Álgebra Linear I Unidade 1. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

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1 FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Álgebra Linear I Prof ª Valéria de Magalhães Iorio Unidade 1. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 1.1. Sistemas de Equações Lineares Vamos começar com um exemplo. EXEMPLO 1: Uma fábrica de plásticos produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Cada tonelada de plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e 5 horas na máquina B; cada tonelada de plástico especial necessita de 2 horas na máquina A e 3 horas na máquina B. Se a máquina A está disponível 8 horas por dia e a B está disponível 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as máquinas sejam plenamente utilizadas? Solução: Primeiro temos que equacionar o problema. O que queremos saber? Quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas. Vamos dar nomes ao que queremos saber: vamos chamar de x e de y as quantidades (em toneladas) de plástico normal e de plástico especial, respectivamente, que devem ser produzidas diariamente. Qual é a outra condição que é dada no problema? Que as máquinas sejam plenamente utilizadas, ou seja, que não fiquem paradas nem um minuto. Então as equações devem ser escolhidas de modo que a máquina A trabalhe durante 8 horas e a B, durante 15 horas. Então, supondo que são produzidas x toneladas do plástico normal e y toneladas do especial, a máquina A será usada durante 2x + 2y horas, de modo que, para ela não ficar ociosa, obtemos nossa primeira equação: 2x + 2y = 8. Dividindo tudo por 2, esta equação pode ser simplificada para x + y = 4. Usando o mesmo raciocínio para a máquina B, obtemos a segunda equação: 5x + 3y = 15. Chegamos, então, a um sistema com duas equações e duas incógnitas: x + y = 4, 5x + 3y = 15. A maneira mais simples de resolver este sistema é por substituição: resolvemos a primeira equação para uma das variáveis e substituímos o resultado encontrado na segunda equação: x = 4 y 5(4 y) + 3y = y + 3y = 15 2y = 5 2y = 5 y = 5/2. Substituindo este valor de y na primeira equação, obtemos x + 5/2 = 4 x = 4 5/2 = (8 5)/2 = 3/2. Portanto, a solução do sistema é x = 3/2 = 1,5 e y = 5/2 = 2,5. Você pode testar diretamente, substituindo esses valores nas duas equações dadas, que essa é, de fato, a solução. Resposta: Devem ser produzidas uma tonelada e meia do plástico normal e duas toneladas e meia de plástico especial. Exercício de fixação 1: Uma companhia, inteiramente automatizada, fabrica 3 produtos, A, B e C. Cada produto é manufaturado no setor de produção, depois tem que passar pelo setor de qualidade (que verifica se o produto funciona como

2 Unidade 1 UNIFESO esperado) e, caso seja aprovado, vai para o setor de embalagem. Como os produtos são muito bem feitos, 99% da produção é aprovada no setor de qualidade. O setor de produção funciona 16 horas por dia, mas os outros setores funcionam apenas 8 horas por dia. Cada produto A é produzido em 5 minutos, é testado em 1 minuto no setor de qualidade e é embalado em 3 minutos. Cada produto B é produzido em 8 minutos, é testado em 3 minutos no setor de qualidade e é embalado em 2 minutos. Cada produto C é produzido em 10 minutos, é testado em 2 minutos no setor de qualidade e é embalado em 1 minuto. Escreva um sistema com 3 equações cuja solução indica a quantidade de cada produto que deve ser produzida por dia para que nenhum setor tenha tempo vago. O sistema que obtivemos no Exemplo 1 é um sistema de equações lineares. Uma equação da forma ax = b, onde a e b são constantes, é chamada de uma equação linear. A palavra linear vem do fato de que a variável x aparece no 1º grau; lembrem também que o gráfico da equação y = ax b é uma reta (a e b são constantes). Quando temos muitas variáveis (ou incógnitas), em vez de ficar usando todas as letras do alfabeto, é costume usar índices e denotar as variáveis por x 1, x 2,, x n. Então, se tivermos n variáveis, uma equação da forma a 1x 1 + a 2x a nx n = b é chamada de uma equação linear nas variáveis x 1, x 2,, x n. Note que, em uma equação linear, todas as variáveis aparecem no primeiro grau. Os números a 1, a 2,, a n são constantes e são chamados de coeficientes; os índices indicam a variável da qual o número é coeficiente. Então, por exemplo, a 3 denota o coeficiente da 3ª variável, ou seja, de x 3. Exercício de fixação 2: Quais das equações a seguir são lineares? As variáveis são denotadas por x, y ou z; quaisquer outras letras que apareçam denotam constantes. a) 2xy 3xz + 5yz = 0. c) ax 2 + bx + c = 0. b) 2x + 2y 3z = 5a 2. d) ax by + cz = d. Um sistema linear com m equações e n incógnitas pode ser escrito na forma a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1, a21x1 + a22x2 + + a2 nxn = b2, ( 1.1) am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm. Note que agora precisamos de dois índices para os coeficientes: o primeiro índice indica a equação e o segundo a variável. Por exemplo, a 32 é o coeficiente de x 2 na 3ª equação, enquanto que a 23 é o coeficiente de x 3 na 2ª equação. Exercício de fixação 3: Dê um exemplo de um sistema linear com 2 equações e três incógnitas. Uma solução do sistema (1.1) é uma n-upla (s 1, s 2,, s n) tal que, ao fazermos x 1 = s 1, x 2 = s 2,, x n = s n nas equações do sistema (1.1), todas as equações são válidas. Algumas vezes, em vez de falar de n-uplas, dizemos simplesmente que x 1 = s 1, x 2 = s 2,, x n = s n é solução do sistema. O conjunto solução do sistema (1.1) é o conjunto de todas as n-uplas que são soluções do sistema. EXEMPLO 2: Mostre que x =1, y = 3, z = 5 é solução do sistema 2 Álgebra Linear Seção 1.1

3 UNIFESO Unidade 1 5x + 2y z = 6, 3x + y + 2z = 10, x + y + z = 3. Solução: Basta substituir x por 1, y por 3 e z por 5: 5x + 2y z = 5( 1) + 2( 3) ( 5) = = 6, 3x + y + 2z = 3( 1) + ( 3) + 2( 5) = = 10, x + y + z = 1 + ( 3) + 5 = = 3. Portanto, x = 1, y = 3, z = 5 é solução do sistema dado. Exercício de fixação 4: Mostre que x = 3, y = 2, z = 1 é solução do sistema x + 3y z = 4, x 2y + z = 2, 5x + 4y + 3z = 20. Nosso primeiro exemplo consistia em um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, e foi resolvido pelo método de substituição. Com sistemas pequenos, não faz muita diferença o método utilizado, mas, para um sistema com muitas equações e muitas incógnitas, é necessário ter métodos mais eficientes do que o de substituição. Para esses outros métodos, é importante saber que operações podem ser efetuadas nas equações de um sistema de modo a não alterar o conjunto solução. Já sabemos as operações que podemos fazer em uma equação para não alterar o conjunto solução, lembrando que todas as operações efetuadas em um dos lados do sinal de igualdade têm que ser efetuadas também do outro lado da equação: podemos multiplicar (ou dividir) uma equação por um número diferente de zero e podemos somar (ou subtrair) qualquer número a uma equação. Para um sistema, temos três operações básicas que não altera o conjunto solução: 1. Trocar a ordem de duas equações. 2. Multiplicar uma das equações por um número diferente de zero. 3. Substituir uma das equações por ela mais um múltiplo de outra. As duas primeiras não precisam de explicação, mas talvez alguns de vocês fiquem meio indecisos sobre a última. Observem: se x, y, z, etc. satisfazem duas equações A e B, então é claro que irão satisfazer a equação A + rb, onde r é qualquer número real; reciprocamente, se se x, y, z, etc. satisfazem as equações A + rb e B, onde r é qualquer número real, é claro que irão satisfazer também a equação A = (A + rb) rb. EXEMPLO 3: Resolva o sistema linear 2x + y = 8, x 3y = 3. Solução: Vamos resolver esse sistema de duas maneiras, uma algébrica e outra geométrica. A ideia da resolução algébrica é a seguinte: eliminar o x na segunda equação usando a terceira operação citada acima, resolver a nova equação para y e substituir o valor de y na primeira equação. Vai ficar mais fácil eliminar o x da segunda equação se o coeficiente de x na primeira for igual a 1, de modo que nosso primeiro passo será trocar a ordem das duas equações (operação 1): x 3y = 3, 2x + y = 8. Seção 1.1 Álgebra Linear 3

4 Unidade 1 UNIFESO Agora o 1º termo na 2ª equação é 2x; para eliminá-lo, precisamos somar 2x; então basta multiplicar a 1ª equação por 2 e somá-la à 2ª, ou seja, substituir a 2ª equação por ela 2 vezes a primeira: 2x + 6y = 6 2x + y = 8 7y = 14 Nosso sistema ficou x 3y = 3, 7y = 14. Dividindo a segunda equação por 7, obtemos outro sistema, que tem exatamente o mesmo conjunto solução que o primeiro sistema: x 3y = 3, y = 2. Agora resolvemos o sistema de baixo para cima. A última equação já nos dá o valor de y; substituindo este valor na primeira equação, obtemos x 6 = 3 x = 6 3 = 3. Vamos agora resolver o sistema geometricamente. Como cada uma das equações do sistema é a equação de uma reta no plano, a solução do sistema será dada pelo ponto de interseção das duas retas: Resposta: A solução do sistema é x = 3, y = 2. Essa resolução geométrica, no entanto, nos diz o que pode acontecer com as soluções de um sistema com duas equações e duas incógnitas, de acordo com a posição relativa das duas retas. Duas retas podem ser concorrentes (1 ponto de interseção), paralelas (nenhum ponto de interseção) ou coincidentes (uma infinidade de pontos de interseção). Portanto, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas pode ter uma única solução, nenhuma solução ou uma infinidade de soluções. Isso, de fato, é o que ocorre com qualquer sistema linear. Este resultado é tão importante que merece destaque. (Veja a demonstração na última seção.) TEOREMA 1: Todo sistema linear pode ter uma única solução, uma infinidade de soluções ou nenhuma solução. Vamos voltar para a resolução algébrica de sistemas. O método que usamos para resolver o sistema no Exemplo 2 é conhecido como método de eliminação ou método de Gauss. Este método usa as três operações básicas citadas acima. A ideia do método é a seguinte: colocar coeficiente 1 na 1ª variável na 1ª equação; eliminar a 1ª variável de todas as outras equações usando a terceira operação; colocar 4 Álgebra Linear Seção 1.1

5 UNIFESO Unidade 1 coeficiente 1 na 2ª variável na 2ª equação; eliminar a 2ª variável em todas as equações seguintes; colocar coeficiente 1 na 3ª variável na 3ª equação; eliminar a 3ª variável em todas as equações seguintes; e assim por diante. Depois disso, resolver o sistema de baixo para cima. Ou seja, a ideia é obter, se possível, um sistema triangular como (no caso em que o número de equações for igual ao de incógnitas) ( 1.2) x1 + a12x2 + + a1, n 1xn 1 + a1 nxn = b1, x2 + + a2, n 1xn 1 + a2 nxn = b2, xn 1 + an 1, nxn = bn 1, xn = bn. A última equação já nos daria o valor da última variável; substituiríamos este valor na penúltima equação, e assim por diante, até chegar à 1ª equação. É claro que isso só é possível se o sistema tiver uma única solução. Vamos usar o método para três sistemas de três equações com três incógnitas e ver o que acontece em cada caso. EXEMPLO 4: Resolva o sistema linear a seguir pelo método de Gauss. x + 2y + 3z = 6, 2x 3y + 2z = 14, 3x + y z = 2. Solução: A 1ª variável na 1ª equação já tem coeficiente 1, logo nosso primeiro passo será eliminar o x nas outras duas equações. O coeficiente de x na 2ª equação é 2, logo multiplicamos a 1ª equação por 2, somamos com a 2ª e colocamos o resultado no lugar da 2ª equação (operação 3). Analogamente, como o coeficiente de x na 3ª equação é 3, multiplicamos a 1ª equação por 3, somamos com a 3ª e colocamos o resultado no lugar da 3ª equação (operação 3). Vamos fazer as operações descritas: 2x 4y 6z = 12 3x 6y 9z = 18 2x 3y + 2z = 14 3x + y z = 2 7y 4z = 2 5y 10z = 20 Obtivemos, então o seguinte sistema: x + 2y + 3z = 6, 7y 4z = 2, 5y 10z = 20. Podemos simplificar a última equação dividindo por 5, obtendo x + 2y + 3z = 6, 7y 4z = 2, y + 2z = 4. Eliminamos x das duas últimas equações e agora queremos que o coeficiente de y na 2ª equação seja 1. Para isso, basta trocar as duas últimas equações: x + 2y + 3z = 6, y + 2z = 4, 7y 4z = 2. Agora queremos eliminar y na 3ª equação; como o coeficiente de y na 2ª equação é 1, basta multiplicar a 2ª equação por 7 e somar com a 3ª: 7y + 14z = 28 7y 4z = 2 10z = 30 Seção 1.1 Álgebra Linear 5

6 Unidade 1 UNIFESO Obtemos, assim, o sistema x + 2y + 3z = 6, y + 2z = 4, 10z = 30. Para o sistema ficar na forma desejada, basta dividir a última equação por 10: x + 2y + 3z = 6, y + 2z = 4, z = 3. A última equação nos dá o valor de z. Para encontrar o valor de y, substituímos o valor encontrado de z na 2ª equação, obtendo y + 2(3) = 4 y + 6 = 4 y = 4 6 = 2. Finalmente, substituindo os valores encontrados de y e z na 1ª equação, obtemos x + 2( 2) + 3(3) = 6 x = 6 x + 5 = 6 x = 6 5 = 1. Resposta: O sistema tem uma única solução: x = 1, y = 2, z = 3. EXEMPLO 5: Encontre o conjunto solução do sistema linear x + 2y 3z = 4, x + y 2z = 0, 2x + y 3z = 4. Solução: O coeficiente de x na 1ª equação já é 1. Para eliminar x das outras equações, basta substituir a 2ª equação por ela menos a 1ª e a 3ª equação por ela menos 2 vezes a 1ª: x 2y + 3z = 4 2x 4y + 6z = 8 x + y 2z = 0 2x + y 3z = 4 y + z = 4 3y + 3z = 12 Nosso novo sistema é x + 2y 3z = 4, y + z = 4, 3y + 3z = 12. Para fazer o coeficiente de y na 2ª equação ser igual a 1, basta multiplicar a 2ª equação por 1. Vamos aproveitar e simplificar também a 3ª equação, dividindo-a por 3: x + 2y 3z = 4, y z = 4, y + z = 4. O próximo passo é eliminar y da 3ª equação; para isso, basta substituir a 3ª equação por ela mais a 2ª: x + 2y 3z = 4, y z = 4, 0 = 0. A última equação não nos dá informação sobre z! Neste caso, temos uma infinidade de soluções. Mas todas as soluções têm a mesma cara. De fato, z pode assumir qualquer valor real, mas, para cada valor de z, x e y ficam determinados. Vamos encontrar x e y em função de z. Da segunda equação, obtemos y = z 4. Substituindo este valor de y na 1ª equação, obtemos x + 2(z 4) 3z = 4 x + 2z 8 3z = 4 x z = x = z Álgebra Linear Seção 1.1

7 UNIFESO Unidade 1 Resposta: O sistema tem uma infinidade de soluções e o conjunto solução é {(z + 4, z 4, z) z R}. EXEMPLO 6: Resolva o sistema linear x + 2y + 3z = 6, 2x 3y + 2z = 14, 3x y + 5z = 2. Solução: O coeficiente de x na 1ª equação já é 1. Para eliminar x das outras equações, basta substituir a 2ª equação por ela menos 2 vezes a 1ª e a 3ª equação por ela menos 3 vezes a 1ª: 2x 4y 6z = 12 3x 6y 9z = 18 2x 3y + 2z = 14 3x y + 5z = 2 7y 4z = 2 7y 4z = 20 O novo sistema é x + 2y + 3z = 6, 7y 4z = 2, 7y 4z = 20. Mas este sistema é impossível! Repare nas duas últimas equações: as expressões à esquerda do sinal de igualdade são iguais, mas os valores à direita do sinal de igualdade são diferentes! Resposta: Este sistema não tem solução. DEFINIÇÕES: Um sistema linear será dito consistente quando tiver solução. Um sistema linear será dito inconsistente quando não tiver solução. Exercício de fixação 5: Use o método de Gauss para encontrar o conjunto solução do sistema x + y 2z = 5, 2x + 3y + 4z = 2. EXERCÍCIOS Uma confecção tem duas seções de produção: uma de corte e costura, outra de aviamentos e acabamento. A fábrica produz três tipos de blusas: sem mangas, com mangas curtas e com mangas compridas. Uma blusa sem mangas necessita de 1 hora no setor de corte e costura e meia hora no setor de aviamentos e acabamentos. Uma blusa com mangas curtas precisa de 1 hora e meia no setor de corte e costura e uma hora no setor de aviamentos e acabamentos. Uma blusa com mangas compridas precisa de duas horas em cada setor. a) Suponha que o setor de corte e costura funciona 12 horas por dia, enquanto que o setor de aviamentos e acabamento funciona apenas 8 horas por dia. Encontre todas as possibilidades de produção para esta confecção. b) Se o preço da blusa com mangas curtas é uma vez e meia o preço da blusa sem mangas e o preço da blusa com mangas compridas é o dobro do preço da blusa com mangas curtas, qual a produção que vai corresponder à receita maior? 2. A reação química a seguir indica que, quando x 1 moléculas de acetileno são queimadas em x 2 moléculas de oxigênio, elas produzem x 3 moléculas de dióxido de carbono e x 4 moléculas de água: x 1C 2H 2 + x 2O 2 x 3CO 2 + x 4H 2O. Balancear esta equação química significa encontrar valores para x 1, x 2, x 3 e x 4 de modo que o número de átomos de cada tipo sejam iguais nos dois lados da Seção 1.1 Álgebra Linear 7

8 Unidade 1 UNIFESO equação. Por exemplo, o número de átomos de oxigênio à esquerda é 2x 2 e o número de átomos de oxigênio à direita é 2x 3 + x 4, de modo que, para balancear a equação, temos que ter 2x 2 = 2x 3 + x 4. a) Em geral, ao balancear uma equação química como esta, escolhemos os menores valores positivos para x 1, x 2, x 3 e x 4 por inspeção. Encontre esses valores. b) Supondo que x 1, x 2, x 3 e x 4 podem assumir quaisquer valores, escreva um sistema linear para as variáveis x 1, x 2, x 3 e x 4 cuja solução irá balancear esta equação, ou seja, irá manter o mesmo número de átomos de cada elemento nos dois lados da equação. Verifique que os valores encontrados no item (a) formam uma solução para seu sistema. c) Resolva o sistema obtido no item (b) e verifique que todas as soluções são múltiplas da solução encontrada no item (a). Qual é o conjunto solução? 3. A figura a seguir mostra o fluxo de tráfego (em veículos por hora) em diversas ruas no centro de uma cidade durante uma tarde típica. É claro que, em cada interseção, o fluxo de entrada tem que ser igual ao fluxo de saída. É claro também que nenhum dos fluxos desconhecidos pode ser negativo. Por exemplo, na interseção B, estão entrando x carros por hora e estão saindo 30 + x , de modo que essas duas quantidades têm que ser iguais. a) Escreva uma equação linear para o fluxo em cada uma das interseções, obtendo um sistema linear com 4 equações e 5 incógnitas. b) Resolva o sistema encontrado no item (a). c) Lembrando que cada variável tem que ser inteira e maior ou igual a zero, determine o intervalo de valores possíveis para cada uma das variáveis. 4. Quais das equações a seguir são lineares em x, y e z? a) 5x 4y + 9z = 6. f) x 5y + 11z = 151. b) 3x 5y = ln z. g) 3x ey + e 2 z = e 3. c) πx + ey π 2 z = 4 1/3. x y d) xy + 3yz 7xz = 2. h) = 5. y z e) x 5 y + z = π. 5. Resolva cada sistema a seguir pelo método de Gauss. 3x 2y + z = 10, 5x + 3y + z = 2, a) 2x y z = 1, b) 4x 2y + 3z = 5, 3x + 3y + 3z = 6. x + 5y 2z = 8. 8 Álgebra Linear Seção 1.1

9 UNIFESO Unidade 1 c) d) x + 2y + z = 5, 2x + y z = 2, 3x + 4y + z = 7. x 2y + 3z = 1, 2x + 4y 6z = 2, 3x 6y + 9z = 3. e) f) 5x + 7y + 3z = 40, x + y + z = 0, 2x 2y 5z = 9, x + 2y + 8z = 3. 2x + y + 2z + 3w = 18, x y z + 2w = 4, 3x + y + 2z 2w = Considere o sistema linear x + y + z = 0, 10x + 15y + 12z = 0. a) Mostre que x = 3, y = 2, z = 5 é solução do sistema. b) Mostre que x = 6, y = 4, z = 10 também é solução do sistema. c) Mostre que, qualquer que seja t R, x = 3t, y = 2t, z = 5t também é solução do sistema. d) Resolva o sistema pelo método de Gauss e verifique que todas as soluções do sistema são dessa forma. 7. Considere o sistema linear 2x1 3x2 + x3 2x4 = 0, x1 + x2 x3 x4 = 0, 3x1 2x2 3x4 = 0. a) Mostre que (2, 3, 5, 0) é solução do sistema. b) Mostre que (1, 0, 0, 1) é solução do sistema. c) Mostre que, quaisquer que sejam s, t R, s(2, 3, 5, 0) + t(1, 0, 0, 1) = (2s + t, 3s, 5s, t) é solução do sistema. d) Resolva o sistema pelo método de Gauss e verifique que todas as soluções do sistema são dessa forma. Obs.: Os Exercícios 6 e 7 são exemplos de sistemas lineares homogêneos, ou seja, sistemas como (1.1) tais que b 1 = b 2 = = b m = 0. Tais sistemas sempre têm a solução trivial (x 1 = x 2 = = x n = 0) e suas soluções (se houver mais de uma) satisfazem propriedades semelhantes a do item (c) no Exercício 7. Seção 1.1 Álgebra Linear 9

10 Unidade 1 UNIFESO 1.2. Matrizes Nos exemplos acima, ao resolver os sistemas por eliminação, olhamos apenas para os coeficientes das incógnitas. Podemos então facilitar nosso trabalho escrevendo apenas os coeficientes, ou seja, associando ao sistema uma matriz. DEFINIÇÕES: Uma matriz é um arranjo retangular de números. Se a matriz tiver m linhas e n colunas, dizemos que é uma matriz m n (lê-se m por n) ou que o tamanho da matriz é m n. Os números nesse arranjo retangular são os elementos ou coeficientes da matriz. Se A for uma matriz m n, denotaremos os elementos de A por a ij, com dois índices e escreveremos A = (a ij); o primeiro índice refere-se à linha e o segundo, à coluna, de modo que 1 i m, 1 j n e o elemento a ij é o elemento na linha i e coluna j. Se m = n, a matriz é dita quadrada. É usual colocar a matriz dentro de parênteses ou de colchetes. EXEMPLO 7: As matrizes A = 2 3, B =, C = são, respectivamente, 3 2, 2 3 e 3 3. Alguns elementos dessas matrizes são: a 21 = 2, a 12 = 0, b 12 = 1, b 21 = 1, b 13 = 2, b 31 não existe, já que a matriz B só tem 2 linhas, c 13 = 3, c 31 = 0, c 22 = 5. Exercício de fixação 6: Encontre o tamanho de cada uma das matrizes a seguir e identifique os elementos a 11, a 12, a 13, a 21, b 23, b 24, b 32, c 44, c 34, c 43, c 45, c A =, B =, C = Para resolver sistemas usando matrizes, precisamos associar matrizes a cada sistema. Considere um sistema linear com m equações e n incógnitas como na Equação (1.1), que repetimos aqui: a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1, a21x1 + a22x2 + + a2 nxn = b2, ( 1.1) amx1 + am2x2 + + amnxn = bm. Vamos associar duas matrizes a este sistema, a matriz de coeficientes, que é uma matriz m n e a matriz aumentada, que é uma matriz m (n + 1). A matriz de coeficientes do sistema (1.1) é a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n am1 am2 amn A matriz aumentada do sistema (1.1) é a11 a12 a1 n b1 a21 a22 a2 n b2. am1 am2 amn bm 10 Álgebra Linear Seção 1.2

11 UNIFESO Unidade 1 Muitas vezes usamos uma reta vertical para separar a parte de coeficientes, indicando onde fica o sinal de igual: a11 a12 a1 n b1 a21 a22 a2 n b2 am1 am2 amn bm Note que as linhas da matriz aumentada correspondem às equações do sistema, enquanto que as colunas à esquerda da linha vertical correspondem às variáveis; a coluna à direita da linha vertical contém os valores à direita do sinal de igualdade. EXEMPLO 8: Encontre a matriz de coeficientes e a matriz aumentada do sistema 2x + z = 1, x y + z = 4, x + y = 2. Resposta: A matriz de coeficientes é A matriz aumentada é Exercício de fixação 7: Encontre a matriz de coeficientes e a matriz aumentada do sistema 2w 3x + y 5z = 4, x 5y + 6z = 5, w + x + y + z = 1. EXEMPLO 9: A matriz dada a seguir é a matriz aumentada de um sistema linear. Escreva as equações do sistema Solução: Embora essa matriz não tenha uma linha vertical, como é a matriz aumentada de um sistema, a última coluna contém os valores à direita do sinal de igualdade, enquanto as duas primeiras colunas correspondem às duas incógnitas. Resposta: O sistema associado é 2x + 3y = 1, x y = 1. Exercício de fixação 8: A matriz a seguir é a matriz aumentada de um sistema linear. Encontre as equações do sistema Exercício de fixação 9: Suponha que a matriz a seguir é a matriz aumentada de um sistema linear. O que você pode dizer sobre as soluções do sistema? Seção 1.2 Álgebra Linear 11

12 Unidade 1 UNIFESO Para usar a matriz aumentada de um sistema, precisaremos transformar as três operações usadas anteriormente nas equações do sistema em operações nas linhas da matriz. Essas operações são chamadas de operações elementares: 1. Trocar a ordem de duas linhas. 2. Multiplicar uma das linhas por um número diferente de zero. 3. Substituir uma das linhas por ela mais um múltiplo de outra. Vamos resolver um sistema usando o método de Gauss, mas agora usando a matriz aumentada do sistema. EXEMPLO 10: Resolva o sistema 2x + 3y + z = 1, x y + z = 4, x + y + z = 2. Solução: Vamos primeiro escrever a matriz aumentada do sistema, O primeiro passo na resolução do sistema pelo método de Gauss era colocar o coeficiente da 1ª variável na 1ª equação igual a 1; isso corresponde a colocar 1 na primeira linha, primeira coluna da matriz. Podemos fazer isso usando a primeira operação elementar, ou seja, trocando as duas primeiras linhas: O próximo passo era eliminar a 1ª variável das outras equações; isso corresponde a colocar zeros no resto da 1ª coluna. Como a 2ª linha começa com 2, precisamos somar 2 para obter 0: basta substituir a 2ª linha por ela menos 2 vezes a 1ª, usando a terceira operação elementar. Vamos usar a notação l2 l2 2 l1 para simbolizar que no lugar da 2ª linha colocaremos a 2ª linha menos 2 vezes a 1ª linha. Analogamente, para eliminar o 1 na terceira linha, primeira coluna substituiremos a 3ª linha por ela menos a 1ª, ou seja, l3 l3 l1. Como fazíamos com as equações, vamos fazer essas operações em um rascunho e, quando houver subtração como aqui, é sempre melhor colocar o sinal de menos na própria linha e depois somar com a outra, ou seja, para efetuar a operação l l 2 l, primeiro escreveremos a linha 2l 1, depois escrevemos a linha l 2 embaixo e somamos. Vamos efetuar essas duas operações: 2l l l l l 2 2l l 3 l A nova matriz é 12 Álgebra Linear Seção 1.2

13 UNIFESO Unidade Para simplificar, vamos usar a segunda operação elementar e dividir a 3ª linha por 2, obtendo O próximo passo era colocar o coeficiente da 2ª variável na 2ª equação igual a 1; isso corresponde a colocar 1 na segunda linha, segunda coluna da matriz; para isso basta trocar a ordem das duas últimas linhas; vamos simbolizar esta operação como l 2 l 3. Obtemos a matriz Agora precisamos eliminar o y na 3ª equação, ou seja, colocar 0 na coluna 2, linha 3. A operação que fará isso é l l 5 l : l l l 3 5l A nova matriz é Agora só falta trocar o sinal da 3ª linha (multiplicar por 1) para obter 1 na 3ª linha, 3ª coluna: Esta última matriz é a matriz aumentada do sistema x y + z = 4, y = 1, z = 2. As duas últimas equações já nos dão os valores de y e de z. Para encontrar x, basta substituir esses valores na 1ª equação: x ( 1) + 2 = 4 x = 4 x + 3 = 4 x = 4 3 = 1. Resposta: O sistema tem uma única solução: x = 1, y = 1, z = 2. EXEMPLO 11: Resolva o sistema x + y + z = 2, 3x z = 1, x + 2y + z = 5. Solução: A matriz aumentada deste sistema é Seção 1.2 Álgebra Linear 13

14 Unidade 1 UNIFESO Para colocar 1 na 1ª linha, 1ª coluna basta trocar o sinal da 1ª linha, ou seja, l 1 l 1: Para zerar o resto da 1ª coluna, l 2 l 2 3l 1 e l 3 l 3 l 1: A matriz fica Como as duas últimas colunas são iguais, fazendo l 3 l 3 l 2, obtemos É claro que o sistema tem uma infinidade de soluções. Existem diversas maneiras de descrever essas soluções. Podemos fazer como no Exemplo 4 considerar z arbitrário e calcular x e y em função de z. Escrevendo a equação correspondente à 2ª linha e resolvendo para y, obtemos 3y + 2z = 7 3y = 7 2z y = 7/3 2z/3. Escrevendo a equação correspondente à 1ª linha, substituindo este valor de y e resolvendo para x, obtemos x y z = 2 x 7/3 + 2z/3 z = 2 x z/3 = 2 + 7/3 x = 1/3 + z/3. Mas, se quisermos expressar a solução sem frações, podemos tentar usar uma 4ª variável, t, para expressar x, y e z em função de t. Como 3y = 7 2z e 3x = 1 + z, vamos tentar expressar z em função de t de modo que 7 2z e 1 + z sejam múltiplos de 3. Note que o primeiro inteiro positivo z com 7 2z e 1 + z múltiplos de 3 é 2. Então, se escolhermos z = 2 + 3t, obteremos 3y = 7 2(2 + 3t) = t = 3 + 9t y = 1 + 3t, 3x = 1 + z = t = 3 + 3t x = 1 + t. Assim podemos escrever a solução geral sem usar frações. Resposta: O sistema tem uma infinidade de soluções: x = 1 + t, y = 1 2t, z = 2 + 3t, onde t é arbitrário. Exercício de fixação 10: Resolva o sistema a seguir usando a matriz aumentada e o método de Gauss. 3x y + 2z = 1, x 3y + 2z = 9, x + y z = Álgebra Linear Seção 1.2

15 UNIFESO Unidade 1 EXERCÍCIOS Encontre a matriz aumentada de cada um dos sistemas a seguir. 3x 2y = 1 a) 4x + 5y = 3 7x + 3y = 2 2x + 2z = 1 b) 3x y + 4z = 7 6x + y z = 0 x1 + 2x2 x4 + x5 = 1 c) 3x2 + x3 x5 = 2 x3 + 7x4 = 1 2. Encontre o sistema de equações lineares correspondentes às matrizes aumentadas dadas a seguir a) d) b) e) c) Suponha que um conjunto de dados seja representado por um conjunto de pontos no plano. Um polinômio interpolador para esse conjunto de dados é um polinômio cujo gráfico contém cada ponto. Em trabalhos científicos, esse polinômio pode ser usado, por exemplo, para obter estimativa de valores entre pontos conhecidos. Outra aplicação é a criação de curvas para imagens gráficas na tela de um computador. Um método para determinar um polinômio interpolador é resolver um sistema de equações lineares. Para n pontos dados, procure um polinômio de grau n 1. a) Escreva um sistema linear para determinar o polinômio interpolador p(t) = a 0 + a 1t + a 2t 2 para o conjunto de dados (1, 6), (2, 15), (3, 28). [Atenção: o que você quer determinar são os coeficientes a 0, a 1 e a 2 para que os pontos dados pertençam ao gráfico do polinômio p.] b) Escreva a matriz aumentada do sistema encontrado no item (a). c) Resolva o sistema pelo método de Gauss. 4. Use o método de Gauss e a matriz aumentada para resolver cada um dos sistemas a seguir. x + y + 2z = 8, 2x + 2y + 2z = 0, a) x 2y + 3z = 1, c) 2x + 5y + 2z = 1, 3x 7y + 4z = 10. 8x + y + 4z = 1. x y + 2z w = 1, 2y + 3z = 1, 2x + y 2z 2w = 2, d) 3x + 6y 3z = 2, b) x + 2y 4z + w = 1, 6x + 6y + 3z = 5. 3x 3w = 3. Seção 1.2 Álgebra Linear 15

16 Unidade 1 UNIFESO 1.3 Formas Escalonada e Escalonada Reduzida Na seção anterior, resolvemos diversos sistemas de equações lineares usando a matriz aumentada do sistema e utilizando as operações elementares para resolver o sistema pelo método de Gauss (ou de eliminação). Como vimos nos exemplos, a ideia é colocar a matriz em uma forma escada. Mais precisamente, uma matriz está em forma escalonada se tiver as seguintes propriedades: 1. Se uma linha não contiver apenas zeros, o primeiro elemento não nulo tem que ser 1. Este elemento é chamado de líder ou pivô. 2. Se existirem linhas contendo apenas zeros, elas terão que estar agrupadas na parte inferior da matriz. 3. Em duas linhas sucessivas não nulas quaisquer, o elemento líder da linha inferior ocorre à direita do elemento líder da linha superior. Obs.: Alguns livros não exigem que o primeiro elemento não nulo de uma linha seja igual a 1. EXEMPLO 12: Diga quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada A =, = D, B = , C = 0 0 1, = 0 0 E, F = Resposta: As matrizes A, B, D, F estão em forma escalonada, mas C, E não estão: em C, a 3ª linha tem o elemento líder à esquerda do líder na 2ª linha; em E, uma das linhas nulas tem uma linha não nula abaixo dela. Exercício de fixação 11: Diga quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada A = 0 3 1, B = , C = 0 1, D = Exercício de fixação 12: Escreva uma matriz A 4 5 que esteja em forma escalonada e não tenha linha nula. Então, o método de Gauss (para resolução de sistemas usando matrizes) consiste em escrever a matriz aumentada do sistema, usar operações elementares para colocá-la em forma escalonada, voltar ao sistema e usar substituição de baixo para cima para resolvê-lo. Mas não há necessidade de voltar para o sistema para usar a substituição de cima para baixo: podemos fazer isso direto na matriz. Isso corresponde a colocar a matriz em uma forma ainda mais simples, a forma escalonada reduzida. Mais precisamente, uma matriz está em forma escalonada reduzida se tiver as seguintes propriedades: 16 Álgebra Linear Seção 1.3

17 UNIFESO Unidade 1 1. Se uma linha não contiver apenas zeros, o primeiro elemento não nulo tem que ser 1. Este elemento é chamado de líder ou pivô. 2. Se existirem linhas contendo apenas zeros, elas terão que estar agrupadas na parte inferior da matriz. 3. Em duas linhas sucessivas não nulas quaisquer, o elemento líder da linha inferior ocorre à direita do elemento líder da linha superior. 4. Cada coluna que contém o elemento líder de uma linha tem todos os outros elementos iguais a zero. As três primeiras propriedades são as que definem a forma escalonada, de modo que toda matriz em forma escalonada reduzida está em forma escalonada, mas a recíproca não é verdadeira: em uma matriz em forma escalonada, os elementos na mesma coluna e abaixo de um elemento líder são nulos, mas em uma matriz em forma escalonada reduzida, todos os outros elementos na mesma coluna de um elemento líder são nulos, tanto os que estão abaixo, quanto os que estão acima. EXEMPLO 13: Diga quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida = A, = D, B = , C = 0 0 1, = 0 0 E, = F Resposta: As matrizes A, B e F estão em forma escalonada reduzida; mas C, D, E não estão: em C, a 3ª linha tem o elemento líder à esquerda do líder na 2ª linha; em D, a última coluna tem números diferentes de zero acima do elemento líder da 3ª linha; em E, uma das linhas nulas tem uma linha não nula abaixo dela. Note que a matriz D está em forma escalonada. Exercício de fixação 13: Escreva uma matriz A 5 4 que esteja em forma escalonada reduzida com 4 elementos líderes e nenhum linha nula. O método de Gauss-Jordan para resolução de sistemas consiste em escrever a matriz aumentada do sistema, usar operações elementares para colocá-la em forma escalonada reduzida e escrever diretamente a solução do sistema. EXEMPLO 14: Use o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema x + 2y + 3z = 6, 2x 3y + 2z = 14, 3x + y z = 2. Solução: Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema e depois a colocamos em forma escalonada: l2 l2 2l l3 l3 3l l3 l3 5 Seção 1.4 Álgebra Linear 17

18 Unidade 1 UNIFESO l3 l l l + 7l l3 l Agora que a matriz está em forma escalonada, vamos colocá-la em forma escalonada reduzida. Para isso, precisamos zerar o resto das colunas contendo os líderes, de modo que, em cada uma dessas colunas, o único elemento diferente de zero seja o líder. Como na resolução do sistema pelo método de Gauss, começamos pela última linha (que corresponde à última equação). Primeiro, colocamos os zeros na última (3ª) coluna, depois na penúltima (2ª): l1 l1 3l l1 l1 2l l2 l2 2l Agora é só ler a solução. Resposta: x = 1, y = 2, z = 3. EXEMPLO 15: Use o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema x + 2y 3z = 4, x + y 2z = 0, 2x + y 3z = 4. Solução: Vamos indicar as operações elementares usadas a partir da matriz aumentada do sistema l2 l2 l l2 l l3 l3 2l l3 l l1 l1 2l l3 l3 l Resposta: O sistema tem uma infinidade de soluções: x = z + 4, y = z 4, z R arbitrário. EXEMPLO 16: Use o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema y 4z = 8, 2x 3y + 2z = 1, 5x 8y + 7z = 1. Solução: Vamos indicar as operações elementares usadas a partir da matriz aumentada do sistema l1 l l 1 1 l Álgebra Linear 1.3

19 UNIFESO Unidade l3 l3 5l l l3 + l A equação correspondente à última linha é 0 = 5/2, o que é impossível. Resposta: O sistema não tem solução. Exercício de fixação 14: Use o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema 3x 3y 3z = 6, 5x 2z = 11, 5y + 3z = 1, x + y + z = 2. EXERCÍCIOS Diga quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada, em forma escalonada reduzida ou em nenhuma dessas formas a) c) b). d) Suponha que cada uma das matrizes no Exercício 1 é a matriz aumentada de um sistema linear. Sem fazer conta alguma, apenas analisando as matrizes, diga se o sistema tem solução ou não e, no caso em que tiver solução, se a solução é única. 3. Escreva uma matriz 3 5 que esteja em forma escalonada reduzida sem linha nula e que é a matriz aumentada de um sistema com uma infinidade de soluções. 4. Dióxido de manganês e ácido clorídrico combinam para formar cloreto de manganês, água e gás de cloro: x 1MnO 2 + x 2HCl 2 x 3MnCl 2 + x 4H 2O + x 5Cl 2 a) Escreva um sistema linear para as variáveis x 1, x 2, x 3, x 4 e x 5 cuja solução irá balancear esta equação. b) Escreva a matriz aumentada do sistema encontrado no item (a). c) Resolva o sistema encontrado no item (a) pelo método de Gauss-Jordan. d) Determine os menores valores inteiros positivos possíveis para cada uma das variáveis, balanceando a equação dada. 5. A figura a seguir mostra o fluxo de tráfego (em veículos por hora) em diversas ruas no centro de uma cidade durante uma tarde típica. Seção 1.4 Álgebra Linear 19

20 Unidade 1 UNIFESO a) Escreva uma equação linear para o fluxo em cada uma das interseções, obtendo um sistema linear com 4 equações e 5 incógnitas. b) Resolva o sistema encontrado no item (a) pelo método de Gauss-Jordan. c) Lembrando que cada variável tem que ser inteira e maior ou igual a zero, determine o intervalo de valores possíveis para cada uma das variáveis. 6. Suponha que um conjunto de dados seja representado por um conjunto de pontos no plano. Lembre-se de que um polinômio interpolador para esse conjunto de dados é um polinômio cujo gráfico contém cada ponto e que, se forem dados n pontos, devemos procurar um polinômio de grau n 1. a) Escreva um sistema linear para determinar o polinômio interpolador p(t) para o conjunto de dados (0, 5), (1, 5), ( 1, 11), (2, 5). b) Escreva a matriz aumentada do sistema encontrado no item (a). c) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jordan. 7. Use o método de Gauss-Jordan para resolver cada um dos sistemas a seguir. 2x + 2y = 4, 10y 4z + w = 1, a) x y = 4. x + 4y z + w = 2, e) 5x 2y + 6z = 0, 3x + 2y + z + 2w = 5, b) 2x + y + 3z = 1. 2x 8y + 2z 2w = 4. 2a 3b = 2, 5x 2y + 6z = 3, c) 2a + b = 1, f) 2x + y + 3z = 7, 3a + 2b = 1. 3x y 2z = 7. 3x + 2y z = 15, 5x + 3y + 2z = 0, d) 3x + y + 3z = 11, 6x 4y + 2z = Álgebra Linear 1.3