Aula 4.

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1 1 Aula 4 1. Potências Radicais Expressões Algébricas Monômios ou termos algébricos Monômios ou termos semelhantes Operações com monômios Polinômios Polinômios com uma variável Operações com polinômios Divisão de polinômios por binômios do 1º grau Produtos Notáveis Problemas do primeiro grau Equação do 2º grau Relações de Girard Pares Ordenados Plano Cartesiano Funções Domínio e Imagem Reconhecimento gráfico de uma função Imagem de um elemento Zero de uma função Composição de funções Função Afim Função Quadrática Logaritmos Relação das questões comentadas nesta aula Gabaritos

2 2 1. Potências A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe: é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator Na potência se repete). 4 4 Sendo um número real e um número inteiro maior que 1, define-se: Exemplos: IMPORTANTE Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo. Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da potência é negativo. Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo. Toda potência de expoente 1 é igual a base. Toda potência de expoente 0 é igual a 1. 1, 0 é çã á. Observação: 0 Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. Exemplos: 1

3 Propriedades Operatórias Em palavras: Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados. Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos. Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados. Exemplos a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) EC 1. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é: Qual o significado de Com dez fatores x.

4 4 Portanto, A soma dos algarismos é Letra A EC 2. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando, encontra-se: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2 21 Vamos relembrar algumas propriedades das potências. Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim, / E da mesma forma que, temos que (óbvio não?). Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão? Observe que 20 = 18+2 e 19 = Portanto: Podemos colocar 2 18 em evidência: Letra C EC 3. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado: a) 1/3 b) 1/27

5 5 c) 3 d) 27 e) 1/9 Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior Vamos colocar 3 n em evidência no numerador e no denominador / Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil! Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos. Esta é a expressão. Vamos substituir por 3. Simplificando por Bem melhor, não?! Letra B EC 4. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10, 3. O valor de tal que é: a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

6 6 Perceba que Mas o enunciado nos disse que 3 10,. Portanto: , 10 Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes , 10 10, 10 10, 10 10, 10, , 3, Radicais Se é um número não 0) e é um número natural maior que 1, então a raiz enésima de é um número não negativo ( 0) tal que. Vamos recordaro resultado de algumas raízes para fixar o conceito Raízes deíndicepar é í, é é. Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos: Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5. Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um número positivo.

7 7 Portanto: Desta maneira, é falso afirmar que Por outro lado, podemos escrever que Não é o radical que causa o sinal, e sim o sinal que o antecede. É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par (trabalhando com números reais). Por exemplo, 16 não existe porque não há um número real que elevado ao quadrado dê 16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser negativo. Note a diferença: Raízes de índice ímpar ã Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando negativo Propriedades Considere, números reais não-negativos ( 0 0), um número natural maior que 1 e um número inteiro qualquer. 0

8 8 Efetue ) Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo: Potência de expoente racional , Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não nulo, temos: Observe: Exemplos: Racionalização de Denominadores , Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração. 3 Grosso modo, racionalizar é tirar o radical do denominador.

9 9 Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número chamado fator racionalizante do denominador. 1º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2 Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical. Lembre-se que se é um número não-negativo,. Veja os exemplos: O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!! 2º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2 Lembre-se que se a é um número não-negativo, Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: º caso Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um produto notável que será visto com detalhes ainda nesta aula. Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 2 2 Pois bem, vamos ver um exemplo:

10 Observe que o fator racionalizante de 5 2 é (troca o sinal). O fator racionalizante de 4 3 é. a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7 EC 5. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade é:, o valor de Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o radical. Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o denominador significar acabar com o número irracional do denominador. Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por 2. Desta forma: Vamos lembrar o seguinte produto notável: 2 2 Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o do enunciado. Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre que tivermos uma

11 11 diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela soma dos radicais Como 7 5, concluímos que O valor de 2 é Letra A EC 6. (APO/MPOG 2008 ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que Com essas informações, conclui se que: a) b 6 6 c) 0 d) / 6 e) Para que z sejaracional, o número que multiplica 3 deveser igual a 0. Portanto, Letra E 6 0 6

12 12 3. Expressões Algébricas Uma pessoa ganha R$ 30,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará após alguns dias de trabalho, podemos escrever a seguinte expressão algébrica: 30 A letra representa o número de dias trabalhados. Desta maneira: Se, então a pessoa ganhará Se, então a pessoa ganhará Se, então a pessoa ganhará Observe que a letra foi substituída por vários números, ou seja, foi variando. Por essa razão, dizemos que é a variável. Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável. Vejamos alguns exemplos: 3 4 ã á: 2 5 ã ê á:,. IMPORTANTE Temos o costume de não escrever o sinal de multiplicação entre um número e uma letra ou entre duas letras. 3 Escreve se 3 2 Escreve se 2 Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, devemos seguir os seguintes passos: 1) Substituir as letras pelos números reais dados. 2) Efetuar as operações indicadas, seguindo esta ordem: I Potenciação e radiciação II Multiplicação e divisão III Adição e subtração EP 1. Calcular o valor numérico de para 2 4. Basta trocar por 2 e por

13 13 EP 2. Calcular o valor numérico de para IMPORTANTE Utilizamos parêntesis quando substituímos letras por números negativos. EP 3. Calcular o valor numérico de para 2/ IMPORTANTE Utilizamos parêntesis quando substituímos letras por frações. 7 3 EP 4. Calcular o valor numérico de para 2, IMPORTANTE ? Nem sempre é possível calcular o valor numérico de algumas expressões para determinados valores. Por exemplo, calcule o valor numérico da expressão para 3. Lembre se que não existe divisão por zero! 3 IMPORTANTE É de uso comum em álgebra usar notações do tipo para expressões algébricas. 1 1 Quando aparecer algo do tipo calcule 2, isto significa que devemos calcular o valo numérico da expressão para

14 14 EC 7. (ANEEL 2006/ESAF) Se 0, então é necessariamente verdade que: a) b) c) d) 0 e) Em qualquer fração, o denominador obrigatoriamente deve ser diferente de zero. Portanto, Para que a expressão acima seja igual a zero, o numerador deve ser igual a 0. Letra C Monômios ou termos algébricos Um monômio ou termo algébrico é um número ou um produto de números em que alguns deles são representados por letras. Exemplos: Observe que nestas expressões não aparecem adições nem subtrações. Em um monômio, destacamos o coeficiente e a parte literal. Número Letras Nos nossos exemplos: Coeficiente: 5 5 Parte literal:

15 15 Coeficiente: Parte literal: Coeficiente: 1 Parte literal: IMPORTANTE Em álgebra, significa 1 e significa Monômios ou termos semelhantes Monômios semelhantes ou termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal. Exemplos: 4 3 são termos semelhantes. 5 3 são termos semelhantes. Lembre se que a multiplicação é comutativa, portanto não importa a ordem das letras! 2 3 são termos semelhantes. 3 7 não são termos semelhantes. 6. Operações com monômios Vamos aprender como calcular a soma, diferença, produto e quociente de monômios. Vejamos um exemplo: Devemos somar (ou subtrair) os coeficientes e repetir a parte literal. Observe que só podemos simplificar monômios semelhantes. Desta maneira, não podemos simplificar a expressão porque os termos 2 e 3 não são termos semelhantes. 2 3 EP 5. Simplifique a expressão Observe que e que A expressão não pode mais ser simplificada porque 5, 4 2 não são termos semelhantes. Para multiplicar monômios, devemos multiplicar os coeficientes e multiplicar Lembre se que para multiplicar potências de mesma base, conservamos a expoentes e para dividir potências de mesma base, conservamos a b EP 6. Simplifique a expressão 2 3.

16 IMPORTANTE Lembre se que quando o expoente não é escrito, consideramos que o expoente é igual a 1. EP 7. Simplifique a expressão Polinômios Polinômio é um monômio ou a soma de monômios não semelhantes. São exemplos de polinômios: Quando um polinômio apresenta termos semelhantes, devemos simplificá los. Exemplo: Este polinômio foi escrito na sua forma mais simples. Se o polinômio não tiver termos semelhantes, ele pode receber alguns nomes especiais: ô 1 ô 2 ô 3 Exemplo: 7 5 é um binômio. Os polinômios com mais de três termos não têm nome especial.

17 17 8. Polinômios com uma variável É o polinômio que apresenta uma única letra como variável. Exemplos: Geralmente os polinômios são apresentados segundo as potências decrescentes da variável polinômio ordenado polinômio não ordenado Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltando uma ou mais potências da variável, dizemo que os coeficientes desses termos são zero e o polinômio é dito incompleto Operações com polinômios Vamos adicionar dois polinômios: Vamos subtrair dois polinômios: Devemos trocar os sinais dos termos do segundo par de parêntesis. Para multiplicar um monômio polinômio devemos multiplicar todos os termos do polinômio pelo monômio utilizando a propriedade distributiva da multiplicação Para multiplicar um polinômio por outro polinômio devemos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e, se possível, reduzir os termos semelhantes

18 Para dividir um polinômio por um monômio devemos dividir cada termo do polinômio pelo monômio Vamos mostrar através de um exemplo a regra prática para efetuar a divisão de polinômios Termo de maior grau Termo de maior grau Os polinômios devem estar ordenados segundo as potências decrescentes da variável. O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo (de maior grau) 15 pelo primeiro termo (de maior grau) do divisor 3. Obtemos O próximo passo é multiplicar 5 pelos termos do divisor, colocando o resultado com o sinal trocado abaixo do dividendo. Adicionamos os termos semelhantes e baixamos os termos seguintes

19 19 Repetimos todo o processo com o resto parcial. Dividimos 9 por 3 e obtemos 3. Multiplicamos 3 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado abaixo do resto parcial Dividimos o primeiro termo 21 pelo primeiro termo do divisor 3. Obtemos 7, em seguida multiplicamos 7 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado abaixo do resto parcial Quociente Resto Quando o resto é zero (como o nosso exemplo), dizemos que a divisão é exata. Desta forma, o polinômio é divisível pelo polinômio 3 4. Observe a seguinte relação importantíssima: No nosso caso, EP 8. Obtenha o polinômio que, dividido por 2, dá o quociente 1 e resto 4. Ora, sabemos que Portanto, o dividendo é Observação: O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor. Desta forma, se o divisor é do 2º grau, então o divisor é, no máximo, do 1º grau. Se o divisor é do 6º grau, então o resto é, no máximo, do 5º grau.

20 Divisão de polinômios por binômios do 1º grau Vamos dar algumas dicas em casos onde ocorre a divisão de polinômios por binômios do primeiro grau. Considere um polinômio qualquer Por exemplo Queremos obter o resto da divisão deste polinômio pelo binômio 2 4. Há uma maneira muito fácil de calcular o resto da divisão de qualquer polinômio por um binômio do 1º grau. Devemos seguir os seguintes passos: i) Igualar o binômio do primeiro grau a 0 e resolver a equação ii) Calcular o valor numérico em do valor obtido Isto significa que o resto da divisão de por 2 4 é 51. Muito fácil, não? Esta dica que acabamos de aprender tem um nome: Teorema do Resto. Entender o teorema do resto é bem fácil. Nós vimos acima que:. Ou, em símbolos: D = Q d + r Esta igualdade vale sempre!!! Ou seja, para qualquer valor de x que você usar, esta igualdade vai valer. Neste caso especial que estamos estudando, d tem grau 1. Consequentemente, r tem grau zero (pois seu grau é sempre menor que o grau do divisor). Ou seja, r é um número. Seja k o número que torna nulo o divisor. Quando fazemos x = k, temos: D ( k) = Q( k) d( k) + r D ( k) = Q( k) 0 + r

21 21 D ( k) = r Por isso que, para achar o valor do resto, basta calcular D(k), onde k é o número que torna nulo o divisor. EP 9. Determine o valor de de modo que seja divisível por 3. Para que seja divisível por 3 o resto da divisão deve ser zero, ou seja, a divisão deve ser exata. E como se calcula o resto da divisão? Primeiro, devemos igualar o divisor 3 a zero Para calcular o resto da divisão, devemos calcular 3, ou seja, devemos substituir por Como o resto da divisão deve ser zero: EC 8. (AFRFB 2009 ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x a) e (x b) com a b, então f é divisível pelo produto entre (x a) e (x b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a: a) b) 13 7 x x c) x + 4 4

22 22 d) e) x x e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3). Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por 1, devemos fazer o seguinte: i) Resolver a equação 1 0 Portanto, 1. ii) Calcular o valor numérico de para 1. Portanto, o resto é 1. Como este resto é igual a 5, então 1 5. Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por 3, devemos fazer o seguinte: i) Resolver a equação 3 0 Portanto, 3. ii) Calcular o valor numérico de para 3. Portanto, o resto é 3. Como este resto é igual a2, então 3 2. Conclusão: f (1) = 5 e f ( 3) = 2. Queremos calcular o resto da divisão do polinômio pelo produto 1 3. Observe que o polinômio 1 3 é do segundo grau, porque Vimos anteriormente que se o divisor é do segundo grau, então o resto é, no máximo, do primeiro grau. Portanto, o resto é do tipo. Sejam q e r = a x + b, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f por ( x 1)( x + 3). Lembre-se que: f = q ( x 1)( x + 3) + ( ax + b). Tomemos os valores numéricos desses polinômios em 1 e Observe que 11 0, Assim, 1. Como 1 5, temos que Observe que 3 3 0, Assim, 3 3. Como 3 2, temos que 3 2.

23 23 Temos um sistema linear: Da primeira equação temos que 5. Da segunda equação temos que Portanto, Como a = e 4 13 b =. 4 Sabemos que o resto é, portanto: Resposta: 7 13 r = x Letra C 11. Produtos Notáveis Há alguns produtos de polinômios que ocorrem com muita frequência na álgebra e que são chamados de produtos notáveis. Quadrado da soma de dois termos 2 2 Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 2 EP 10. Desenvolva 2 3.

24 Resposta: EP 11. Desenvolva Resposta: Note que IMPORTANTE ã, ú. ã, ú. Quadrado da diferença de dois termos 2 2 Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 2 EP 12. Desenvolva 4 3.

25 Resposta: Produto da soma pela diferença de dois termos 3 9 Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 2 2 EP 13. Desenvolva Resposta: Cubo da soma de dois termos Para calcular basta multiplicar por Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. 3 3 EP 14. Desenvolva 2 3.

26 Resposta: Cubo da diferença de dois termos Para calcular basta multiplicar por Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo. 3 3 EP 15. Desenvolva Resposta: EC 9. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 6 e. Então, é igual a: a) 12 b) 15

27 27 c) 18 d) 21 e) Dica: sempre que tivermos frações em uma equação, devemos multiplicar todos os termos pelo m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. No caso,,, 5 5 Vamos multiplicar o primeiro termo por 5. Vamos multiplicar o segundo termo por Finalmente, multiplicar o último termo por 5. E equação ficará assim: Colocando o número 5 em evidência: Como o enunciado nos informou que 6: ,5 Agora vamos ao que nos interessa: calcular o valor de Vamos utilizar um artifício muito comum em questões deste tipo. Notou a semelhança da expressão com a expressão? ã, ú.

28 28 ã, ú. Pois bem, esta expressão é muito famosa em Matemática. É tão famosa e útil que é chamada de produto notável. Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 2 Você está lembrado qual é o valor de?o enunciado nos informou que. E o valor de, você está lembrado? Nós já calculamos e descobrimos que,. Portanto, 21. Letra D a) 5 b) 5/2 c) 2/5 d) 3 e) 1/2 2 2, EC 10. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: 2 e 1/2, vale: Questão muito parecida com a questão anterior. Mesma banca, 3 anos depois... A banca foi gentil e agressiva simultaneamente. Gentil porque forneceu diretamente os valores de e de. Agressiva porque trocou o expoente da expressão pedida. Para calcular vamos ter um pouco mais de trabalho. A conversa é bem parecida com a da questão passada. Notou a semelhança da expressão com a expressão? ã, ú.

29 29 ã, ú. Pois bem, esta expressão é muito famosa em Matemática. É tão famosa e útil que é chamada de produto notável. Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 3 3 Nunca vou lembrar-me deste desenvolvimento na hora da prova! Calma... Há uma saída: utilizar a força braçal! Para calcular basta multiplicar por Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular o valor de. 3 3 Observe as duas parcelas do meio no segundo membro: 3 3 Podemos colocar a expressão 3 em evidência. Voltando ao produto notável: Sabendo que /:

30 30 Letra A Vamos agora resolver uma série de exercícios em que tenhamos que construir uma equação do 1º grau ou um sistema de equações. 12. Problemas do primeiro grau EC 11. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está entre: a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55 Considere um número real. Multiplicando-o por 2, obtemos 2. Somando 1 ao resultado, obtemos 2 1. Em seguida, multiplicamos o resultado por 3. Assim, tem-se Finalmente subtrai-se 5 e obtemos: Este resultado é igual a 220. Vamos aplicar a propriedade distributiva. Letra B EC 12. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de é: a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40.

31 31 c) um número par. d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo. Multiplicando o número obtemos 4. Em seguida some Depois divida por 3 Multiplique por 5 5 Subtraia O resultado é igual a Como o número 29 é primo (número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais). Letra E EC 13. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema 0,3 1,2 2,4 0,5 0,8 0,9 O valor de é: a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 2/3

32 32 Para deixar o sistema um pouco mais limpo, podemos multiplicar as duas equações por 10 com o intuito de eliminar as casas decimais.,3 1,2 2,4 10 0,5 0,8 0, Olhemos para a primeira equação: Podemos, para simplificar, dividir ambos os membros da equação por Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Ou seja, trocaremos por Multiplicando os dois membros da equação por 1: Vamos simplificar esta fração por 7. Para simplificar, devemos dividir o numerador e o denominador por 7. Como 84: Letra A 49/

33 33 EC 14. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00. O número de mendigos era, portanto: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Digamos que o homem caridoso possua reais e que existam mendigos. Vejamos a primeira situação. Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. O homem entrega 5 reais para cada um dos mendigos. Portanto, ele gastou 5 reais. Ele ainda ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem possui é igual a Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00. reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria 5 reais. Esta O quantia homem daria possui para entregar exatamente 6 reais para cada um dos mendigos Ora, se 53 e 65, então São 8 mendigos. Letra D EC 15. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13

34 34 e) 15 Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa mania de sempre usar x,y,z... Pois ao terminar a questão você terá que procurar quem é x,y,z... Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P. Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim,. Assim, 2. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Ora, há quatros anos, João tinha (J 4) anos e o seu pai tinha (P 4) anos. A idade João era a terça parte da idade de seu pai. ã A soma das idades dos três é 100 anos hoje. Assim, a mãe de João tem. O pai de João tem. O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe. Letra B EC 16. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a

35 35 a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos. Considere que o irmão mais novo tem anos. Portanto, as idades dos outros irmãos são iguais a 3,6,9 12. A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho. ã Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24. O irmão mais velho está com 24 anos. Letra D ã 2 EC 17. (EPPGG SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da idade que tinha em Essa pessoa tem hoje: a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos. Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de Digamos que a pessoa tenha anos em Dessa maneira, terá 3anos em 2012 e 15anos em Isso porque = 3 e = 15. Ano Idade 15 3

36 36 A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em Letra C EC 18. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: a) 8 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24 Se o primeiro número par for,então os próximos números pares sucessivos serão 2, 4 6. A soma destes 4 números deve ser igual a Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras haverá 16, 18 e 20 pacotes. Letra C EC 19. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

37 37 Seja x o primeiro número par. Os próximos números pares serão x+2 e x+4. A soma dos três é igual a 90. Assim, O quociente da divisão de 28 por 7 é igual a 4. Letra C EC 20. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.

38 38 O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas. Cada parte representa do tanque. Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em horas, em 1 hora encherão 1/x. Assim: Letra E 16. Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tem-

39 39 Considere que um objeto execute um serviço em horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em horas, outro objeto execute o mesmo serviço em horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em horas. Temos a seguinte relação: No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: EC 21. (Oficial de Chancelaria MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas. Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas

40 40 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: Letra B , EC 22. (ANEEL 2004/ESAF) Para 5, a simplificação da expressão é dada por: a) 2 b) 2 c) 5 d) 5 e) 25 Vejamos o numerador: Vejamos o denominador: Desta forma: Como 5, podemos cortar os fatores Dê uma olhada nas alternativas. A resposta não depende do valor de x. Portanto, podemos escolher um valor arbitrário para x. Vamos, por exemplo, substituir x por 1. Bem melhor, não?

41 41 Letra A EC 23. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era de: a) 12 reais b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa mania de sempre usar x,y,z... No nosso caso, Carlos tem reais e Márcio tem reais. 1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui. Já que Márcio possui reais, Carlos dará reais para Márcio. Vejamos o que acontece com as quantias de cada um: Carlos Márcio Início Carlos dá reais para Márcio É óbvio notar que se Carlos dá reais para Márcio, então Carlos perde reais e Márcio ganha. 1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Atualmente, Carlos possui. Portanto, Márcio dará a Carlos. Carlos Márcio Início Carlos dá reais para Márcio Márcio dá ( reais a Carlos As duas quantias são iguais a 16 reais.

42 Olhemos para a primeira equação: Podemos dividir os dois membros da equação por Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Como 8: Letra D EC 24. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00 Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui. Alice Bela Cátia Início 36 Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber reais. Para que Cátia duplique sua quantia, ela deve receber 36 reais.

43 43 Alice Bela Cátia Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber 36. Para que Cátia duplique a sua quantia, ela deve receber 72 reais. Alice Bela Cátia Manipulando a expressão da quantia de Bela: Alice Bela Cátia Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber Para que Bela duplique a sua quantia, ela deve receber Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 36 para Alice e 3 36 para Bela, então ficou com: No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto, Multiplicando os dois membros por 1: A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: Letra B

44 44 EC 25. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00 Vamos assumir que Rui possui reais e que Pedro possui reais. Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia. Ou seja, se Pedro possuía, ficará com. Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía, ficará com. Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro Rui diz a Pedro: Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Pedro ficará com 6 reais e Rui ficará com 6 reais. Estas duas quantias devem ser iguais Substituindo esta expressão na equação obtida acima: 5 7

45 Letra A EC 26. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou: a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00 Vamos utilizar as letras,, para indicar as quantias pagas por Antônio, Bruno e Carlos, respectivamente. 1ª informação Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600, ª informação Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. 2 3ª informação Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Voltemos à primeira equação: Sabemos que. Portanto,

46 46 Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação. Sabemos que e que Letra C EC 27. (EPPGG SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido. Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados O número que está no primeiro quadradinho é: a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13 Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de, o segundo número de e o terceiro de. Concluímos que:

47 Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: i) Escolha a incógnita que você quer calcular. ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. iii) Some as três equações. Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita escolhida é. A equação que não aparece o é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os dois membros da terceira equação por Ao somar as três equações, serão cancelados. Ficamos com: Letra E EC 28. (Assistente Administrativo SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe (A) X foi m. (B) X foi m. (C) Y foi m. (D) Y foi m. (E) Z foi m. De acordo com o enunciado temos:

48 48 8,2,9 9 7 O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: i) Escolha a incógnita que você quer calcular. ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. iii) Some as três equações. Vamos multiplicar a última equação por 1. 8,2,9 9,7 o somar as três equações, serão cancelados. Ficamos com: Substituindo este valor na primeira equação: Como 8,9: 8,2 8,9 9,7 2 7,4 3,7 3,7 8,2 4,5 3,7 8,9 5,2 Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe: foi 4, foi 3, foi 5, Letra B

49 Equação do 2º grau Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax 2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a 0. Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos utilizar a fórmula abaixo: ± x = 2 b b 4ac 2 Denominamos discriminante o número real Δ= b 4ac, podemos reescrever a fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira, 2a b ± x = 2a Δ Resolva as equações abaixo: a x x + = 2 ) a = 2, b = 10, c = 12 ( ) 2 Δ= Δ= 4 ( 10) ± 4 10 ± 2 x = = 22 4 x = 2 ou x = 3 S = {2;3} 2 b) x + 6 x 9 = 0 a = 1, b = 6, c = 9 ( ) 2 Δ = 6 4 ( 1) ( 9) Δ= 0 6 ± 0 6 ± 0 x = = 2( 1) 2 x = 3 ou x = 3 S = {3} 2 ) = 0 c x x a = 1, b = 4, c = 7 ( ) 2 Δ = Δ= 12 Δ= 12 R S = φ Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não podem ser calculadascom números reais. Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar. Δ> 0 Duas raízes reais e distintas Δ= 0 Duas raízes reais e iguais Δ< 0 Não há raízes reais EC 29. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1)

50 50 d) (-7,1) e) (-1,0) Considere uma equação do 2º grau 0, com 0. As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula 4 2 Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo, Assim, x = 7 ou x = 1. Letra C EC 30. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x 4 +13x =0 a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1} A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x 2 de y. Ou seja, x 2 = y. Assim, x 4 = y 2. A equação ficará Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula: 4 2

51 Assim, ou Como x 2 =y, então x 2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x 2 = -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio. Letra B EC 31. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x 4-25x = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25 A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x 2 de y. Ou seja, x 2 = y. Assim, x 4 = y 2. A equação ficará Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula:

52 Assim, ou Como x 2 =y, então x 2 = 16 ou x 2 = A soma de todas as raízes da equação é Letra A EC 32. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de é igual a: a) 6 b) 2 c) 1 d) 6 e) 13 Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo, a equação ficará:

53 53 i) ou Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar neste caso, pois a raiz quadrada de 51 não é um número real. ii) A soma dos valores reais de x é igual a Letra C EC 33. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação tenha duas raízes iguais: a) 0 b) 8 0 c) 8 d) 8 0 e) 0 8

54 54 Uma equação do tipo 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ 4 for igual a Vamos colocar em evidência Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0. Portanto, Ou seja, 0 8. Letra B EC 34. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinhase O valor de X é: a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52 De acordo com o enunciado, Vamos calcular o discriminante: Δ Temos que calcular a raiz quadrada de Observe o seguinte fato:

55 Como , então a raiz quadrada de é um número que está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36). Deu errado... Só pode ser 86! Voltando à equação: Como x representa o número de soldados, obviamente 0, portanto, devemos utilizar apenas o + na fórmula. Letra B x soldados EC 35. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27 Digamos que há funcionários e que cada um arquivará processos. O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos que cada um arquivará. Desta forma:

56 56 No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. Ou seja, cada um dos 2 funcionários arquivará 9 processos Sabemos que 108, logo: Vamos substituir o valor de por Vamos multiplicar os dois membros da equação por Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o funcionários. 18 á Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27 processos.

57 57 Letra E 14. Relações de Girard Vamos resolver a equação Considerando a notação usual 0 0, temos que 12, Assim: Vamos calcular a soma das raízes: Vamos calcular o produto das raízes: Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim... Existe! É sobre este assunto que falaremos agora: As Relações de Girard. São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto. Vejamos: Chamaremos de as raízes da equação 0. Desta maneira: b + Δ b Δ x1 = e x2 = 2 a 2a Vamos multiplicar e somar estes dois números:

58 58 Vamos voltar ao nosso exemplo: , 10 2 Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por: O produto das raízes é dado por: EC 36. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx 2 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7 Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 0, com 0cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

59 59 A soma das raízes dessa equação é dada por e o produto das raízes é dado por 4 2 Voltemos ao problema. Na equação mx 2 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 10. A soma das raízes é igual a 7, logo Letra C EC 37. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x 2 10x + 2m 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2, a soma das raízes é dada por Na questão anterior vimos que na equação 0 e o produto das raízes é dado por Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m 4. Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes,

60 Letra D EC 38. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x 2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2 Sejam x 1 e x 2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1. O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x 1 = 2x 2. Sabendo os valores de a e c, temos condições de calcular o produto das raízes. Como x 1 = 2x 2, Como as raízes são positivas, então 1 2 Consequentemente