MATEMÁTICA. Questões de 05 a 12

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1 GRUPO 1 TIPO A MAT. 5 MATEMÁTICA Questões de 05 a Um dos vértices de um triângulo equilátero é o ponto P (0,1) do plano cartesiano e os outros dois estão sobre a reta r : x + y + 1 = 0. Faça o que se pede nos itens abaixo: A) Calcule a área desse triângulo. B) Encontre as coordenadas dos outros dois vértices.

2 MAT. 6 GRUPO 1 TIPO A 06. Seja VABCD uma pirâmide quadrangular regular de altura igual a 1 metro e vértice V com base no quadrado ABCD, também de lado medindo 1 metro. Seja MNOP o quadrado obtido pela intersecção da pirâmide com um plano paralelo à sua base pelo ponto médio da altura. Ligando-se MNOP ao centro K do quadrado ABCD, obtemos uma nova pirâmide quadrangular regular conforme a figura. V.. P M.. N.. O A C.. K.. B. D Faça o que se pede nos itens abaixo. A) Mostre que o lado da base dessa nova pirâmide é 2 1 m.

3 GRUPO 1 TIPO A MAT. 7 B) Pode-se construir uma terceira pirâmide dentro da segunda da mesma forma que se construiu a segunda dentro da primeira. Repetindo-se essa construção sucessivamente, pergunta-se: qual é o volume e a área da superfície lateral da 10 ª pirâmide?

4 MAT. 8 GRUPO 1 TIPO A 07. Simplifique a expressão aritmética abaixo, escrevendo-a na forma r + iα, onde r é um número racional e α é real: (log π 9 ).8 + (cos ) 3 ( 0, ).(1,1) 5.( 2) i

5 GRUPO 1 TIPO A MAT. 9 o 08. Considere um ângulo θ, com 0 θ 90, cuja representação em radianos é o π número real x, com 0 x. Suponha que x satisfaça às equações 2 onde m é um número inteiro positivo. m 1 sec x = 3 tgx = m 4 Faça o que se pede nos itens abaixo. 2 2 A) Mostre que sec x = tg x + 1, para qualquer valor real de x no domínio comum das funções envolvidas. B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x, sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente o ângulo θ, com 0 θ 90.

6 GRUPO 5 TIPO A MAT. 1 MATEMÁTICA Questões de 01 a Quantos números compreendidos entre 1000 e 2000 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo?

7 MAT. 2 GRUPO 5 TIPO A Seja f a função definida no conjunto A = [ 10, 1] [0,1[ por f ( x) = x. Com 4 base nesses dados, resolva os itens a seguir: A) Esboce o gráfico dessa função e encontre seu conjunto imagem. B) Encontre a função inversa de f, incluindo seu domínio e sua imagem.

8 GRUPO 5 TIPO A MAT Sendo 1 2i raiz de p ( x) = x 2x + 3x + 4x 10, encontre as outras raízes de p (x).

9 MAT. 4 GRUPO 5 TIPO A 04. Calcule o algarismo das unidades do número

10 GRUPO 5 TIPO A MAT Lançando-se dois dados, um amarelo e outro vermelho, qual a probabilidade de se obter 8 como soma de suas faces superiores?

11 MAT. 6 GRUPO 5 TIPO A 06. Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria COB faz malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira, publicada em 24 ago. 2008). Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue. Brasil China Cuba EUA Ouro Prata Bronze Total Classificação 23 o 1 o 28 o 2 o População aproximada (em milhões) Fonte: 24 ago e Almanaque Abril A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3 para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil? B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de medalhas de ouro por habitante?

12 GRUPO 5 TIPO A MAT. 7 2 x 07. Considere as funções f e g dadas por f ( x) = x e g( x) = 3, com domínios restritos ao conjunto { x R x 0}. Nessas condições, resolva o que se pede nos itens abaixo: A) Faça, num mesmo plano cartesiano, um esboço dos gráficos de f e de g. B) Com base no item anterior, explique por que a equação única solução α e esta satisfaz 0 < α < 1. x 2 = 3 x possui uma C) Represente, em termos de α, o conjunto dos números reais não negativos que 2 x são soluções da inequação x 3.

13 MAT. 8 GRUPO 5 TIPO A 08. Dado um triângulo ABC, construímos um outro triângulo, PQR, unindo os pontos médios de seus lados. Com base nessas informações, faça o que se pede abaixo: A) Mostre que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR. 2 B) Dado um triângulo de área 1m, construímos um outro triângulo da forma descrita no item (A). Repetindo o processo neste segundo triângulo, obtemos um terceiro triângulo. Prosseguindo-se desse modo, qual será a área do 30 º triângulo obtido?

14 GRUPO 5 TIPO A MAT Uma circunferência de centro no ponto C (1,2 ) contém o ponto P (4,6). Com base nesses dados, resolva os itens abaixo: A) Encontre a equação da reta t, tangente à circunferência pelo ponto P. B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência com um de seus lados sobre a reta do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.

15 MAT. 10 GRUPO 5 TIPO A 10. Simplifique a expressão aritmética abaixo, escrevendo-a na forma r + iα, onde r é um número racional e α é real π 4 ( log 9 ).8 + cos ( 2) ( 0, ).(1,1) 3 + i + 2

16 GRUPO 5 TIPO A MAT. 11 o 11. Considere um ângulo θ, com 0 θ 90, cuja representação em radianos é o π número real x, com 0 x. Suponha que x satisfaça às equações: 2 onde m é um número inteiro positivo. Faça o que se pede nos itens abaixo. m 1 sec x = 3 tgx = m A) Mostre que sec x = tg x + 1, para qualquer valor real de x no domínio comum das funções envolvidas. B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x, sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente o ângulo θ, com 0 θ 90.

17 MAT. 12 GRUPO 5 TIPO A 12. Na circunferência representada a seguir, A é o ponto ( 1,0), α e β são os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AM e AP, onde M e P são pontos variáveis da circunferência, estando sujeitos à condição α β = 60º e tendo N e Q respectivamente como projeções ortogonais sobre o eixo das abcissas. Y M P O N Q A X Nessas condições, mostre que ( + ON ) + ( MN + PQ) = 3 2 OQ. 2

18 GRUPO 6 TIPO A MAT. 9 MATEMÁTICA Questões de 07 a Números inteiros ímpares são precisamente aqueles que podem ser escritos na forma 2 k + 1, onde k é um número inteiro. Por exemplo, se k = 4, então a expressão 2 k +1 é o ímpar 9. Faça o que se pede nos itens a seguir: A) Mostre que o quadrado de um número inteiro ímpar é ímpar. B) Mostre que o quadrado de um número inteiro par é múltiplo de 4. C) Dados dois números inteiros ímpares, mostre que a soma de seus quadrados não é um quadrado perfeito.

19 MAT. 10 GRUPO 6 TIPO A 08. Lançando-se três dados, um amarelo, um vermelho e um azul, de quantas maneiras pode-se obter 9 como soma dos números obtidos nas suas faces superiores?

20 GRUPO 6 TIPO A MAT Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria COB faz malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira, publicada em 24 ago. 2008). Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue. Brasil China Cuba EUA Ouro Prata Bronze Total Classificação 23 o 1 o 28 o 2 o População aproximada (em milhões) Fonte: 24 ago e Almanaque Abril A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3 para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil? B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de medalhas de ouro por habitante?

21 MAT. 12 GRUPO 6 TIPO A 10. A parábola abaixo representa o gráfico de uma função quadrática. Determine que função é essa e encontre seu conjunto imagem. y -1 5 x -5

22 GRUPO 6 TIPO A MAT Dado um triângulo ABC, construímos um outro triângulo, PQR, unindo os pontos médios de seus lados. Com base nessas informações, faça o que se pede abaixo: A) Mostre que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR. 2 B) Dado um triângulo de área 1m, construímos um outro triângulo da forma descrita no item (A). Repetindo o processo neste segundo triângulo, obtemos um terceiro triângulo. Prosseguindo-se desse modo, qual será a área do 30 º triângulo obtido?

23 MAT. 14 GRUPO 6 TIPO A 12. Uma circunferência de centro no ponto C (1,2 ) contém o ponto P (4,6). Com base nesses dados, resolva os itens abaixo: A) Encontre a equação da reta t, tangente à circunferência pelo ponto P. B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência com um de seus lados sobre a reta t do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.

24 GRUPO 7 TIPO A MAT. 7 MATEMÁTICA Questões de 09 a Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria COB faz malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira, publicada em 24 ago. 2008). Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue. Brasil China Cuba EUA Ouro Prata Bronze Total Classificação 23 o 1 o 28 o 2 o População aproximada (em milhões) Fonte: 24 ago e Almanaque Abril A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3 para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil? B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de medalhas de ouro por habitante?

25 MAT. 8 GRUPO 7 TIPO A 10. Uma circunferência de centro no ponto C(1,2 ) contém o ponto P (4,6). Nessas condições, resolva o que se pede: A) Encontre a equação da reta t, tangente à circunferência pelo ponto P. B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência e que tem um de seus lados sobre a reta t do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.

26 GRUPO 7 TIPO A MAT Considere um tetraedro regular ABCD com as arestas medindo l. Há quatro cones congruentes circunscritos a este tetraedro; por exemplo, o cone circular reto que tem vértice no ponto A e cuja base é a circunferência circunscrita à base BCD do tetraedro. Determine, em função de l, a área S da superfície lateral de qualquer um desses cones.

27 MAT. 10 GRUPO 7 TIPO A o 12. Considere um ângulo θ, com 0 θ 90, cuja representação em radianos é o π número real x, com 0 x. Suponha que x satisfaça às equações: 2 onde m é um número inteiro positivo. Faça o que se pede nos itens abaixo. m 1 sec x = 3 tgx = m A) Mostre que sec x = tg x + 1, para qualquer valor real de x no domínio comum das funções envolvidas. B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x, sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente o ângulo θ, com 0 θ 90.