(Biometria) (Probabilidade)

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1 Probabilidade (Biometria) Livro texto: Genética na Agropecuária (Biometria) RAMALHO, M.A.P., SANTOS, J.B., PINTO, C.A.B.P. 2ª ed. Lavras UFLA, 2000 Genética Básica On-Line (Probabilidade) Profº: Glauco Vieira de Oliveira Probabilidade - INTRODUÇÃO: Dado um acontecimento A, sendo na o número de casos favoráveis relativos à sua realização e ña o número de casos contrários, a probabilidade de A pode ser definida como: OBS: P(A) = na (na + ña) na + ña = todos eventos possíveis Exemplo Teoria de Conjuntos S={1, 2, 3, 4, 5, 6} A={1, 2, 3} A =??? 1

2 Probabilidade - PROPRIEDADES: O CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE UM EVENTO A DEVE SATISFAZER AS SEGUINTES PROPRIEDADES: a) 0 P(A) 1 b) P(S) = 1, sendo S o conjunto de todos os resultados possíveis ou universo c) P( ) = 0 Exemplo Características: Sexo e cor de olhos Onde: A_ determina olhos castanhos e aa, olhos azuis. Fenótipo Descrição Probabilidade Macho de olhos castanhos 1 XY A_ P(XY) P(A_) Macho de olhos azuis 2 XY aa P(XY) P(aa) Fêmea de olhos castanhos 3 XX A_ P(XX) P(A_) Fêmeas de olhos azuis 4 XX aa P(XX) P(aa) Símbolo adotado para Fenótipo: 1- MC; 2- MA; 3-FC; 4-FA P(MC) = P(XY) P(A_) = ½ x 3/4 = 3/8 P(MA) = P(XY) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8 P(FC) = P(XX) P(A_) = ½ x 3/4 = 3/8 P(FA) = P(XX) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8 2

3 Leis da Probabilidade I. Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos I. Quando não há elementos em comum II.Quando há elementos em comum II. Lei do Produto II. para eventos independentes III.para eventos dependentes (condicionais ou ligados) Leis da Probabilidade I) Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Nesse caso, a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por: P(A ou B) = P(A) + P(B) Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis. Assim, tem-se: P(A) = P(menino de olhos castanhos) = 3/8 P(B) = P(meninas de olhos azuis) = 1/8 P(A ou B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/4 Obs: A fórmula acima se aplica a eventos que NÃO possuem elementos em comum. Fenótipo P MC 3/8 MA 1/8 FC 3/8 FA 1/8 3

4 I) Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos (2º caso: quando há elementos comuns aos dois eventos) Nesse caso, pode-se definir a seguinte expressão de probabilidade : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino ou uma criança de olhos azuis. Assim, tem-se: Fenótipo P P(A) = P(menino) = 1/2 MC 3/8 P(B) = P(olhos azuis) = 1/4 MA 1/8 P(A e B) = P(meninos de olhos azuis) = 1/8 FC 3/8 P(A ou B) = P(A) + P(B ) - P(A e B) = 1/2 + 1/4-1/8 FA 1/8 A necessidade de subtrair a probabilidade de meninos de olhos azuis na P(A ou B) pode ser constatada, pois tanto o valor P(menino) quanto P(olhos azuis) inclui a possibilidade de sair menino de olhos azuis. Conseqüentemente, essa probabilidade estaria sendo somada duas vezes, caso não houvesse aquela subtração. Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos (quando há elementos comuns aos dois eventos) Exemplificando com jogos de dados Esquematize e desenhe : O conjunto universo (S) Evento 1 (E 1 ): n os menores que 4 Evento 2 (E 2 ): n os ímpares Calcule: P(E 1 ou E 2 ) d) P(E 1 ou E 2 ) = P (E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1 e E 2 ) = 3/6 + 3/6-2/6 = 4/6=2/3 4

5 Leis da Probabilidade II.a) Lei do Produto para eventos independentes Dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer B não é condicional à ocorrência de A. A expressão que define a lei do produto para eventos independentes é a seguinte: P(A e B) = P(A). P(B) Exemplo: Em uma família será estimada a probabilidade de nascer menino e ter olhos azuis. (menino e olhos azuis) = P(menino). P(olhos azuis) =(1/2)(1/4) = 1/8 Obs: A fórmula acima não se aplica a eventos dependentes, correlacionados ou ligados Leis da Probabilidade II.b) Lei do Produto para eventos dependentes (condicionais ou ligados) Nesse caso, tem-se a seguinte expressão de probabilidade: P(A e B) = P(A). P(B/A) = P(B). P(A/B) Será considerado agora o gene que determina o daltonismo na espécie humana. Trata-se de um gene ligado ao sexo, em que: Mulheres normais: X D X D ou X D X d Mulheres daltônicas: X d X d Homens normais: X D Y Homens daltônicos: X d Y Considerando o casamento entre uma mulher normal, portadora, e um homem normal, têm-se as descendências: Gametas X D X D X d Y 5

6 Lei do Produto para eventos dependentes Conclui-se que: P(menino) = P(menina) = ½ P(Normal) = ¾ P(Daltonismo) = ¼ Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer uma menina daltônica. Verifica-se, nesse caso, que: P(menina daltônica) P(menina) x P(daltônica) Ao contrário, tem-se: P(menina daltônica) = P(menina) x P(daltônica/menina) = ½ x 0 = 0 Gametas ½ X D ½ Y ½ X D X D X D X D Y ½ X d X D X d X d Y Propriedades da probabilidade Considerando o cruzamento abaixo. Determine: 1) Fenótipo dois Pais 2) Complete o quadro de cruzamento e responda: Verifique se há algum erro no quadro. Identifique e corrija a) P (Menino ou criança de olhos azuis) b) P (Criança daltônica ou olhos azuis) c) P (Menina Daltonica) d) P(Menina Normal) 6

7 Propriedades da probabilidade Considerando o cruzamento abaixo. Determine: 1) Fenótipo dois Pais 2) Complete o quadro de cruzamento e responda: Verifique se há algum erro no quadro. Identifique e corrija a) P (Menino ou criança de olhos azuis) b) P (Criança daltônica ou olhos azuis) c) P (Menina Daltonica) d) P(Menina Normal) Distribuição de Probabilidade INTRODUÇÃO Considere a seguinte questão: Uma vaca deverá ter em sua vida útil 5 descendentes. Pergunta-se: a) A Probabilidade do 1º descendente ser macho? b) A Probabilidade de o 1º e 2º filhotes serem fêmeas? (pode ser escrito como: a Probabilidade de dois filhotes serem fêmeas) c) A Probabilidade de o 1º ser um filhote Macho e o 2º uma Fêmea? d) A Probabilidade de apenas o 1º descendente ser macho? (subentende que os demais filhotes serão fêmeas) e) A Probabilidade de nascer apenas 1 macho? f) A Probabilidade de nascerem dois machos? g) A Probabilidade de nascerem pelo menos dois machos? 7

8 Distribuição de Probabilidade Distribuição Binomial Utilidade Quando se deseja calcular a probabilidade de um acontecimento composto por vários eventos. Requisitos: 1) Os eventos que constituem o acontecimento devem ser independentes 2) A ordem dos eventos do acontecimento não é importante. Assim a distribuição binomial pode responder as questões e, f e g. (do slide anterior) Distribuição Binomial Exemplo Anterior Uma vaca deverá ter em sua vida útil 5 descendentes e) A Probabilidade de nascer apenas 1 macho? Ordem dos descendentes 1º 2º 3º 4º 5º Probabilidade M F F F F (1/2) 5 F M F F F (1/2) 5 F F M F F (1/2) 5 F F F M F (1/2) 5 F F F F M (1/2) 5 Observação: O evento (1 macho) ocorre mais de uma vez. Existe alguma fórmula que pode generalizar esta e outras ocorrências? 8

9 Distribuição Binomial Exemplo Anterior Uma vaca deverá ter em sua vida útil 5 descendentes e) A Probabilidade de nascer apenas 1 macho? Ordem dos descendentes 1º 2º 3º 4º 5º Probabilidade M F F F F (1/2) 5 F M F F F (1/2) 5 F F M F F (1/2) 5 F F F M F (1/2) 5 P (1M e 4F)= 5x(1/2) 5 = 5/32 F F F F M (1/2) 5 Observação: O evento (1 macho em 5 descendentes) ocorre mais de uma vez. Existe alguma fórmula que pode generalizar esta e outras ocorrências? P(A)=p e P(ñA) =q; de forma que: p+q=1 E ainda: Obs: Distribuição Binomial (Distribuição de uma probabilidade) n 1 : nº de ocorrências favoráveis ao evento A n 2 : nº de ocorrências favoráveis ao evento ña n: nº total de ocorrências, (neste caso, n=n 1 + n 2 ) Assim: n 1 está associado a probabilidade p e n 2 associado a probabilidade q P(S)=1 =[P(S)] 2 = =[P(S)] n = 1 n = 1 (p+q)=1 = (p+q) 2 = (p+q) n =1 n = 1 Ex: (p+q) 2 = p 2 +2pq+q 2 BINÔMIO DE NEWTON 9

10 Distribuição Binomial Distribuição de uma probabilidade Considerando apenas dois nascimentos h) A Probabilidade de os dois filhotes serem fêmeas? i) A Probabilidade de se ter um filhote Macho e uma fêmea? Utilizando o binômio de newton (p+q) 2 = p 2 +2pq+q 2 questão h questão i p=q=1/2; n=2 (nº total de descendentes) Desenvolvendo resposta a) p 2 =(1/2) 2 =1/4 b) 2pq = 2(1/2) (1/2)=1/2 Distribuição Binomial Distribuição de uma probabilidade Expansão do binômio: ( n n 1 n n 2 2 n 1 1 n 1 p + q) = p + Cn p q + Cn p q Cn p q + Generalizando a distribuição binomial para um dado evento P(E) n! = p n!n! 1 2 q n 1 n 2 Esta fórmula pode ser generalizada para distribuição multinomial P (E ) = n 1 n!!n!... n 2 n p! n1 1 p n p nn n q n i = número de ocorrências do evento i N = número total de ocorrências p i = probabilidade de ocorrência do evento i n 10

11 Aplicação de uma Distribuição Binomial Exemplo Distribuição de dois descendentes de cada uma das 100 vacas de acordo com o sexo Nº de vacas Observadas Nº de vacas Sexo dos descendentes 24 2 fêmeas 54 1 macho e 1 fêmea 22 2 machos Distribuição observada e esperada dos dois descendentes de cada uma das 100 vacas de acordo com o sexo Sexo dos descendentes Probabilidade Nº de vacas Esperado 24 2 fêmeas ¼ macho e 1 fêmea ½ machos ¼ 25 Distribuição Polinomial Exemplo I Rebanho de bovinos Shortorn (pelagem) Genótipo/fenótipo: B 1 B 1 = branco; B 2 B 2 =vermelho; B 1 B 2 =vermelho-branco a) Qual a probabilidade de que entre 12 descendentes de um cruzamento B 1 B 2 x B 1 B 2, três sejam brancos, três vermelho-brancos e os demais vermelhos? Resolução no quadro b) E de que ocorra 3 brancos, 6 vermelho-brancos e 3 vermelhos? Resposta: P(3B, 6VB e 3 V) = 7,05% 11

12 Distribuição Polinomial Exemplo II Cor e textura de sementes de milho No cruzamento de um duplo heterozigoto temos em F2: Proporções fenotípicas Semente amarela lisa 9/16 Semente amarela e enrugada 3/16 Semente branca lisa 3/16 Semente branca e enrugada 1/16 a) Qual a probabilidade de que se tomar ao acaso 20 sementes de uma espiga F 2 de milho e de se obter 11 sementes amarelas e lisas e 3 de cada um dos fenótipos restantes? (Resolução no quadro) Probabilidade de se Obter uma determinada Combinação Genotípica I) Qual o tamanho mínimo de uma população segregante para se obter pelo menos um indivíduo com o genótipo desejado? II) E para o fenótipo? Considerando: Fórmula: log(1 C) n = log(1 p) C: Grau de certeza (0<c<1) p: probabilidade de ocorrência do evento n: nº mínimo de indivíduos Observação Faça um paralelo dos capítulos cruzamentoteste (programa G-Bol) e Biometria (Genética na Agropecuária) e verifique a semelhança das fórmulas utilizadas 12

13 Probabilidade de se Obter uma determinada Combinação Genotípica Exemplo a) Considerando o exemplo II (sementes de milho), qual o tamanho mínimo da geração F 2 para que se tenha pelo menos uma semente enrugada, considerando uma probabilidade de 99% de que esta planta ocorra. Resolução no quadro n = log(1 C) log(1 p) Probabilidade de se Obter Uma determinada Combinação genotípica III) Considerando que um caráter controlado por um gene, dominância completa. a) Em um cruzamento teste i) Quantos descendentes são necessários para que se tenha 95% de certeza de que o genótipo submetido ao cruzamento teste seja Homozigoto Dominante? b) E se for autofecundação? Resolução no quadro 13