Capítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos

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1 Conjuntos e Relações Capítulo Neste capítulo você deverá: Identificar e escrever os tipos de conjuntos, tais como, conjunto vazio, unitário, finito, infinito, os conjuntos numéricos, a reta numérica e intervalos Utilizar estes conceitos em operações com conjuntos, tais como, a intersecção, a união e a diferença; Conhecer o plano cartesiano e calcular o produto cartesiano de dois conjuntos; Enunciar e determinar uma relação, seu domínio e conjunto imagem e também identificar uma relação inversa Noção intuitiva de conjuntos A noção de conjuntos, fundamental na Matemática de nossos dias, não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva, introduzida pelo matemático russo GEORG CANTOR (845 98) Intuitivamente, sob a designação de conjunto entendemos toda coleção bem definida de objetos (chamados os elementos do conjunto), não importa de que natureza, considerados globalmente Segundo GEORG CANTOR: Chama-se conjunto o grupamento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto Em Matemática definem-se e estudam-se conjuntos de números, de pontos, de retas, de curvas, de funções, etc Exemplos de conjuntos: O conjunto dos livros da área de contabilidade de uma biblioteca, O conjunto dos pontos de um plano, O conjunto das letras da palavra Contabilidade, O conjunto dos conselhos regionais de contabilidade (CRC) existentes no Brasil, O conjunto dos escritórios de contabilidade da região sul, O conjunto dos professores, alunos e servidores técnicos administrativo do Departamento de Ciências Contábil da UFSC Notação dos conjuntos

2 Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação: a) Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C,, X, Y, Z ; b) Os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c,, x, y, z O conjunto A cujos elementos são a, b, c, representa-se pela notação: A = a, b, c, que se lê: A é o conjunto cujos elementos são a, b, c, Por exemplo, (i) Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela letra s: segunda, sexta, sábado (ii) (iii) Conjunto das disciplinas da segunda fase do curso de ciências contábeis da UFSC, conforme novo currículo: matemática financeira, direito comercial, estatística, contabilidade II Conjunto dos nomes dos cursos do Centro Sócio Econômico da UFSC: admistração, ciências contábeis, ciências econômicas, serviço social Conjuntos numéricos fundamentais a) Conjunto dos naturais b) Conjunto dos inteiros Notação: = { 0,,, Notação: = {, 3,,,0,,,3, c) Conjunto dos racionais p Notação: = p, q e q 0 q d) Conjunto dos irracionais Notação: Ι e) Conjunto dos reais Notação:, onde = Ι U Relação de pertinência Para indicar que um elemento x pertence ou não a um conjunto A, escreve-se simbolicamente: x A e x A e que se lê: x pertence a A e x não pertence a A Esta notação é devida ao matemático italiano Giuseppe Peano (858-93)

3 Determinação de um conjunto Um conjunto é bem determinado quando se sabe quais são os elementos que o constituem Um conjunto pode ser definido por um dos seguintes modos: a) Por extensão Consiste em enumerar ou listar os seus elementos, A a, e, i, o, u B =,3,5, 7 colocados entre chaves Por exemplo, = e b) Por compreensão Consiste em mencionar uma propriedade característica de seus elementos Por exemplo, A = { x x é par positivo c) Diagrama de Euler-Venn A fim de facilitar o entendimento de certas definições e demonstrações da Teoria dos Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada qualquer Uma tal representação recebe o nome de diagrama de Eule-Venn Exemplo A figura abaixo é o diagrama de Euler-Venn dos conjuntos: {,,3,4 e B {,,5,7 A = = A B Figura Conjuntos: Vazio, unitário, finito e infinito a) Conjunto vazio É todo conjunto que não possui nenhum elemento Notação: ou φ Exemplo A = x x é homem e x é mulher = φ (i) (ii) B = { x 9 < x < 0 = φ b) Conjunto unitário É todo conjunto constituído de um único elemento Exemplo 3 ) O conjunto das raízes da equação x + = 7 : Resposta: { 3

4 ) A = { x 3 < x < 5 = { 4 Observação Uma correspondência entre dois conjuntos A e B é dita biunívoca se cada elemento do conjunto A está associado a um só elemento do conjunto B e vice-versa Exemplo 4 A = B = { x, t, y, z b b b b {,, 3, 4 c) Conjunto finito Um conjunto A é dito finito quando existe n tal pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre os B =,,3,, n elementos do conjunto A e os elementos do conjunto Exemplo 5 O conjunto A = { 0,,4,6 é finito, pois, A = { 0,, 4, 6 B = b b b b,, 3, 4 d) Conjunto infinito É todo conjunto que contém um número infinito de M = 0,,4,6,8, é um conjunto infinito elementos Por exemplo, e) Conjunto universo É o conjunto que contém todos os elementos utilizados num determinado assunto Notação: U Exemplo 6 Seja U = Ao procurarmos as raízes reais de algumas equações temos: Equação raíz real x = 0 x + = 0 Não tem raiz real x + x 3 = 0 e 3 Igualdade entre dois conjuntos O conjunto A é igual ao conjunto B, se e somente se A está contido em B e B está contido em A Simbolicamente: A = B A B e B A

5 Família de conjuntos ou coleção de conjuntos É um conjunto cujos elementos também são conjuntos, por exemplo, o conjunto { { 3,4,{,,{ Observe que { 3,4 D, {, D e { D D =, Relação de inclusão Dizemos que um conjunto A está contido em um conjunto B, se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B Notação: A B ou B A Simbolicamente: A B x A x B Graficamente: B A Figura Observação: (i) A, φ A (ii) Quando A B, dizemos que A é um subconjunto de B Conjunto das partes de um conjunto É o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A Notação: P( A ) Exemplo 7 Seja o conjunto A = {,3,4, logo P( A) { φ, {,{ 3,{ 4,{,3,{,4,{ 3,4, A O número de elementos de P( A ) é 8 =

6 Observação Todo conjunto finito A com n elementos tem n subconjuntos Operações com conjuntos Intersecção de conjuntos Dados dois conjunto A e B, chamamos de intersecção de A com B, e anotamos por AI B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B Simbolicamente: A I B = x x A e x B Exemplo 8 Sejam os conjuntos A = {,3, 6,8, B = { x < x < 7 = { 3,4,5,6 e C = { 5 Assim, AI B = { 3,6, AI C = φ e B I C = { 5 Observação: Quando A I B = φ, dizemos que A e B são disjuntos Propriedades Dados os conjuntos A e B, temos as seguintes propriedades da intersecção P - AI φ = φ P - AI U = A P3 - AI B = B I A (comutativa) AI B I C = A I B I C (associativa) P4 - ( ) ( ) P5 - A B A I B = A União de conjuntos Dados dois conjunto A e B, chamamos de união ou reunião de A com B, e anotamos por A U B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a B Simbolicamente: AU B = x x A ou x B Exemplo 9 Sejam os conjuntos A = x x 4 = 0,,,3,4,

7 { 7 {,3, 4,5, 6 B = x x < = e C = { 0, Assim, AU B = 0,,,3,4,5,6 = x x 6 { 0,,,3, 4,0, {,3, 4,5, 6,0, AU C = B U C = Propriedades da união Dados os conjuntos A, B e C, temos as seguintes propriedades da união P - AU φ = A P - AU U = U P3 - AU B = B U A (comutativa) P4 - AU( B UC ) = ( A U B ) U C (associativa) P5 - A AU B ou B AU B P6 - A B A U B = B AU B I C = A U B I AU C P7 - ( ) ( ) ( ) P8 A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) I U I U I Observação O número de elementos de A B n ( A B ) n ( AU B ) = n ( A) + n ( B ) n ( A I B ) U, U, é dado por Conjunto complementar Seja A U O conjunto complementar de A em relação U, é o conjunto dos elementos de U que não pertencem a A Notação: Simbolicamente: ( ) ' C CU A, C( A), A e A C A x x U e x A = Exemplo 0 Sejam os conjuntos { 7 { 0,,,3,4,5,6,7 U = x x = ; A = { 0,,,3 e B = {,4,6,7 Assim C C A = { 4,5,6,7 e { 0,,3,5 B =

8 Propriedades de complementação Dados os conjuntos A e B, temos as seguintes propriedades: P - ( φ ) C = U P - ( U ) C P3 - ( A) P4 - P5 - = φ C ( ) C = A C A A = φ I C A A = U U A I B = A U B P6 - ( ) C C C A U B = A I B P7 - ( ) C C C As propriedades P6 e P7 são conhecidas como Leis de De Morgam Diferença de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos de diferença entre A e B, e anotamos por A B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e que não pertence a B Simbolicamente: A B = { x x A e x B Usando o diagrama de Euler-Venn, vem A B A B Figura 3 Exemplo (i) Sejam os conjuntos A = {,,3,4,5,6 e B = { 4,5,6,7,8 A B = {,,3 e B A = { 7,8 (ii) { a, b, c { b, c, d = { a (iii) { d, e, f { a, b, c = { d, e, f, assim

9 Propriedades da diferença Dados os conjuntos A e B, temos as seguintes propriedades: P - A B A e B A B C P - A B = AI B C C P3 - A B = B A P4 - A ( B UC ) = AI ( B U C ) C Observação: Dados os conjuntos A e B temos que n ( A B ) = n ( A) n ( A I B ) 3 Reta numérica Uma maneira prática de representar os números reais é através da reta real Observe que essa representação começa com a escolha de um ponto arbitrário, denominado origem ou ponto zero, e um outro ponto arbitrário a sua direita, o ponto A distância entre esses pontos (distância unitária) serve como escala por meio da qual é possível associar pontos da reta a números inteiros positivos ou negativos, como ilustrado na figura 4, e também a números racionais Todos os números positivos estão à direta do zero, no sentido positivo, e todos os números negativos estão à sua esquerda Figura 3 Figura 4 Intervalos São particularmente importantes alguns subconjuntos de, denominados intervalos Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados o Intervalos limitados (i) Fechado [ a, b] = { x a x b (ii) Aberto ( a, b) = ] a, b[ = { x a < x < b (iii) Semi-abertos ( a, b] = ] a, b] = { x a < x b ;

10 [ a, b) = [ a, b[ = { x a x < b o Intervalos ilimitados (i) Fechados [ a, + ) = [ a, + [ = { x x a (, b] = ], b] = { x x b ; (ii) Abertos ( a, + ) = ] a, + [ = { x x > a ; (, b) = ], b[ = { x x < b (iii) Aberto e fechado (, + ) = ], + [ = Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos Exercícios propostos - ) Observe as seguintes definições: (a) Triângulo é todo polígono de três lados; vamos chamar de T o conjunto dos triângulos (b) Triângulo isósceles é todo triângulo que possui pelo menos dois lados de mesma medida; vamos chamar de I o conjunto dos triângulos isósceles (c) Triângulo eqüilátero é todo triângulo que possui os três lados iguais; vamos chamar de E o conjunto dos triângulos eqüiláteros (d) Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto 90 o ; vamos chamar de R o conjunto dos triângulos retângulos Complete então com ou : (a) T R (b) E I (c) R I (d) I E (e) E T ) Observe as seguintes definições: Quadrilátero é todo polígono de 4 lados; vamos chamar de U o conjunto dos quadriláteros Quadrado é todo quadrilátero que possui os 4 lados iguais e também os 4 ângulos iguais; vamos chamar de Q o conjunto dos quadrados Retângulo é todo quadrilátero que possui os 4 ângulos retos; vamos chamar de R o conjunto dos retângulos

11 Losango é todo quadrilátero que possui 4 lados congruentes; vamos chamar de L o conjunto dos losangos Trapézio é todo quadrilátero que possui pelo menos um par de lados paralelos; vamos chamar de T o conjunto dos trapézios Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos; vamos chamar de P o conjunto dos paralelogramos Complete então com ou : (a) R L (b) P R (c) L U (d) U T (e) T Q (f) Q P 3) Sejam os seguintes conjuntos: U dos quadriláteros; Q dos quadrados: R dos retângulos; L dos losangos; T dos trapézios e P dos paralelogramos Determinar os seguintes conjuntos: a) Q U T; b) L U Q; c) P U U ; d) R I L 4) Dados dois conjuntos A e B, e sabendo-se que n( A ) = 3, n( B ) = 37 e n ( A B ) = 8 I, determine n ( A B ) U 5) Dois clubes A e B têm juntos 4 sócios O clube B possui 7 sócios e os clubes possuem em comum 39 sócios Determinar o número de sócios de A 6) Sendo A = { x, y, z, B = { x, w, v e C { y, u, t conjuntos: a) A B ; b) B A ; c) A C ; d) C A ; e) B C ; f) C B 7) Dados os conjuntos A e B, n( A ) = 8, ( ) n ( A B ) e n ( B A) =, determinar os seguintes n B = e n ( AI B ) = 7 Determinar 8) Sejam os conjuntos: A = { x x é inteiro positivo, B { x x é par positivo C = { x x é ímpar positivo Determinar os conjuntos a) B U C ; b) B I C ; = e

12 c) B C ; d) C B ; C B ; e) ( ) A f) CA ( A ) 9) Dados os intervalos A = [,4 ) e B = (,8] conjuntos: a) AU B ; b) A I B ; c) A B ; d) B A; C A e) ( ) 0) Sejam os conjuntos A = {,,3,4 e B = {,4,6,8 ( A U B ) ( AI B ), determinar os seguintes Determine o conjunto ) Sejam os conjuntos U = {,,,9, A = {,,3,4, {,4,6,8 C = { 3,4,5,6 Determinar: C a) A ; b) ( A C ) C I ; c) B C ) Sejam U = { a, b, c, d, e, A = { a, b, d e B { b, d, e a) b) A B C A C I B ; C I B ; c) C C A =, determinar: B = e 3) Em cada caso, escreva o conjunto resultante com a simbologia de intervalo x x I x 3 < x < a) b) { x x < U { x x 0 c) { x 3 < x I { x x > d) { x < x 3 U { x x < e) { x 3 x 0 { x < x < 3 I Respostas: ) a) b) c) d) e) ) a) b) c) d) e) f) 3) a) T b) L c) U d) Q 4) 5 5) 08

13 6) a) { y, z b) { w, v c) { x, z d) { u, t e) { x, w, v f) {,, 7) n ( A B ) = e n ( B A) = 4 8) a) A b) φ c) B d) C e) C f) B y u t 9) a) [,8 ] b) (,4 ) c) [, ] d) [ `4,8 ] e) { x x < ou x 4 0) {,3, 6,8 ) a) { 5,6,7,8,9 b) {,,5,6,7,8,9 c) {,8 ) a) { e b) { c c) { a 3) a) [, ) b) (, + ) = c) φ d) (,3] e) (,0] 4 Plano Cartesiano ou sistema de coordenadas cartesianas O plano cartesiano ou sistema de coordenadas cartesianas é constituído de duas retas perpendiculares no plano uma é escolhida como sendo horizontal e outra como vertical Essas retas interceptam num ponto 0, chamado de origem A reta horizontal é chamada eixo x e, a reta vertical é chamada eixo y Uma escala numérica é colocada ao longo dos eixos x e y Um ponto no plano pode ser representado de modo único no sistema de coordenadas por um par ordenado ( x, y ), onde x é o primeiro número e y é o segundo Figura 5: O sistema de coordenadas cartesianas O primeiro número é representado no eixo x e o segundo no eixo y No par ordenado ( x, y ), x é chamado de abscissa ou coordenada x, y é chamado de ordenada ou coordenada de y, x e y conjuntamente são chamados de coordenadas do ponto P O leitor está famializado com o plano cartesiano, conforme figura acima

14 Figura 6: Um par ordenado ( x, y ) A figura abaixo, mostra alguns pontos no plano cartesiano Figura 7: Alguns pontos do plano cartesiano Observação De um modo geral, se x e y são números reais distintos x, y y, x x, y x, y então ( ) ( ) e ( ) De tudo que vimos acima nos motiva a seguinte definição Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A B cujos elementos são todos x, y em que o primeiro elemento A e o segundo os pares ordenados ( ) pertence a B Simbolicamente: { (, ) A B = x y x A e y B

15 O símbolo A B lê-se: A cartesiano B Exemplo Dados os conjuntos A = {,3 e B = {,4 A B = { (, ), (,4 ), ( 3, ), ( 3,4 ), temos A representação gráfica de A B no plano cartesiano é mostrada na figura abaixo y 4 (,4 ) ( 3, 4 ) (, ) ( 3, ) 0 3 x Figura 8 Exemplo 3 Dados os conjuntos A = { x x 5 B = { x y 4 temos A B { ( x, y ) x A e y B e = e a representação gráfica de A B é representado pelo conjunto dos pontos de um retângulo conforme figura 9 Note que (, ) B A = y x y B e x A é representado por um retângulo diferente do anterior, veja figura 0 y 4 A B 0 5 x

16 Figura 9 y 5 B A 0 Figura 0 4 x Propriedades do produto cartesiano Dados os conjuntos A, B e C, temos as seguintes propriedades do produto cartesiano P - A relação A B = φ é equivalente a A = φ ou B = φ P - A relação A B = B A é equivalente a A = φ ou B = φ ou A = B A B C = A B A C A I B C = A C I B C P3 - ( I ) ( ) I ( ) e ( ) ( ) ( ) P4 - A ( B UC ) = ( A B ) U ( A C ) e ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) P5 - A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) e ( A B ) C ( A C ) ( B C ) U U = Observação Se n A é o número de elementos do conjunto A, n B é o número de elementos do conjunto B então o número de elementos de A B é dado por na nb, ou seja, n ( A B ) = na nb 5 Relação Consideremos os conjuntos A = {,,3,4 e B = {,,3,4,5,6,7,8 o produto cartesiano de A por B é o conjunto (, ) ou seja, Sabemos que A B = x y x A e y B, { (, ), (, ),, (, ), (,4 ),, ( 3, ),, ( 3,6 ), ( 4, ),, ( 4,8) A B =

17 Vamos considerar agora o conjunto dos pares ( x, y ) de tal que x é o dobro de y, e temos o seguinte conjunto { (, ) { (, ), (,4 ), ( 3,6 ), ( 4,8) R = x y A B y = x = que é chamado uma relação entre os elementos de A e B, ou, uma relação R de A em B O conjunto R está contido em A B x, y em que o elemento x A é associado ao elemento y B mediante certo critério de relacionamento Isto nos motiva a seguinte definição e é formado pelos pares ( ) Definição Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B todo subconjunto R de A B O conjunto A é chamado conjunto de partida da relação R e o conjunto B é chamado conjunto de chegada da relação R Quando o par ordenado ( x, y ) pertence à relação R, anotamos por x R y, que se lê x erre y, simbolicamente, vem (, ) Exemplo 4 Sejam os conjuntos A = {,,5,7 e B = { 0,,4,6,8 relação R = ( x, y ) A B x > y de A em B x y R x R y Escreva a Resolução: Os elementos de R são todos os pares ordenados de A B nos quais o primeiro elemento é maior que o segundo, ou seja, são todos pares formados pela associação de cada elemento x A com cada elemento y B tal que x > y Portanto, a relação pedida é { (,0 ), (,0 ), ( 5,0 ), ( 5, ) ( 5,4 ), ( 7,0 ), ( 7, ), ( 7,4 ), ( 7,6 ) R = B = Determine o número de elemento de A B e escreva a relação R = x, y A B x = y Exemplo 5 Sejam os conjuntos A = {,,0,, e { 0,,,3, 4,5 { ( ) Resolução: Como o número de elementos de A é 5 e o número de elementos de B é 6, logo o número de elementos de A B é 5 6 = 30 elementos Agora, os elementos de R são todos pares ordenados de A B no qual o quadrado do primeiro elemento é igual ao quadrado do segundo, ou seja,

18 { (, ), (, ), ( 0,0 ), (, ), (, ) R = Exemplo 6 Sejam os conjuntos A = { 6,8,0,,4 e R = ( x, y ) A A y = x + 4 Escreva a relação R acima Resolução: Os elementos de R são todos pares ordenados de A A no qual o segundo elemento é quatro unidades maior que o primeiro, portanto, a relação pedida é { ( 6,0 ), ( 8, ), ( 0,4) R = Exemplo 7 Dados os conjuntos A = { 0, 4,9,6 e B = {,,3,4 relação R definida por R = ( x, y ) A B y = + x Escreva a Resolução: Os elementos de R são todos pares ordenados de A B no qual o segundo elemento é a raiz quadrada positiva do primeiro, portanto, a relação pedida é { ( 4, ), ( 9,3 ), ( 6,4 ) R = Domínio e imagem de uma relação Definição: Seja R uma relação de A em B Chama-se domínio de R, anotamos por D ( R ), o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R Chama-se imagem de R, anotamos Im R, o conjunto de todos os segundos elementos dos pares por ( ) ordenados pertencentes a R Exemplo 8 Dados os conjuntos A = { 3,4,7,8 e { 4,5,6,8,0,,3 Determine D ( R ) e Im ( R ) onde R = ( x, y ) A B y é múltiplo de x B = Resolução: Você escreve os elementos da relação R que são todos pares ordenados de A B no qual o segundo elemento é múltiplo do primeiro, assim Agora pela definição acima, vem 3,4,7 { ( 3,6 ), ( 3, ), ( 4,4 ), ( 4,8 ), ( 4,0 ), ( 7,) R = D ( R ) = e Im ( ) { 4,6,8,0, R = Exemplo 9 Dados os conjuntos A = {,,3 e B = {,3 Determine D ( R ) e Im ( R ) para a relação R = ( x, y ) A B x + y > 4

19 Resolução: Calculando inicialmente A B você tem Assim, Portanto, { (, ), (,3 ), (, ), (,3 ), ( 3, ), ( 3,3 ) A B = { (,3 ), ( 3, ), ( 3,3 ) R = D ( R ) = {,3 e Im ( ) {,3 R = Exemplo 0 Seja o conjunto A = { x 0 x 50 Im ( R ) onde R = { ( x, y ) A A = A y = x Resolução: Calculando inicialmente A A = A você tem A A = 0,0,, 0,50,,0,,,50, 3,0, Determinar o ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3,9 ),, ( 3,50 ),, ( 7,0 ),, ( 7,49 ), ( 7,50) D R e Agora, você escreve os elementos da relação R que são todos pares ordenados de A A no qual o segundo elemento é o quadrado do primeiro, assim { ( 0,0 ), (, ), (,4 ), ( 3,9 ), ( 4,6 ), ( 5,5 ), ( 6,36 ), ( 7,49) R = Agora pela definição acima, vem D R = e ( ) { 0,,,3,4,5,6,7 Im ( R ) = { 0,, 4,9,6, 5,36, 49 Relação inversa Definição: Dada uma relação R de A em B, consideremos o conjunto { (, ) (, ) R y x B A x y R = Como R é subconjunto de B A, então R é uma relação de B em A à qual definimos por relação inversa de R Dessa definição decorre que R é o conjunto dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par Observação: O par ( x, y ) R, se e somente se ( y, x ) R Exemplo Dados os conjuntos A = {,3, 4,5 e {,3,5, 7 R definida por B = e a relação

20 Determine: R, D R e Im R (i) ( ) ( ) (ii) R, D ( R ) e Im ( R ) { (, ) R = x y A B x < y Resolução: Você calcula inicialmente A B, assim e A B = B A = { (, ), (,3 ),, (,7 ), ( 3, ), ( 3,3 ),, ( 4, ),, ( 4,7 ), ( 5, ),, ( 5,7 ) { (, ), ( 3, ),, ( 7, ), (,3 ), ( 3,3 ),, (,4 ),, ( 7,4 ), (,5 ),, ( 7,5) Agora, para responder a letra (i), os elementos da relação R são todos pares ordenados de A B no qual o primeiro elemento é menor que o segundo, assim Logo, { (,3 ), (,5 ), (,7 ), ( 3,5 ), ( 3,7 ), ( 5,7 ) R = D ( R ) = {,3,5 e Im ( ) { 3,5, 7 R = Para responder a letra (ii), vem { ( 3, ), ( 5, ), ( 7, ), ( 5,3 ), ( 7,3 ), ( 7,5) R = ; e ( ) { 3,5, 7 Im ( R ) D R = = ; ( R ) D ( R ) Im =,3,5 = Exemplo Sejam os conjuntos A = { 0,,,5 e {,,0,, relação R definida por Determine: R, D R e Im R (i) ( ) ( ) (ii) R, D ( R ) e Im ( R ) { (, ) R = x y A B y = + x B = e a Resolução: (i) Para cada elemento x A você associa o elemento y B, tal que y = + x, ou seja, para x = 0 vem 0 0, + R ; y = + = + e ( ) para x = vem 0 0,0 R ; y = + = + = e ( ) y = + = + = e ( ) y = + = + = e ( ) para x = vem para x = 5 vem 5 4, R ; 5, R

21 Assim, para responder a letra a, vem e { (,0 ), (, ), ( 5, ) D ( R ) = {,,5 R =, Im ( R ) = { 0,, Agora, para responder (ii), você tem e { ( 0, ), (, ), (,5) R =, ( ) = { 0,, = Im ( R ) D R ( R ) D ( R ) Im =,,5 = Exemplo 3 Sejam A = { x x 5 e B = { y y 0 R definida por R { ( x, y ) A B y x plano cartesiano R e R e a relação = = Representar, graficamente, no Resolução: Você tem o gráfico de que é o retângulo da figura abaixo y x Figura O gráfico de R é o retângulo da figura abaixo

22 y 5 0 Figura 0 x Propriedades da relação inversa É fácil verificar as seguintes propriedades P - D ( R ) Im ( R ) P - Im ( R ) D ( R ) P3 - ( R ) = R = = Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos Exercícios propostos Dados os conjuntos A = {,3,5, 7 e B = {,5 a) AI B, b) A B, A I B A B c) ( ) ( ) Determinar: O produto A A = A é formado por 6 pares ordenados Dois desses,3 Determinar os outros 4 pares pares são ( 0,5 ) e ( ) 3 Dados os conjuntos: A = { a, b, B = {,3 e C = { 3,4 a) A ( B U C ), b) A ( B I C ), c) A ( B C ), d) ( A B ) ( A C ) U, Determinar:

23 e) ( A B ) ( A C ) I 4 Calcular o produto cartesiano x x x 3 = 0 x x x 3 = 0 { ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Calcular o produto {, {,3 { 4,5 6 Dado o conjunto A = {,0,,,3,4 e a relação R definida por R = ( x, y ) A A x + y = 3 Determinar: a) R, D R, b) ( ) c) Im ( R ) 7 Sejam os conjuntos A = { 0,,,3,4 e B = {,,4,8,6 simbolicamente a relação { ( 0, ), (, ), (,4 ), ( 3,8 ), ( 4,6) 8 Consideremos as relações R = x, y x + y = 5 Determinar R I S Escreva R = de A em B { ( ) e ( ) 9 Sejam os conjuntos A = {,4,9 e {,,3 ( ) Determine: a) R, D R, b) ( ) c) Im ( R ) d) R, D ( R ) e Im ( R ) {, 7 S = x y x + y = B = e a relação {, 6 R = x y A B x + y 0 Consideremos a relação (, ) A = {,4,9 e B = {,,3 Determine: a) R, D R, b) ( ) c) Im ( R ) Escreva a relação R, D ( R ) e Im ( R ) de a) R = ( x, y ) = y = x R = x y B A x = + y e os conjuntos

24 b) (, ) R = x y y = x 3 Represente simbolicamente cada uma das relações abaixo definidas em = através de uma lei que relacione ou associe x e y R = 0,0,,3,,6, 3,9, 4,,, a) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) R = { (,0 ), ( 3, ), ( 4, ), ( 5,3 ), ( 6,4 ), c) { ( 0,0 ), (, ), (,8 ), ( 3,7 ), ( 4,64 ), R = 4 Sejam os conjuntos A = [, + ) e B = (,5 ] A B Determine graficamente 5 Dados os conjuntos A = {,,3,5 e { 4,,0,,4 definida por Determine: a) R, D ( R ) e ( ) Im R b) R, D ( R ) e Im ( R ) Respostas: { (, ) 0 R = x y A B x + y < a) {,5, b) { 3,7, c) { ( ) ( ) ( ) ( ),3,,7, 5,3, 5,7 B = a relação ( 0,0 ) (,0 ) ( 3,0 ) ( 5,0 ) ( 0, ) (,) ( 3, ) ( 5, ) ( 0,3) (,3) ( 3,3) ( 5,3) ( 0,5) (,5) ( 3,5 ) ( 5,5) 3 a) { ( a, ), ( a,3 ), ( a,4 ), ( b, ), ( b,3 ), ( b,4) b) { (,3), (,3) c) { ( a, ), ( b,) d) { (,), (,3), (,4), (,), (,3), (,4) { ( a,3 ), ( b,3) 4 { (, ) (,3 ), ( 3, ), ( 3,3 ) a b a a a b b b e) 5 { (,,4 ), (,,5 ), (,3,4 ), (,3,5 ), (,,4 ), (,,5 ), (,3, 4 ), (,3,5 ) 6 a) { (,4 ), ( 0,3 ), (, ), (, ), ( 3,0 ), ( 4, ) 7 ( ) b) A c) A {, x R = x y A B y =

25 8 { (,3 ) 9 a) { (, ), (, ), (,3 ), ( 4, ), ( 4,) b) D ( R ) = {,4 c) Im ( R ) = {,,3 d) { (, ), (, ), ( 3, ), (,4 ), (,4 ) R = R =, D ( R ) = {,,3 e Im ( ) {,4 R = 0 a) R = { (,4 ), (,4 ), ( 3,9 ) b) D ( R ) = {,,3 c) Im ( ) { 4,9 a) R = { ( 0,0 ), (, ), (, ), ( 3,3 ), ( 4,4 ),, ( x, x ), ; D ( R ) Im ( R ) 0,0,,,,4, 3,9, 4,6, 5,5,,, R = x x, ; ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Im ( R ) = { 0,,4,9,5,, x, R = { x, y y = 3x {,, 3 { a) ( ) b) ( ) c) (, ), R = x y y = x R = x y y = x R = = = D R = e 3 y 5 A B 0 Figura 3 x 4 a) R = { (, 4 ), (, ), (,0 ), (, 4 ), (, ), ( 3, 4) ; ( ) {,,3 Im ( R ) = { 4,, 0 b) { ( 4, ), (, ), ( 0, ), ( 4, ), (, ), ( 4,3) D R = e R = ; ( ) { 4,,0 Im ( R ) = {,,3 D R = e

26 Resumo do capítulo: Neste capítulo você acaba de estudar a noção intuitiva de conjuntos, tipos de conjuntos, conjuntos numéricos e intervalos Você aprendeu também as operações conjuntos e o produto cartesiano Finalmente você aprendeu relação Saiba Mais Para aprofundar os temas estudados neste capítulo consulte: LIPSCHUTZ, Seymour Teoria e problemas de probabilidade ed Coleção Schaum, capítulo, São Paulo: 974 Bibliografia deste capítulo ALENCAR FILHO, Edgar de Teoria Elementar dos conjuntos 5 ed, Nobel, São Paulo: 974 A partir deste momento passaremos para as aplicações do conteúdo de conjuntos numéricos estudados neste capítulo estudando funções