(19) MATEMÁTICA PONTO, RETA E DISTÂNCIAS

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1 Nível Embasamento 0 Calcular a distância entre os seguintes pontos: a) A(,) e B(,) b) P( 6,8) e a origem do sistema cartesiano c) A(a, b+) e B(a+, b 8) 0 Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(,), B(,) e C(, ) 0 Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B São dados: A (,), B(,) e C (x, ) 0 Se P(x,y) eqüidista de A(,7) e B(,), qual a relação existente entre x e y? 0 Dados A(x,), B (,) e C (,), obter x de modo que A seja eqüidistante de B e C 06 Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é eqüidistante dos pontos A(,) e B (,) 07 Determinar o ponto P, dissetriz dos quadrantes pares, que eqüidista de A (8, 8) e B(, ) 08 Dados os pontos A (8,), B (, ) e C ( 6, 9), obter o circuncentro do triângulo ABC 09 Dados os pontos B(,) e C(,), determinar o vértice A do triângulo ABC, sabendo que é o ponto do eixo y do qual se vê BC sob um ângulo reto 0 Dados A (,) e B (, ) vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices Dados A (8,7) e C (, ), extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos vértices B e D, sabendo que x B > x D Calcular a razão AC CB C, sendo dados os pontos A(,), B(,-) e Dados A(,) e B(,), seja C a intersecção da reta AB com o eixo das abscissas Calcular a razão AC CB Determinar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais, sabendo que A = (,7) e B = (,-8) Determinar os pontos que dividem AB em quatro partes iguais quando A (, ) e B (,) 6 Até que ponto o segmento de extremos A (+,-) e B (,) deve ser prolongado no sentido AB, para que seu comprimento triplique? 7 Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A (0,0), B (,7) e C (, ) 8 Dados os vértices consecutivos, A (,) e B (,), de um paralelogramo, e o ponto E(, ), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices 9 Do triângulo ABC são dados: o vértice A(,), o ponto M(,) médio do lado AB e o ponto N(,) médio do lado BC Calcular o perímetro do triângulo ABC 0 Se M (,), N (,) e P (6,) são os pontos médios dos lados AB, BC, CA, respectivamente, de um triângulo ABC, determinar as coordenadas de A, B e C O baricentro de um triângulo é G(,6) e dois de seus vértices são A(,) e B (,7) Determinar o terceiro baricentro Num triângulo ABC são dados: I) A (,0) II) M (-,) ponto médio de AB III) d AC = 0 IV) d BC = 0 Obter o vértice C do triângulo (9) -0 MATEMÁTICA 0 - PONTO, RETA E DISTÂNCIAS O quadrilátero de vértices A,,B,, C,- e D0,- é um paralelogramo? Justifique Determinar y para que os pontos A(,), B(,8) e C(,y) sejam colineares Se A (0,a), B (a, ) e C(,), para que valores de a existe o triângulo ABC? 6 Dados os pontos A e B, obtenha, em cada caso: a) o ponto de intersecção da reta AB com o eixo das abscissas Dados: A(,) e B(0, ) b) o ponto de intersecção da reta AB com o eixo das ordenadas Dados: A(,) e B(,) c) o ponto de intersecção da reta AB com issetriz dos quadrantes impares Dados A(, ) e B(8,) d) o ponto de intersecção da reta AB com issetriz dos quadrantes pares Dados: A(7,) e B(,) 7 Dados A(,), B(,9), C(,7) e D(,) obter o ponto de intersecção das retas AB e CD 8 Determinar P(x o,y o ) colinear simultaneamente com A(, ) e B(,) e com C(,) e D(, ) 9 Determinar o ponto da reta AB que está à distância da origem Dados A(0, ) e B(, ) 0 Determinar na reta AB os pontos eqüidistantes dos eixos cartesianos Dados: A(,) e B(, ) A reta determinada por A(a,0) e B(0,b) passa por C(,) Qual é a relação entre a e b? A reta determinada por A(p,q) e B(, - ) passa pela origem Qual a relação entre p e q? Dados A(-,-), B(,), C(9,0) e (r) x y = 0, verificar se r passa pelo baricentro do triângulo ABC As retas x + y = e x y = passam pelo ponto (a,b) Calcular a + b Determinar m de modo que as retas de equações x + y m = 0, y+ = 0 e x y =0 definam um triângulo 6 (EPUSP-6) Dado o ponto A(,), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamente sobre as retas y = x e y = x, de tal modo que o ponto A seja o ponto médio do segmento PQ 7 Determinar o ponto B dissetriz dos quadrantes pares de tal forma que o ponto médio do segmento AB pertença a reta r Dados: A(,) e (r) x y + = 0 8 Determinar o perímetro do triângulo ABC que verifica as seguintes condições: a) o vértice A pertence ao eixo das abscissas; b) o vértice B pertence ao eixo das ordenadas; c) a reta BC tem equação x y = 0; d) a reta AC tem equação x + y = 0; 9 Num triângulo ABC sabe-se que: I A pertence ao eixo das abscissas II B pertence à bissetriz b III a equação da reta AC é x + y + = 0 IV a equação da reta BC é x y = 0 Calcular o perímetro do triângulo ABC 0 Determinar y de modo que P (, y) seja ponto interior do triângulo definido pelas retas x y = 0, x + y = 0 e 7 x + y 6 = 0 Determinar a posição relativa das seguintes retas tomadas duas a duas: (r) x y + = 0 (s) x y + = 0 (t) x y + = 0 (u) x + y + = 0 (v) x 6y = - (z) x y = - 6 Discutir a posição relativa das retas: (r) (m )x + my = 0 e (s) ( m)x + ( m + )y + = 0

2 Para que valores de k as retas (k )x + 6y + = 0 e x + (k + )y = 0 são paralelas? Determinar o centro do feixe de retas concorrentes cuja equação é: a(7x y + ) + b(x + y + 9) = 0 Determinar a equação da reta que pertence ao feixe de retas definido pela equação (7x + y ) + a(x y ) = 0 e que passa pela origem do sistema cartesiano 6 São dados os feixes de retas concorrentes: (x + y + ) + k(x y + ) = 0 e x + y p(x y + = 0 Obter a equação da reta comum aos dois feixes 7 Dois lados de um paralelogramo encontram-se sobre as retas (r) x + y 7 = 0 e (s) x y + = 0 Obter as equações das retas suportes dos outros dois lados, sabendo que um dos vértices desse paralelogramo é o ponto (,) 8 Determinar a equação reduzida da reta AB quando A ( -,) e B(7,) 9 Dados A( 0) e B(-6, -), determinar a equação segmentária da reta AB 0 Determinar a equação das retas abaixo: x t Dadas a equação paramétrica da reta (r), obtenha sua y t equação segmentária Achar as coordenadas do ponto de intersecção das retas (r) x t x u e (s), com t, u y t y u x 8t Qual a posição relativa das retas (r) e (s), y 6t com t? Obter uma reta paralela à (r) x + y = 0 e que define com os eixos coordenados um triângulo de área 6 unidades de área Determinar a equação da reta que passa por P e tem inclinação em relação ao eixo dos x nos casos seguintes: a) P (-,-) e = b) P (+,-) e = 60 c) P (-,-) e = 90 d) P (-,+) e = arc sen e) P (7,) e = 0 f) P (-,+) e = arc tg 6 Determinar a equação da reta (s) que contém P(-, ) e é paralela x t à reta (r) y t 7 Determinar a equação da reta u que passa pelo ponto de intersecção das retas r e t e é paralela à reta s Dados: ( r ) x + y =, (s) x = t e y = + t e (t) x + y = 0 8 Dois lados de um paralelogramo ABCD estão contidos nas retas (r) y = x e (s) x = y Dado o vértice A(,), determinar B, C e D 9 Determinar p de modo que as retas (r) p x + py + = 0 e (s) x + (p + )y 7 = 0 sejam perpendiculares 60 Se e Ax + By + C = 0 são duas retas perpendiculares, calcule ba + ab (9) -0 MATEMÁTICA 0 - PONTO, RETA E DISTÂNCIAS 6 Determinar a equação da reta (s) que contém P(,) e é perpendicular à reta (r) x + y = 0 6 Determinar a projeção ortogonal do ponto P(-7,) sobre a reta x = y 6 (MAPOFEI 7) São dados a reta r: x y + = 0 e o ponto P = (,) Determinar as coordenadas da projeção ortogonal de P sobre a reta r 6 Determinar o ponto Q, simétrico de P (-,) em relação à reta (r) x + y = 0 6 Em um sistema cartesiano ortogonal xoy são dados os pontos A, sobre o eixo x de abscissa e B sobre o eixo y de ordenada Calcular as coordenadas do ponto P simétrico à origem O e relação à reta AB 66 Dados P(-, -) e (r) x + y = 0, pede-se: a) equação de (s) perpendicular à (r) por P; b) o ponto M pé da perpendicular a (r) por P; c) o ponto Q simétrico de P em relação à (r); d) a reta (t) simétrica de (r) em relação à P 67 Determinar as equações das alturas do triângulo ABC de vértices A(0, -), B(-, 0) e C(, ) e provar que concorrem para o mesmo ponto H 68 Determinar o ortocentro H do triângulo ABC cujos vértices são A(,), B(,) e C(,) 69 Obter os vértices de um losango ABCD tal que: a) A está no eixo dos y b) B está no eixo dos x c) a diagonal AC está contida em (r) x + y = 0 d) as diagonais se interceptam em E (x,) 70 Obter a equação da reta perpendicular a (r) x + y = 0 e que define com os eixos coordenados um triângulo de área 6 7 Encontrar a equação da reta que é perpendicular a reta x + y = 0 e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 8 unidades de área, de modo que este triângulo tenha intersecção não vazia com a reta x y = 7 Dados A(,), B(0,), C(,0) e P(,), traçam-se por P as perpendiculares aos lados do triângulo ABC Pede-se: a) obter os pés das perpendiculares; b) provar que são colineares 7 Calcular o ângulo entre as retas: a) x + y + = 0 e x y + = 0; b) x + y = e x = 9 y; 7 Dados os pontos A(,0), B(,0) e C,, calcular os ângulos internos do triângulo ABC 7 Calcular a distância da origem à reta (r) ax + by + x t 76 Achar a distância da reta (r) à origem y 7 t a b =0 77 Calcular a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos: º) P ( -; -) e (r) x y +8 = 0 º) P (+ ; +) e (r) x y + = 0 º) P (+; -) e (r) + = 0 x 7t º) P (-; +) e (r) y t º) P ( -; -) e (r) x cos + y sen = 78 Calcular o comprimento da altura AH, do triângulo de vértices A(-,0), B(0,0) e C(6,8) 79Calcular a altura do trapézio cujos vértices são A(0,0), B(7,), C(6,) e D(-8,)

3 80 O ponto P(, -) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a P sobre a reta x y 7 = 0 Qual a área do quadrado? 8 Calcular a distância entre as retas (r) x + y = 0 e (s) x + y + 7 = 0 8 Determinar os pontos da reta (r) y = x que estão à distância da reta (s) x+y = 0 8 Determinar as equações das retas que formam º com o eixo dos x e estão a uma distância do ponto P(,) 8 Obter uma reta paralela a (r) x + y + 6 = 0 e distante do ponto C (,) 8 Determinar as equações das perpendiculares à reta (r) 7x y + = 0, as quais estão à distância unidades do ponto P ( ; 0) 86 Calcular a área do triângulo cujos vértices são A (a, a +), B (a, a) e C (a+, a+) 87 (FAUUSP 68) Determine a área do triângulo ABC onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M (-,-), N (,) e P (7, -) 88 Calcular a área do quadrilátero ABCD cujos vértices são: A(0,0), B(, -), C(6,8) e D(0,) 89 Calcular a área do pentágono ABCDE, dados: A (0,0), B (0,-), C (-,-), D (-,0) e E(-, +) 90 Determinar y de tal forma que o triângulo de vértices A(,), B(,) e C(0,y) tenha área 6 9 Dados os pontos A(,), B(,-) e C(,y), calcular y para que a área do triângulo seja 0 9 Num triângulo ABC, temos: º) AB r tal que (r) y = x º) AC s tal que (s) x = y º) BC t tal que t // u e (u) x + y = 0 º) a área do triângulo ABC é Obter a equação da reta t 9 Calcular as coordenadas do vértice C do triângulo ABC de área 6, sabendo que A(0,), B é a intersecção da reta (r) x y = 0 com o eixo dos x e que C está em (r) 9 Determinar a área do triângulo ABC sabendo que: i) A(,) e B(-,); ii) x + y + = 0 é a equação da reta do lado BC; iii) o coeficiente angular da reta AC é 9 Determinar o vértice C de um triângulo ABC, de área, no qual A(, -), B(, -) e cujo baricentro está sobre a reta x y 8 = 0 96 Num triângulo ABC, onde A (0,0), B (,) e C (,), toma-se M na reta BC, tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na razão Calcular as coordenadas de M 97 Os vértices de um triângulo são A(0,0), B(7,) e C(8,) Pede-se: a) Obter o baricentro do triângulo ABC; b) mostrar que os triângulos ABG, ACG e BCG tem a mesma área 98 Obter uma reta que passe por P (-,6) e defina com os eixos coordenados um triângulo de área 6, no primeiro quadrante 99 Estudar a variação de sinais dos trinômios: a) E = x + y b) E = x - y + 6 c) E = x +y + d) E = x + y + e) E = x + y 00 Resolver graficamente as inequações: a) x + y + > 0 b) x y 6 < 0 c) x y < 0 d) x y + 0 e) x + y 0 f) x + y 0 0 Determinar os pontos P (x, y) do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem à condição: º caso: x y + < 0 e x + y + < 0 º caso: x + y < 0 e x 0 º caso: y e x > 0 º caso: 6x + y 6 0 e x + 6y º caso: x y < 0 e y (9) -0 MATEMÁTICA 0 - PONTO, RETA E DISTÂNCIAS 0 Assinalar no plano cartesiano o conjunto no qual estão contidas todas as retas de equação x + y + c = 0, com c 0 Obter as equações das bissetrizes dos ângulos formados por (r) x + y = 0 e (s) 8x 6y = 0 0 Obter as equações das bissetrizes dos ângulos formados por (r) x + y = 0 e (s) x y + = 0 0 Qual a equação do lugar geométrico dos pontos eqüidistantes das retas (r) x y 0 = 0 e (s) x + y = 0 06 Qual a equação dissetriz interna, por A, no triângulo de vértices A(0,0), B(,6) e C(,)? Nível Aprofundamento 07 Dados os pontos M (a, 0) e N (0, a), determinar P de modo que o triângulo MNP seja eqüilátero 08 O baricentro de um triângulo é G,, o ponto médio do lado BC é N, e o ponto médio do lado AB é M (0, ) Determinar os vértices A, B, C 09 Determinar os vértices B e C de um triângulo eqüilátero ABC, sabendo que o ponto médio do lado AB é, sistema M e A é a origem do 0 Provar que os pontos A(a; b+c), B (b; a+c) e C(c; a+b) são colineares e determinar a equação da reta que os contém Determinar a para que as retas de equações x + y a = 0, ax y = 0 e x y a =0 sejam concorrentes no mesmo ponto Qual é a equação da reta que passa por P(,), intercepta (r) x y = 0 em A e (s) x + y = 0 em B tais que P é ponto médio de AB Determinar o ponto B da reta s de tal forma que o segmento AB intercepte a reta r no ponto C que o divide na razão São dados: A,, ( r ) x + y = 0, e (s) y x + = 0 Entre os triângulos OAB com vértice O na origem e os outros dois vértices A e B, respectivamente, nas retas y = e y = e alinhados com o ponto P(7,0), determinar aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados Determinar a reta s, simétrica de (r) x y + = 0 em relação a (t) x + y + = 0 6 Determinar a reta simétrica à (r) x 8y + 6 = 0 em relação: a) ao eixo dos x; b) ao eixo dos y; c) à reta (s) x y 7 = 0 7 Dados os pontos A(a,0) e B(0, b), tomemos sobre a reta AB um ponto C tal que BC = mab, com m0 Pede-se a equação da reta perpendicular a AB, a qual passa pelo ponto médio de AC 8 (MAPOFEI 7) O ponto P = (,) é o centro de um feixe de retas no plano cartesiano Pede-se determinar as equações das retas desse feixe, perpendiculares entre si, que interceptam o eixo O x nos pontos A e B, e tais que a distância entre elas seja 0 9 Em um plano munido de um sistema cartesiano ortogonal de referência, são dados os pontos A(,), B(9,) e M(,k) Determinar o valor de k para o qual o ângulo BAM = º 0 (MACK 70) Determine as equações das retas que contêm os lados de um triângulo, conhecendo-se: i) o seu vértice A de coordenadas (0,), ii) a reta r : x y + = 0, que contém uma altura, iii) a reta s: x + y 7 = 0, que contém umissetriz, sendo a altura e issetriz relativas a dois vértices distintos

4 Calcular a distância entre as retas cujas equações são ax + by + c = 0 e ax + by c = 0 (MAPOFEI 69) São dados, num plano, as duas retas r, de equação y =, e r com equações paramétricas x = - + e y = + e o ponto A = (,) a) Entre as retas que passam por A, determinar a reta r para a qual as distâncias de A às intersecções com r e r são iguais b) Satisfeita a condição do item anterior, determinar a área do triângulo formado pelas retas r, r e r x y Resolver graficamente a inequação 0 x y Determinar os pontos P do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem as desigualdades: a) x b) x y c) x y d) x y e) y 0 e x f) y e x g) (x y + 6)(x + y ) < 0; h) (x + y + )(x y ) 0; x y i) 0 x y x y j) 0 e y 0 x y Obter o centro da circunferência inscrita ao triângulo ABC de vértices A(0,0), B(,0) e C(0,) 6 Dados A(0,0), B(,) e C(, -), calcular o comprimento da bissetriz interna AP do triângulo ABC 7 Calcular o comprimento dissetriz interna AS do triângulo de vértices A(0,0), B(,) e C(8,) 8 (ITA-8) Considere o triângulo ABC do plano cartesiano, onde A = (p, q), B = (p, q) e C = (p, q), sendo p e q reais Se M é o ponto de intersecção de suas medianas, então a reta que passa por M e é paralela à reta BC intercepta os eixos cartesianos nos pontos: a) (0, p) e (p, 0) b) (0, q) e (p, 0) c) (0, p) e (q, 0) d) (0, q) e (p, 0) e) (0, q) e (p, 0) 9 (ITA-86) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais sejam A(0,a), B(a/,0) e C(0,a) pontos dados onde a é um número real, a<0 Sejam as retas: (r) passando por os pontos a e b e (s) passando por C e paralela a (r) A área do trapézio (T) delimitada pelos eixos cartesianos e pelas retas (r) e (s) vale: a) a b) a / c) a / d) a e) a / + a 0 (ITA-86) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais considere o triângulo ABC, sobre o qual sabemos que: O lado AC está sobre a reta y = x O vértice A tem coordenadas (, ) e o ângulo A mede 60 o O vértice B está no eixo das ordenadas O lado BC é paralelo ao eixo das abcissas A área desse triângulo vale: a) 9 b) 9/ + c) / d) 9/ + / e) ½ + (ITA-88) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices B:(,) e C:(,-), o cateto que contém o ponto B é paralelo a reta de equação x -y +=0 Então a reta que contém o cateto AC é dada por: a) x + y - 6 = 0 b) x + y - = 0 c) x + y + = 0 d) x + y = 0e) x - y + 6 = 0 (9) -0 MATEMÁTICA 0 - PONTO, RETA E DISTÂNCIAS (ITA-88) Sejam a, b, c e d números reais positivos tais que A: (9a, b), B: (-c, d), C: (c, -d) são vértices de um triângulo equilátero Então a equação da reta r que é paralela ao lado BC e passa pelo incentro do triângulo ABC é dada por: a) ax + by = c - d b) dx + cy = ad + bc c) ax + by = c + d d) dx + ay = bc e) dx - cy = 9a + b (ITA 89) Determine a equação da reta suporte de um segmento que tem seu centro no ponto (, 0) e extremidade em cada uma das retas x - y - = 0 e x + y + = 0 Dê a resposta na forma Ax + By + C = 0 (ITA-90) Considere a reta (r) mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta x - y + 7 = 0 intercepta os eixos coordenados Então a distância do ponto (, ) à reta (r) é: 6 a) d) 7 b) e) c) (ITA-9) Dados os pontos A: (0, 8), B: (-, 0) e C: (, 0), sejam r e s as retas tais que A, B r, B, C S Considere P e P os pés das retas perpendiculares traçadas de P: (, ) às retas r e s, respectivamente Então a equação da reta que passa por P e P é: a) y + x = b) y + x = c) y - x = d) y + x = e) nda 6 (ITA-9) Dadas as retas (r ): x + y - = 0, (r ): x - y - = 0 e r ): x - y - = 0, podemos afirmar que: a) São a paralelas b) (r ) e (r ) são paralelas c) (r ) é perpendicular a (r ) d) (r ) é perpendicular a (r ) e) As três são concorrentes num mesmo ponto 7 (ITA-9) Sendo (r) uma reta dada pela equação x - y + = 0, então, a equação da reta (s) simétrica à reta (r) em relação ao eixo das abcissas é descrita por: a) x + y = 0 b) x - y + = 0 c) x + y + = 0 d) x + y + = 0 e) x - y - = 0 8 (ITA-9) Duas retas r e s são dadas, respectivamente, pelas equações x - y = e x + y = Um ponto P pertencente à reta s tem abcissa positiva e dista unidades de medida da reta r Se ax + by + c = 0 é a equação da reta que contém P, com abc,, e é paralela a r, então a + b + c é igual a : a) b) 6 c) 8 d) e) - 9 (ITA-9) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, b) e (b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo As coordenadas do quarto vértice são dadas por: a) (-b, -b) b) (-b, -b) c) (b, -b) d) (b, -b) e) (-b, -b) 0 (ITA-97) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s dadas, respectivamente pelas equações x + y = e x + y = - Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante com B r e C s sabendo que d(a,b) = d(a,c) =, então a reta passando por B e C é dada pela equação: a) x + y = b) y = c) y = d) x = e) x = (ITA-97) Considere os pontos A: (0, 0) e B: (, 0) e C: (0, ) Seja P: (x, y) o ponto da intersecção das bissetrizes internas do triângulos ABC Então x + y é igual a: a) /( + ) b) 8/( + ) c) 0/(6 + ) d) e) 6

5 (ITA-98) As retas y = 0 e x + y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo Sabendo que estas diagonais medem cm e 6 cm, então, a área deste paralelogramo, em cm, vale: a) 6 b) 7 c) d) 8 e) 8 (ITA-98) Considere o paralelogramo ABCD onde A = (0, 0), B = (-, ) e C = (-, -) Os ângulos internos distintos e o vértice D deste paralelogramo são, respectivamente: a), e D = (-, -) b), e D = (-, -) c), e D = (-, -6) d), e D = (-, -6) e), e D = (-, -) (ITA-7) Deseja-se construir uma rodovia ligando o ponto A ao ponto B que está 0 km a sudeste de A Um lago, na planície onde estão A e B impede a construção em linha reta Para contornar o lago, a estrada será construída em trechos retos com vértice no ponto C, que 6km a leste e 7km ao sul de A O valor de CB é: NORTE (9) -0 MATEMÁTICA 0 - PONTO, RETA E DISTÂNCIAS 8 (JOHN CASEY) Encontre a distancia entre os pontos a cos, b sen acos, bsen e 9 (JOHN CASEY) Prove que os pontos ab,, a8, b 8 e a, b formam um triangulo retângulo 0 (JOHN CASEY) Se os pontos,, ', ' e ab a a', b b' são colineares, prove que ab' a' b (JOHN CASEY) Encontre os ângulos entre as retas xcos y sen xcos y sen e (JOHN CASEY) Encontre o angulo entre as retas x y 0 e x y k tan ' tan '' cot ' cot '' (JOHN CASEY) Encontre a equação da reta que passa pelos a cos, b sen acos, bsen pontos e O E S T E A LESTE C Nos exercícios de a 6 encontre o ponto de intersecção entre as retas dadas: (JOHN CASEY) x cosy sen r e x cos ' y sen ' r (JOHN CASEY) cos sen e cos ' sen ' 6 (JOHN CASEY) 0 e x t' y at' 0 x ty at S U L a) 8 b) 8 c) 8 d) 8 e) nda (ITA-7) Seja S o conjunto das soluções do sistema de x y 0 0 desigualdades; onde m é real y 0 x my 0 A representação geométrica de S, em coordenadas cartesianas ortogonais (x,y), é: a) um quadrilátero para qualquer m>0 b) um triângulo isósceles para qualquer m<0 B 7 (JOHN CASEY) Encontre a reta que passa por 0,, fazendo um ângulo de 0 com a reta 8 (JOHN CASEY) Encontre a equação da perpendicular a reta xcos y sen no ponto acos, bsen 9 (JOHN CASEY) Encontre a equação da perpendicular a reta x y tanatan 0 no ponto atan, atan 60 (JOHN CASEY) Que retas são representadas pela equação x y 0? 6 (JOHN CASEY) Que retas são representadas pela equação x xysecy 0? c) um triângulo retângulo para m<0 ou m d) S é um conjunto vazio para m e) nda 6 (ITA-00) A área de um triângulo é de unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A: (, ) e B: (, -) Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são: a) (-/, 0) ou (, 0) b) (-/, 0) ou (, 0) c) (-/, 0) ou (, 0) d) (-/, 0) ou (, 0) e) (-/, 0) ou (, 0) 7 (ITA-78) Seja o triângulo de vértices A:(,); B :(,) e C : (,), no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais A distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo ao lado AC, é: a) b) 9 70 d) e) nda c) (JOHN CASEY) Encontre as bissetrizes dos ângulos formados pelas retas ax hxy by 0 6 (JOHN CASEY) Prove que as retas x xysec y 0 são igualmente inclinadas da reta 0 6 (KLETENIK) Dados dois pontos P( ;) e Q(;), falar a projeção do segmento PQ sobre o eixo que forma com o eixo Ox o ângulo arctan 6 (KLETENIK) Os vértices de um triângulo são: A( ; ), B(; ) e C( ;) Falar o ponto de intersecção dissetriz do ângulo externo do vértice A com o prolongamento do lado BC 66 (KLETENIK) São dados os vértices de uma lamina homogênea triangular A( x; y ), Bx ( ; y) e Cx ( ; y) Unindo-se os pontos médios dos lados dessa lamina, formamos outra lamina homogênea triangular Demonstre que os centros de gravidade de ambas as laminas coincidem

6 67 (KLETENIK) Em uma lamina homogênea que tem a forma de um quadrado de lado, foi feito um corte quadrangular; As retas do corte passam pelo centro do quadrado e os eixos coordenados contem dois lados intactos do quadrado Determine o centro de gravidade dessa figura (9) -0 MATEMÁTICA 0 - PONTO, RETA E DISTÂNCIAS 77 (KLETENIK) Falar as equações dos lados de um triangulo, conhecendo um de seus vértices B ; 7 e as equações da altura x y 0 e da mediana 7 0 traçadas de vértices diferentes 78 (KLETENIK) Falar as equações dos lados de um triangulo, conhecendo um de seus vértices C ; e as equações dissetriz x y 0 e da mediana x y 00 traçadas de um mesmo vértice 79 (KLETENIK) Falar as equações dos lados de um triangulo, conhecendo um de seus vértices A ; e as equações dissetriz x y 0 0 e da mediana 6x 0y 9 0traçadas de um mesmo vértice 68 (KLETENIK) Em uma lamina retangular homogênea, com lados a e b foi feito um corte retangular As retas de corte passam pelo centro do retângulo e os eixos coordenados contem lados intactos do retângulo Determine o centro de gravidade dessa lamina b a 69 (KLETENIK) Dados os vértices opostos de um quadrado e C (6; ), fale as equações dos lados do quadrado A( ;) 70 (KL ETENIK) Demonstrar que a equação da reta que passa pelo onto M x ; y e é paralela a reta Ax By C 0 pode ser escrita p da forma: Ax x By y 0 7 (KLETENIK) Demonstrar que a condição de perpendicularidade d as retas Ax By C 0 e Ax By C 0 pode ser escrita da forma: AA BB 0 7 (KLETENIK) Demonstrar que a formula para determinar o angulo formado pelas retas Ax By C 0 e Ax By C 0 pode AB AB ser escrita da forma: tan A A BB 7 (KLETENIK) Dados os vértices de um triangulo M 0; e M 6;, cujas alturas se cortam no ponto N ;, determine as coordenadas do terceiro vértice M 7 (KLETENIK) Falar as equações dos lados do triangulo ABC, se são dados as coordenadas do vértice A ; e as equações de duas medianas 0 e y 0 80 (KLETENIK) Falar a equação de reta que passa pela origem, sabendo que o comprimento de seu segmento compreendido entre as re tas x y 0 e x y 0 0 é igual a 0 8 (KLETENIK) Falar a equação de reta que passa pelo ponto C ;, sabendo que o comprimento de seu segmento compreendido entre as retas 0 e 0 é igual a 8 (KLETENIK) Determine para que valor de " a" a x a 9 y a 8a 0 reta: )É paralela ao eixo das abscissas )É paralela ao eixo das Coordenadas )Passa pela origem do sistema de coordenadas Em cada caso escreva a equação da reta 8 (KLETENIK) Determinar para que valor de "m" as duas retas: mx m y m 6 0 e mx my m 0 se cortam num ponto situado no eixo das ordenadas 8 (KLETENIK) Pelo pon to M x; y, sendo x y 0, foi traçada a reta, que intercepta os eixos coordenados formando um triangulo de área S Determine a relação entre x, y e S para que a e b tenham o mesmo sinal 8 (KLETENIK) A area de um paralelogramo é unidades quadradas, dois de seus vértices são A; e B ;, fale os outros dois vértices do paralelogramo, sabendo que o ponto de intersecção de suas diagonais esta situado no eixo das abscissas Nível Transcendência 86 Pelo ponto P de coordenadas cartesianas ortogonais cos e sen, com 0<90º, passam duas retas (r) e ( s) paralelas aos eixos coordenados a 7 (KLETENIK) Falar as equações dos lados de um triangulo, conhecendo um de seus vértices B; e as equações da altura x y 7 0 e dissetriz 0 traçadas de vértices diferentes 76 (KLETENIK) Falar as equações dos lados de um triangulo, conhecendo um de seus vértices C ; e as equações da altura x y 0 e da mediana x y 0traçadas de um mesmo vértice 8 a) Determinar as coordenadas das intersecções de (r) e (s) com a circunferência de equação x + y = ; b) Determinar a equação da reta PM, onde M é o ponto médio do segmento AB; c) Demonstrar analiticamente que as retas CD e PM são perpendiculares

7 (9) -0 MATEMÁTICA 0 - PONTO, RETA E DISTÂNCIAS 87 (IME-980) Um velho manuscrito descrevia a localização de um tesouro enterrado: Há somente duas árvores, A e B, em um terreno plano, e um canteiro de tomates A é uma mangueira, e B uma jabuticabeira A partir do centro K do canteiro, meça a distância em linha reta até a mangueira Vire 90 à esquerda e percorra a mesma distância até o ponto C Volte ao canteiro Meça a distância em linha reta até a jabuticabeira Vire 90 direita e percorra a mesma distância até o ponto D O tesouro está no ponto médio T do segmento CD Um aventureiro achou o manuscrito, identificou as árvores, mas, como o canteiro desaparecera com o passar do tempo, não conseguiu localizá-lo, e desistiu dusca O aluno Sá Bido, do IME, nas mesmas condições, diz que seria capaz de localizar o tesouro Mostre como você resolveria o problema, isto é, dê as coordenadas de T em função, B 8, das coordenadas de A e 88 (IME-78) Sejam R e S duas retas quaisquer Sejam p x, y; p x, y; p6 x6, y6 três pontos distintos sobre R e p x, y; p x, y; p x, y três pontos distintos sobre S O segmento pp não é paralelo ao segmento p p ; o segmento pp 6 não é paralelo ao segmento pp e o segmento pp 6 não é paralelo ao segmento p p Sejam: A, a interseção dos segmentos pp e p p ; B, interseção de pp 6 com pp e C, interseção de pp 6 com p p Prove que os pontos A, B e C estão em linha reta 89 (JOHN CASEY) Se jam A, B, C e D quatro pontos colineares, prove que, sendo AB um segmento orientado, vale a rela ção: AB CD BC AD CA BD 0 90 (JOHN CASEY) Se os lados AB, BCCDetc,, de um polígono são cada um divididos na mesma razão, mostre que o centro de massa do polígono coincide com os do polígono formado pelos pontos de divisão 9 (JOHN CASEY) Seja A, A, A e Aquatro pontos coplanares, e denotemos AA por e identicamente aos outros pares de pontos, mostre que: (JOHN CASEY) Se ax hxy by gx fy c 0 representa duas retas, prove que elas são paralelas as retas ax hxy by 0 9 (JOHN CASEY) Encontre as coordenadas de um ponto que é eqüidistante dos pontos acos ; bsen, acos '; bsen ' e acos ''; bsen '' 9 (JOHN CASEY) Encon tre as coordenadas de um ponto que é eqüidistante dos pontos ; '; ' e at '' ; at '' at at, at at 9 (JOHN CASEY) Encontre a reta que divide os ângulos entre as retas x y 0 e 8x y 6 0 em partes que os senos estão na razão : 96 (JOHN CASEY) Prove que as duas retas ax hxy by 0 são respectivamente perpendiculares as retas bx hxy ay 0 9 Gabarito Embasamento x = a) b) 0 c) 7 P(- x 8y + = 0 x = 6 P(-, 0),) 8 P(,) 9 A(0,-) ou A(0,) 0 C(8,) e D(, 9) ou C (-,-6) e D(-7,-) B(8,-) e D(-,7) C(,) e D(7,-) 8 C(8,-) e D(,- (,6), (,) e (7,) 6P(0,7) 7 6) 9 0 A(, 0), B(-,) e C(7,) C(-,6) C(0,6) ou C(-6,-6) não y = 9/ a a ; 6 a) (,0) b) ( 0,-) c) (-,-) d) 0, 8, 7 (,8) 0 (9,-9) ou, 9 P(-,-) ou P(-,) b + a = ab p + q = 0 não m7 e m real 8 6 P, ou P, 7 (-,) <y <6 paralelas distintas: r e t, s e v, t e z; coincidentes: r e z; concorrentes: r e s, r e u, r e v, s e t, s e u, s e z, t e u, t e v, u e v, u e z, v e z m = : r e s não tê m intersecção; m = - ½: r = s; m e m -/: r e s concorrentes k = ou k = - P(-, -6/) x = 6y 6 x y + = 0 7 x + y = 0 e x y + = 0 8 y = x x y + 6 = 0, x y = 0 ou x + y + = 0 6 (,) paralelas e distintas x + y + 8 = 0 ou x + y 8 = 0 a) x y = 0 b) ( ) 0 c) x+=0 d) x y +=0 e) y= f) x y + 7=0 6 x + y + = 0 7 x y = 0 8 B(,), C(0,0) e D(,) 6 9 6, 9 p= -/ x y = 0 6 8, 6 (,) 6 (-,) 66 (s) x y + = 0, M (,), Q(,7) e (t) x + y + 68 = 0 68 H, 67 6x + y + = 0, x + y + = 0 e x y = 0 69 A(0,), B(-,0), C(,-) e D(,) 70 x y = 0 7 x y = a),,,,, b) demonstração 7 a)artctg7 b)arctg º, 0º,º 7 77 ) / ) 7 0 )79/ )8/ ) 78 / 79 / 80 8 (,) e (-,-) 8 x y + = 0 ou x y = 0 8 x+y=0 ou x+y =0 8 x+7y+=0 ou x+7y 99=0 8 / y = 9 ou y = 90 y = ou y = 9 9 x+y=0 9 (6,) ou (,-) 9 7/ 9 (,-) ou (-,-0) 9 9 9,, ou 96 G(,) 97 x+y =0 98 Gráficos 99 Gráficos 00 Gráficos 0 Gráficos 0 Gráficos 0 x + y = 0 ou x y = 0 0 x + = 0 ou y = 0 0 x y 9 = 0 ou 8x + 6y + 6 = 0 06 x y 0

8 Gabarito Aprofundamento 07 P a a a a, 08 A(,6), B(-,-) e C(-,) 09 B 0 x + y (a+b+c) = 0 9 a= ou a x + y P, = A(,) e B(,) x 7y =0 6 a) x + 8y + 6 = 0 b) x + 8y 6 = 0 c) 7x y = 0 7 ax by + [b ( + m) a ( m)]=0,e C0,ou C, 8 (r) x y = 0 e ( s) x + y 0 =0 ou (r) x y 6 =0 e (s) x + y 8 = 0 0 x + y = 0, y =0, x + 7y 9 k = 7 ou k = ¾ 7=0 a c b 0 a) x+y =0 b) GráficosGráficos 7 (,) 6 8 B 9 B 0 D A B x y 0 0 B A 6 E 9 7 D 8 D C 0 D A E D D C 6 C 7 A 8 sen a sen b cos 9 Demonstração 0 Demonstração absen sen a sen b cos a sen b cos 8 S x y (9) -0 MATEMÁTICA 0 - PONTO, RETA E DISTÂNCIAS C 7; 8 D 6; C e D 7; 8; Gabarito Transcendência 86 a)a c os,sen,bcos,sen, cos x sen y b) Ccos,sen,Dcos, sen cos cos ; 88 Demonstração 89 Demonstração 90 Demonstração 9 Demonstração 9 Demonstração ' ' '' '' c cos a cos cos 9 cd ;, onde b a ' ' '' '' d sen sen sen b at t' t' ' tt' tt ' '' t'' t att' t' t'' t'' t 9 ; x y 0 8x y Demonstração 9 tan ' tan '' arctan tan ' tan '' cos x sen y cos ' ' ' ' rcos rsen acos bsen ; ; ' ' ' ' cos cos cos cos 6 att '; at t ' 7 x y 8 bcosy asenx b a sencos 9 y cot x a atan 60 y x e y x 6 y xsec tan 6 São as retas da equação h 6 Demonstração 67 ; 68 a; b y x ab xy Demonstração Demonstração ; x y 0 e 0 7 x 7y 0 ; y 0 ; 0 ; 66 Demonstração 69 x y 0 70 Demonstração 76 x 7y 0; x y 0 0; 9x y ; 7x 9y 90 ; x y ; x 7y 0 ; x 8y M 79 x 9 y 60; 6x 7y 0; 8x y 0 6; 6 80 x y 0 ; x y 0 8 x y 0 ; 7x y 60 8 ) a ; y 0 ) a ; x 6 0 ; a ; x 8 0 ) a ; x 8 y 0 ; a ; x 6y m 0 e m 6 0