MÓDULO 45 TRIGONOMETRIA II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. 1. Considere a equação. (3 2 cos 2 x) 1 + tg 2. 6 tg = 0.

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3 Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Considere a equação TRIGONOMETRIA II ( cos ) + tg MÓDULO 5 tg = 0. a) Determine todas as soluções no intervalo [0, [. b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg. a) (. cos ). + tg. tg = 0 sen (. cos ). sec. = 0 cos sen. cos. = 0 cos cos cos cotg = = = sen cos 0 ) Para = cotg = = = 0 sen 5 ) Para = 5 cos 5 cotg = = = 5 sen 5 Respostas: a) = ou = ou = b) cotg = ou cotg = 0 ou cotg =. cos. sen. cos cos = 0. cos. sen cos = 0. ( sen ). sen = 0, com cos. sen. sen + = 0 0 sen = ou sen = No intervalo [0; [, resulta: 5 = ou = ou = b) Sendo cotg = cos, temos: sen ) Para =

4 . Sobre a equação tg + cotg = sen podemos afirmar que: a) Apresenta uma raiz no intervalo 0 < < b) Apresenta duas raízes no intervalo 0 < < c) Apresenta uma raíz no intervalo < < d) Apresenta uma raíz no intervalo < < e) Não apresenta raízes reais. Observamos que tg + cotg = tg + tg + cotg = tg +. tg ou Como sen a igualdade tg + cotg = sen somente é viavel se: (tg = e sen = ) ou (tg = e sen = ) mas (tg = = + k tg. Seja a um número real não nulo, satisfazendo a. Se dois ângulos agudos de um triângulo são dados por arc sen a e arc sec, então o seno trigonométrico do a terceiro ângulo desse triângulo é igual a: a) b) c) d) e) Sejam, β e γ os ângulos internos de um triângulo. Se:. = arc sena sen = a. β = arc sec sec β = a cos β = a então: a sen = cos β + β = (, β agudos) Assim: γ = ( + β) = sen γ = Resposta: D sen = sen + k = sen + k tg = = + k 9 sen = sen + k = sen + k Logo a equação tg + cotg =. sen não admite solução real. Resposta: E

5 . Num triângulo ABC considere conhecidos os ângulos B ^AC e C ^BA e a medida d do lado AB. Nestas condições, a área S deste triângulo é dada pela relação: a) S = b) S = c) S = d) S = e) S = d sen(bâc + CBˆA) d (sen BÂC) ( sen CBˆA) sen(bâc + CBˆA) d sen CBˆA sen(bâc + CBˆA) d sen BÂC cos(bâc + CBˆA) d (sen BÂC) (sen CBˆA) cos(bâc + CBˆA) a) No ABH (retângulo em H), temos: sen BÂC h h = d. (sen BÂC) d MÓDULO TRIGONOMETRIA II. (ITA) O conjunto-solução de (tg )( cotg ) =, k/, k, é: a) {/ + k/, k } b) {/ + k/, k } c) {/ + k/, k } d) {/8 + k/, k } e) {/ + k/, k } Para k, k, temos: (tg ) ( cotg ) = (sen cos ) (sen cos ). = cos sen (sen cos ) = sen cos cos () = sen () tg () = tg () = ± = + k., k = + k., k 8 O conjunto-solução da equação é: + k., k 8 Resposta: D b) Aplicando a Lei dos Senos no ABC, temos: b d = sen CBˆ A sen AĈB b d = sen CBˆ A sen [80 o (BÂC + CBˆA)] b d d. (sen CBˆ A) = b = sen CBˆ A sen (BÂC + CBˆ A) sen (BÂC + CBˆ A) d. (sen CBˆ A). d (sen BÂC) b. h sen (BÂC + CBˆA) c) S ABC = = S ABC = Resposta: B d. (sen BÂC). (sen CBˆ A). sen (BÂC + CBˆ A)

6 tg tg. Prove que = tg. tg tg. tg tg tg = (tg + tg ).(tg tg ) = tg. tg ( tg. tg ).( + tg. tg ) (tg + tg ) (tg tg ) =. = tg. tg ( tg. tg ) ( + tg. tg ) Resposta: Demonstração MÓDULO 7 TRIGONOMETRIA II. A equação [ sen (cos ) ]. [ cos (sen ) ] = é sa tisfeita para a) =. b) = 0. c) nenhum valor de. d) todos os valores de. e) todos os valores de pertencentes ao terceiro quadrante.. O valor do sen 7 + sen sen sen 5 é igual a: a) cos 7 b) sen 5 c) cos 8 d) sen e) cos 7 o sen 7 o + sen o sen o sen 5 o = = (sen o + sen 7 o ) (sen 5 o + sen o ) = [sen(cos )]. [cos(sen )] = (sen(cos ) = e cos(sen ) = ) ou (sen(cos ) = e cos(sen ) = ) cos = + k e sen = p ou (cos = + m e sen = + n), com k, p, m, n, pois, para qualquer valor de k, p, m, n, tem-se cos [ ;]. Resposta: C = sen o + 7 o. cos o 7 o sen 5 o + o. cos 5 o o = = sen 5 o. cos 7 o sen 8. cos 7 o = =. cos 7 o. (sen 5 o sen 8 o ) = 5 o 8 o 5 o + 8 o =. cos 7 o. sen. cos = =. cos 7 o. sen 8 o. cos o = =. cos 7 o. sen 8 o. cos 8 o. cos o = cos 8 o =. cos 7 o sen. o cos o = cos 7 o. sen. o cos o = cos8 o cos8 o sen7 o = cos 7 o. = cos 7. = cos 7 o, pois sen 7 o = cos 8 o cos8 o Resposta: E

7 +. Sabendo que tg =, para algum 0,, determine sen. tg + = tg + =, pois: + Assim: tg + tg tg + = = tg tg. tg tg + = tg. O valor de tg 0 5tg 8 sec + 0tg sec 0tg sec + + 5tg sec 8 sec 0, para todo 0,, é: a) sec b) + sen c) sec + tg d) e) zero Para 0; temos: tg 0 5tg 8 sec + 0tg sec 0 tg sec + + 5tg sec 8 sec 0 = (tg sec ) 5 = sen cos cos = ( ) 5 = Resposta: D sen cos cos cos = 5 = 5 = 5 = tg + = tg ( + ) tg = tg = tg = + + ) Como 0 < <, podemos então montar o seguinte triângulo retângulo: do qual podemos concluir que: sen = sen = Resposta: 5

8 MÓDULO 8 TRIGONOMETRIA II. A equação em, arctg (e + ) arccotg e =, \{0}, e a) admite infinitas soluções, todas positivas. b) admite uma única solução, e esta é positiva. c) admite três soluções que se encontram no intervalo 5,. d) admite apenas soluções negativas. e) não admite solução. e = = log > 0 e Dessa forma, a equação admite uma única solução, e esta é posi - tiva. Com < a < e 0 < b <, temos: ) a = arc tg (e + ) tg a = e + ) b = arc cotg cotg b = e e tg b = ) a b = tg (a b) = tg (/) Se, na equação: (e e + ) = + (e + ). fizermos e = y, resulta: = tg a tg b = + tg a. tg b y y (y + ) = + (y + ). y y y + y y + = y + y y + y y + y y = 0 (y + ). (y + y ) = 0 + y = ou y = ou y = Como y > 0, a única possibilidade e y = Portanto: e e tg a tg b + tg a. tg b e + e e e e. O valor da soma sen sen, para todo, é igual a n = a) cos cos. 79 b) sen sen. c) cos cos. 79 d) cos cos. 79 e) cos cos. 79 Lembrando que cos (a + b) cos (a b) = sen a. sen b, temos: cos + cos = = sen. sen 79 cos cos = sen. sen sen. sen = cos cos

9 Desta forma: n = = sen. sen = cos cos = cos cos + cos cos + 9 n = + cos cos + cos cos tg = 0 ou tg = tg = 0 ou tg = ± = 0 ou =, pois 0; tg ) tg. tg() = tg. = tg tg = + tg tg = /, pois tg 0 Resposta: 0; + cos cos + cos cos 8 79 = = cos cos 79. Resolva a equação sen + cos + sen = 0. sen + cos + sen = 0 sen = cos sen sen = cos sen sen = sen. cos + cos. sen sen = sen + sen = sen = + k ou = + k. (IME) Resolva a equação tg + tg () = tg (), sabendo-se que [0, /). k 7 k = + ou = +, com k Resposta: V = = + ou = +, com k 8 k k tg + tg () = tg () tg + tg () = tg ( + ) tg + tg() (tg + tg ) =. tg. tg() tg + tg = 0 ou tg. tg() = tg ) tg + tg = 0 tg + = 0 tg tg + tg tg = 0 tg tg = 0 7

10 eercícios-tarefa MÓDULO 5. (ITA) Seja a um número real tal que a + k., em que k. Se ( 0 ; y 0 ) é solução do sistema ( sec a). + ( tg a). y =. cos a { ( tg a ). + ( sec a ). y = 0, então podemos afirmar que a) 0 + y 0 = sen a 9 b) ( 0) (y 0 ) =. cos a + c) 0 y 0 = 0 d) 0 + y 0 = 0 9 e) ( 0) (y 0 ) =. cos a. A epressão sen θ, 0 < θ,, é idêntica a + cos θ a) sec θ b) cosec θ c) cotg θ d) tg θ e) θ MÓDULO. Mostre que sen8 o. cos o =. MÓDULO 7. O número de raízes reais da equação Σ 5 n= (cos ) n = 5, no intervalo [0; ], é a) b) c) d) 5 e). Se os números reais e β, com + β =, 0 β, maimizam a soma sen + sen β, então é igual a 5 7. a). b). c). d). e) 5 8 MÓDULO 8. Resolver em, a equação 5sen + sen. cos + cos = 5. Resolver, em, a equação arccos arcsen = 8 resolução dos eercícios-tarefa MÓDULO 5 ) ( sec a) + ( tg a)y = cos a { ( tg a) + ( sec a) y = 0 sec a + sec a. tg a y + 9 tg a y = cos a { tg a + sec a. tg a y + 9 sec a y = 0 (sec a tg a) + 9(tg a sec a)y = cos a 9y = cos a y = cos a 9 Se ( 0 ;y 0 ) é solução do sistema, então 0 (y 0 ) = cos a 9 Resposta: E ) Sabe-se que: θ θ sen θ =. sen. cos cos θ = cos θ sen θ sen θ + cos θ = θ Assim, para 0 < θ < 0 < <, tem-se: θ θ. sen. cos sen θ = = + cos θ θ θ θ θ sen + cos + cos sen θ θ θ. sen. cos sen θ = = = tg. cos θ cos θ Resposta: D

11 MÓDULO sen 8. cos 8. cos ) sen 8. cos = = cos 8. sen 8. cos 8. cos =. = cos 8 =... sen cos sen 7 =. = cos 8 cos 8 =. =, pois sen 7 o = cos 8 o Resposta: Demonstração MÓDULO 7 ) Como 0 (cos ) n, tem-se que 5 (cos ) n = 5 (cos ) = cos = ± = 0, n = =, =, = ou =, pois [0; ] Resposta: D ) + β β ) sen + sen β = sen cos + β = β sen + sen β = cos = cos ) sen + sen β =. cos é máimo para = 0 = MÓDULO 8 ) 5sen + sen. cos + cos = 5 5.( cos ) + sen. cos + cos = 5 sen. cos + cos = 0 cos = 0 ou sen + cos = 0 cos = 0 ou tg = = + k ou = + k ) Fazendo a = arccos temos cos a =, com 0 a e sen a =. Fazendo b = arcsen temos sen b =, com b e cos b =. Desta forma, arccos arcsen = a b = cos(a b) = cos cos a. cos b + sen a. sen b =. +. =.. = ( ) = + = 0 = ou = ou = ou = Como durante a resolução tivemos que elevar a equação ao quadrado, devemos eperimentar as respostas obtidas. Para = arccos arcsen = = arccos arcsen = = Para = arccos arcsen = = 5 = arccos arcsen = = Para = arccos arcsen = = = arccos arcsen = = Para = arccos arcsen = 5 = 7, portanto, apenas = é solução. = arccos arcsen = = Resposta: V= { = + k ou = + k, com k } Respostas: V= 9

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