retângulos. As medidas estão em centímetros. Determine:

29 29 (a) A área da figura hachurada pode ser obtida como uma adição de monômios. Efetue essa adição. (b) Calcule a área da figura hachurada nestes dois casos: quando x = 0, 5 e quando x = 2. (c) Para que valor de x a figura hachurada tem uma área de 82cm Polinômios Definição 1 Um polinômio na variável x é toda expressão P(x) que pode ser reduzida a forma P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x 1 + a 0 Em que a i C e n N Sendo: (1) a n x n, a n 1 x n 1, a n 2 x n 2, a 1 x 1, a 0, são os termos ou monômios do polinômio, sendo a 0, denominado termo independente da variável x; (2) a n, a n 1, a n 2, a 1, a 0, são os coeficientes do polinômio. () O grau de um Polinômio não nulo é o maior expoente da variável, dentre os termos de coeficientes não nulos. (4) Ao atribuir um valor complexo a variável x, o resultado da expressão obtida é chamado de valor numérico do polinômio para a x = α. Indica-se esse valor numérico como P (α) (5) O grau de um polinômio indica a o número de raizes que existem como solução da expressão. Sendo que, chama-se de raiz do polinômio P(x) todo número complexo tal que P (α) = 0 (6) Polinômios Idênticos: dizemos que os polinômios p e q são idênticos quando possuem os coeficientes correspondentes iguais, ou seja, sejam p(x) = a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q(x) = b n x n + + b 2 x 2 + b 1 x 1 + b 0. Assim, p = q a i = b i, para todo i {0, 1,, n}. Exemplo 26 A expressão 5x 4 x + 2x 2 4x + 7 é um polinômio de grau 4.

30 0 (1) 5,, 2, 4 e 7 são seus coeficientes; (2) x é sua variável; () 5x 4, x, 2x 2, 4x, 7 são seus termos ou monômios. (4) 7 é seu termo independente. FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Quais das expressões representam um polinômio na variável x? (a) x 5 + x + 2 (b) 0x 4 + 0x 2 (c) (d) x x 2 (e) ( x) 4 + x + 2 (f) x x + x 2 (g) x 15 (h) x + 2 (i) x 2 + 2x + (j) 1 x 4 + x (k) x + x + x 6 + x 4 (l) (x 2 5x + )(7x + 2) nula. 2) Determine a, b, c de modo que a função f(x) = (a+b 5)x 2 +(b+c 7)x+(a+c) seja identicamente Operações com Polinômios (1) Adição e Subtração : Ambas consistem no agrupamento de monômios semelhantes, usando a propriedade distributiva. Veja: Exemplo 27 (a) (2x x 2 + 4x 1) + (x + 2x 2 5x + ) (b) (4x 2 + x 4) (2x + x 2 x + 2) Solução: (a) (2x + x ) + ( x 2 + 2x 2 ) + (4x + ( )5x) + ( 1 + )= x x 2 x + 2 (b) (0 22x ) + (4x 2 + x 2 ) + (x ( x)) + ( 4 2)= 2x + x 2 + 4x 6 (2) Multiplicação: Usando-se a propriedade distributiva, expandimos o produto de dois ou mais polinômios ou monômios. Veja: (x + 2)(4x + 5) = x(4x 5) + 2(4x 5) = (x)(4x) (x)(5) + (2)(4x) (2)(5) = 12x 2 15x + 8x 10 = 12x 2 7x 10

31 1 FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Dados os polinômios: f(x) = 7 2x + 4x 2 Calcule (f + g)(x), (g h)(x) e (h f)(x). g(x) = 5 + x + x 2 + 5x h(x) = 2 x + x 4 2) Sendo dados os polinômios: f = 2x 2, g = 2x 2 + x 4, h = x 2 + 2x 4 x 6 e k = x 6 2x 4 + 4x 2, obtenha os números reais a, b, c de modo que se tenha k = af + bg + ch. ) Determine a, b c de modo que se verifique cada identidade: 1. a(x 2 1) + bx + c = 0 2. a(x 2 + x) + (b + c)x + c = x 2 + 4x Operações com polinômios II Divisão: Pode-se efetuar a divisão de polinômios se utilizando de 2 diferentes métodos: BRIOT-RUFFINI (Dispositivo Prático):Utilizado quando o divisor for um polinômio do 1 grau da forma x-a ou x+a. Este processo opera apenas com os coeficientes e a raiz dada pelo polinômio de grau 1. Escrevemos os coeficientes do polinômio em questão na parte superior de uma linha traçada, sem esquecer os termos nulos(grau zero) apartir do grau do polinômio e também o termo independente da equação. Exemplo 28 P (x) = x 5 2x 4 + x dividido por D(x)=x-2

32 2 Obtendo-se então: Q(x) = x 4 + 4x + 8x x + 8 e R(x) = 77. MÉTODO DAS CHAVES: Se o divisor não for um polinômio de grau 1, pode-se utilizar esse método. Ao efetuar a divisão de dois polinômios, P (x) e D(x)( 0) encontraremos Q(x) e R(x), visto que: P (x) = D(x).Q(x) + R(x). Exemplo 29 Vejamos como obter o quociente e resto da divisão pelo método das chaves do polinômio P (x) = 2x 5 + 4x 4 + 4x + 9x 2 + x + 1 por D(x) = x Dividir o monômio de mais alto grau de P(x) pelo monômio de mais alto grau de D(x) 2 - Subtrair do dividendo o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo, obtendo o primeiro resto parcial. - Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais alto grau do D(x). 4 - Subtraimos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) o resultado obtido no terceiro passo, obtendo o segundo resto parcial. E assim sucessivamente, até obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma das condições: R < D ou R(x) 0

33 Temos então: Q(x) = 2x + 4x e R(x) = x 14 Há casos em que se deseja saber apenas o resto da divisão de um polinômio por outro do primeiro grau. Então utiliza-se o TEOREMA DO RESTO: Teorema 1 (Resto) O resto da divisão de um polinômio P (z) pelo polinômio ax + b numérico de P (x) para x = b (raiz de ax + b) a (a 0) é o valor R = P ( b a ) Observação 10 Existe uma consequência imediata do Teorema do Resto conhecida como: Teorema 2 (D Alembert) Um polinômio P(x) é divisível por ax + b (a 0), se, e somente se, P ( b a ) = 0 Exemplo 0 2x + 2x 2 2x + 4 é divisível por 2x + 4? P ( 4 2 ) = P ( 2) P ( 2) = 2.( 2) + 2.( 2) 2 2.( 2) + 4 = 0 Ou seja, O polinômio em questão é divisível por 2x + 4 Observação 11 Divisibilidade pelo produto: Se um polinômio é divisível separadamente pelos binômios x a e x b, então P (x) é divisível pelo produto (x a).(x b). FAZENDO VOCÊ APRENDE! 1) Dados os polinômios: P(x)= x 4 + 2x + x 1, Q(x) = 5x 4 + x + 7, A(x) = 6x + 2x 2 x, B(x) = 4x 2 + 5x 1 e C(x) = 9x 2, calcule:

34 4 (a) P (x) + Q(x) (d) A(x) B(x) (g) C(x) 2 (b) P (x) Q(x) (e) 4A(x) (h) 2A(x) B(x) (c) A(x) + B(x) (f) B(x).C(x) (i) A(x).C(x) + B(x) 2) Efetue as operações, sendo P (x) = 5x 2 x + 2 e Q(x) = 4x 6 (a) P (x)= 15x 2 9x + 6 (b) P (x).q(x) = 20x 42x x 12 )Utilize os dois métodos citados para encontrar o quociente e confira o resultado do resto pelo teorema do resto. P (x) D(x) P (x) = x 2 + 6x 1; D(x) = x 1 4) Dividindo o polinômio P (x) = 6x + 4x 2 + 2x 1 pelo polinômio D(x), obtêm-se o quociente Q(x) = x + 2 e o resto R(x) = 11x + 5. Determine D(x). 5) Três polinômios, P (x), Q(x) e T (x), são tais que, P = 7, Q = 5, T = 5. Qual das afirmações seguintes pode ser falsa? (a) O grau do polinômio P (x) + Q(x) é 7. (b) O grau do polinômio P (x) Q(x) é 7. (c) O grau do polinômio P (x).q(x) é 12. (d) O grau do polinômio Q(x) + T (x) é 5. 6) Sendo x + 1 = (x + 1)(x 2 + ax + b), para todo x, com x C, quais são os valores de a e b? 7) Sejam os polinômios f = (x + 1) 2, g(x) = x 2 1 e h = x 4 2x + x 2 2x 1.O polinômio f.g h é igual a? 5. Decomposição de Polinômios Teorema Todo polinômio de grau n, com n 1, P (x) a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 0 pode ser fatorado sob a forma P (x) a n (x r 1 ).(x r 2 ).(x r )...(x r n ), em que r 1, r 2, r, r n, são todas as raízes de P(x). Exemplo 1 Para fatorar um polinômio, P (x) = x 20x 2 +2x+10, sabendo que uma de suas raizes é 5, ou seja, este polinômio é divisível por x 5 e P (x) (x 5)Q(x). Obtem-se o polinômio Q(x) por Briot-Ruffini. Desta forma reduzimos o grau da equação e podemos encontrar as outras 2 raizes. P (x) = (x 5)(x 2 5x 2) Fazendo, x 5 = 0 e x 2 5x 2 = 0, encontramos: x 1 = 5, x 2 = 2, x = 1, e pelo teorema da decomposição temos que: P (x) = (x 5)(x 2)(x + 1 ). Observação 12 (Multiplicidade de raiz:) Se uma raiz comparecer k vezes(com k > 1), esta é chamada de raiz de multiplicidade k da equação.

35 Frações Polinomiais Definição 14 Chama-se fração polinomial toda expressão do tipo P (x), em que P (x) e Q(x) são Q(x) polinômios complexos de variável complexa, com Q(x) 0. Exemplo 2 Dado a identidade: a x 1 + b x + 1 5x + 1 x 2 1. Encontre as constantes a e b Solução: a(x + 1) + b(x 1) (x 1)(x + 1) 5x + 1 x 2 1 (a + b)x + a b 5x + 1 e, portanto: { (I) a + b = 5 (II) a b = 1 Somando o membro (I) e (II), obtemos 2a = 6 a =. Substituindo a = em (I), obtemos: + b = 5 b = 2. Exemplo (Você vai utilizar em Cálculo I!!) Decomponha a fração abaixo em uma soma: x x 2 = Fração 1 + Fração 2 + x Passo) Decompor o denominador! Para isso encontra-se as raizes desse polinômio utilizan do-se de baskhara ou soma e produto (como preferir). Neste caso, as raizes são -1 e -2. Ou seja, x 2 + x + 2=(x+1)(x+2). 2 Passo) Igualar a fração polinomial a uma soma de frações, cujos numeradores a princípio são desconhecidos, e por isso representa-se por uma incógnita qualquer: x x 2 + x + 2 = A x B x + 1 Passo) Encontrar o MMC dessa soma, de tal modo que torne possível anular os denominadores da igualdade em questão. Obtemos assim a seguinte igualdade: x A(x + 1) + B(x + 2) x 2 = + x + 2 (x + 1)(x + 2) A(x + 1) + B(x + 2)= x 4 Passo) Igualar os termos semelhantes da igualdade e montar um sistema para poder descobrir o valor dos numeradores, ou seja, A e B. { Ax + Bx = 1 A + 2B = (...)

36 6 : Sabendo que A = 5 e B = 4, substituimos esses valores na igualdade montada inicialmente no passo x x 2 + x + 2 = 5 x x + 1. FAZENDO VOCÊ APRENDE! (1) Quais são as raizes da equação (x 2) (x 5)(x 4) 2 = 0 e que multiplicidade apresentam? (2) Determine as constantes a e b na identidade: a x + b x + x x 2 9 () Escreva as frações na forma de uma soma: (a) (b) 2x 1 x 2 + 5x + 6 5x + x 2 x + 2 (4) Decomponha P (x) como o produto de uma constante por polinômios de 1 grau, em cada um dos seguintes casos: (a) P (x) 4x 2 x (b) P (x) x 8x x (5) Sabendo que o polinômio P(x) x 4 25x + 59x 2 47x + 10 satisfaz a condição P(1)=P(2)=0, represente P(x) como o produto de uma constante por polinômios do primeiro grau. IMPORTANTE: Produtos Notáveis Exemplos (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (x + ) 2 = x 2 + 6x + 9 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (x ) 2 = x 2 6x + 9 (a + b)(a b) = a 2 b 2 (x + )(x ) = x 2 9 (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab (x + 2)(x + ) = x 2 + 5x + 6 (a + b) = a + a 2 b + ab 2 + b (x + 2) = x + 6x x + 8 a + b = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) x + 8 = (x + 2)(x 2 2x + 4) a b = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) x 8 = (x 2)(x 2 + 2x + 4) Observação 1 *Veja como o uso do parêntese muda totalmente o resultado!! Fatore os polinômios a seguir: (a) x + 2x 2 x 2 = (b) x 4 x + x 2 + x 2 = (c) x + 2x 2 x = (d) x + x 2 4x 12 =

37 7 (e) x + 6x x + 6 = Respostas: (a) (x 1)(x 2 + x + 2) (b) (x 1) 2 (x 2 x 2) ou (x 1) 2 (x 2)(x + 1) (c) (x 1)(x + )x (d) (x + )(x 2 4) ou (x + )(x + 2)(x 2) (e) (x + 2)(x 2 + 4x + ) ou (x + 2)(x + )(x + 1) Observação 14 Seja P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 um polinômio com coeficientes inteiros. Se α for um número inteiro e uma raíz de P (x), então α será um divisor do termo independente a 0.

38 Capítulo 6 Exponencial e Logaritmo 6.1 Equações exponenciais Definição 15 Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. Exemplo x = x 1 = 27. x+1 + x 2 = x 2 x = 8 Método da redução a uma base comum Este método, como o próprio nome já diz, será aplicado quando ambos os membros da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potências, forem redutíveis a potências de mesma base a (0 < a 1). O método da redução a uma base comum é baseado no seguinte resultado: Teorema 4 Seja a R tal que 0 < a 1. Então: a x = a y x = y. Demonstração: a x = a y ax a y = 1 ax y = 1 x y = 0 x = y FAZENDO VOCÊ APRENDE! Exemplo x = x 1 = x = x = 0, x+4 = 49 2x x2 2 = x 2 x = x + x = x x + 2 = 0 8

39 9 10. x + x x x = Inequações exponenciais Definição 16 Inequações exponenciais são as inequações com incógnita no expoente. Seguem alguns exemplos de inequações exponenciais: 1. 2 x > 2 ( ) x 1 2. < x 2 > 2 x Método da redução a uma base comum Este método será aplicado quando ambos os membros da inequação puderem ser representados como potências da mesma base a (0 < a 1). Faz-se uso do seguinte resultado: Teorema 5 Sejam x e y números reais. Então: se a > 1 tem-se a x > a y x > y; se 0 < a < 1 tem-se a x > a y x < y. Demonstração: Faremos a demonstração para o caso a > 1. O outro caso é análogo. a x > a y ax a y > 1 ax y > 1 x y > 0 x > y. Exemplo 6 Classifique em Verdadeiro ou Falso: 1. 2,7 > 1. π 2 > 1 2. (0, ) 0,2 > 1 4. ( ) 1,5 4 > 1 5 FAZENDO VOCÊ APRENDE! Exemplo 7 Resolva: 1. 2 x > 128. ( ) x 1 > x+ > x < 1 27

40 40 Observação 15 Não aprofundaremos o assunto, para função exponencial, mas deixamos aqui alguns lembretes sobre: Função exponencial é função R R definida por f(x) = a x, onde a R e 0 < a 1. Ou seja, a base dessa função sempre deverá ser positiva, e diferente de um. O domínio da função exponencial sempre abragerá todos os números reais. Já a imagem, todos os números reais positivos, exceto zero. Quando a base for maior que 1, sabemos que a função é crescente. Quando a base estiver entre 0 e 1, a função será decrescente. 6. Logaritmos Lembremos que no estudo de equações e inequações exponenciais, feito anteriormente, só tratamos dos casos em que podíamos reduzir as potências à mesma base. Se queremos resolver a equação 2 x =, por exemplo, sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 2 1 < 2 x = < 2 2, mas não sabemos qual é esse valor nem o processo para determiná-lo. A fim de que possamos resolver este e outros problemas, iniciamos o estudo de logaritmos. Definição 17 Sejam a e b dois números reais positivos, com a 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b, isto é, log a b = x a x = b Em log a b = x, dizemos: a é a base do logaritmo b é o logaritmando x é o logaritmo Exemplo 8 1. log 2 8 =, pois 2 = 8 2. log 1 9 = 2, pois 2 = 1 9. log 5 5 = 1, pois 5 1 = 5 4. log 7 1 = 0, pois 7 0 = 1 Exemplo 9 Resolva: 1. log log 0,25 2. log 0, log 2 2

41 41 Teorema 6 Sejam 0 < a 1 e b > 0. Então: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1. a log a b = b 4. log a b = log a c b = c Demonstração: Aplicação imediata da definição de logaritmo. FAZENDO VOCÊ APRENDE! Exemplo Se A = 5 log 5 2, determine o valor de A. 2. Determine o número cujo logaritmo na base a é 4 e na base a é 8. Notações: log 10 x é denotado simplesmente por log x (logaritmo decimal). log e x é denotado por ln x (logaritmo neperiano ou natural) Propriedades dos logaritmos Teorema 7 (Logaritmo do produto) Se 0 < a 1, b > 0 e c > 0, então log a b.c = log a b + log a c Demonstração: Fazendo log a b = x, log a c = y e log a b.c = z, provemos que z = x + y. De fato: log a b = x a x = b; log a c = y a y = c; log a b.c = z a z = bc. Assim, a z = bc a z = a x a y = a x+y z = x + y Teorema 8 (Logaritmo do quociente) Se 0 < a 1, b > 0 e c > 0, então ( ) b log a = log c a b log a c Teorema 9 (Logaritmo da potência) Se 0 < a 1, b > 0 e α R, então log a (b α ) = α(log a b) Corolário 1 Se 0 < a 1, b > 0 e n N, então log a n b = log a b 1 n = 1 n log a b

42 42 CUIDADO! log a (x ± y) log a x ± log a y FAZENDO VOCÊ APRENDE! Exemplo Se m = bc, determine log m. d2 2. Seja x = a, determine log x. bc. Se log 2 = 0, 01, calcule o valor da expressão log 20 + log 40 + log Determine a razão entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer. 5. Se log 2 (a b) = m e a + b = 8, determine log 2 (a 2 b 2 ). Teorema 10 (Mudança de base) Se a, b e c são números reais positivos e a e c são diferentes de 1, então Demonstração: log a b = log c b log c a Consideremos log a b = x, log c b = y e log c a = z e notemos que z 0, pois a 1. Provemos que x = y z. De fato: log a b = x a x = b; log c b = y c y = b; log c a = z c z = a. Assim, (c z ) x = a x = b = c y zx = y. Corolário 2 Se a e b são reais positivos e diferentes de 1, então Demonstração: log a b = 1 log b a Usando o teorema da mudança de base e observando que, por hipótese, b 1, temos: log a b = log b b log b a = 1 log b a.

43 4 FAZENDO VOCÊ APRENDE! Exemplo Sabendo que log 20 2 = a e log 20 = b, determine log Calcule o valor de log 0, Determine o valor de: log 2. log 4. log 5 4. log 6 5. log 7 6. log 8 7. log 9 8. log 9 Exemplo 4 Resolução de equações exponenciais via logaritmos 1. 2 x = x =.. 7 x = x+1 = x + 6 x = 2.9 x. 6. log 2 (x 5) = log 2 7. FAZENDO VOCÊ APRENDE! Exemplo 44 (Resolução de equações logarítmicas) Nos exemplos seguintes, sempre observar as condições de existência do logaritmo. 1. log (2x ) = log (4x 5). 4. log 2 2 x log 2 x = log 2 (x 1) = 4.. log (x 2 + x 1) = log x log x + log x 1 + log x = 2.

44 Capítulo 7 Trigonometria 7.1 Introdução à trigonometria A Trigonometria, que é uma palavra de origem grega: trigono (triangular) e metria (medida), tem por objetivo estabelecer relações entre os elementos básicos (lados e ângulos) de um triângulo Razões trigonométricas no triângulo retângulo Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. retângulo ABC, (Â = 900 ), temos: Observando o triângulo BC = hipotenusa = a; AC = cateto = b; AB = cateto = c; ˆB + Ĉ = ˆ 90 0 ; AC = cateto oposto ao ângulo ˆB; AB = cateto adjacente ao ângulo ˆB; AC = cateto adjacente ao ângulo Ĉ; AB = cateto oposto ao ângulo Ĉ; Considerando o que vimos no triângulo retângulo da figura anterior, temos: sen ˆB = AC BC sen ˆB = cateto oposto a ˆB hipotenusa sen ˆB = b a. 44