Material Teórico - Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas. Redução ao Primeiro Quadrante. Primeiro Ano do Ensino Médio

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1 Material Teórico - Redução ao rimeiro uadrante e Funções Trigonométricas Redução ao rimeiro uadrante rimeiro Ano do Ensino Médio Autor: rof. Fabrício Siqueira enevides Revisor: rof. Antonio Caminha M. Neto 9 de janeiro de 209 ortal ME

2 Redução ao rimeiro uadrante Nó módulo Círculo Trigonométrico, também do primeiro ano, aprendemos que esse círculo é aquele de raio com centro na origem, o ponto = (0,0), do plano cartesiano. Consideramos o ponto A = (,0) e, dado um comprimento de um arco, marcamos o ponto sobre o círculo trigonométrico tal que à mede. Assim fazendo, definimos os números e de tal sorte que = (, ). () Note que, aqui, escrevemos simplesmente no lugar de (), apenas pelo fato de a primeira notação ser mais compacta. Ambas essas notações têm o mesmo significado, mas a primeira deve ser usada com cautela, especialmente em expressões longas, para não haver risco de ambiguidades. uando 0 < < π/2, podemos construir um triângulo retângulo com um ângulo interno de medida radianos e, portanto, com os outros dois ângulos internos medindo π/2 e π/2 (lembre-se de que π/2 radianos corresponde a 90 ). Conforme estudado no módulo Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo: Seno, Coso e Tangente do Nono Ano do EF, em um tal triângulo temos: medida do cateto oposto a =, medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a =, medida da hipotenusa medida do cateto oposto a tg = medida do cateto adjacente a. Ademais, se escolhermos tal triângulo de modo que a medida de sua hipotenusa seja igual a, teremos e como as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente a, respectivamente. A Figura, mostra como escolher tal triângulo fazendo com que sua hipotenusa coincida com um raio do círculo trigonométrico. ( Contudo, ) quando não pertence ao intervalo aberto 0, π 2, não existe triângulo retângulo com um ângulo interno de medida radianos. Neste caso, podemos usar a técnica de redução ao primeiro quadrante para calcular o o, o o e a tangente de. Essa técnica já foi esboçada no módulo Círculo Trigonométrico, mas a repetiremos aqui adicionando mais detalhes e exemplos. A ideia é, a partir de, obter um certo ângulo entre 0 e π/2 e relacionar os valores de e com os de e. Lembre-se de que os eixos do plano cartesiano dividem o Círculo Trigonométrico em quatro partes. Cada parte é denominada um quadrante e, por convenção, os quadrantes são numerados de até V (um até quatro em algarismos (,0) ortal ME (0,) (,0) (0, ) V Figura : o e o no primeiro quadrante. romanos, respectivamente) em tido anti-horário, do o primeiro quadrante aquele formado pelos pontos em que ambas as coordenadas são positivas (veja os numerais,,, V na Figura ). Sem perda da generalidade, assuma que 0 < < 2π. (Não do esse o caso, podemos substituir por sua menor determinação positiva, conforme estudado na primeira aula do módulo Círculo Trigonométrico.) Como antes, assuma que = à e vamos considerar separadamente os casos em que se encontra em cada um dos quatro quadrantes. Em cada caso, definiremos um ponto e tomaremos = Ã. Com uma escolha adequada de, teremos = e =. bserve que podemos encontrar os sinais de e dependendo do quadrante de.. Do segundo ao primeiro quadrante A Figura 2 mostra um exemplo com no segundo quadrante, isto é, com π/2 < < π. Veja que, neste caso, temos < 0 e > 0. Denotando por o pé da perpendicular baixada de ao eixo x, temos = e =. Vamos escolher o ponto como do o simétrico de em relação ao eixo y (veja a Figura 2); assim, como = (, ), temos = (, ). or outro lado, do = Ã, também temos = (, ). Comparando as duas expressões para as coordenadas do ponto, obtemos = e =. matematica@obmep.org.br

3 Agora, seja o pé da perpendicular baixada de ao eixo x (observe novamente a Figura 2). A simetria entre e em relação ao eixo y assegura a simetria de e em relação ao mesmo eixo, de modo que os triângulos e são congruentes, pelo caso lado, lado, lado. Logo, =. or outro lado, = π. ortanto, = Ã = = = π. Substituindo essa expressão para nas expressões que relacionam com e com, concluímos que = (π ) e = (π ). (2) V A(,0) Figura 2: o e o no segundo quadrante. bservação. É possível mostrar que as equações em (2) são válidas para qualquer valor de (contudo, apenas no caso em está no segundo quadrante é que temos π situado no primeiro quadrante). A partir das fórmulas (2) e levando em consideração a observação acima, temos também tg = (π ) = = tg(π ), (π ) ortal ME para todo valor de tal que 0..2 Do terceiro ao primeiro quadrante A Figura mostra um exemplo com no terceiro quadrante, isto é, com π < < π/2. Assim do, temos < 0 e < 0. Logo, para o ponto como antes (isto é, para do o pé da perpendicular baixada de ao eixo x), temos = e =. Desta vez, vamos escolher como do o simétrico de em relação à origem do plano cartesiano (veja a Figura 2). Em particular, pertence ao primeiro quadrante e os pontos, e são colineares. Assim, como = (, ), temos que = (, ). Agora, do = Ã, também podemos escrever = (, ). Comparando novamente as duas expressões acima para as coordenadas de, obtemos = e =. Também como antes, seja o pé da perpendicular de traçada ao eixo x. Veja que =, pois estes são ângulos opostos pelos vértice. or outro lado, = π, de sorte que = Ã = = π. Substituindo essa expressão para nas relações entre, e,, chegamos a = ( π) e = ( π). () V A(,0) Figura : o e o no terceiro quadrante. Temos também que tg = ( π) = = tg( π). ( π) Uma vez que = π +, isso também equivale a tg(π + ) = tg(). bservação 2. argumento deste caso é escialmente o mesmo do caso anterior. orém, o fato de estar no terceiro quadrante faz com que os sinais de e sejam diferentes comparados ao caso anterior, assim como a relação entre e é diferente. 2 matematica@obmep.org.br

4 Também é possível mostrar que as equações em (), assim como a relação entre tg e tg são válidas para qualquer valor de (a última delas contanto que 0. Mas, apenas no caso em está no terceiro quadrante, temos que π está no primeiro quadrante.. Do quarto ao primeiro quadrante Como último caso, a Figura 4 mostra um exemplo com no quarto quadrante, isto é, com π/2 < < 2π. Veja que, desta feita, temos > 0 e < 0. Logo, definindo o ponto como antes, temos = e =. Escolhendo o ponto como o simétrico de em relação ao eixo x (veja a Figura 4), temos situado no primeiro quadrante. Ainda pela simetria, juntamente com o fato de que = (, ), obtemos = (, ). or outro lado, do = Ã, também temos = (, ). Assim, comparando as duas expressões para as coordenadas de, vem = e =. Neste caso, o pé da perpendicular baixada de ao eixo x coincide com o ponto. Então, os triângulos e são congruentes pelo caso lado, lado, lado, de sorte que =. or outro lado, = 2π. ortanto, Concluímos, pois, que = Ã = = = 2π. = (2π ) e = (2π ). (4) ortal ME V A(,0) Figura 4: o e o no quarto quadrante. Temos também que tg = = (2π ) (2π ) = tg(2π ). bservação. Como nos outros casos, as equações em (4) também valem para qualquer arco (no caso da tagente, contanto que 0. Contudo, o caso em que está no terceiro quadrante é interessante pois 2π está no primeiro quadrante. Antes de examinarmos alguns exercícios, cumpre traduzirmos as fórmulas obtidas nas subseções anteriores, de radianos para graus. Fazemos isto no exemplo a seguir. Exemplo 4. Traduza de radianos para graus as relações (2), () e (4) obtidas nas subseções acima. Solução. Lembre-se de que π radianos equivalem a 80. Assim, para no segundo quadrante temos, em graus, 90 < < 80. Ao reduzir ao primeiro quadrante, escolhemos = 80, de modo que = (80 ) e = (80 ). uando está no terceiro quadrante, temos em graus que 80 < < 270. Neste caso, = 80 está no primeiro quadrante e satisfaz = ( 80 ) e = ( 80 ). or fim, quando está no quarto quadrante, temos em graus que 270 < < 60. Também, o arco = 60 está no primeiro quadrante e satisfaz = (60 ) e = (60 ). 2 Exercícios ara os exercícios seguintes sugerimos que, antes de ler suas soluções, o leitor dehe os ângulos envolvidos sobre o Círculo Trigonométrico e use as devidas simetrias, no lugar de simplesmente utilizar as fórmulas apretadas na seção anterior. Abaixo, relembramos os valores do o, o e tangente de alguns ângulos notáveis. Ângulo (graus) Ângulo (radianos) tg π π π π matematica@obmep.org.br

5 Exemplo 5. Calcule os valores de 20 e 20. Solução. Veja que 20 pertence ao segundo quadrante, pois 90 < 20 < 80. Assim, de acordo com a Figura 2, ao reduzir 20 para o primeiro quadrante, obtemos um ângulo de 60. De acordo com a tabela anterior, 60 = /2 e 60 = /2. Mas, como 20 > 0 e 20 < 0, temos que: 20 = 60 = 2 e 20 = 60 = Exemplo 6. Calcule os valores de (5π/6) e (5π/6). Solução. Veja que 5π/6 pertence ao segundo quadrante, pois está entre π/2 e π. Como no problema anterior, observando a Figura 2, reduzimos esse arco ao arco do primeiro quadrante π 5π/6 = π/6. or outro lado, sabemos que (π/6) = /2 e (π/6) = /2. Então, como (5π/6) > 0 e (5π/6) < 0, temos: (5π/6) = e (5π/6) = 2 Exemplo 7. ual o valor de tg(5π/4)? Solução. Veja que π < 5π/4 < π/2, logo, 5π/4 pertence ao terceiro quadrante; então, tg(5π/4) > 0. De acordo com Figura, ao reduzir 5π/4 ao primeiro quadrante, obtemos = 5π/4 π = π/4. Logo, tg(5π/4) = tg(π/4) =. Exemplo 8. Encontre o ângulo tal que 0 < 60, = 26 e = 26. Solução. Essa pergunta é diferente das anteriores, mas podemos atacá-la de maneira similar. rimeiro, vamos identificar o quadrante de 26. Como 80 < 26 < 270, temos (26) < 0 e (26) < 0. Então, as igualdades do enunciado garantem que () > 0 e () < 0. sso, juntamente com 0 < 60, indica que pertence ao segundo quadrante. Sejam A = (,0), A = (, 0) e o ponto do Círculo Trigonométrico tal que A = 26 (com o arco à medido no tido anti-horário, de A para ). Agora, observe que a redução de 26 ao primeiro quadrante é = 6. A fim de obter o ponto do segundo quadrante correspondente a, tomemos como o simétrico de em relação ao eixo x (veja a figura a seguir). Temos que A = A = 6. Daí, A = 80 6 = 44. or fim, veja que = 44 satisfaz as condições do enunciado, pois ortal ME 44 = 26 e 44 = 26. A (,0) V A(,0) Exemplo 9. Se R = Decida, com justificativa, se R é positivo, negativo ou igual a zero. Solução. A figura seguinte nos mostra um ângulo de 0, juntamente com o arco correspondente sobre o Círculo Trigonométrico. Veja que 0 > 0 enquanto que 0 < 0. Se é o pé da perpendicular de traçada ao eixo x, temos Logo, = 0 e = 0. R =. No triângulo, temos que = 80 0 = 50, de sorte que = 40. Como o menor lado de um triângulo é o oposto ao seu menor ângulo, concluímos que <. Logo, R > V A(,0) 4 matematica@obmep.org.br

6 Exemplo 0. Calcule os valores de 40, 40 e tg 40. Solução. Neste caso, vamos primeiro calcular a menor determinação positiva de 40. ara isso, começamos dividindo 40 por 60, obtendo 40 = Logo, 40 e 0 são congruentes, de modo que 40 = 0 e 40 = 0. Agora, basta reduzir 0 ao primeiro quadrante. bservando que 270 < 0 < 60, vemos que o arco correspondente a 0 pertence ao quarto quadrante. Então, revisitando a Figura 4, vemos que devemos tomar = 60 0 = 0. Dessa forma, segue que 40 = 0 = 0 = 2, 40 = 0 = 0 = tg 40 = tg 0 = tg 0 =. Exemplo. Lembre-se de que ar complementares são aqueles cuja soma é igual a π/2 e suplementares são aqueles cuja soma é igual a π. Sabendo que e são complementares e que e γ são suplementares, com γ 0, calcule a razão entre e γ. Solução. Como e são complementares, temos que + = π 2. No Módulo Círculo Trigonométrico vimos que isso implica que =. Agora, e γ satisfazem + γ = π, de sorte que (2) fornece = γ. Então, = γ e a razão pedida é igual a γ = =. Exemplo 2. Sabendo que = /5 e que pertence ao segundo quadrante, calcule os valores de e tg. Solução. Recordemos que, pela relação fundamental, tem-se =. Logo, ( ) = = 2 = = ortal ME Como pertence ao segundo quadrante, temos < 0. Assim, 6 = 25 = 4 5. or fim, temos tg = /5 4/5 = 4. Exemplo. Na figura a seguir, temos um círculo de raio, com centro em, e sabemos que os pontos, e são colineares. Sabendo que o arco trigonométrico à mede 2π/ radianos, calcule a área do triângulo CD. C 20 D V A(,0) Solução. nicialmente, observe que 2π/ radianos correspondem a 20. Então, temos C = (20 ) e = (20 ). Conforme calculado no Exemplo 5, tais igualdades fornecem C = e = 2 Como, e são colineares, temos = D, pois são opostos pelo vértice. Consequentemente, seus complementos também são iguais, isto é, = D. Mas, como =, segue que os triângulos e D são congruentes, pelo caso ângulo, lado, ângulo. Logo, D =. Assim, a área do triângulo CD é igual a: 2 C D = = 8. Solução 2. Temos C = = 0. Como =, observando o triângulo C temos Logo, C = 0 e C = 0. C = 2 e C = Como na solução anterior, concluímos que os triângulos C e D são congruentes. Então, D = C e podemos calcular a área de CD da mesma forma que na primeira solução. 5 matematica@obmep.org.br

7 Exemplo 4. Sabendo que, e γ são os ângulos de um triângulo não retângulo, calcule o valor numérico da expressão ( + ) R = + tg( + + 2γ) ctg( + ) γ Solução. Temos que + + γ = π. Logo, e, daí, or outro lado, ao passo que ( + ) = (π γ) = γ ( + ) = γ γ γ =. tg( + + 2γ) = tg(π + γ) = tg γ, ctg( + ) = tg( + ) = tg(π γ) = tg γ. (Note que os cálculos acima têm tido, uma vez que γ 90 γ 0.) Combinando os dois últimos resultados, temos que tg( + + 2γ) ctg( + ) = tg γ tg γ =. Então, a expressão do enunciado vale R = = 0. Dicas para o rofessor Este módulo tem como pré-requisitos o bom entendimento das noções geométricas de simetria (em relação a uma reta ou a um ponto) e conhecimentos bási sobre congruência de triângulos. É imprescindível fazer várias figuras e exemplos para que a redução ao primeiro quadrante se torne natural. bserve que as escolhas do ângulo em função de, feitas na Seção, são consequências naturais das simetrias encontradas. or isso, melhor do que memorizar as relações (2), () e (4) é sempre tentar visualizá-las. De toda forma, após usá-las várias vezes, elas acabarão do memorizadas. Recomendamos que o professor aborde o conteúdo desta aula em dois ou três encontros de 50 minutos. A referência [] devolve os rudimentos de Trigonometria necessários a aplicações geométricas. A referência [2] traz um curso completo de Trigonometria. Sugestões de Leitura Complementar. A. Caminha. Tópi de Matemática Elementar, Volume 2: Geometria Euclidiana lana. SM, Rio de Janeiro, G. ezzi s Fundamentos da Matemática Elementar, Volume : Trigonometria. Atual Editora, Rio de Janeiro, 20. ortal ME 6 matematica@obmep.org.br