n. 5 Determinantes: Regra de Cramer e Triangulação Podemos classificar um sistema linear de três maneiras:

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1 n. 5 Determinantes: Regra de Cramer e Triangulação Podemos classificar um sistema linear de três maneiras: SPD Sistema possível determinado: existe apenas um conjunto solução; SPI Sistema possível indeterminado: existem inúmeros conjuntos solução; SI Sistema impossível: não é possível determinar um conjunto solução. Classificação dos sistemas Possível - SP Impossível - SI Determinado SPD Indeterminado SPI Algumas formas de resolução de um sistema de equações: escalonamento de um sistema linear regra de Cramer

2 REGRA DE CRAMER A regra de Cramer é um teorema em Álgebra Linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer ( ). Só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. Consiste num método para resolver um sistema linear normal: aquele em o determinante é diferente de zero. SPD ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema, substituir os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer.

3 Regra de Cramer: 2 x y = 7 Observe o sistema linear: x + 5 y = 2 Resolução: a. Seja A = [ 2 1 ] a matriz dos coeficientes das incógnitas. 1 5 b. Seja A x = [ 7 1 ] a matriz que se obtém a partir da matriz 2 5 dos coeficientes substituindo a 1ª coluna (coeficientes de x) pelos termos independentes. c. Seja A y = [ 2 7 ] a matriz que se obtém a partir da matriz dos 1 2 coeficientes substituindo a 2ª coluna (coeficientes de y) pelos termos independentes. d. Os valores de x e y são dados pelas fórmulas (regra de Cramer): e. Logo: x = det A x det A det A = = 11 det A x = 35 2 = 33 det A y = 4 7 = 11 e y = det A y det A

4 x = det A x = 33 = 3 e y = det A y det A 11 det A = = 1 Logo, x = 3 e y = 1 R: (3, 1) Exemplo: 1. Resolva os sistemas pela regra de Cramer: x + 2 y z = 0 a. 3 x 4 y + 5 z = 10 Resposta: (2, 1, 0)} x + y + z = 1 x + 2 y + z = 8 b. 2 x y + z = 3 3x + y z = 2 Resposta: (1,2,3)} Resoluções: a. calculamos o seu determinante que será representado por D D = [ ] Det = Det = 15 b. devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.

5 8 2 1 Ax = c. calcularmos o seu determinante representado por Dx Dx = [ ] Dx = Dx = 15 d. substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay Ay = e. calcularmos o determinante Dy Dy = [ ] Dy = Dy = 30 f. substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.

6 1 2 8 Az = g. calculamos o determinante representado por Dz Dz = [ ] Dz = = 45 Dz = 45 h. depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer. i. A incógnita x = D x D = = 1 j. A incógnita y = D y D = = 2 k. A incógnita z = D z D = = 3 Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = (1,2,3)}. TRIANGULAÇÃO, ESCALONAMENTO OU MÉTODO DE GAUSS

7 Quando m e n são maiores que 3, torna-se muito trabalhoso utilizar a regra de Cramer, por isso utilizamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e a resolução de qualquer sistema linear. Triangularizar uma matriz significa transformá-la em uma matriz triangular superior ou inferior através de eliminação de Gauss. Triangular uma matriz nada mais é do que aplicar o escalonamento. Dizemos que um sistema em que existe pelo menos um coeficiente não nulo em cada equação está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Teorema: O determinante da matriz triangular superior é o produto dos elementos das diagonais. Exemplo: x + 2 y z = 5 3 y + 2 z = 1 x + z = 1

8 Primeiro construímos a matriz aumentada [ ] Depois temos que transformar essa matriz, numa matriz triangular superior [ ] L3 = L3 L1 [ ] [ ] L3 = 3L3 + 2L2 [ ] Agora, como a matriz está escalonada, voltamos ao sistema: x + 2 y z = 5 3 y + 2 z = 1 x + z = 1 x + 2 y z = 5 3 y + 2 z = 1 10 z = 10 A partir do sistema escalonado temos: z = 1 y = 1 x = 2 Portanto, a solução do sistema é: ( 2, 1, -1 ) SPD (sistema possível e determinado)

9 Voltando a matriz escalonada, temos que o determinante da matriz escalonada é o produto da diagonal principal: [ ] Logo, det (matriz escalonada) = (1). (3). (10) = 30 Entretanto, como em um determinado passo multiplicamos a linha 3 por 3 para poder escalonar a matriz, então o determinante dessa matriz está multiplicado por 3, assim, para sabermos o determinante da matriz original, temos que dividir esse determinante por 3. Logo, det (matriz original) = 30 3 = 10 Como não houve troca de linhas, o determinante não muda de sinal. Relembrando A eliminação de Gauss é um método, segundo o qual é permitido efetuar 3 tipos de operações: 1) trocar linhas de lugar; 2) multiplicar uma linha por um número qualquer não-nulo; 3) somar a uma linha, outra linha multiplicada por um número qualquer não nulo. Na eliminação de Gauss, o determinante:

10 muda de sinal quando trocamos as linhas de lugar, tantas vezes quantas forem as trocas; quando multiplicamos as linhas o determinante fica multiplicado por esse número. É preciso ver todas as multiplicações que foram feitas no escalonamento. Exercícios: 1. Calcule o determinante das matrizes utilizando o escalonamento: a. H = [ ] R: det (H) = b. J = [ ] R: det (J) = Resolução: a. [ ] L2 = 3L2 + 2 L1 L4 = L4 + L3 [ ] L2 L3 [ ] Det (H escalonada) = (3).(1).(8).(2) = 48 Como houve a multiplicação de uma linha por 3, então: Det (H) = (3).(1).(8).(2) = 48 = 16 3 Como houve uma troca de linha: det (H)= - 16

11 b. [ ] L2 = 2L2 + L1 [ ] L3 = 3L3 + L2 [ ] L4 = 4L4 + L3 [ ] Det (J escalonada) = (2).(3).(4).(5) = 120 Como houve a multiplicação de uma linha por 2, uma linha por 3, e outra linha por 4, então: Det (J) = = 5 Como não houve uma troca de linha: det (J)= 5 2. Descubra os valores de x, y e z no sistema dado, pelo método do 3x y + z = 5 escalonamento: x + y 2z = 3 2x + 3y z = 7 a. Para primeira equação escolhemos a equação cujo coeficiente da primeira incógnita seja não nulo e se possível igual a 1 ou a 1: x + y 2z = 3 3x y + z = 5 2x + 3y z = 7 b. Anulamos os coeficientes da 1ª incógnita nas demais equações: x + y 2z = 3 3x y + z = 5 2x + 3y z = 7 3 L1 3x 3y + 6z = 9 3x y + z = 5 2x + 3y z = 7 3 L1 + L2 x + y 2 z = 3 4 y + 7z = 4 2 x + 3 y z = 7 L1. (-2) 2x 2 y + 4z = 6 4 y + 7z = 4 2x + 3y z = 7 2 L1 + L3

12 x + y 2z = 3 4 y + 7z = 4 y + 3z = 1 trocamos de lugar a L3 com a L2 x + y 2z = 3 y + 3z = 1 4 y + 7z = 4 4 L2 x + y 2z = 3 4 y + 12z = 4 4 y + 7z = 4 x + y 2 z = 3 y + 3 z = 1 19 z = 0 L2 + L3 Logo, x = 2 y = 1 e z = 0 A solução do sistema é: S= (2, 1, 0)} 3. Escalone e resolva os sistemas: 2 x + 2y = 4 a. x 3 y = 6 S= (3, - 1)} 4 x 2y = 34 b. x + 6 y = 2 x + y = 4 c. 3x 2 y = 3 2x + y + 2z = 0 d. x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 1 S= (8, - 1)} S= (-1, - 3)} S= (1, 2,-2)} Resoluções: 1. Escalone e resolva os sistemas:

13 2 x + 2y = 4 a. x 3 y = 6 x 3y = 6 2x + 2y = 4 L1(-2) + L2 x 3y = 6 8y = 8 S = (3, - 1)} 4 x 2y = 34 b. x + 6 y = 2 x + 6y = 2 4x 2y = 34 x + y = 4 c. 3x 2 y = 3 x + y = 4 3x 2y = 3 x + 6y = 2 L1(-4) + L2 26y = 26 x + y = 4 L1(-3) + L2 5y = 15 S = (8, - 1)} S = (-1, - 3)} 2x + y + 2z = 0 d. x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 1 x + y + z = 1 2x + y + 2z = 0 x + 2y + 2z = 1 L1 troca com a L2 L1 (-2) + L2 x + y + z = 1 y = 2 x + 2y + 2z = 1 L2 troca com a L3 x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 1 y = 2 L1 (-1) + L2 x + y + z = 1 y + z = 0 y = 2 S = (1, 2,-2)} Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.