REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA E PORCENTAGEM

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1 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA E PORCENTAGEM 1 1. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA E PORCENTAGEM Uma poderosa e simples ferramenta para resolução de problemas é a regra de três. A regra de três relaciona igualdades que necessariamente devem ser proporcionais por igualdade. A habilidade na resolução de problemas que envolvam esta ferramenta vem da realização exaustiva de vários problemas envolvendo o tema. 1.1 Proporção e Regra de Três Simples e Composta Proporção Para entender regra de três é necessário entender proporção. Proporção é a igualdade entre duas razões. Para simples exemplo, veja que: 2 1 = 4 2 Se resolvida a igualdade entre as razões acima, será obtido como resultado 2=2 o que significa dizer que as razões que conduzem ao mesmo resultado são proporcionais. A igualdade por proporção é lida da seguinte forma: 2 está para 4 assim como 1 esta para 2. Para efeito de estudo denominaremos nossa proporção da seguinte forma: A C = B D Existem algumas propriedades importantes de proporção: 1ª Propriedade fundamental: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. A C = A D= C B B D Prof. M. Sc Aquino 1

2 2ª Propriedade fundamental: A soma ou a diferença entre o numerador e quociente do primeiro termo está para o numerador do primeiro termo assim como a soma entre o numerador e quociente do segundo termo está para o numerador deste segundo termo. A C A± B C± D = = B D A C 3ª Propriedade fundamental: O quociente da soma entre os numeradores e denominadores do primeiro termo e segundo termo está para o numerador e denominador do primeiro termo. A B = C A+ C = D B+ D Exemplo 1 Foram pagos por 1kg de carne o valor de R$15,00 e com R$25,00 teria comprado 2kg. As razões entre os preços e quantidades podem ser considerados proporcionais? Resolução: Para que sejam considerados proporcionais, ambos os termos da igualdade devem resultar no mesmo valor. Logo, estabelecendo a relação entre os termos: R $15 $25 = R 15 12,5 1 2 Como o resultado obtido para cada lado da igualdade não é igual não há correspondência na igualdade. Os preços em relação a quantidade não são proporcionais: Exemplo 2 Somados dois números o resultado é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números? Resolução: O problema diz que existem dois números desconhecidos, X e Y e que a soma de ambos é 240. Aplicando a terceira propriedade de igualdade, temos que: Logo: X 5 = 20 X = 20 5= 100 X Y X + Y 240 = = = = Y = 20 Y = 20 7= Os números procurados são 100 e 140. Prof. M. Sc Aquino 2

3 1.1.2 Regra de três simples A regra de três simples é uma ferramenta matemática utilizada para solucionar problema envolvendo quatro variáveis sendo que três destas variáveis possuem valores conhecidos e o quarto valor deseja-se determinar. Como solucionar a regra de três: i) Agrupar os valores separando as grandezas idênticas na mesma coluna de agrupamento e de espécimes diferentes em linhas. Velocidade A B Tempo C x ii) Verificar a proporcionalidade entre as grandeza. Estas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Esta deve ser indicada com uma seta. Velocidade A B Tempo C x iii) Montar a equação tomando o cuidado de inverter um dos lados caso haja uma proporção inversa. A = B Exemplo 3: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2 m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 W por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m 2, qual será a energia produzida? x C Solução: Para compreender o problema é montada uma tabela: Área [m 2 ] Energia [W.h] 1, ,5 x Prof. M. Sc Aquino 3

4 Analisando as informações do texto, é observado que aumentando a área de absorção a produção de energia aumentará. Este fato demonstra que a relação entre as diferentes grandezas é diretamente proporcional. Logo a equação ficará montada de forma idêntica a tabela. Resolvemos a igualdade acima isolando a variável em um dos membros e chegando a solução desejada. Como resposta é encontrado o valor de 500 W confirmando a idéia de que a energia deve aumentar. Exemplo 4: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 km/h, faz um determinado percurso em 3 h. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h? Solução: Para compreender o problema é montada uma tabela: Velocidade [Km/h] Tempo [h] x Analisando as informações do texto, é observado que aumentando a velocidade o tempo de viagem necessariamente deverá ser menor. Conclui-se então que as grandezas são inversamente proporcionais e ao equacionarmos o problema deveremos inverter um dos lados da igualdade. Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 h ou 2 h e 30 minutos, novamente o resultado mostra que a idéia inicial da redução do tempo é confirmada. Prof. M. Sc Aquino 4

5 Exemplo 5: Comprando 3 camisas é pago R$120,00. Quanto será pago se forem compradas 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: Para compreender o problema é montada uma tabela: Camisas Valor [R$] x Analisando as informações do texto, é observado que quanto maior a quantidade de camisas maior será o valor pago. Logo são grandezas diretamente proporcionais. Estabelecendo a equação: Logo, o preço pago pelas 5 camisas será de R$200,00. Exemplo 6: Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: Para compreender o problema é montada uma tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) x Observa-se que uma redução no número de horas trabalhadas por dia resulta em um aumento de dias a serem trabalhados. Logo são eventos inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Prof. M. Sc Aquino 5

6 1.1.3 Regra de três composta Aplica-se a regra de três composta em problemas com mais de duas grandezas envolvidas que sejam direta ou inversamente proporcionais. Alguns passos facilitam a resolução destes problemas: Separe a grandeza que envolve a variável em um lado da igualdade. Verifique a proporcionalidade das demais grandezas a partir grandeza isolada. Inverta a grande que não for diretamente proporcional. Exemplos 7: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume x 125 Para identificarmos o tipo de relação entre as grandezas, Inicialmente é arbitrada a direção da seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). A seguir, comparando cada grandeza com aquela onde está a variável x observa-se aumentando o número de horas de trabalho é possível reduzir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Por outro lado, avaliando agora o volume de areia, para que haja um aumento neste volume, o número de caminhões deverá aumentar o que faz destas grandezas diretamente proporcionais (seta para baixo na 3ª coluna). Montando então a equação, temos que: Prof. M. Sc Aquino 6

7 Logo, serão necessários 25 caminhões. Exemplos 8 Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela e analisando os dados em relação ao numero de carrinhos, percebe-se que se aumentar o número de homens, a produção de carrinhos aumenta, o que faz desta uma relação diretamente proporcional. Por outro lado, se o ritmo é mantido e aumenta-se o número de dias, a produção aumentará proporcionalmente o que também faz destas grandezas diretamente proporcionais. Logo a relação parte direto da tabela pra solução matemática: Homens Carrinhos Dias x = x 8 4 A igualdade pode ser invertida para facilitar os cálculos em ambos os membros da equação. x = 20 Logo, serão montados 32 carrinhos x = 20= Prof. M. Sc Aquino 7

8 Exemplos 9 Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Iniciando pela montagem da tabela, verifica-se que se aumentar o número de pedreiros reduz o número de dias para a construção chegar ao fim, ao mesmo tempo em que se aumentar o número de dias constrói-se muros maiores. Logo: Pedreiros Altura Dias x Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 1.2 Porcentagem É um valor adimensional obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor que pode representar acréscimos ou reduções em números, quantidades, preços entre outras grandezas tomando como base um valor de referência equivalente a 100 unidades Razão Centesimal É uma quantidade que representa uma fração de um número em relação a 100 unidades. A razão centesimal é também denominada taxa centesimal ou taxa percentual. Exemplo 10: Determine a taxa percentual dos valores 7, 16, 125, e 210: Solução: Os valores percentuais estão em relação a quantidade de 100 unidades, logo: Prof. M. Sc Aquino 8

9 Com isso, estes valores são: Exemplo 11: Foram vendidos 50% de 50 objetos. Quantos objetos foram vendidos? Para solucionar esse problema aplica-se a taxa percentual (50%) sobre o total de objetos: % em 50objetos 50= = 25 objetos Logo 25 objetos foram vendidos. Exemplo 12: Determine 10% de 300. Exemplo 13: Determine 25% de 200kg. Logo, 50kg é o valor correspondente a 25% de 200kg Exemplo 14: Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Qual a quantidade de gols de falta esse jogador fez? O jogador marcou 6 gols de falta. Prof. M. Sc Aquino 9

10 1.2.2 Fator de Multiplicação Núcleo das Ciências Biológicas e da Saúde O fator de multiplicação é uma quantidade que causará um acréscimo ou decréscimo se aplicado a um determinado valor. Pode denotar também lucro ou prejuízo Acréscimo Para o caso em que se deseja aplicar um acréscimo nada será retirado da quantidade inicial que, será acrescida de um determinado valor percentual. V total = Valor+ Valor Acréscimo% 100 Isto resulta em dizer que se houver um acréscimo de x% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 100% + x% ou em termos decimais (1 + x), que é o fator de multiplicação. Se por exemplo o acréscimo for de 20%, basta multiplicamos pelo fator de (1,00+0,20) = 1,20. A próxima tabela mostra alguns fatores de multiplicação. Acréscimo ou Lucro Fator 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo 15: Acrescendo 10% no valor de R$10,00 temos: Aplicando o fator de 1,10 ao valor em real temos, R $ 10,00 1,10 = R$11,00 Prof. M. Sc Aquino 10

11 Exemplo 16: Compradas ações de um clube por R$250,00 se revendidas por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Solução: Equaciona-se o problema de modo que a soma dos R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00 seja igual aos R$300,00. Portanto, haverá uma taxa percentual de lucro de 20% Decréscimo Para o caso em que é desejado aplicar um decréscimo ou desconto sobre uma determinada quantidade, o fator de multiplicação deverá retirar do valor total uma determinada quantidade. Logo, a equação ficará escrita como: V total = Valor Valor Decréscimo% 100 Resulta também em dizer que se é aplicado um decréscimo de x% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 100% - x% ou em termos decimais (1 - x), que é o fator de multiplicação. Se por exemplo o acréscimo for de 20%, basta multiplicamos pelo fator de (1,00-0,20) = 0,80. A próxima tabela mostra alguns fatores multiplicação para o decréscimo. de Desconto Fator 10% 0,90 15% 0,85 20% 0,80 47% 0,53 67% 0,33 Prof. M. Sc Aquino 11

12 Exemplo 17: Determine o desconto de 10% no valor de R$10,00: Temos que: Percentual relativo R $ 10,00 0,90 = R$9,00 Percentual relativo refere-se a um valor percentual adimensional que significa a razão de uma quantidade sobre um determinado valor tido como sendo o 100%. Exemplo 18: Qual o percentual relativo da população do Espírito Santo ( habitantes) em relação à população de São Paulo( habitantes)? (Fonte dados IBGE 2002) Solução: Considerando a população de SP como 100%, temos: Percentualrelativo= , ,47% Logo a população do ES representa aproximadamente 4,47% da população de SP. Prof. M. Sc Aquino 12