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1 n. 7 VETORES vetor é um segmento orientado; são representações de forças, as quais incluem direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação; o módulo, a direção e o sentido caracterizam um vetor: módulo representa o comprimento, o tamanho do vetor; direção está ligada ao que diz respeito à posição (horizontal, vertical, obliqua,); sentido é a orientação (direita, esquerda, para cima, para baixo, norte, sul). Figura disponível em: < Acesso em: 22 ago

2 Segmento orientado: dada uma reta r e dois pontos A e B pertencentes a esta reta, ao se admitir um sentido para o segmento AB tem-se um segmento orientado AB = AB em que A é chamado de origem e B de extremidade do segmento orientado. Caso a representação do segmento fosse indicada por: BA = BA, B seria a origem e A seria a extremidade do segmento orientado. Definições: Definição 1 Os segmentos orientados da forma (A, A) são ditos nulos. Um vetor é nulo se possui módulo igual à zero, ou seja, comprimento zero. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. Definição 2 Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento.

3 Observe o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo: AB = 5 u. c., ou seja, 5 unidades de comprimento. Agora, supondo (A, B) e (C, D) não nulos, então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesma direção se AB CD. Supondo que (A, B) e (C, D) têm mesma direção, ou seja, são paralelos, então: Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido caso os segmentos AC BD = (tenham interseção vazia).

4 Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário caso AC BD (intersecção diferente do vazio). Definição 3 Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) são equipolentes, e indica-se (A, B) ~ (C, D), se um dos casos seguintes ocorrer: i. ambos são nulos; ii. nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Definição 4 Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta, para que AB seja equipolente a CD é necessário

5 que AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo. Observações: a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD. Um vetor representa uma classe de segmentos equipolentes. Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por B A, B A ou B A de modo que: B A = B A = B A

6 Costuma-se indicar B A também por AB, ou então por uma letra minúscula, do alfabeto, com uma flecha em cima, como u. Desta forma temos que: AB = AB = B A = u Observações: O tamanho (intensidade, comprimento ou módulo) de um vetor u é indicado por u e chama-se norma de u. Se u = 1 dizemos que o vetor é unitário. Alguns autores utilizam para a norma de u a notação u. O vetor BA é chamado de vetor oposto do vetor AB. AB e BA só diferem entre si no sentido. O vetor oposto do vetor AB é indicado também por AB ; o vetor oposto de u é u. O vetor nulo pode ser representado por 0 = A A = AA. Tem-se ainda que 0 = 0 e 0 = 0 Dizemos que u e v são ortogonais, se u faz ângulo reto com v. Notação u v.

7 Módulo de um Vetor O módulo de um vetor v = (x, y, z), representado por v é o número real não negativo v = v. v Em coordenadas: v = (x, y, z). (x, y, z) v = x 2 + y 2 + z 2 Exemplo: Se v = (2, 1, -2), então: v = (2, 1, 2). (2, 1, 2) = 3

8 Operações com vetores Adição: REGRA DO TRIÂNGULO

9 A soma de dois vetores v e w, ou seja, definido da seguinte maneira: v + w é o vetor Seja e Escolha um representante qualquer AB para o vetor v. Para o vetor w escolha um representante BC com ponto inicial em B, isto é, a extremidade do representante de v. O vetor soma v + w é representado pelo segmento orientado AC, cuja origem é o ponto A de v e a extremidade é o ponto C de w.

10 Esta é uma interpretação de vetores como deslocamento: a soma de dois vetores corresponde à composição de deslocamentos ou o deslocamento total, esta é a chamada regra do triângulo. Da mesma forma: w + v Portanto: v + w = w + v

11 Adição: REGRA DO PARALELOGRAMO Outra forma equivalente de somar dois vetores é a interpretação de vetores como forças. Esta regra é chamada de regra do paralelogramo. Aqui tomamos AB e AC de v e w com a mesma origem, ou seja, A. A partir de seus representantes, construímos o paralelogramo ABDC e o vetor v + w é o vetor representado pela diagonal maior (segmento orientado) AD. Aqui a soma de vetores corresponde à resultante das forças. Resumindo: Sejam os vetores: u = AB = B A e v = BC = C B, então: u v B A C B C A = AC

12 Exemplos: a) Mesma direção e sentidos opostos b) Mesma direção e sentido c) Mesma direção, sentidos opostos e mesmo comprimento:

13 Propriedades da adição de vetores (A1) Propriedade Associativa: w v u w v u (A2) Propriedade Comutativa: u v v u (A3) Elemento Neutro: u u u 0 0 (A4) Elemento Oposto: 0 u u Ilustração da propriedade associativa (A1): Exercícios: 1. Encontre algebricamente o vetor soma dos vetores destacados nas figuras que seguem: a.

14 b. c. Solução: a. AC + CD + DB = (C A) + (D C) + (B D) = C A + D C + B D = A + B = B A = AB

15 b. AC + CD + DE + EB = (C A) + (D C) + (E D) + (B E) = C A + D C + E D + B E = A + B = B A = AB c. AB + BC + CD + DE + EA = (B A) + (C B) + (D C) + (E D) + (A E) = B A + C B + D C + E D + A E = 0 Observação: podemos também definir a diferença entre vetores como u v = u + ( v ).

16 Sejam os vetores: Represente u v. Pela regra do paralelogramo temos que a subtração de dois vetores é a diagonal menor:

17 Exemplo Dados os vetores u e v destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura um representante para o vetor u v: Multiplicação de número real por vetor Dado um vetor v e um número real, definimos o vetor α. v, como: Se α = 0 ou v = 0, então α. v = 0 ; Se α 0 e v 0, então α. v é o vetor tal que: α. v é paralelo a v; α. v e v tem mesmo sentido se α > 0;

18 α. v e v tem sentido contrário se α < 0 ; A norma de α. v é α. v = α. v Exemplos Casos de produto de vetor por número real: a) Para α = 2 > 0: b) Para α = 2 < 0: c) Para α = 1 3 > 0 Proposição Se u e v são paralelos e u 0, existe α R tal que: v = α. u. Exemplo Sejam u e v paralelos, u = 30 e v = 50. Sendo v = α. u, determine α R nos casos: a) u e v têm mesmo sentido. b) u e v têm sentido contrário.

19 v = α. u v = α. u v = α. u α = v u = = 5 3 Portanto, α = ± 5 3 Assim: u e v têm mesmo sentido se α = e u e v tem sentido contrário se α = 5 3. Propriedades da multiplicação de número real por vetor (M1) (M2) (M3) (M4) α. ( u + v ) = α. u + α. v ( α + β ). v = α. v + β. v 1. v = v α. ( β. v) = (α. β). v = β. (α. v) Exercícios: 1. Dados os vetores u, v e w, de acordo com a figura, construa o vetor 2u 3v + 1 w = s 2

20 R: Ou 2. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, sendo M e N os pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Encontre: a. AD + AB = AC b. BA + DA = CA

21 c. AC BC = AB d. AN + BC = NC e. MD + MB = CB f. BM 1 DC = BD 2 Os exercícios a seguir foram retirados de: Projeto Medicina, disponível em: < 79/fisica_exercicios_vetores_gabarito.pdf> Acesso em: 14 mar Qual é a relação entre os vetores M, N, P e R, representados na figura? a. M + N + P + R = 0 b. P + M = R + N c. P + R = M + N d. P R = M N

22 e. P + R + N = M R: letra c 2. Para o diagrama vetorial abaixo, a única igualdade correta é: a. a + b = c b. b a = c c. a b = c d. b + c = a e. c b = a R: letra c 3. Na figura, onde o reticulado forma quadrados de lados L = 0,5 cm, estão desenhados 10 vetores, contidos no plano xy.

23 O módulo da soma de todos esses vetores é, em centímetros: a. 0,0 b. 0,5 c. 1,0 d. 1,5 e. 2,0 R: letra e. 4. Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo:

24 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 6 R: letra a. 5. Considere a figura abaixo: Dadas as forças F 1, F 2 e F 3 o módulo de sua resultante, em N, é: a. 30 b. 40 c. 50

25 d. 70 e. 80 R: letra c. 6. Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular ao lado. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: a. zero b. 16 u c. 24 u d. 32 u e. 40 u R: letra d.

26 7. Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura abaixo, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. a. CB + CD + DE = BA + EA b. BA + EA + CB = DE + CD c. EA DE + CB = BA + CD d. EA CB + DE = BA CD e. BA DE CB = EA + CD R: letra d. CD + DE + EA = CA e CB + BA = CA

27 EA CB + DE = BA CD 8. A figura mostra 5 forças representadas por vetores de origem comum, dirigindo-se aos vértices de um hexágono regular. Sendo 10N o módulo da força F C, a intensidade da resultante dessas 5 forças é: a. 50N b. 45N c. 40N d. 35N e. 30N

28 R: letra e. 9. A figura abaixo mostra o mapa de uma cidade em que ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente e cada quarteirão mede 100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua escola, situada na esquina C. A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua casa e a escola são, respectivamente: a m e 1400 m b m e 1200m

29 c m e 1000 m d m e 800 m e m e 600 m R: letra c. Referências Bibliográficas BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. PROJETO MEDICINA. Disponível em: < arito.pdf>. Acesso em: 14 mar STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.