Curvas Planas em Coordenadas Polares

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1 Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas Exercícios

2 Unidade Coordenadas Polares Neste capítulo veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana. Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há curvas no plano cuja equação toma um aspecto muito simples em relação a um referencial não cartesiano.. Coordenadas Polares Definição Um sistema de coordenadas polares ρ no plano consiste de um ponto, denominado pólo ou origem, de uma semirreta, com origem em, denominada eixo polar, e de uma unidade de comprimento utilizada para medir a distância de a um ponto qualquer do plano. Dado um ponto P do plano, suas coordenadas nesse sistema são ρ e, onde ρ é a distância de P a e é a medida do ângulo do eixo polar para a semirreta P. Escrevemos, então (Figura.): P = ( ρ, ) Convencionamos que a medida do ângulo tomada de sentido anti-horário é positiva, e negativa no sentido horário. P Figura.: Coordenadas polares. para P no primeira coordenada polar ρ de um ponto distinto do pólo é sempre maior que zero, pois representa a distância do ponto ao pólo. Mas podemos tomar também valores negativos para ρ, convencionando-se, neste caso, marcar a distância ρ na semirreta oposta à semirreta CD, ou seja, o ponto P = (ρ, ), com ρ < 0, corresponde ao ponto P = ( ρ, + π). Se a primeira coordenada polar de um ponto é zero, então esse ponto é o pólo. ângulo do P π ρ = ρ Figura.: (ρ, ) = ( ρ, + π) pólo não está denido. Convencionamos que (0, ) são as coordenadas polares do pólo, para todo ângulo. Podemos usar a medida dos ângulos em radianos ou em graus. Por exemplo, P = (, 30 ) = (, π/6).

3 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade par (ρ, ) determina, de maneira única, um ponto do plano. No entanto, um ponto no plano pode ser determinado por meio de várias coordenadas polares distintas, pois, de acordo com a construção acima, as medidas e +πk, onde k Z, estão associadas ao mesmo ângulo e, portanto, (ρ, ) e (ρ, + πk) representam o mesmo ponto do plano. lém disto, como (ρ, ) = ( ρ, + π) se ρ < 0, então ( ρ, + π) = (ρ, + π) = (ρ, ) se ρ > 0. ssim, (ρ, ) = (ρ, + πk) = ( ρ, + (n + )π) quaisquer que sejam k, n Z e ρ R. Nisso, o sistma polar difere do sistema cartesiano, no qual existe uma correspondência biunívoca entre as coordenadas e os pontos do plano. Mas, se o ponto P não for a origem e se restringimos ρ e aos intervalos (0, + ) e [0, π), respectivamente, existirá apenas um par de coordenadas polares (ρ, ) para P. s pontos P = (, 0 ), P = (, π/), P 3 = (, 0 ) e P = (, π/3) estão ilustrados na gura.3. Exemplo π 3 P P 3 π P P Figura.3: Pontos P, P, P 3 e P no sistema ρ Podemos representar esses pontos também com as seguintes coordenadas polares: P = (, 360 k) = (, 360 n + 80 ); P = (, π/ + πk) = (, π/ + π + πn) = (, 3π/ + πn), P 3 = (, 360 k) = (, n) e P = (, π/3 + πk) = (, π/3 + π + πn) = (, π/3 + πn) = (, n) para todos k e n inteiros. 3

4 Unidade Coordenadas Polares Exemplo conjunto C dos pontos P = (ρ, ) que satsifazem a equação ρ = 3 é o conjunto dos pontos cuja distância ao pólo é igual a 3. u seja, C = {(ρ, ) ; ρ = 3 e R} ρ=3 P é o círculo de centro e raio igual a três. C Figura.: Círculo C bservação equação ρ = 3 também é uma equação polar do círculo acima. Em geral, ρ = a é a equação polar de um círculo de raio a centrado na origem. Exemplo 3 Seja r o conjunto dos pontos P = (ρ, ) do plano que satisfazem a equação polar = π, ou r seja, 0 = π r = {(ρ, ) ; ρ R e = π/}. Então, r é a reta que passa pelo pólo e tem inclinação 0 = π/ com respeito ao eixo polar. Figura.5: Reta r : = π/ bservação 3 Qualquer reta que passa pelo pólo tem equação polar da forma = 0, onde 0 é uma constante. lém disso, = 0 + πk e = 0 + (k + )π, k Z, representam a mesma reta no plano. Vamos obter agora a equação polar de uma reta r que não passa pelo pólo. Proposição Seja ρ um sistema de coordenadas polares no plano. Sejam r uma reta que não passa pelo pólo, λ a distância do pólo a r e α o ângulo que o eixo polar forma com a semirreta de origem no pólo que é perpendicular a r (Figura.6). Então, um ponto P de coordenadas polares (ρ, ) pertence a r se, e somente se: ρ cos( α) = λ (.)

5 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade α λ=d(, r) Q r Figura.6: Reta r no sistema ρ Seja Q o ponto de interseção de r com a perpendicular a r contendo o pólo. Sabemos que P = (ρ, ) pertence a reta r se, e somente se, a projeção ortogonal do vetor P sobre o vetor Q coincide com Q, isto é: P r Proj Q P = Q. Seja β = P Q. Então, β = α ou β = α, dependendo da posição do ponto P (veja as guras.7), onde P = ( P, ) e Q = ( Q, α) são os pontos no sistema ρ. Note que cos β está bem denido, pois cos( α) = cos(α ). P r Demonstração β α Q α β Q r P Figura.7: Nas guras acima, a medida do ângulo α é tomada de para Q e a medida do ângulo é tomada de para P e Como concluímos: P = ρ, Q = λ, cos β = cos( α) = cos(α ), Proj Q P Q cos β P = Q Q = λ P (cos β) Q, 5

6 Unidade Coordenadas Polares Proj Q P = Q λ P cos β Q = Q λ P cos β = P cos β = λ ρ cos( α) = λ. Exemplo Seja ρ um sistema de coordenadas polares no plano. equação polar da reta r cuja distância ao pólo é igual a 3 tal que o ângulo que a semirreta perpendicular a r, com origem no pólo, forma com o eixo polar tem medida π/, é: r : ρ cos( π/) = 3. r π Figura.8: r : ρ cos( π/) = 3.. Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas. Seja ρ um sistema de coordenadas polares no plano. Consideremos o sistema cartesiano ortogonal tal que o eixo polar seja o semieixo positivo e o eixo seja obtido rotacionando de 90 o no sentido positivo. dmitamos a mesma unidade de medida nos dois sistemas (Figura.9). y =ρ sen ρ P x=ρ cos Figura.9: Sistemas de coordenadas; polar ρ e cartesiano Seja P um ponto no plano tal que P = (ρ, ), no sistema ρ, e P = (x, y), no sistema. Então, as relações entre essas coordenadas são dadas por: x = ρ cos e y = ρ sen (.) 6

7 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade Dessas relações, obtemos: x = ρ cos, y = ρ sen, cos = x ρ, sen = y ρ e y x = sen cos = tg, de onde concluímos: cos = x x + y, sen = y x + y, ρ = x + y, e tg = y x (.3) De fato, para obter a primeira relação, basta observar que: x + y = ρ (cos + sen ) = ρ, o que implica ρ = ρ = x + y, pois ρ 0. s duas relações seguintes são substituições diretas da expressão de ρ em cos = x ρ e sen = y ρ. Podemos considerar também ρ = ρ = x + y. Neste caso, devemos considerar o ângulo tal que cos x = x + y e sen y = x + y para continuarem válidas as igualdades x = ρ cos e y = ρ sen. Como cos = cos e sen = sen, vemos que = + π, o que justica a convenção feita anteriormente que (ρ, ) e ( ρ, + π) representam o mesmo ponto em coordenadas polares. Convenção: Daqui em diante, sempre que zermos referência a um sistema polar ρ e a um sistema cartesiano, no mesmo contexto, admitiremos que o semieixo positivo é o eixo polar, caso este último não tenha sido denido explicitamente. Determine as coordenadas cartesianas ou polares dos seguintes pontos: (a) P = (ρ, ) = (, π/). Solução. Como ρ = e = π/, temos que x = ρ cos = cos π =0 y = ρ sen = sen π = são as coordenadas cartesianas de P. P Figura.0: P = (, π/) ρ e P = (0, ) Exemplo 5 7

8 Unidade Coordenadas Polares (b) P = (x, y) = (, ). Solução. Sendo x = e y =, temos que ρ = x + y = + =, cos = e sen =. Então, = π/ ou = π/ + πk, k Z, e P = (ρ, ) = (, π/) = (, π/ + πk) = (, 3π/ + πk), k Z, é o ponto P dado em coordenadas polares. (c) P = (ρ, ) = (, π/3). Solução. Sendo P = (, π/3) = (, π/3 + π) = (, π/3), temos que x = cos π/3 = cos π/3 =, y = sen π/3 = sen π/3 = 3 são as coordenadas cartesianas do ponto P. ρ= = π P Figura.: P = (, ) e P = (, π/) ρ π 3 P 3 π 3 Figura.: P = (, π/3) ρ e P = (, 3) (d) P = (x, y) = (, 5). Solução. Como x = e y = 5, temos que ρ = + 5 = = cos 0 = 5 sen 0 =. 5 ρ= = 0 P Portanto, (ρ, )=(, 0 )=(, 0 + π) Figura.3: P = (, 5) e é o ponto P dado em coordenadas polares. P = (, 0 ) ρ Exemplo 6 Seja r o lugar geométrico denido pela equação polar = 3π. Sabemos, pela denição de coordenadas polares, que r é o conjunto de todos os pontos P = (ρ, 3π/), com ρ R, tais que o ângulo entre o semieixo 8

9 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade positivo e o vetor P é 3π, se ρ > 0, ou 7π, se ρ < 0. u seja, r é a reta que passa pela origem e tem coeciente angular igual a tg 3π = tg 7π =. P y Então, r : y = x. 3π u, usando a mudança de coordenadas (.3), obtemos também, substituindo y = tg na equação polar dada, que x y x = tg 3π = y = x. x 7π y x P Figura.: Reta = 3π. Seja r : x = a, com a 0, a reta vertical que corta o eixo no ponto (a, 0). Então, pela equação polar ρ cos( α) = λ de uma reta que passa pela origem, temos que r : ρ cos = a, pois α = 0 e λ = a se a > 0 ou, α = π e λ = a se a < 0. u, usando diretamente as equações de mudança de coordenadas (.), obtemos também r : ρ cos = a. r r Exemplo 7 π a a Figura.5: r : x = a, a > 0 Figura.6: r : x = a, a < 0 De modo análogo, podemos vericar que ρ sen = b é a equação polar da reta horizontal y = b que corta o eixo no ponto (0, b), com b 0. Seja r a reta de equação polar ρ cos( π/3) =. Pela Proposição, a reta l perpendicular à reta r, que passa pela origem, tem inclinação π/3 e intersecta r no ponto Q = (ρ 0, 0 ) = (, π/3). Logo, u = (cos π/3, sen π/3) = Exemplo 8 9

10 Unidade Coordenadas Polares (/, 3/) é um vetor normal a r e Q = (x o, y o ) = ( cos π/3, sen π/3) = (, 3) é um ponto de r. ssim, x 3 + y = x + 3 y = é a equação cartesiana de r. Podemos também encontrar a equação cartesiana de r da seguinte maneira. Pela identidade: cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b, temos: ( ρ cos π ) = 3 ρ cos cos π 3 + ρ sen sen π 3 =. Logo, como x = ρ cos, y = ρ sen, cos π 3 = e sen π 3 3 =, segue que x + y 3 = x = 3 y =, é a equação cartesiana de r. l λ= α= π 3 Figura.7: Reta r r Exemplo 9 Seja a curva C de equação polar ρ = a cos, com a > 0. Utilizando as relações (.3) para obter a equação correspondente no sistema cartesiano, temos (Figura.8): ρ = a cos ± x + y ±x = a x + y x + y = ax. Completando o quadrado na última equação, obtemos: (x a) + y = a, que é a equação do círculo de centro (a, 0) e raio a. y =ρ sen a a ρ=a cos P x=ρ cos Figura.8: ρ = a cos. Em geral, o círculo no plano é caracterizado em termos das coordenadas polares de acordo com a seguinte proposição. 0

11 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade Sejam ρ um sistema de coordenadas polares no plano, P 0 = (ρ 0, 0 ) ρ um ponto desse plano e r um valor positivo. Então o conjunto dos pontos P = (ρ, ) ρ que pertencem ao círculo de centro P 0 e raio r satisfazem a seguinte equação em coordenadas polares: Proposição 5 ρ + ρ 0 ρ 0 ρ cos( 0 ) = r Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas tal que o eixo positivo coincida com o eixo polar e o eixo seja obtido rotacionando o eixo de 90 o no sentido positivo. No sistema, temos: P 0 = (ρ 0 cos 0, ρ 0 sen 0 ) e P = (ρ cos, ρ sen ). Sabemos que o círculo de centro P 0 e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a P 0 é igual a r. Então: d(p, P 0 ) = r (ρ cos ρ 0 cos 0 ) + (ρ sen ρ 0 sen 0 ) = r ρ cos + ρ 0 cos 0 ρ 0 ρ cos 0 cos + ρ sen +ρ 0 sen 0 ρ 0 ρ sen 0 sen = r ρ (cos + sen ) + ρ 0 (cos 0 + sen 0 ) ρ 0 ρ (cos 0 cos + sen 0 sen ) = r ρ + ρ 0 ρ 0 ρ cos( 0 ) = r. Demonstração No desenvolvimento acima, calculamos a expressão da distância entre dois pontos em termos de coordenadas polares. Isto é, se P 0 = (ρ 0, 0 ) e P = (ρ, ), então: d(p 0, P ) = ρ 0 + ρ ρ 0 ρ cos( 0 ) bservação 6 Seja C um círculo que contém a origem e tem centro C = (a, b). Então, a sua equação cartesiana é Exemplo 0 x + y ax by = 0. (.) Pelas mudanças de coordenadas (.), temos que a equação (.), em coordenadas polares é

12 Unidade Coordenadas Polares ρ aρ cos bρ sen = 0 ρ(ρ a cos b sen ) = 0 ρ = 0 ou ρ = a cos + b sen. Como a equação ρ = 0 representa apenas a origem, que também satisfaz à equação ρ = a cos + b sen, pois = (0, 0 ), onde 0 é tal que cos 0 = b a + b e sen a 0 = a, obtemos que + b é uma equação polar de C. ρ = a cos + b sen (.5) Quando b = 0, a equação (.5) torna-se ρ = a cos que é uma equação polar do círculo C de centro (a, 0) e raio igual a a. Portanto, neste caso, C é tangente ao eixo na origem. C C a a a a Figura.9: C : ρ = a cos, a > 0 Figura.0: C : ρ = a cos, a < 0 Se a = 0, temos que C : ρ = a cos é uma equação polar do círculo de centro (0, b) e raio igual a b. Neste caso, C é tangente ao eixo na origem. b C b b b C Figura.: C : ρ = b sen, b > 0 Figura.: C : ρ = b sen, b < 0 Exemplo Considere o círculo C : (x ) + y = de centro C = (, 0) e raio igual a. Substituindo as relações ρ = x + y, x = ρ cos e y = ρ sen na equação cartesiana do círculo:

13 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade (x ) + y = x + y x + = 0, obtemos que: ρ ρ cos + = 0 (.6) é a equação que relaciona as coordenadas polares de um ponto de C. círculo, (ρ 0, 0 ) = (, 0) é o centro dada em coordenadas polares. Logo, ρ = cos ± 6 cos 8 ρ = cos ± 6 sen ρ = cos ± sen. bserve que o discriminante da equação.6 é zero, se e somente se, sen = sen = ± = ± = ±π, e que a equação.6 tem duas soluções se, e somente se, sen > 0 sen < sen < y =x Nesse ( π, π ). P C C P y = x Figura.3: Círculo C e arcos C e C Note também que as retas r : y = x e r : y = x, que passam pela origem e fazem ângulos π/ e π/, respectivamente, com o semieixo positivo, são tangentes ao círculo C nos pontos P = (, ) e P = (, ), pois: e (x, y) C r x = y e (x ) + x = x = y e (x ) = 0 x = e y = (x, y) = (, ) = P, 3

14 Unidade Coordenadas Polares (x, y) C r x = y e (x ) + ( x) = x = y e (x ) = 0 x = e y = (x, y) = (, ) = P. ssim, ρ = cos [ sen, π, π ], é a equação polar do arco C, contido no semiplano x, e ρ = cos + ( sen, π, π ), é a equação polar C = C C. té agora esboçamos uma curva dada por sua equação polar apenas quando esta curva é uma reta ou um círculo. Para esboçarmos uma curva qualquer dada em coordenadas polares ou em coordenadas cartesianas, é bastante útil conhecer suas simetrias para simplicar a nossa análise. Dizemos que uma curva C é simétrica com respeito a uma reta l (ou a um ponto R) se, e somente se, para todo ponto P C, existir um ponto Q C tal que P e Q sejam simétricos em relação a l (a R, respectivamente). Logo, pelo visto nos Capítulos 9 e 0, uma curva C é simétrica com respeito ao eixo quando: (x, y) C (x, y) C; ao eixo quando: (x, y) C ( x, y) C; à origem quando: (x, y) C ( x, y) C; à reta y = x quando: (x, y) C (y, x) C; à reta y = x quando: (x, y) C ( y, x) C, onde (x, y) são as coordenadas cartesianas de um ponto. Então, se C é uma curva dada em coordenadas polares, temos que C é simétrica em relação ao eixo polar quando (ρ, + πk) C (ρ, ) C ou ( ρ, + π + πk) C para algum k Z. Com efeito, se (ρ, ) são as coordenadas polares de um ponto cujas coordenadas cartesianas são (x, y), então (ρ, + πk) e ( ρ, + π + πk), para todo inteiro k, são as coordenadas polares do ponto de coordenadas cartesianas (x, y) (Figura.).

15 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade ρ (x, y) (x, y) Figura.: Simetria em relação ao eixo De modo análogo, podemos mostrar que uma curva C em coordenadas polares é simétrica à reta = π/ quando: (ρ, ) C (ρ, π + πk) C ou ( ρ, + πk) C, para algum k Z (Figura.5). à origem quando: (ρ, ) C (ρ, +π+πk) C ou ( ρ, +πk) C, para algum k Z (Figura.6). ( x, y) (x, y) (x, y) ρ ρ ρ ( x, y) Figura.5: Simetria em relação à reta = π/ Figura.6: Simetria em relação à origem à reta = π/ quando: (ρ, ) C (ρ, π/ +πk) C ou ( ρ, 3π/ + πk) C, para algum k Z (Figura.7). à reta = 3π/ quando: (ρ, ) C (ρ, 3π/ +πk) C ou ( ρ, π/ + πk) C, para algum k Z (Figura.8). 5

16 Unidade Coordenadas Polares (y, x) ( y, x) ρ ρ (x, y) (x, y) ρ ρ Figura.7: Simetria em relação à reta = π/ Figura.8: Simetria em relação à reta = 3π/ Exemplo curva C : ρ = cos é simétrica com respeito ao eixo polar (eixo ), pois (ρ, ) C se, e só se, (ρ, ) C. De fato, como cos( ) = cos, temos ρ = cos = cos( ). Mas, as coordenadas polares ( ρ, π ), que é outra representação do ponto (ρ, ), não satisfaz à equação polar de C, pois, caso contrário, teríamos ρ = cos(π ) = + cos, uma contradição, uma vez que ρ = cos. esboço desta curva será feito no Exemplo 3, item (a). Para testar as simetrias, é preferível, como mostra o exemplo acima, usar as coordenadas cartesianas de um ponto, devido à multiplicidade de possibilidades em coordenadas polares. No exemplo 3 faremos o esboço aproximado de algumas curvas dadas por suas equações em coordenadas polares. penas aproximado, porque, para fazermos um esboço ideal, precisaríamos analisar em quais intervalos do eixo (ou do eixo ) a curva é uma função crescente ou decrescente e convexa ou côncava da variável x (ou, respectivamente, da variável y). Exemplo 3 Faça um esboço da curva: (a) C : ρ = cos. Solução. Primeiro observe que ρ 0 para todo. Substituindo ρ = x + y x e cos = na equação polar de C, obtemos a equação x + y 6

17 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade cartesiana da curva: C : x + y = x x + y C : x + y = x + y x C : (x + y + x) = x + y. Como (x, y) C (x, y) C, a curva é simétrica com respeito ao eixo. Então, para esboçá-la, basta analisar ρ = cos para [0, π], pois a função cos é periódica de período π. Uma vez que a função cos é decrescente no intervalo [0, π], variando de a quando varia de 0 a π, e cos π = 0, segue que ρ é decrescente no intervalo [I0, π], ρ = 0 se = 0, ρ = se = π, e ρ = se = π. ssim, o esboço de C, no intervalo [0, π], é o mostrado na Figura.9. C Figura.9: Curva C com [0, π] Pela simetria em relação ao eixo, o esboço de C é o dado na Figura.30. C Figura.30: Curva C com [0, π] É possível mostrar que ρ = cos é a equação polar de uma cardióide, estudada no Capítulo 0, tal que os círculos Γ e C têm raios iguais a e 7

18 Unidade Coordenadas Polares Γ está centrado no ponto (, 0). (b) C : ρ = + sen. Solução. Pela relação trigonométrica sen = sen cos, obtemos que ρ = + sen cos. lém disso, como ρ 0 para todo R, temos que x + y = + xy x + y (x + y ) 3/ = x + y + xy = (x + y). (.7) é a equação cartesiana da curva. Por (.7), é fácil vericar que a curva C é simétrica em relação à reta y = x (isto é, (x, y) C (y, x) C) e à reta y = x (isto é, (x, y) C ( y, x) [ C). Logo, basta analisar a curva ρ = +sen para no intervalo I = π, π ]. Temos que sen é uma função crescente que varia de a no intervalo I, sendo igual a zero para = 0. Logo, ρ = + sen é uma função crescente de no interalo I tal que ρ = 0 se = π/, ρ = se = 0 e ρ = se = π/. Então, o esboço de C no intervalo I é o mostrado na Figura.3. ρ= π Figura.3: Curva C [ no intervalo π, π ] Pelas simetrias da curva, é fácil ver que o esboço de C é o mostrado na Figura.3. 8

19 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade π Figura.3: Curva C : ρ = + sen (c) C : ρ = + cos. Solução. Neste exemplo, ρ pode assumir valores negativos e positivos. Logo, ρ = ± x + y ±x e cos = x + y. Substituindo ρ e na equação dada, obtemos que ± x + y = ± x x + y x + y = ± x + y + x (x + y x) = x + y é a equação cartesiana da curva. É fácil vericar que esta curva é simétrica em relação ao eixo, mas não é simétrica em relação ao eixo. Portanto, para esboçá-la, basta variar o parâmetro no intervalo [0, π]. Para [0, π], temos: ρ = + cos = 0 se, e só se, cos =, ou seja, ρ = 0 se, e só se, 0 = π π 3 = π 3 ; ρ > 0 se, e só se, < cos, ou seja, se, e só se, 0 < π 3 ; ρ < 0 se, e só se, cos < π, ou seja, se, e só se, 3 < π. Tomando os pontos P = (3, 0), P = (, π/3), P 3 = (, π/), P = (0, π/3) e P 5 = (, π) em coordenadas polares da curva, podemos 9

20 Unidade Coordenadas Polares esboçar a parte da curva correspondente ao intervalo [0, π] (ver Fig..33). π 3 Figura.33: Curva C descrita variando em [0, π] bserve que o esboço da curva no intervalo [ π 3, π ], no qual ρ 0, é o simétrico, com respeito à origem, do gráco da curva {( ρ, ) ; ρ = + cos e [π/3, π]} (parte clara na Figura.5). Sendo a curva simétrica em relação ao eixo, obtemos o esboço completo da curva C (ver Fig..3). Figura.3: Curva C (d) C : ρ tg =. Solução. Sendo ρ = ± x + y e tg = y, obtemos que x ± x + y y x = ±y x + y = x y (x + y ) = x (.8) 0

21 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade é a equação cartesiana de C. Como, pela equação (.8), a curva é simétrica com respeito aos eixos e, basta analizá-la no intervalo [0, π/]. Temos ρ = cos sen = 0 se = π, ρ é decrescente e positiva em (0, π/), cos e lim ρ() = lim =. lém disso, como x() = ρ() cos e sen y() = ρ() sen são as coordenadas cartesianas do ponto (ρ(), ), temos que cos lim x() = lim sen = + e lim y() = lim cos =, ou seja, y = é uma assíntota da curva C. Pelo obtido acima, vemos que Figura.35: Curva C variando em [0, π/] é o esboço de C no intervalo [0, π/]. Então, pela simetria da curva em relação aos eixos e, temos que o traço de C é o mostrado na Figura.36. Figura.36: Curva C

22 Unidade Exercícios. Exercícios. btenha as coordenadas polares dos pontos dados em coordenadas cartesianas, onde: = (, 3), B = ( 3, ), C = (, ), D = (, ), E = (0, ).. Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos dados em coordenadas polares, onde: = (, π/6), B = ( 3, 0), C = (, π/), D = (, π/3), E = (3, 0 ), onde tg 0 = /3. 3. Determine a distância do ponto P ao ponto Q dados em coordenadas polares, onde: (a) P = (, π/) e Q = (3, π/); (b) P = (, 0 ) e Q = (, π/6), com tg 0 = 3/; (c) P = (6, 0 ) e Q = ( 6, ), com tg 0 = e tg = /.. Encontre a equação cartesiana e faça um esboço da curva polar: (a) C : ρ cos( π/) = ; (b) C : ρ = cos ; (c) C : ρ sen = ; (d) C : ρ + cos( π/3) = 3; (e) C : ρ = 3 cos sen ; (f) C : ρ = cos ; (g) C : ρ cos =. 5. Determine a equação cartesiana e as simetrias da curva C. Faça também um esboço de C. (a) C : ρ = 5 cos ; (b) C : ρ = cos ; (c) C : ρ = sen 3; (d) C : ρ( cos ) = ; (e) C : ρ = sec ; (f) C : ρ = tg. 6. Uma família de curvas tem equação polar C : ρ = m cos, com m R. + m cos Investigue como o traço de C muda quando o parâmetro m assume todos os valores reais. 7. Verique que as curvas polares ρ = + sen e ρ = sen possuem o mesmo traço.

23 Curvas Planas em Coordenadas Polares Unidade 8. Esboçe a região do plano que consiste dos pontos cujas coordenadas polares (ρ, ) satisfazem às inequações: (a) ρ 3; (b) ρ e π/ 3π/; (c) 0 ρ e π/ π/6; (d) ρ e π/3 π/3. 9. considere a região R do plano dada pelo sistema de inequações: x R : y 6 x 0 x 3. Faça um esboço de R e descreva-a como reunião de regiões na forma: ρ () ρ ρ (), onde (ρ, ) são as coordenadas polares de um ponto de R. 0. Descreva a região R como uma reunião de regiões na forma ρ () ρ ρ (), onde (ρ, ) são as coordenadas polares de um ponto de R, sendo: (a) R a região interior a ambas as curvas C : ρ = 3 cos e C : ρ = sen. (b) R a região limitada pelo círculo x + (y ) = e pelas retas y = x, y = x e x =, que contém o ponto (, 0), onde (x, y) são as coordenadas cartesianas de um ponto. 3