Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

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1 ALUNO(A) AULA 002 MATEMÁTICA DATA 18 / 10 /2013 PROFESSOR: Paulo Roberto Weissheimer AULA DE MATEMÁTICA Geometria Espacial Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos: V=8 A=12 F= = 2 V = 12 A = 18 F = = 2 Poliedros platônicos Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler. Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico. Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

2 Diagonais da base e do cubo Considere a figura a seguir: d c =diagonal do cubo d b = diagonal da base Na base ABCD, temos: No triângulo ACE, temos: Área lateral A área lateral A L é dada pela área dos quadrados de lado a: A L =4a 2 Área total A área total A T é dada pela área dos seis quadrados de lado a: A T =6a 2 Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: V= a. a. a = a 3 CILINDRO Áreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (A L ) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

3 Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões : b) área da base ( A B ):área do círculo de raio r Cone circular Dado um círculo C, contido num plano, e um ponto V ( vértice) fora de, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos. Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: altura: distância h do vértice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência raio da base: raio R do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominadocone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

4 Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: g 2 = h 2 + R 2 Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento : Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área lateral (A L ): área do setor circular b) área da base (A B ):área do circulo do raio R 1) (ENEN) A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga. A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é A)

5 B) C) D) E) Comentário Como a resistência S é inversamente proporcional ao quadrado de x, temos que x² deve estar no denominador da expressão. A constante de proporcionalidade k e as variáveis b e d² são diretamente proporcionais a S, então: S = kbd²/x² 2)(ENEN) Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta,r$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de A) R$ 8,20. B) R$ 8,40. C) R$ 8,60. D) R$ 8,80. E) R$ 9,00. Comentário Número total de pastilhas: 20 x 10 = 200 Número de pastilhas pretas: 10 x 4 = 40 Número de pastilhas brancas: = 160 Supondo que cada pastilha corresponda a 1 m 2, o custo total é dado por: 160 x R$ 8, x R$ 10,00 = R$ 1.680,00 Calculando o preço por metro quadrado: R$ 1.680,00 : 200 = R$ 8,40.

6 3)(ENEN) Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume. A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é: A) B) C)

7 D) E) Comentário Esta questão você pode resolver simplesmente usando a lógica. Se você for encher o reservatório com combustível, verá que o combustível subirá rapidamente no fundo dele. A velocidade de subida será menor quando o nível do combustível se aproxima do meio e volta a subir rapidamente quando o níve se aproxima do máximo. Por quê? É simples. Isso ocorre porque a área da seção longitudinal do reservatório é máxima no meio do galã e mínima no fundo e no topo do galão. O volume segue essa proporção, ou seja, quanto mais próxim do centro, maior é o volume e, consequentemente, mais lentamente o combustível sobe. Aí você se pergunta: mas o que isso tem a ver com as divisões de vara? Tudo, se queremos que a vara tenha divisões de maneira que, para cada intervalo, tenhamos um mesmo volume. Temos que levar em conta a maneira como o combustível sobe dentro do reservatório. Como o combustível sobe mais rapidamente no fundo e no topo, a vara tem que ter divisões mais espaçadas nessas regiões. Já no centro, a velocidade de subida é mais lenta, por isso as divisões podem ser mais próximas. Com isso, determinamos que a graduação da vara tem que ser igual a da alternativa I. 4) ENEN Observe nas questões 1 e 2 o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa caixa cúbica com 10 cm de aresta. Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas iguais, tendo assim emprega-

8 do: A) 100 bolinhas. B) 300 bolinhas. C) 1000 bolinhas. D) 2000 bolinhas. E) bolinhas. Avaliação Distribuição de respostas no ENEM: 16 % responderam A 10 % responderam B 52 % responderam C 6 % responderam D 15 % responderam E Comentário Para resolver esse exercício, temos de lembrar que as bolinhas estão uma ao lado da outra e uma sobre a outra. Então, para determinarmos quantas bolinhas teremos na largura, altura e profundidade, basta dividirmos o tamanho de cada uma dessas arestas pelo tamanho do diâmetro da caixa. Como cada uma dessas arestas tem dimensão de 10 cm e o diâmetro da bolinha é de 1 cm, temos: L = 10/1 = 10 => (número de bolinhas que cabem na largura); A = 10/1 = 10 => (número de bolinhas que cabem na altura); P = 10/1 = 10 => (número de bolinhas que cabem na profundidade). O número total de bolinhas é calculado pela multiplicação do número de bolinhas que cabem na largu ra pelo número de bolinhas que cabem na profundidade pelo número de bolinhas que cabem na altura: N = L x A x P = 10 x 10 x 10 = bolinhas. Então, a resposta correta é a alternativa C. Para saber mais sobre o assunto, acesse a Pesquisa Escolar e digite como palavras-chave "esfera" e "cubo".

9 5) (ENEN) Observe nas questões 1 e 2 o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa caixa cúbica com 10 cm de aresta. Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira de arrumar as bolas na caixa achando que seria uma boa ideia organizá-las em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior, como mostra a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela conseguiu colocar na caixa: A) 729 bolinhas. B) 984 bolinhas. C) 1000 bolinhas. D) 1086 bolinhas. E) 1200 bolinhas. Avaliação Distribuição de respostas no ENEM: 19 % responderam A 20 % responderam B 17 % responderam C 16 % responderam D 26 % responderam E Comentário Já nesse caso, temos as bolinhas colocadas nos vãos formados por quatro bolas da fileira. Como a primeira fileira terá 10 bolas na largura e 10 na profundidade, então, caberão 100 bolas. Mas, na segunda fileira, as bolinhas serão colocadas nos vãos e não caberão 100 bolas. Para calcularmos o número de bolas que vão caber nessa fileira, temos de lembrar que, se a fileira tem 10 bolas na largura e 10 na profundidade, teremos 9 vãos na largura e 9 na profundidade. Portanto, o número total de vãos será calculado se multiplicarmos o número de vãos da largura pelo número de vãos da profundi dade, que é igual a 81 vãos. Como em cada vão colocamos uma bolinha, teremos 81 bolas na segunda fileira. Já para a terceira fileira, voltamos a ter a configuração da primeira 100 bolas. Para a quarta fileira, temos a mesma configuração da segunda 81 bolas. Esse processo se repete para as outras 8 fileiras. Assim, teremos 6 fileiras com 100 bolinhas e 6 fileiras com 81 bolinhas. Com isso, o número total de bolinhas será determinado por: N = 100 x x 6 = Portanto, a resposta correta é a alternativa D.

10 Para saber mais sobre o assunto, acesse a Pesquisa Escolar e digite como palavras-chave "esfera" e "cubo". 6)(ENEN) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído. Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do reservatório deverá medir A) 4m B) 5m C) 6m D) 7m E) 8m Comentário do portal Para resolver essa questão, temos de determinar o total de chuva, em mm, em um ano. Para isso somamos as quantidades determinadas no gráfico, ou seja: = 700 mm Como o problema diz que cada 100 mm de chuva equivalem a 100 litros de água numa superfície plana de um metro quadrado, teremos 700 litros de água para cada metro quadrado de superfície Como a superfície da casa que recebe a chuva é o telhado, consideraremos a área deste como sendo um retângulo de 8 m por 10 m, ou seja, 80 m². Como são 700 litros para cada metro quadrado, o total de água que será acumulado é igual a: 700 X 80 = litros

11 Transformando esse volume em metros cúbicos, teremos 56 m³. Esse é o volume mínimo do reser vatório. Como esse reservatório é um prisma de dimensões 4 m, 2 m e p m, então, podemos dizer que: 56 = 4 X 2 X p Do qual tiramos que p = 7 m.