Método de eliminação de Gauss

Transcrição

1 Matrizes - Matemática II - 00/0 Método de eliminação de Gauss Seja A = [a ij ] uma matriz de tipo m n. a FASE - ELIMINAÇÃO DESCENDENTE Esta fase permite obter uma matriz em forma de escada a partir da matriz inicial.. Efectuam-se as trocas de linhas necessárias (operação elementar de tipo I) de modo a que as primeiras linhas da matriz sejam não nulas e as últimas m linhas sejam nulas L $ L Faz-se a primeira escolha de pivot. Para isso escolhe-se um elemento da primeira coluna não nula. Se esse elemento estiver na primeira linha, passa-se ao passo três. Se não estiver na primeira linha, efectua-se uma troca de linhas de modo a que passe a estar na primeira linha L $ L Utilizando o pivot escolhido anulam-se todos os outros elementos da coluna respectiva, efectuando operações elementares de tipo III L L L + L L + L 0 0

2 Matrizes - Matemática II - 00/0 0. Se necessário repete-se o passo e, seguidamente, faz-se nova escolha de pivot, procurando, abaixo da linha a primeira coluna não nula e nesta escolhendo um elemento não nulo. Escolhido o pivot, repete-se o passo. 0 0 L L L + L L + L 0 0. Repetem-se os passos anteriores, escolhendo sucessivos pivots, até a matriz estar em forma de escada. 0 0 L L + L 0 0. Quando a matriz está em forma de escada termina a eliminação descendente. a FASE - NORMALIZAÇÃO DOS PIVOTS. Na matriz em forma de escada obtida anteriormente, para cada pivot diferente de, multiplica-se a linha correspondente pelo inverso do pivot, isto é, sendo a is = um pivot situado na linha i, efectua-se: L i L i : a is (Com vista a obter uma forma condensada da matriz, esta fase do processo pode ser efectuada entre a fase descendente e a fase ascendente ou ao longo da eliminação ascendente, consoante for mais conveniente.)

3 Matrizes - Matemática II - 00/0 0 0 L L L L a FASE - ELIMINAÇÃO ASCENDENTE Estando a matriz em forma de escada, esta fase do método permite obter uma matriz em forma condensada. 8. Usando o último pivot anulam-se todos os elementos não nulos na coluna onde esse pivot esteja situado, efectuando operações elementares de tipo III L L + L L L + L O processo repete-se com os pivots seguintes (de baixo para cima), até a matriz estar em forma condensada L L + L No nal da eliminação ascendente a matriz obtida encontra-se em forma condensada.

4 Matrizes - Matemática II - 00/0 Matrizes elementares Chama-se matriz elementar a uma matriz obtida a partir da matriz identidade por meio de uma operação elementar nas linhas. Há três tipos de matrizes elementares, de acordo com a operação elementar utilizada: Tipo I troca das linhas e de I : 0 Tipo II multiplicação da linha de I por : 0 Tipo III soma da linha de I ; multiplicada por ; à linha : Teorema Se E mm é uma matriz elementar e A mn é uma matriz qualquer, então a matriz EA é a matriz obtida de A efectuando a mesma operação elementar que foi utilizada para de nir E: Sejam A = e E a matriz elementar obtida de I adicionando à linha a 0 linha multiplicada por ; isto é I = Então A = 0 0 L L + L 0 L L + L = EA 0 = E Teorema Qualquer matriz elementar é invertível e a sua inversa é também uma matriz elementar. As inversas das matrizes elementares obtêm-se da seguinte forma: Tipo I- A inversa é a própria matriz = 0 0 :

5 Matrizes - Matemática II - 00/0 Tipo II- A inversa obtem-se substituindo o elemento eventualmente diferente de da diagonal pelo seu inverso = : 0 0 Tipo III - A inversa obtem-se substituindo o elemento não diagonal diferente de zero pelo 0 0 seu simétrico = 0 0 Decomposição LU Foi visto que podemos transformar uma matriz numa matriz em forma de escada por meio de operações elementares nas linhas. Seja A uma matriz quadrada. Qualquer forma de escada obtida a partir dessa matriz é uma matriz triangular superior a que podemos chamar U (de upper triangular matrix). Pelo que foi visto atrás, U = E E Obtem-se: : : : E A, em que E ; : : : ; E são matrizes elementares. A = E E : : : E U Se nenhuma das operações elementares envolvidas for uma troca de linhas então E ; : : : ; E são matrizes triangulares inferiores e, portanto, como as matrizes E; : : : ; E são triangulares inferiores, a matriz E E : : : E é também uma matriz triangular inferior a que podemos chamar L (de lower triangular matrix) e ca A = LU Podemos então concluir: Teorema Se A é uma matriz quadrada que pode ser reduzida a forma de escada por eliminação de Gauss, sem efectuar qualquer troca de linhas, então A pode ser factorizada na forma LU em que L é uma matriz triangular inferior, invertível, e U é uma matriz triangular superior.