3º Bimestre. Álgebra. Autor: Leonardo Werneck

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1 3º Bimestre Autor: Leonardo Werneck

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3 SUMÁRIO CAPÍTULO 01 RELAÇÕES E FUNÇÕES O Plano Cartesiano Produto Cartesiano Gráfico de um Produto Cartesiano O produto ℝ ℝ ou ℝ𝟐 Relações Diagramas de Flechas Funções Representação no Gráfico Função Injetora Função Sobrejetora Função Bijetora Função Par Função Impar Função Crescente Função Decrescente Função Composta Função Inversa (𝐟 𝟏) Como encontrar a função inversa? Propriedade Exercícios Resolvidos Exercícios de Fixação Exercícios Complementares CAPÍTULO 02 FUNÇÃO DO 1º GRAU Introdução Gráfico da Função do 1º Grau Raiz ou Zero da Função Coeficiente Linear Coeficiente Angular (taxa de variação) Exercício Resolvido Exercício Resolvido Estudo do Sinal da Função do 1º Grau Exercício Resolvido Inequações Produto e Inequações Quociente Exercício Resolvido Exercício Resolvido Exercícios de Fixação... 44

4 Exercícios Complementares CAPÍTULO 03 FUNÇÃO DO 2º GRAU Introdução Raízes ou Zeros da Função Exercício Resolvido Natureza das Raízes Relações entre Coeficientes e Raízes Formação de uma Equação Exercício Resolvido Fatoração do Trinômio de 2º grau Exercício Resolvido Gráfico da Função do 2º Grau Pontos Notáveis do Gráfico Exercício Resolvido Máximo e Mínimo Estudo do Sinal da Função do 2º Grau Inequações do 2º Grau Exercício Resolvido Exercícios de Fixação Exercícios Complementares CAPÍTULO 04 FUNÇÃO EXPONENCIAL Equação Exponencial Exercícios Resolvidos Função Exponencial Gráfico da Função Exponencial Inequação Exponencial Exercícios Resolvidos Exercícios de Fixação CAPÍTULO 05 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Definição de Logaritmo Consequências da Definição Propriedades Operatórias Cologaritmo Mudança de Base Função Logarítmica Gráfico da Função Logarítmica... 91

5 7. Equação Logarítmica Exercícios Resolvidos Inequação Logarítmica Exercícios Resolvidos Exercícios de Fixação... 95

6 CAPÍTULO 01 RELAÇÕES E FUNÇÕES 1. O Plano Cartesiano A figura a seguir mostra dois eixos orientados, perpendiculares entre si, e que se cruzam no ponto O, o qual é a origem de ambos os eixos. O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas, apelidado aqui de eixo x, ou ainda, eixo Ox. O eixo vertical é o eixo das ordenadas, comumente apelidado de eixo y, ou ainda, eixo Oy. Os dois eixos dividem o plano em quatro partes chamadas de quadrante e que são enumerados da seguinte maneira. 6

7 Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o que chamamos sistema de coordenadas cartesianas ou plano cartesiano. Cada ponto do plano cartesiano é identificado por um par de números, que são chamados coordenadas do ponto. Para obter as coordenadas de um ponto P qualquer, basta traçar por P as perpendiculares ao eixo Ox e ao eixo Oy. Para dizer que P possui abscissa a e ordenada b, escrevemos: P = (a, b) ou P(a, b). Observe que na notação (a,b) o primeiro número é sempre a abscissa do ponto, enquanto que o segundo é sempre a ordenada. Por exemplo, veja os pontos P(4,1), Q(2,4)e R( 3,2). Desse modo, na notação (a,b), o par de números possui uma ordem bem definida; por isso constituem o que chamamos par ordenado. 2. Produto Cartesiano Sendo A e B dois conjuntos não-vazios, chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados (a,b) com 𝑎 𝐴 e 𝑏 𝐵. O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B é denotado por 𝐴 𝐵, que se lê A cartesiano B. Em símbolos escrevemos: 𝑨 𝑩 = {(𝒂, 𝒃) 𝒂 𝑨 𝒆 𝒃 𝑩} 7

8 Exemplo: Sendo os conjuntos 𝐴 = {1,3,5} e 𝐵 = {2,4}, temos: a) 𝐴 𝐵 = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (5,2), (5,4)} b) 𝐵 𝐴 = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5)} Note que, para 𝐴 𝐵, temos 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴. O produto cartesiano de um conjunto A por ele próprio é simbolizado por 𝐴 Gráfico de um Produto Cartesiano Cada par ordenado do conjunto 𝐴 𝐵 é representado por um ponto no plano cartesiano. Pensando no exemplo anterior, temos: 𝐴 𝐵 = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (5,2), (5,4)} 2.2. O produto ℝ ℝ ou ℝ𝟐 Um produto cartesiano muito importante é o ℝ ℝ ou ℝ2, que representa o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano. 8

9 3. Relações Dados dois conjuntos A e B não-vazios, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de 𝐀 𝐁. Uma relação R de A em B é denotada pelo símbolo 𝑅: A B. Por exemplo: Se 𝐴 = {1, 3} 𝑒 𝐵 = {2, 4, 6}, então 𝐴 𝐵 = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6)} Agora, observe estes conjuntos: 𝑅1 = {(1,2), (3,2), (3,6)} 𝑅2 = {(1,2), (3,6)} 𝑅1 𝑒 𝑅2 são relações de A em B, pois esses dois conjuntos são subconjuntos de 𝐀 𝐁 Diagramas de Flechas Podemos representar uma relação de A em B por meio das seguintes figuras: 𝑅: 𝐴 𝐵 Os conjuntos A e B são representados em diagramas independentes e as flechas indicam quais pares ordenados pertencem a relação. Nesse exemplo, temos: 𝑅 = {(0,5), (1,3), (1,5)} Se um par (x,y) pertence a uma relação R de A em B, então dizemos que R associa x a y, ou então que y é a imagem de x em R 9

10 Ou seja, 3 é imagem de 1 5 é imagem de 0 e 1 Seja R uma relação qualquer de A em B. 1º. Chama-se domínio de R, e representa-se por D, o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo menos um elemento de B. 2º. Chama-se conjunto-imagem de R. e representa-se por Im, o conjunto de todos elementos de B que estão relacionados a pelo menos um elemento de A. 3º. O contra-domínio simbolizado por CD é todo o conjunto de chegada. Nos nossos exemplos 𝐶𝐷 = 𝐵. 4. Funções Sejam A e B dois conjuntos não-vazios. Chama-se função de A em B, qualquer relação de A em B que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Em outras palavras, para ser função precisamos satisfazer duas condições: 1ª) Todos os elementos de A têm que estar associados a algum elemento de B; 2ª) Um mesmo elemento de A não pode estar associado a dois ou mais elementos de B. Observe: Essa relação é uma função, pois satisfaz as duas condições estabelecidas 10

11 Essa relação não é uma função, pois não satisfaz a segunda condição estabelecida. Essa relação não é uma função, pois não satisfaz a primeira condição estabelecida Representação no Gráfico Para ser função, não pode existir uma reta paralela ao eixo vertical traçada pelos pontos de abscissas pertencentes a A que cortem o gráfico em mais de um ponto, pois se isso acontecer equivale a dizer que temos um elemento a de A que está relacionado a mais de um elemento de B, como mostra o exemplo. Não é Função Da mesma maneira, para ser função, não deve existir uma reta paralela traçada pelos pontos de abscissas pertencentes a A que não toque o gráfico, pois se isso acontecer 11

12 equivale a dizer que temos um elemento a de A que não possui um correspondente em B. Observe: Não é Função Observe agora o seguinte gráfico que representa uma função 𝑓: 𝐴 𝐵, pois, verificando os segmentos verticais, as respectivas intersecções com o gráfico e imagens, cada elemento do domínio (D) possui uma e somente uma imagem (Im). Note que no plano cartesiano de uma relação, função ou não, a projeção ortogonal do gráfico no eixo horizontal informa seu domínio e a projeção no eixo vertical informa o conjunto imagem relacionado Função Injetora Uma função é injetora quando todos os elementos do domínio possuem, respectivamente, imagens diferentes. Simbolicamente: 𝑥1 𝑥2 𝐷 𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ) 𝐼𝑚 No diagrama de flechas: 12

13 4.3. Função Sobrejetora Uma função é sobrejetora quando o conjunto-imagem é o próprio contradomínio (B) da função. Simbolicamente: 𝑦 𝐶𝐷 𝑥 𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑦 Em outras palavras, a imagem é igual ao contra-domínio. No diagrama de flechas: 4.4. Função Bijetora Uma função será Bijetora quando ela for simultaneamente injetora e sobrejetora. No diagrama de flechas: 13

14 4.5. Função Par Uma função é par quando elementos simétricos x e x possuem a mesma imagem. 𝑓(𝑥) = 𝑓( 𝑥) Observe o gráfico: 𝐸𝑥: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥)2 = 𝑥 2 𝑓(𝑥) = 𝑓( 𝑥) Note o gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo vertical Função Impar Uma função é impar quando elementos simétricos x e x possuem imagens simétricas. 𝑓(𝑥) = 𝑓( 𝑥) 14

15 Observe o gráfico: 𝐸𝑥: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑒 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥)3 = 𝑥 3 𝑓(𝑥) = 𝑓( 𝑥) Note que o gráfico da função ímpar é simétrico em relação a origem Função Crescente Uma função é crescente se, e somente se, para valores crescentes de x (𝑥1 > 𝑥2 ), tem-se também valores crescentes de y (𝑦1 > 𝑦2 ) ou ao contrário Função Decrescente Uma função é decrescente se, e somente se, para valores crescentes de x (𝑥1 > 𝑥2 ), tem-se valores decrescentes de y (𝑦1 < 𝑦2 ) ou vice-versa. 15

16 4.9. Função Composta Consideremos os conjuntos A, B e C, e as funções 𝑓: 𝐴 𝐵 e 𝑔: 𝐵 𝐶, então a função 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔𝑜𝑓(𝑥): 𝐴 𝐶 é chamada função composta de f com g. Exemplo: Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥+𝑥 2 3 calcule: a) 𝑓𝑜𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) + 1 = 2𝑥+𝑥 = 𝑥 2 +2𝑥+3 3 b) 𝑓𝑜𝑓 = 𝑓(𝑓(𝑥)) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) + 1 = 𝑥 = 𝑥 + 2 c) 𝑔𝑜𝑔 = 𝑔(𝑔(𝑥)) 2 2 𝑔(𝑥) = = 2 2𝑥 + 𝑥 2𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑔(𝑥)) = = 3 3 2( 2𝑥 + 𝑥 2 2𝑥 + 𝑥 2 ) + ( 3 3 ) 3 𝑥 4 + 4𝑥 𝑥 𝑥 27 16

17 4.10. Função Inversa (𝒇 𝟏 ) A função Inversa só existe para funções bijetoras. Portanto, uma função é inversível se, e somente se, ela for bijetora. Note que o que é domínio em uma é imagem na outra e vice-versa Como encontrar a função inversa? 1º. Trocar as variáveis (x por y e y por x) 2º. Isolar o y. Exemplo: Dada a função 𝑔: ℝ ℝ definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥 3 obter a função inversa 𝑔 1 : ℝ ℝ. 𝑔(𝑥) = 2𝑥 3 𝑦 = 2𝑥 3 Substituindo as variáveis, temos: 𝑥 = 2𝑦 3 Isolando y, temos: 𝑥 + 3 = 2𝑦 𝑦= 𝑥+3 𝑥+3 𝑔 1 (𝑥) = 2 2 Graficamente, 17

18 Note que as funções inversas são simétricas em relação as bissetrizes dos quadrantes ímpares Propriedade Se f e g são funções inversas podemos escrever 𝑓𝑜𝑔 = 𝐼 (𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑥) = 𝑔𝑜𝑓. 18

19 Exercícios Resolvidos 01. Numa partida do campeonato Carioca, um grande craque flamenguista recebeu um passe rasteiro e de primeira emendou. A bola encobriu o pobre goleiro do vasco, que como sempre estava adiantado, caiu na linha fatal e atingiu a rede adversária. FOI GOL! Considere a função que a cada instante, desde o momento do chute até o gol, associa a altura em que a bola se encontrava naquele instante. Essa função admite inversa? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA. Resolução Não. Essa função é quadrática e não é bijetiva, pois, há um ponto da trajetória de subida que estará na mesma linha horizontal que um ponto na trajetória de descida. Logo não é injetiva. 02. (UFES) A função cujo gráfico está representado na figura 1 a seguir tem inversa. O gráfico de sua inversa é: 19

20 Resolução A inversa de uma função apresenta um gráfico simétrico em relação à reta y = x (bissetrizes do quadrantes ímpares). A opção que possui essa configuração é o gráfico da letra (d). 03. (UNIRIO) A função inversa da função bijetora 𝒇 (𝑰𝑹 { 𝟒}) (𝑰𝑹 {𝟐}) definida por f ( x) 2x 3 é: x 4 𝐚) 𝐟 𝟏 (𝐱) = (𝐱 + 𝟒)/(𝟐𝐱 + 𝟑) 𝐛) 𝐟 𝟏 (𝐱) = (𝐱 𝟒)/(𝟐𝐱 𝟑) 𝐜) 𝐟 𝟏 (𝐱) = (𝟒𝐱 + 𝟑 )/(𝟐 𝐱) 𝐝) 𝐟 𝟏 (𝐱) = (𝟒𝐱 + 𝟑 )/(𝐱 𝟐) 𝐞) 𝐟 𝟏 (𝐱) = (𝟒𝐱 + 𝟑)/(𝐱 + 𝟐) 2y 3 xy 4 x 2 y 3 xy 2 y 4 x 3 y 4 (4 x 3) 4 x 3 y ( x 2) 4 x 3 (4 x 3) y ( 2 x) 2 x 4x 3 f 1 ( x) 2 x x Resposta: Letra (c) 04. (PUC) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretária da Saúde de um município verificaram que o custo da vacinação de x 𝟑𝟎𝟎𝒙 por cento da população local era de, aproximadamente, 𝒚 = 𝟒𝟎𝟎 𝒙 milhares de reais. Nessa expressão, escrevendo-se x em função de y, obtém-se x igual a: a) 4/3 b) 300y / (400 - y) c) 300y / (400 + y) d) 400y / (300 - y) e) 400y / (300 + y) Solução. Calculando x em função de y, temos: 300 x 400 y yx 300 x 300 x yx 400 y 400 x x(300 y ) 400 y 400 y x. 300 y y Resposta: Letra (e) 20

21 05. (UFRRJ) Determine o valor real de a para que 𝒇(𝒙) = 𝒙+𝟏 𝟐𝒙+𝒂 possua como inversa 𝟏 𝟑𝒙 a função 𝒇 𝟏 (𝒙) = 𝟐𝒙 𝟏. Solução. Calculando a inversa de f(x), temos: x y 1 1 ax 2 xy ax y 1 2 xy y 1 ax f 1 ( x) Igualando a f-1(x) dada: 2y a 2x 1 1 ax 1 3x Comparando temos que 𝑎 = 3 2x 1 2x Sob pressão constante, concluiu-se que o volume V, em litros, de um gás e a temperatura, em graus Celsius, estão relacionados por meio da equação V V3 V3.T ; onde V³ denota o volume do gás a 0 C. Assim, a expressão que 273 define a temperatura como função do volume V é: Resolução. a) T [V b) T 3 V ].V V V 273V V V 3 c) T V3 d) T V 273V 3 V3 e) T 273. Expressando o valor de T, temos: V3 V V.T 273V 273V 3 V 3T V T 273V 273V 3 3 V 3T 273(V V 3 ) T Resposta: Letra (e) 273(V V 3 ) V V V3 V3 V V 3 V3 07. Dadas as funções reais f ( x) x 2 e g ( x) x 2 ; calcule f g f ( 2) 21

22 Resolução: Aplicando as compostas, temos: 𝑖) 𝑓( 2) = ( 2)2 = 4 𝑖𝑖) 𝑔(𝑓( 2)) = 𝑔( 4) = ( 4) + 2 = 2 𝑖𝑖𝑖) 𝑓(𝑔(𝑓( 2))) = 𝑓(𝑔( 4)) = 𝑓( 2) = ( 2)2 = Se f e g são funções reais tais que 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐 e 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒙 + 𝟐, para todo x IR, então 𝒈(𝒇(𝟐)) é igual a: a) 4 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3 Resolução: Aplicando as compostas, temos: i) 𝑓(𝑥) = 2(𝑥) 2 ii) 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2(𝑔(𝑥)) 2. Mas pela informação 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥 + 2. Logo, 2(𝑔(𝑥)) 2 = 𝑥 + 2 Então, 2(𝑔(𝑥)) = 𝑥 implicando que 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 4)/2. Temos: 𝑓(2) = 2(2) 2 = 4 2 = 2. E calculamos 𝑔(𝑓(2)) = (2 + 4)/2 = 6/2 = 3. Resposta: Letra (e) 09. Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [-3;6] conforme indicado no gráfico. Deste modo, o valor de f(f(2)) é: 22

23 a) 3 b) 0 c) -3 d) -1/2 e) 1 Resolução: Basta analisar o gráfico e ler as coordenadas. i) 𝑓(2) = 3 (observe que a ordenada y = 3 não existe) ii) 𝑓(𝑓(2)) = 𝑓( 3) = (UFPE) Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráfico de uma função injetora 𝒚 = 𝒇(𝒙)? Solução. Repare nas retas paralelas aos eixos. 23

24 Exercícios de Fixação 01. Sendo A = {1, 3}, B = {2, 3, 5} e C = {8, 9, 11, 15}, determine: a) A B b) A C c) C A d) C B e) A2 f) B A g) B2 02. Marque os seguintes pontos num sistema cartesiano ortogonal. a) (4, 1) b) (1, 4) c) (2, 3) d) (0, -4) e) (-2, 5) f) (-5, 4) g) (-3, -1) h) (-2, 0) 03. (UEL) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x, y) A B x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto: a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)} d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)} e) {(2,0), (2,2), (2,4)} 04. (UFRRJ) O matemático Mathias levou seu filho a um parque de diversões. Enquanto o menino se divertia nos brinquedos, Mathias passava o tempo fazendo tentativas de representar graficamente os movimentos de seu filho. Tentando representar: 24

25 I. A altura de seu filho em função do tempo na roda gigante II. A velocidade de seu filho em função do tempo no escorrega III. A velocidade de seu filho em função do tempo na gangorra IV. À distância de seu filho até o centro do carrossel, em função do tempo no carrossel. O matemático Mathias fez os seguintes gráficos: O conjunto que melhor representa as relações entre movimentos e gráficos são: a) R = {(I, 2), (II, 1), (III, 4), (IV, 6)} b) R = {(I, 1), (II, 2), (III, 3), (IV, 4)} c) R = {(I, 3), (II, 5), (III, 2), (IV, 1)} d) R = {(I, 2), (II, 3), (III, 5), (IV, 6)} e) R = {(I, 3), (II, 4), (III, 5), (IV, 6)} 05. (PUC-MG) Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio {x ℜ/ 1 x 1} e imagem {y ℜ/1 y 3} é: 25

26 06. (UNAERP) Qual dos seguintes gráficos não representam uma função f: R R:? 07. (FEI) Em relação à função polinomial f(x) = 2x 3 3x, é válido afirmar-se que: a) f( x) = f(x) b) f( x) = f(x) c) f(x 2 ) = (f (x) )2 d) f(ax) = a f (x) e) f(ax) = a2 f (x) 08. (PUC-MG) Duas funções, f e g, são tais que f(x) = 3x 1 e f[g(x)] = 2 6x. Nessas condições, o valor de g( 1) é: a) 3 b) 4 c) 5 d) (FUVEST) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a: a) 1/2 b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10 26

27 10. (PUC) Seja f a função de ℝ em ℝ, dada pelo gráfico a seguir É correto afirmar que: a) f é sobrejetora e não injetora. b) f é bijetora. c) 𝑓(𝑥) = 𝑓( 𝑥) para todo x real. d) 𝑓(𝑥) > 0 para todo x real. e) O conjunto imagem de f é ], 2] 11. (Unifesp) Há funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) que possuem a seguinte propriedade: valores distintos de x correspondem valores distintos de y. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora? 27

28 Exercícios Complementares 01. (UNIRIO) Considere a função real f: A R, onde R denota o conjunto dos números reais, cujo gráfico é representado a seguir, sendo o eixo das ordenadas e a reta da equação y = 3, assíntotas da curva que representa f: x y = f(x). Determine o domínio e o conjunto-imagem de f. 02. (UFRJ) A figura adiante representa o gráfico de uma certa função polinomial f: R R, que é decrescente em [-2,2] e crescente em ], 2] e em [2, + [. Determine todos os números reais c para os quais a equação 𝑓(𝑥) = 𝑐 admite uma única solução. Justifique. 03. (UNESP) Considere as funções: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 Determine o conjunto C, dos pontos(a, b) ℜ2 tais que fog = gof. 28

29 04. (UERJ) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b)) é igual a 0,2. Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b)). 05. (UFRN) O banho de Mafalda. Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou observando o nível de água subir. Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O gráfico a seguir que mais se aproxima da representação do nível (N) da água na banheira em função do tempo (t) é: 06. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: 29