Desigualdades - Parte I. n a 1 a 2...a n,

Transcrição

1 Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível Prof. Marcelo Mendes Aula 8 Desigualdades - Parte I Fatos Elementares i) Nenhum quadrado de número real é negativo. ii) Desigualdade de Cauchy (Médias Aritmética e Geométrica) Se a,a,...,a n são números reais positivos, então a +a +...+a n n n a a...a n, com igualdade ocorrendo se, e somente se, a = a =... = a n. Para mostrar essa última desigualdade, vamos utilizar um tipo diferente de indução (que não serve para qualquer problema).. Se n =, então a +a a a pois ( a a ) 0.. Para n =, então utilizando o caso já mostrado para números, temos a +a +a +a = a +a + a +a a +a a +a a a a a = a a a a, quaisquer que sejam a,a,a,a reais positivos.. Assim, podemos escolher a = a +a +a, obter a +a +a + a +a +a a a a a +a +a

2 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 8 - Prof. Marcelo Mendes ( ) a +a +a a +a +a a a a a +a +a a a a, e concluir que o resultado também é verdadeiro para n =. A demonstração segue copiando as ideias acima. Já temos os casos iniciais. Em seguida, supondo o resultado verdadeiro para k, obtemos o resultado para k e para k repetindo os procedimentos realizados nos itens e acima. Assim, provamos a desigualdade para qualquer quantidade natural maior que ou igual a de números reais positivos. Problemas Problema. Determine o valor máximo da função f(x) = x( x), sendo x (0;). Solução. Essa é uma função quadrática. Poderíamos encontrar o seu valor máximo através da ordenada do vértice da parábola (desde que a abscissa do vértice esteja em (0;), o que, de fato, é verdade). Mas se resolvermos utilizando a Desigualdade de Cauchy, poderemos aplicar a ideia para funções de grau maior que : x+( x) x( x) x( x), com igualdade ocorrendo se, e somente se, x = x, ou seja, x =. Assim, o valor máximo de f é. Observação. Existe uma diferença entre descobrir que f(x) e concluir que é seu valor máximo. Por exemplo, podemos afirmar que sen x, porém o valor máximo de sen x é, pois a igualdade em sen x não ocorre. Problema. Determine o valor máximo da função f(x) = x ( x), sendo x (0;). Solução. Uma ideia possível seria aplicar a Desigualdade de Cauchy com os números reais positivos x e x: x +( x) x ( x).

3 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 8 - Prof. Marcelo Mendes Apesar de verdadeiro, esse fato não nos dá um valor (não poder ser variável) máximo para f. Outra tentativa seria com x,x,x, x, todos positivos: ou seja, x+x+x+( x) x ( x), ( x+ x ( x) e, novamente, não achamos um valor máximo. Todavia, chegamos bem perto. Basta substituir x por ( x): ) e daí x+x+x+( x) x ( x), x ( x) ( ) x ( x) 7 8. Como a igualdade ocorre com x = ( x) x = 7, o valor máximo de f é 8. Problema. Determine o valor máximo da função f(x) = x( x), sendo x (0;). Problema. (Treinamento ConeSul)Sejam a ebnúmerosreais positivos tais quea+b =. Prove que ab 7. Problema 5. Sejam A,B,C os vértices de um triângulo inscrito em um círculo unitário (ou seja, cujo raio mede ) e seja P um ponto no perímetro do triângulo. Mostre que PA PB PC 7. Problema 6. Dados números positivos arbitrários a, b, c, prove que ao menos uma das seguintes desigualdades é falsa: a( b) >,b( c) >,c( a) >.

4 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 8 - Prof. Marcelo Mendes Problema 7. (IMO) Sendo K,L,M pontos sobre os lados BC,CA,AB do ABC, mostre que a área de ao menos um dos triângulos AML,BKM,CLK é menor que ou igual da área do triângulo ABC. Solução. Sendo k,l,m [0;], podemos escrever BK = ka,kc = ( k)a CL = lb,la = ( l)b AM = mc,mb = ( m)c. Assim, [AML] = mc ( l)b sen A [AML] = m( l) [ABC]. Analogamente, [BKM] = k( m) [ABC], [CLK] = l( k) [ABC]. Supondoqueas três áreas em questão sejam maiores que segue pelo problema 6. daárea deabc, o resultado Problema 8. (Treinamento Cone Sul) Sejam h a,h b,h c as alturas do ABC. Prove que ABC é equilátero ah b +bh c +ch a é igual a 6 vezes a área do ABC. Problema 9. (Treinamento Cone Sul) Seja P um polígono convexo com 0 lados e com todos os ângulos internos iguais. Sejam l,l,...,l 0 os comprimentos dos lados consecutivos. Prove que se l + l l 0 + l 0 = 0, l l l 0 l então P é um polígono regular. Problema 0. Mostre que, se x,y,z são números reais positivos, então x (+xy)+ y (+yz)+ (+zx) 6. z Problema. Prove a desigualdade entre as médias geométrica e harmônica para números a e b reais positivos, ou seja, ab a +. b

5 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 8 - Prof. Marcelo Mendes Problema. Prove a desigualdade entre as médias quadrática e aritmética para números reais positivos. Solução. Devemos mostrar que que é equivalente a (a b) 0. a +b a+b, Problema. Prove que se a,b,c são as medidas dos lados de um triângulo e a +b = kc, então k >. Problema. a) Prove que se a,b são inteiros positivos com a b, então a + b a+b. b) Em uma lousa, escrevemos n números. É permitido apagar qualquer par deles a e b, escrevendo a+b no lugar. Repetindo tal procedimento n vezes, obtemos o número k. Se os n números iniciais eram 0, prove que k 0 n. Problema 5. Seja x um número real e m, um natural. Prove que x(x+)(x+)...(x+m ) m(m )(m )... x m. 5

6 POT 0 - Álgebra - Nível - Aula 8 - Prof. Marcelo Mendes Dicas. Repita a ideia da solução do problema.. Repita a ideia da solução do problema. 5. Repita a ideia da solução do problema. Use também potência do ponto P e que, supondo P sobre o lado BC, a corda contendo PA tem medida menor que ou igual à medida do diâmentro. 6. Suponha a possibilidade de ocorrerem as desigualdades e multiplique-as. 8. Use a Desigualdade de Cauchy com ah b,bh c,ch a. 9. Use a Desigualdade de Cauchy com l l, l l,..., l 0 l 0, l 0 l.. Use o problema e a desigualdade triangular.. Compare a soma dos inversos dos números antes e depois de cada substituição de números. 5. Escreva, por exemplo, x+ = x++ e aplique a Desigualdade de Cauchy. Faça o mesmo para os demais fatores do numerador e do denominador aos pares. Respostas. Pelo enunciado, pelo problema e pela desigualdade triangular, temos kc = a +b ( ) a+b ( c > ) k >.. a) a + b a+b (a+b) ab (a b) 0. b) Por a), segue que a soma dos inversos dos números envolvidos nunca aumenta. Assim, comparando o início e o final dos procedimentos, temos k n 0 k k 0 n. 6