3. Números Racionais

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1 . Números Racionais O conjunto dos números racionais, representado por Q, é o conjunto dos números formado por todos os quocientes de números inteiros (mas não pode dividir por zero). O uso do símbolo Q é dado pela palavra latina quotiē(n)s, cujo significado é quantas vezes. Frações Na matemática, as frações correspondem a uma representação das partes de um todo. Ela determina a divisão de partes iguais sendo que cada parte é uma fração do inteiro. Como exemplo podemos pensar numa pizza dividida em partes iguais, sendo que cada fatia corresponde a (um oitavo) de seu total. Se eu como fatias, posso dizer que comi (três oitavos) da pizza. Fração é uma palavra que vem do latim "fractus" e significa "partido", "quebrado", assim podemos dizer que fração é a representação das partes iguais de um todo. Os números expressos em frações são chamados de números racionais, cujo conjunto é representado por Q. Importante lembrar que nas frações, o termo superior é chamado de numerador enquanto o termo inferior é chamado de denominador. numerador denominador Atenção: nunca teremos um denominador igual a zero. A leitura de uma fração depende do seu denominador, podendo ser dividida em dois grupos. O primeiro grupo compreende os denominadores iguais a,,,,,, 7,,, 0, 00, 000. Lê-se primeiro o numerador seguido de seu denominador. Exemplo Três meios; Dois Sextos; 0 Um décimo; Um terço; Quatro sétimos; Cinco quartos; 7 Sete Quintos; Seis oitavos; 000 Dois milésimos; 00 Três nonos; Oito centésimos. O segundo grupo compreende os denominadores que não pertencem ao primeiro, e acrescentamos a palavra AVOS 7 Sete quinze avos; Treze cinquenta e sete avos; 7 Quarenta e cinco cento e oitenta e dois avos; 7 Sete vinte e um avos. Uma fração envolve a idéia de dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo Roberval comeu / de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em partes iguais, Roberval teria comido partes. Por definição a fração é uma divisão do numerador pelo denominador. Se o numerador é múltiplo do denominador, então esta fração é um número Inteiro. Exemplo A fração é um número Inteiro?

2 Sim, pois é igual a =. Logo =. Observe que é igual a. Deste modo podemos escrever todo número Inteiro como numerador de uma fração de denominador igual a. Por que? Exemplo Escreva em forma de fração o número. = pois = Fração de um número Para calcular a fração de um número, dividimos este número pelo denominador e, depois, multiplicamos o resultado pelo numerador. Exemplo Se, ao todo, existem bolinhas e das bolinhas são pretas, quantas são as bolinhas pretas? = ( ) = = Exemplo No amistoso do campeonato carioca, dois terços dos lugares do Maracanã estavam ocupados. Deste modo, se houvesse lugares no Maracanã, quantos lugares estavam ocupados? Para responder essa pergunta devemos calcular de = (0.000 ) = = Frações Equivalentes Agora estudaremos as frações que têm aparência diferente, mas querem dizer a mesma coisa. Note seguintes ações: Dividir o quadrado ao meio e pintar uma das partes. Dividir o quadrado em quatro partes iguais e pintar duas: Dividir o quadrado em oito partes iguais e pintar quatro: Você reparou que, em qualquer caso, a parte pintada do quadrado é a mesma. Dizemos, então, que essas frações são equivalentes, porque elas representam a mesma parte do todo. = = Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número. Exemplo 7 Encontre frações equivalentes. = = = = = 0 0 = 0 0 Em geral, quando temos um grupo de frações equivalentes, procuramos usar a mais simples aquela que possui os menores números no numerador e no denominador.

3 Exemplo Simplifique a fração 0. Sabemos que = e que 0 =. Então = = 0 Uma forma eficiente de simplificar uma fração é obter o máximo divisor comum entre o numerador e o denominador. Uma fração que não pode ser simplificada é chamada de irredutível. Por exemplo, a fração não pode ser simplificada (é irredutível), pois MDC(, ) =. Exemplo Em uma fábrica, de 0 peças produzidas, 0 estavam defeituosas. Que fração irredutível representa o número de peças defeituosas sobre o número de peças fabricadas? Para responder à pergunta, devemos encontrar o MDC de 0 e 0. Como MDC(0, 0) = 0 então 0 = 0 e 0 = 0. Então 0 0 = 0 0 = Multiplicação de frações A figura ao lado foi dividida em cinco partes iguais, e foi pintado duas partes que representa da figura. Para representar da parte assinalada, ou seja de, vamos dividir essa parte ( ) em três partes iguais e, em seguida, estender a divisão para a figura toda. Portanto de é. Observe que cada parte da figura, após a segunda divisão, equivale a da figura toda, logo: =. Para multiplicar frações, devemos multiplicar os numeradores e os denominadores entre si. Quando fazemos uma multiplicação de frações, podemos simplificar a fração antes de realizar a multiplicação. Exemplo 0 Calcule o: =. e simplifique. Antes de efetuar a multiplicação, verificamos que o é múltiplo de, então = = = = Exemplo Calcule = Podemos escrever o número em forma de fração assim = logo = = =. Para multiplicar uma fração por um número inteiro, devemos multiplicar esse número pelo numerador da fração e repetir o denominador. Comparação de Frações Comparar duas frações significa estabelecer se elas são iguais, ou não. Se forem diferentes, estabelecer qual delas é a maior. Usamos o símbolo < que significa é menor que e o símbolo > que significa e maior que. ª Situação: Quando as frações têm o mesmo denominador.

4 Exemplo Qual é a fração maior: ou? é menor que < Quando os denominadores são iguais, a maior fração é a que tem maior numerador. ª Situação: As frações têm denominadores diferentes. Exemplo Qual é a fração maior: ou? < Exemplo A primeira figura foi dividida em maior número de partes que a segunda. Qual é a maior fração: 7 ou? Vamos substituir as frações dadas por outras equivalentes a elas, com denominadores iguais. O denominador deverá ser múltiplo de e também múltiplo de 7, já que devemos encontrar frações equivalentes. Sabemos que é múltiplo comum a e 7 (mmc(7,) = ). = = e = 7 = 0. Como > 7 temos que > 7. Quando vamos comparar duas frações que tem denominadores diferentes, reduzimos ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior. Adição de frações Para somar duas frações de mesmo denominador, somamos os numeradores. Exemplo No mercado gastei do que possuía em alimentos e importância que possuía? em material de limpeza. Quanto gastei da logo + = Essa regra é fácil de entender. Somar com, por exemplo, significa que uma certa unidade foi dividida em partes e que juntamos três partes com uma parte. E claro que teremos, então, quatro das partes. Exemplo Calcule = = E se as duas frações não têm mesmo denominador? Quando vamos somar ou subtrair frações que tem denominadores diferentes, devemos primeiro reduzi-las ao mesmo denominador e, depois, aplicar a regra anterior.

5 Exemplo 7 Calcule 0 + = Sabemos que 0, 0, 0, 0, 0 0, são frações equivalentes a 0 0 e também, 0,, 0, 0, 0,, 0,, 0 0 são frações equivalentes a. Procurando as frações equivalentes que tem o mesmo denominador e usando a regra anterior: + = 7 ou + 0 = 7 = Observe que + = + 0 = +0 = 7 = 7 depois de ter feito as devido simplificação. Outra observação é que mmc(0, ) = 0. Logo, usando o mínimo múltiplo comum, podemos determinar a fração equivalente com denominador 0. Exemplo Vamos calcular + = Repare que mmc(, ) =. Portanto = e =. Então: + = + = + = As propriedades da adição de números Inteiros também são válidas para a adição e multiplicação de números Racionais como por exemplo a propriedade comutativa e propriedade associativa e a propriedade distributiva. Fração Mista É constituída por uma parte inteira e uma fracionária representada por números mistos. Exemplo Lembre-se que uma fração do tipo, pode ser escrita na forma de número misto? = + = + = Números Inversos Dois números são chamados Inversos quando, são diferentes de zero e multiplicando um pelo outro resultam em. Por exemplo: e são números opostos, pois = =. e são números opostos, pois = 0 0 =. Inverso de uma fração diferente de zero é a fração que se obtém trocando entre si o numerador e o denominador da fração dada. Exemplo 0 Encontre o inverso de 7. Trocando entre si o numerador e o denominador de fração 7, obtermos 7 logo: 7 7 = =. Note que a operação de divisão de dois números racionais distintos e diferentes de zero é na verdade a multiplicação do primeiro número com o inverso ao segundo número. Exemplo

6 Sabemos que = e =, logo =. Divisão de frações Para calcular a divisão da fração pela outra fração pode ser feita da seguinte forma: = ( ) = ( ) = = 0 = 0 Portanto a divisão de números fracionários, é feita multiplicado a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo Calcule o quociente da fração pela fração. = = = = = Expressões numéricas Para calcular expressões numéricas devemos seguir as regras: ) Inicialmente, efetuamos as operações que estão entre parênteses ( ). ) Em seguida, as que estão entre colchetes [ ]. ) E, por último, as que estão entre chaves { }. Exemplo Calcule a seguinte expressão numérica [( ) ] = [( ) ] = [( 0 0 ) ] = [ 0 ] = [ ] = 0 = = = 7 0 = = 7 0 Também devemos lembrar que a ordem em que as orações devem ser efetuadas: primeiro resolvemos a Multiplicação e divisão e depois a Adição e subtração. Exemplo Resolva a expressão: [ ( + ) ] = [ ( + ) ] = [ ( + ) ] = [ ] = [ ] = = [ ] = 0 = 0 = = 7 Exercícios ) Qual a fração representada pela parte sombreada de cada figura? a) b) c) d) ) Um operário recebe R$,00 por hora extra. Neste mês, ele trabalhou horas e minutos além das horas regulares. Quanto recebeu pelo serviço extra? ) Dois candidatos, A e B, disputam a prefeitura de uma cidade. Uma pesquisa realizada com 00 eleitores indicou que / preferem o candidato A e que o restante prefere o candidato B. a) Quantos eleitores consultados preferem o candidato A? b) Quantos eleitores consultados preferem o candidato B?

7 c) Que fração dos eleitores consultados prefere o candidato B? ) Complete: a) = b) = c) = d) = 00 ) Simplifique: a) 0 b) = c) = d) 0 7) Compare as frações usando os sinais: <, > ou =. a) 0 b) c) d) e) f) ) Coloque em ordem crescente as frações:,, e 7 0 ) Faça as operações: a) + = b) + = c) + = d) + = 0) A diferença entre duas frações segue o mesmo critério da soma. Tente fazer estas operações: a) = b) = c) = d) 7 = ) Qual é o inverso de: a) b) 7 c) ) Calcule: a) = b) = c) = d) = ) Efetue e simplifique o resultado, sempre que possível: a) + 0 = b) ( + ) ( 0 ) = c) 0 + = d) 0 ( 0) =