ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO 4 - MATEMÁTICA

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1 ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO 4 - MATEMÁTICA Nome: Nº 3ª Série Data: / / Professores: Décio, Diego, Luciano e Sami Nota: (Valor 1,0) 4º Bimestre 1. Apresentação: Prezado aluno, A estrutura da recuperação bimestral paralela do Colégio Pentágono pressupõe uma revisão dos conteúdos essenciais que foram trabalhados neste bimestre. O roteiro de recuperação vai auxiliá-lo a planejar e organizar seus estudos. Para isso, sugerimos que: Anote tudo o que tiver para fazer. Fazer um esquema pode ajudar Faça um planejamento de estudos, estabelecendo um horário para desenvolver as diversas tarefas. Planejar significa antecipar as etapas que você precisa fazer e entregar; não deixe para depois o que pode ser feito hoje... Estabeleça prioridades: onde você tem mais dúvidas? Como se organizar para resolvê-las? Para que você aproveite essa oportunidade, é necessário comprometimento: resolva todas as atividades propostas com atenção, anote em um caderno suas dúvidas e leve-as para as aulas de recuperação. Sempre que possível, aproveite a monitoria de estudos. Procure esclarecer todas as dúvidas que ficaram pendentes no bimestre que passou. Tudo o que for fazer, faça bem feito!. Conteúdos Para ajudar em sua organização dos estudos, vale lembrar quais foram os conteúdos trabalhados neste bimestre: Módulo de um número real Arcos trigonométricos Função seno/cosseno Relação fundamental da trigonometria Progressões aritméticas PA Progressão geométrica PG Matrizes Determinantes Geometria Analítica Ponto, reta e circunferência Sistemas Lineares Análise Combinatória Probabilidade Geometria Espacial

2 3. Objetivos: Temas conceitos Módulo de um número real Arcos trigonométricos Função seno/cosseno Relação fundamental da trigonometria Progressões aritméticas PA Progressão geométrica PG Matrizes Determinantes Objetivos para os alunos Compreender o módulo de um número real: conceito, definição algébrica e interpretação geométrica. Estudar as funções modulares: seu conceito e suas representações gráficas e algébricas. Introduzir conceitos básicos da trigonometria analítica: arcos trigonométricos e suas unidades de medidas de arcos, graus e radianos. Definir o ciclo trigonométrico e esclarecer as interpretações geométricas dos arcos negativos, bem como dos arcos maiores do que 360 graus. Estudar as técnicas de redução ao primeiro quadrante, explorando o conceito de arcos côngruos e algumas simetrias do ciclo trigonométrico. Compreender as funções seno e cosseno conceito, período, domínio, imagem e representação gráfica e fazer a análise de seu sinal. Deduzir a relação fundamental da trigonometria a partir do teorema de Pitágoras e das simetrias do ciclo trigonométrico. Observar casos particulares (sen(x) = 0 ou cos(x) = 0). Praticar a aplicação da relação fundamental de trigonometria na simplificação de expressões trigonométricas. Estudar as particularidades das progressões aritméticas, compreender suas principais propriedades e apresentar as expressões algébricas para o termo geral e para a soma dos primeiros termos da PA. Estudar as particularidades das progressões geométricas, compreender suas principais propriedades e apresentar as expressões algébricas para o termo geral e para o produto dos primeiros termos da PG. Concluir os estudo das progressões geométricas apresentando as expressões para a soma dos primeiros termos e para a soma dos infinitos termos das progressões geométricas convergentes Iniciar o estudo da álgebra linear básica introduzindo e formalizando o conceito de matriz, suas notações e classificações. Apresentar leis de formação para matrizes. Definir a igualdade, a transposta e a adição de matrizes. Apresentar as matrizes identidade e nula. Compreender o conceito de produto interno de sequências finitas, a fi m de formalizar o processo para efetuar o produto de matrizes. Investigar a existência do produto de matrizes, estudar suas propriedades e apresentar os conceitos de matriz inversa, simétrica, antissimétrica, idempotente e ortogonal. Apresentar o conceito de determinante de uma matriz quadrada e alguns dos algoritmos usados para calcular esses determinantes, com o Teorema de Laplace e a regra de Sarrus Estudar as diversas propriedades dos determinantes, como as que antecipam seu valor nulo e as que definem os determinantes das matrizes transpostas e

3 Geometria Analítica GA: Circunferência Geometria Espacial inversas e das matrizes triangulares. Apresentar os Teoremas de Binet e Jacobi, introduzindo o conceito de combinação linear. Conceituar os elementos básicos da geometria analítica: coordenadas do ponto, distância entre dois pontos, coordenadas do ponto médio, coordenadas do baricentro de um triângulo, área de um triângulo e condição de alinhamento entre três pontos. Apresentar as equações da reta: equações geral, segmentária e paramétrica, coeficiente angular e equação reduzida. Conceituar e demonstrar as condições de paralelismo e perpendicularismo. Calcular a distância de ponto à reta. Equação da circunferência Desenvolver o conceito de circunferência: equação geral e reduzida. Determinar o centro e o raio de uma circunferência. Encontrar a posição entre reta e circunferência. Resolver problemas envolvendo tangência entre reta e circunferência. Prismas Definir e classificar prismas. Calcular volumes. Apresentar e diferenciar os prismas especiais: paralelepípedo reto-retângulo e cubo. Pirâmides Defi nir e classifi car as pirâmides. Calcular volumes de pirâmides. Analisar o tetraedro. Apresentar a definição de pirâmides semelhantes. Estudar os troncos de pirâmides. Cilindro Apresentar o cilindro de revolução e seus elementos básicos. Calcular o volume, a área lateral e a total. Apresentar as características das seções meridiana, não meridiana e do cilindro equilátero. Estudar os troncos de cilindros. Cone Apresentar o cone de revolução e seus elementos básicos. Calcular o volume, a área lateral e a área total de um cone. Apresentar as características da seção meridiana, do cone equilátero, do desenvolvimento lateral e do ângulo do setor circular. Estudar o tronco de cone de bases paralelas. Esfera Definir esfera, sua seção plana, seu volume e a sua área superficial. Apresentar as partes de uma esfera: fuso e cunha esférica. Estudar a inscrição e a circunscrição de sólidos na esfera. 4. Materiais que devem ser utlilizados e/ou consultados durante a recuperação: Apostila de sala e livro de exercícios; Listas de estudos; Anotações de aula feitas no próprio caderno. Atividades do Mangahigh;

4 Prova mensal Prova bimestral Simulados 5. Etapas e atividades Veja quais são as atividades que fazem parte do processo de recuperação: a) refazer as provas mensais e bimestral para identificar as dificuldades encontradas e aproveitar os momentos propostos para esclarecer as dúvidas com o professor ou monitor da disciplina. b) refazer as listas de estudos. c) revisar as atividades realizadas em aula, bem como as anotações que você fez no caderno. c) fazer os exercícios do roteiro de recuperação. 6. Trabalho de recuperação e forma de entrega Após fazer as atividades sugeridas para o processo da recuperação paralela, entregue os exercícios do roteiro de estudos em folha de bloco. O Trabalho de recuperação vale 1 ponto. Para facilitar a correção, organize suas respostas em ordem numérica. Não apague os cálculos ou a maneira como você resolveu cada atividade; é importante saber como você pensou! É muito importante entregar o Trabalho na data estipulada. TRABALHO DE RECUPERAÇÃO (3º bimestre) 1. (UEL) João publicou na Internet um vídeo muito engraçado que fez com sua filha caçula. Ele observou e registrou a quantidade de visualizações do vídeo em cada dia, de acordo com o seguinte quadro. Dias Quantidade de visualizações do vídeo em cada dia 1 7x 1x 3 63x Na tentativa de testar os conhecimentos matemáticos de seu filho mais velho, João o desafiou a descobrir qual era a quantidade x, expressa no quadro, para que a quantidade total de visualizações ao final dos 5 primeiros dias fosse Sabendo que o filho de João resolveu corretamente o desafio, qual resposta ele deve fornecer ao pai para informar a quantidade exata de visualizações representada pela incógnita x? Apresente os cálculos realizados na resolução deste item.. (UFPR) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um π lago possa ser descrita pela função F(t) 14cos t, 1 sendo t o tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã.

5 a) Qual a variação de temperatura num período de 4 horas? b) A que horas do dia a temperatura atingirá 3ºC? 3. (UNIFESP) Na figura, as retas r, s e t estão em um mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e t passam pela origem desse sistema, e que PQRS é um trapézio. Determine as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas r e s. 4. (PUCRJ) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A (6, 13) e C (1, 5). Determine a equação da reta r que passa pelo ponto M (ponto médio de AC) e pelo ponto P (1,1), justificando sua resposta. 5. (UFPR) Considere a função f definida pela expressão cos(x) senx 0 f(x) det cos x Calcule f(0) e f = 4.

6 x 6. (PUCRJ) Seja f(x). a) Para quais valores reais de x temos f(x) 1? b) Para quais valores reais de x temos f(x) 1? 7. Responda os itens abaixo: a) Na figura abaixo, os arcos AMB, ADC e CEB têm, respectivamente, raios 30 cm, 10 cm e 0 cm. Determine os comprimentos desses arcos. O que podemos concluir? b) Se a α = 1 380, determine o valor de sen α. cos α 8. (UFRJ) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A ( a ij ) 3 X 3 a seguir, onde a ij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar roupas do tipo i. 5 A 0 4 Responda justificando: a) Quantas unidades do material 3 serão empregados para fabricar roupas do tipo? b) Calcule o total de unidades do material 1 que serão empregados para fabricar 5 roupas do tipo 1, 4 roupas do tipo e duas roupas do tipo 3? 9. Responda os itens a seguir: cosθ senθ a) Considere a matriz A Sabendo-se que senθ cos θ, em que 0 θ π, calcule o senθ 0 cosθ determinante da matriz inversa de A, indicado por Det A b) Sabendo que 1470, calcule os determinantes das seguintes matrizes

7 a) b) c) (IFSUL- adaptada) Uma empresa de informática constatou que o custo total C(x) em reais para produzir seus equipamentos é dado pela função C(x) det A detb 10x, na qual x é o número de equipamentos 0 x 1 x x produzidos, com A e B Determine : 1 1 x x a) O custo total C(x). b) O custo total para a produção de 10 unidades do equipamento. 11. (FATEC) Em 015, um arranha-céu de 04 metros de altura foi construído na China em somente 19 dias, utilizando um modelo de arquitetura modular pré-fabricada. Suponha que o total de metros de altura construídos desse prédio varie diariamente, de acordo com uma Progressão Aritmética ( PA ), de primeiro termo igual a 1,5 metros (altura construída durante o primeiro dia), e o último termo da PA igual a x metros (altura construída durante o último dia). Com base nessas informações, qual é o valor de x? 1. (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade salto em distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: - todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par inválidos; - o primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro a marca de 7,07 m, e assim sucessivamente cada salto válido aumentou sua medida em 3 cm; - o último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7, m. Calcule o valor de n. 13. (UERJ) Em 1965, o engenheiro Gordon Moore divulgou em um artigo que, a cada ano, a indústria de eletrônicos conseguiria construir um processador com o dobro de transistores existentes no mesmo processador no ano anterior. Em 1975, ele atualizou o artigo, afirmando que, de fato, a quantidade de transistores dobraria a cada dois anos. Essa última formulação descreve uma progressão que ficou conhecida como Lei de Moore e que permite afirmar que um processador que possuía transistores em 1975 evoluiu para um processador com transistores em Admitindo um processador com transistores em 009, calcule a quantidade de transistores que a evolução desse processador possuirá em 019, segundo a Lei de Moore. 14. (PUCRJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a mais que a do meio que por sua vez tem sete anos mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais são as idades delas? (Ufjf-pism 3) Considere os pontos A (, 0), B ( 1, 3) e C ( 1, 3) em um plano cartesiano. a) Determine o ângulo ABC.

8 b) Calcule a área do triângulo ABC. 16. (Uema) Buscando incentivar a inserção das pessoas com deficiência no mercado de trabalho, uma filial dos Correios da cidade de São Luís contratou um cadeirante como encarregado da separação de correspondências. Para executar este trabalho, o novo funcionário foi designado para uma sala que dispunha de três mesas. Suponha que os centros dessas mesas sejam representados pelos pontos A, B e C de coordenadas (5, 4), (3, 7) e (1, ), respectivamente, tomando como origem o canto da sala. Nessas condições, a) esboce a figura que representa a disposição das mesas na sala em questão. b) quais as distâncias que cada mesa mantém entre si, em metros? c) qual a área do espaço compreendido entre as mesas? 17. (Uftm) Na figura, as retas r e s estão representadas no plano cartesiano, e P é o ponto de intersecção entre elas. Determine: a) As equações das retas r e s. b) A equação e o perímetro da circunferência de centro P que tangencia o eixo das ordenadas. 18. (Ufu) Se r e s são as retas perpendiculares, conforme esboçadas a seguir, determine a ordenada do ponto P, que é a interseção de r e s.

9 TRABALHO DE RECUPERAÇÃO (4º BIMESTRE) 1. (UFSC) Se a terna (a, b, c) é solução do sistema x y z 9 x y z 3, 3x y z 4 então calcule o valor numérico de (a b c).. (UNESP) Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa, se: a) os países P e S forem coloridos com cores distintas? b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor? 3. (FUVEST) João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedro regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma. Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica o número da face que ficou em contato com a mesa. Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 1? 4. (USF) Em um grande hospital, há 500 leitos e todos estão ocupados. Uma das alas desse hospital é destinada a pessoas com HIV positivo. 40% dos internados são mulheres e sabe-se que, entre elas, 10% são HIV positivo. Entre os homens internados nesse hospital, 15% são HIV positivo. Escolhido um paciente desse hospital ao acaso, qual a probabilidade de ele ser HIV positivo?

10 5. Considere a circunferência C : (x 1) (y 3) 9 a) Determine se o ponto A (4, 3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C. b) Encontre o(s) valor(es) de a para que a circunferência C e a reta y ax possuam dois pontos em comum. 6. A figura mostra um prisma retangular reto de base quadrada com um cilindro circular reto inscrito no prisma. O lado da base do prisma mede 4 dm e a altura é dada por h(x) = x 3 5x + 8x dm, com x > 0. a) Calcule o volume do prisma para x = 3 dm. b) Para x = 1 dm o volume do cilindro inscrito é 16 dm 3. Encontre os outros valores de x para os quais isto acontece

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