Vetores no plano Cartesiano

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1 Vetores no plano Cartesiano 1) Definição de vetor Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade). 1. A direção é a da reta que contém o segmento. 2. O sentido é dado pelo sentido do movimento. 3. O módulo é o comprimento do segmento. Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem. Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc. Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v= (6,10), pois: v = (7,12)-(1,2) = (6,10) Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem as mesmas características. O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem está em (0,0) e a extremidade em (a, b) no plano cartesiano e que será denotado por v = (a, b) 1

2 2) Soma de vetores e suas propriedades Se v= (a, b) e w= (c, d), definimos a soma dos vetores v e w, por: v + w = (a+c, b+d) Propriedades da soma de vetores 1. Fecho: Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R². 2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²: v + w = w + v 3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²: u + (v + w) = (u + v) + w 4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem: Ø + u = u 5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que: v + (-v) = Ø 3) Aplicações geométricas Ponto médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v 1 = (x 1, y 1 ) e v 2 = (x 2, y 2 ), o ponto médio deste segmento é dado por m= (x, y) onde x= (x 1 + x 2 )/2 e y= (y 1 + y 2 )/2 Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos os vértices de um triângulo como às extremidades dos vetores v 1 = (x 1, y 1 ), v 2 = (x 2, y 2 ) e v 3 = (x 3, y 3 ). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g= (x, y) onde x= (x 1 + x 2 + x 3 )/3 e y= (y 1 + y 2 + y 3 )/3 2

3 4) Diferença de vetores Se v= (a, b) e w= (c, d), definimos a diferença entre v e w, por: v-w = (a-c, b-d) 5) Produto por escalar e suas propriedades Se v= (a, b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por: k.v = (ka, kb) 6) Propriedades do produto de escalar por vetor Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores: 1. 1 v = v 2. (ab) v = a (b v) = b (a v) 3. Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b. 4. a (v + w) = a v + a w 5. (a + b) v = a v + b v Dados os vetores v= (3,4) e w= (8,12), construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -w, v+w e v-w. 7) Módulo de um vetor e suas propriedades O módulo ou comprimento do vetor v= (a, b) é um número real não negativo, definido por: Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1. 3

4 Mostrar que para todo t real, o vetor v= (cos(t), sen(t)) é unitário. Observações 1. Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por: i= (1,0) e j= (0,1) 2. Para obter um vetor de v, que é um vetor unitário u com a mesma direção e sentido que o vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de v, isto é: 3. Para obter um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde k é um escalar não nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos. a. Se k=0 então w será o vetor nulo. b. Se 0<k<1 então w < v. c. Se k>1 então w > v. d. Se k<0 então w tem sentido oposto ao de v. 4. Todo vetor v= (a, b) do plano cartesiano possui uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que é o vetor a i e uma projeção vertical b j (sobre o eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a soma destas projeções: v = a i + b j Qual é a projeção vertical do vetor v= (3,4)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um gráfico desta situação no plano R². 4

5 8) Produto escalar Dados os vetores v= (a, b) e w= (c, d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por: v.w = a.c + b.d Exemplos: O produto escalar entre v= (2,5) e w= (-7,12) é dado por: v.w = 2. (-7) + 5. (12) = 56 O produto escalar entre v= (2,5) e w= (-5,2) é: v.w = 2. (-5) + 5. (2) = 0 Faça um gráfico em R², com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo. Propriedades do produto escalar: Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar: 1. v.w = w.v 2. v.v = v v = v ² 3. u. (v+w) = u.v + u.w 4. (kv). w = v.(kw) = k(v.w) 5. kv = k v 6. u.v < u v (desigualdade de Schwarz) 7. u+v < u + v (desigualdade triangular) 5

6 9) Ângulo entre dois vetores Outra forma de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é v.w= v w cos(q) onde q é o ângulo formado entre v e w. Com ela, podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w, pois: desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso 0<q<pi=3, Faça uma análise quando q=0, q=pi/2 e q=pi. Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). Nunca se esqueça de construir gráficos com esses objetos vetoriais. 10) Vetores ortogonais Dois vetores v e w são ortogonais se: v.w = 0 Dado o vetor v= (3,7), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a v. Construa geometricamente estes vetores. 6

7 11) Vetores paralelos Dois vetores v e w são paralelos se existe uma constante real k diferente de zero, tal que: v = k w Obter pelo menos dois vetores do plano que sejam paralelos ao vetor v= (3,7). Construa geometricamente estes vetores. 7